第5章 一元函数的导数及其应用章末整合提升(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 章末整合提升 + , = > ? @ 一元函数 的导数及 其应用 导数的概念及其意义导数的概念             导数的几何意义 导数的运算 基本初等函数的导数公式 导数的四则运算法则     简单复合函数的导数 导数在研究函数中的应用函数的单调性函数的极值与最大（小）{                          值 A B + , C D 　 　 １．导数的几何意义的应用：利用导数的几 何意义可以求出曲线上任意一点处的切线方程 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０），明确“过点Ｐ（ｘ０，ｙ０）的 曲线ｙ ＝ ｆ （ｘ）的切线方程”与“在点Ｐ（ｘ０，ｙ０）处 的曲线ｙ ＝ ｆ （ｘ）的切线方程”的异同点． ２．围绕着切点有三个等量关系：切点（ｘ０， ｙ０），则ｋ ＝ ｆ ′（ｘ０），ｙ０ ＝ ｆ （ｘ０），（ｘ０，ｙ０）满足切线 方程，在求解参数问题中经常用到． ３．利用导数确定参数的取值范围时，要充 分利用ｆ（ｘ）与其导数ｆ ′（ｘ）之间的对应关系，然 后结合函数的单调性等知识求解． 求解参数范围的步骤为： （１）对含参数的函数ｆ（ｘ）求导，得到 ｆ ′（ｘ）； （２）若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上单调递增，则 ｆ ′（ｘ）≥０恒成立；若函数ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上单调 递减，则ｆ ′（ｘ）≤０恒成立，得到关于参数的不 等式，解出参数范围； （３）验证参数范围中取等号时，是否恒有 ｆ ′（ｘ）＝ ０．若ｆ ′（ｘ）＝ ０恒成立，则函数ｆ（ｘ）在 （ａ，ｂ）上为常函数，舍去此参数值． ４．求连续函数ｆ （ｘ）在区间［ａ，ｂ］上的最值 的方法 （１）若函数ｆ （ｘ）在区间［ａ，ｂ］上单调递增 或递减，则ｆ （ａ）与ｆ （ｂ）一个为最大值，一个为 最小值； （２）若函数ｆ （ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］内有极值， 则要先求出［ａ，ｂ］上的极值，再与ｆ （ａ），ｆ（ｂ）                              比 !($ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 较，最大的是最大值，最小的是最小值，可列表 完成． ５．已知函数的极值（最值）情况求参数的值 （取值范围）的方法 根据极值和最值的关系，与最值有关的问 题一般可以转化为极值问题． 已知ｆ （ｘ）在某点ｘ０处有极值，求参数的值 （取值范围）时，应逆向考虑，可先将参数当作常 数，按照求极值的一般方法求解，再依据极值与 导数的关系，列等式（不等式）求解． ６．解决优化问题的步骤 （１）要分析问题中各个数量之间的关系，建 立适当的函数模型，并确定函数的定义域． （２）要通过研究相应函数的性质，如单调 性、极值与最值，提出优化方案，使问题得以解 决，在这个过程中，导数是一个有力的工具． （３）验证数学问题的解是否满足实际意义                   ． E F G H I J 要点一 导数的几何意义及其应用 １．已知ｆ( )ｘ ＝ ｘ ｘ ＋ ｌｎ( )ｘ ，则ｆ( )ｘ 在ｘ ＝ １处 的切线方程是ｙ ＝ ３ｘ － ２　 ． 要点二利用导数研究函数的单调性、极值与最值 ２．若函数ｆ ( )ｘ ＝ ａ ＋ ｘ( )２ ｅｘ 在Ｒ上单调递 增，则实数ａ的取值范围是　 　 　 　 　 ． ３．函数ｆ( )ｘ ＝ ｘ３ ＋ １２ ｘ ２ － ４ｘ的极小值为 （Ｃ ） Ａ． － ４３ 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． １ Ｃ． － ５２ Ｄ． １０４ ２７ ４．（２０２４·山东威海高三检测）已知函数 ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，过曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上的点 Ｐ（１，ｆ（１））的切线方程为ｙ ＝ ３ｘ ＋ １，ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ － ２时有极值． （１）求ｆ（ｘ）的解析式； （２）求ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［－ ３，１］上的单调区间和 最大值． 　 　 ［尝试作答          ］ 要点三 利用导数求参数的取值范围 ５．已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ｂｘ２ ＋ ｃｘ在区间［０，１］ 上是增函数，在区间（－ ∞，０），（１，＋ ∞）上是 减函数，且 (ｆ ′ １ )２ ＝ ３ ２ ． （１）求函数ｆ（ｘ）的解析式； （２）若在区间［０，ｍ］（ｍ ＞ ０）上恒有ｆ（ｘ）≤ ｘ成立，求ｍ的取值范围． ［分析］　 （１）由单调区间知ｆ ′（０）＝ ｆ ′（１） ＝ ０，结合 (ｆ ′ １ )２ ＝ ３ ２，求出ｆ（ｘ）的解析式                                              ； !(% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （２）ｆ（ｘ）≤ｘ在［０，ｍ］上恒成立ｆ（ｘ）－ ｘ ≤０在［０，ｍ］上恒成立［０，ｍ］是ｆ（ｘ）≤ｘ的 解集的子区间，当ｆ（ｘ）－ ｘ的最值不易求时，可 进行适当的转化． 　 　 ［尝试作答          ］ 要点四 利用导数证明不等式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　６．设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ａｌｎ（１ ＋ ｘ）有两个极 值点ｘ１，ｘ２，且ｘ１ ＜ ｘ２ ． （１）求ａ的取值范围，并讨论ｆ（ｘ）的单 调性； （２）证明：ｆ（ｘ２）＞ １ － ２ｌｎ ２４ ． 　 　 ［尝试作答           ］ 要点五 利用导数解决实际问题 ７．某银行准备设一种新的定期存款业务， 经预测，存款量与存款利率的平方成正比，比例 系数为ｋ（ｋ ＞ ０），贷款的利率为４． ８％，假设银 行吸收的存款能全部放贷出去．若存款利率为ｘ （ｘ∈（０，０． ０４８）），则银行获得最大收益的存款 利率为 （Ａ ） Ａ． ３． ２％ 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２． ４％ Ｃ． ４％ Ｄ． ３． ６％ ８．如图，圆形纸片的圆心为Ｏ，半径为５ ｃｍ， 该纸片上的等边△ＡＢＣ的中心为Ｏ． Ｄ，Ｅ，Ｆ为 圆Ｏ上的点，△ＤＢＣ，△ＥＣＡ，△ＦＡＢ分别是以 ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ为底边的等腰三角形．沿虚线剪开 后，分别以ＢＣ，ＣＡ，ＡＢ 为折痕折起△ＤＢＣ， △ＥＣＡ，△ＦＡＢ，使得Ｄ，Ｅ，Ｆ重合，得到三棱锥． 当△ＡＢＣ的边长变化时，所得三棱锥体积（单 位：ｃｍ３）的最大值为　 　 　 　 　 ． 即时巩固 １．已知二次函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的导数为 ｆ ′（ｘ），ｆ ′（０）＞ ０，对于任意实数ｘ都有ｆ（ｘ） ≥０，则ｆ（１）ｆ ′（０）的最小值为 （　 ） Ａ． ３　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５２ Ｃ． ２ Ｄ． ３２ ２．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ１ － ｃｏｓ ｘ的部分图象大致为（　                                                                        ） !(& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎｘ，ｇ（ｘ）＝ ａｘ２ － ｘ．若经过 点Ａ（１，０）存在一条直线ｌ与曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）和 ｙ ＝ ｇ（ｘ）都相切，则ａ ＝ （　 ） Ａ． － １ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ ４．已知ｆ（ｘ）为偶函数，当ｘ ＜０时，ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（－ ｘ） ＋３ｘ，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，－ ３）处的切线 方程是２ｘ ＋ ｙ ＋ １ ＝ ０　 ． ５．已知Ｒ上可导函数ｆ（ｘ）的图象如图所示，则 不等式（ｘ２ － ２ｘ － ３）ｆ ′（ｘ）＜ ０的解集为｛ｘ ｜１ ＜ ｘ ＜ ３｝　 ． ６．（２０２３·全国甲卷理科）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｓｉｎ ｘ ｃｏｓ３ｘ ，ｘ∈ ０，π( )２ ． （１）当ａ ＝ ８时，讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）若ｆ（ｘ）＜ ｓｉｎ ２ｘ恒成立，求ａ的取值 范围． ７．（２０２４·北京卷）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｋｌｎ（１ ＋ ｘ） （ｋ≠０），直线ｌ是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（ｔ，ｆ（ｔ）） （ｔ ＞ ０）处的切线． （１）当ｋ ＝ － １时，求ｆ（ｘ）的单调区间． （２）求证：ｌ不经过点（０，０）． （３）当ｋ ＝ １时，设点Ａ（ｔ，ｆ（ｔ））（ｔ ＞ ０），Ｃ（０， ｆ（ｔ）），Ｏ（０，０），Ｂ为ｌ与ｙ轴的交点，Ｓ△ＡＣＯ与 Ｓ△ＡＢＯ分别表示△ＡＣＯ与△ＡＢＯ的面积．是否 存在点Ａ使得２Ｓ△ＡＣＯ ＝ １５Ｓ△ＡＢＯ成立？若存 在，这样的点Ａ有几个？ （参考数据：１． ０９ ＜ ｌｎ ３ ＜ １． １０，１． ６０ ＜ ｌｎ ５ ＜ １． ６１，１． ９４ ＜ ｌｎ ７ ＜ １． ９５） 请同学们认真完成考案（二）（三）（四                                                                        ） !(' 0<x<1时g()<0,且g)=0.因此函数g()=的图 例3：C因为()=2+之2-4红，所以f'()=3+x 象如图所示（为方便观察，横轴与纵轴的单位长度不同），由4=(x-1)(3x+4), 图可知，当ae(0,）时，函数g(x)=的图象与函数y=a 4 令"()=0得=-3函=1， 的图象有两个交点，故选C 当x(-0,-号)u1,+)时，f”()>0,当x (-子时f()<0 放)的单渊递增区间为(-的，一含）和(1，+西)，单满 递诚区间为-号) 4.144设小正方形的边长为xcm,则盒子的容积为V=x(10- 2x)(16-2x),即V=4(-13x2+40x)(0<x<5),=4(3x2- 则当x=1时)取得极小值，且极小值为1)=一多 26x+40)=4(3x-20)(x-2). 故选C 令”=4(3x-20)(x-2)=0,得x=2.=9(不符合题意，舍 例4：(1)f(x)=3x2+2ax+bf'(1)=3+2a+b, 过曲线上P点的切线方程为y-f尺1)=(3+2a+b)(x-1). 去)，x=2是唯一极值点也就是最值点。 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1), 所以，当x=2时，盒子容积的最大值为144cm 整理得，y=(3+2a+b)x-a+e-2 已知该切线方程为y=3x+1, 10 设CD⊥AB,垂足为E,DE的长为xkm 所以+2a+h=3即2+b=0, 由AB=0.6,AC=BC=0.5,得AE=EB=0.3. le-a-2=1, c-a=3. CE=/AC-AE=0.3-0.3=0.4. 因为y=f(x)在x=-2时有极值， CD=0.4-x 所以W'(-2)=0, 所以-4a+b=-12, AD=BD=√AE+DE r2a+b=0. ra=2. =w0.3+x=√0.09+x. 解方程组{c-a=3, 得b=-4 动力线总长1=AD+BD+CD L-4a+b=-12,le=5, =2√0.09+x2+0.4-x. 所以f代x)=x2+2x2-4x+5. 令=2· 2x (2)f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2). 2V009+p-1 (=0得=-2=号 -2x-/0.09+ -=0 当x∈[-3，-2]时/'(x)>0: √0.09+x 即2x-√0.09+x=0. 当e(-2,号)时f"()<0: 箭得：=语（C0 当xe(号小时>0 当<r<0:当>得r>0 所以x)的单调递增区间为-3，-2)和（号： 1在=治时有最小价 单调递诚区同为(-2，号）】 章末整合提升 又-2)=13（号）-器-3）=8)=4， 所以代x)在区间[-3,1]上的最大值为13. 要点专项突破 例5：(1)f'(x)=3ax2+2br+c. 例1：y=3x-2已知当x=1时f(1)=1, /'()=x+h0++）得f"()=3. 由已知得f'(0)=f'(1)=0,得6=0， L3a+2b+c=0. re=0 根据点斜式可得：y-1=3(x-1)→y=3x-2, 解得 3 故答案为：y=3x-2. b=-20 例2：[1，+e)f'(x)=(x2+2x+a)e, f'（(x)=3a2-3ax 若函数f(x)=(a+x2)e在R上单调递增，则f'(x)≥0在 R上恒成立， 台)受02 即x2+2x+a≥0在R上恒成立， .a=-2,b=3 所以4=4-4u≤0白a≥1， fx）=-2x3+3x2 故a的取值范围是[1，+∞). (2)令八x)≤，即-2x+3x2-x≤0， 146 整理得x(2x-1)(x-1)≥0， 0≤x≤或x≥1. 又f(x)≤x在区间[0，m](m>0)上恒成立， 六m的取值范是(0，] 例6：(1)由题意知，函数fx)的定义域是xx>-1}, f'(x)-2+2r+0 1+x 1 则OG= 且/'(x)=0有两个不同的实数根1，： 3 5 6 方程2x2+2x+a=0的根的判别式4=4-8a>0, .DG=SG=5- 3 6t, 即a<分，且=12西 2 S0=h= c-而·√5-)-() 书=1+，2a0 2 √(5-) 又x1>-1,a>0, a的取值范围是(0，之)】 三锥的体积VS·A=×× 4 当x变化时(x)与'(x)的变化情况如下表： (-1,1) (x1,2） 无 (名，+的》 f'(x) + 0 0 设05->0.则/e)=2025 f(x) 极大值 极小值 令f'(x)=0,则4r- =0,解得x=45,易知代x)在x= ÷(x)在区间（-1,1-，2运)和(-1+2@ 45处取得最大值。 2 2 +∞上单调递增。 =×48×5-4=4压 即时巩固 在区间（山色山+西 上单调递减 !1.Cf'(x)=2ax+b, 2 f'(0)=b>0: (2)证明：由题意和(1)知，-2<<0，a=-2:(1+入， “对于任意实数x都有八x)≥0， .a>0且b-4ar≤0， f)=号-2x(1+x)n(1+2). .6≤4ac,.c>0, 设函数g(t)=2-2(1+t)n(1+t), -0+h+-“t+1≥2匹+1≥1+1=2. 则g()=-2(1+2)n(1+). ‘f'(0)b b 当1=-2时g0=0 当a=e时取等号.故选C 当e(-.0时g0>0, 20令 sin 2 n2r=0 六8)在区间(-子.0上是增函数。 1)=1>0m）=cs元 ∴排除选项A,D: 当e(分时e0>8-）l-02 由I-cosx≠0，得x≠2kr(keZ), 故函数代x)的定义域关于原点对称 )>1-2 又-器动 例7：A依题意知，存款量是kx,银行应支付的利总是 ÷八x)为奇函数，其图象关于原点对称。 k:3,银行应获得的利息是0.048kx2, .排除选项B.故选C 所以银行的收益y=0.048kx2-x,所以y=0.096x 3.Bf(x)=ain x..f'(x)=1+In x, -3kx2. ∴.f'(1)=1+n1=1,k=1,.曲线y=x)在A(1,0)处的 令y'=0,得x=0.032或x=0(含去).因为k>0,所以当 切线方程为y=4-1,由=：：得心-2x+1=0,由4 0<x<0032时，y'>0,当0.032<x<0.048时，y‘<0. ly=a-x 因此，当x=0032时，y取得极大值，也是最大值，即当存 4-4a=0,解得a=1, 4.2x+y+1=0当x>0时，-x<0,则f-x)=nx-3x 款利率定为3.2%时，银行可获得最大收益.故选A 又fx)为偶函数，所以fx)=f代-x)=血x-3x, 例8：4/5如图，连接DO交BC于点G,设D,E,F重合于 S点，正三角形的边长为x(x>0), 所以f(x)=-3,则切线斜*为f(1)=-2 -147 所以切线方程为y+3=-2(x-1),即2x+y+1=0. 5.{x1<x<3由曲线y=f(x)以及函数的单调性，可知 (2)证明/"()=1+本x切线1的斜*为1+车 f'(x)<0=-1<x<1, 则切线方程为y-)=(+本水x-:>0)。 f"(x)>0曰x<-1或x>1. 不等式(x2-2x-3)f'(x)<0,即 将(0,0)代入则-)=-1+年))=1+) {-2x-3c0或-2-3>0， f'(x)>0 f(x)<0, 即1+m(1+)=1+1在则n(1+)=h(1+0 所以{1<r<3, 或[<-1或x>3, lx<-1或x>11-1<x<1 +=0 所以1<x<3. 6.(1)(x)=a-cos xcos'x+3sin x cosirsinx 令0=n1+t)-1+2 0s”x 假设1过(0,0)，则F(t)在e(0,+)存在零点. a-cosx +3 sin'x=a-3-2cosx cos'a cos'x P)号>0)在0，+)止 令cos2x=1,则t∈(0,1)， 单调递增，F(t)>F(0)=0, 则∫"(x)=g0)=a-32_2+21-3 ∴.F()在(0，+)无零点，.与假设矛盾，故直线l不过(0， 2 0) 当a=8f"(x)=g)-8+24-3.2-)(4+3 2 3k时)++=1+#经30 当e(0,2）即xe(年，f'()<0 5m=0),设1与)轴交点B为0,9》， 当e(分即xe(0,)f"(x)>0, 1>0时，若g<0,则此时1与(x)必有交点，与切线定义矛盾。 由(2)知g≠0.所以9>0，则切线1的方程为y-t-ln(:+1) 所以x)在(0,4）上单调递增，在（牙，号）上单调递减 =(++水-0. (2)设g(x)=f八x)-sin2x, 8'()=f'()）-2ms2x=g()-2(2ms2x-1)=r+21-3 令x=0.期y=g=y=h1+)- -22-0=a+2-4+2-是 25aam=15sam则20)=15[n(1+0-+], 设p()=a+2-41+2-3 13n1+)-24-15,=0,记A()=13n1+)-24- IP. p0=-4-2+5=”-6.2-2+2+》0. 4>0. :满足条件的A有几个即h(t)有几个零点. 所以p()<p(1)=a-3. ①若a∈(-e,3],g'(x)=p()<a-3≤0， 0=是，-2+8-2》5 1+1 (t+1) -22+9-4-(-24+1)(6-42 即g(x)在(0,2）上单调递减.所以g()<8(0)=0 (1+1)2 (1+1)2 所以ae(-,3],x)<sim2x,符合题意. 当t∈(0，)时，'()<0，此时6()单调递减： ②若ae(3,+为)， 当0，子子-3（什-+分-，所以）一 当e(宁4时，'()>0，此时6()单调递增： 当1e(4,+∞)时，h'()<0,此时h(t)单调递减： (1)=a-3>0. 因为6(0=0，A(宁）<0A(4)= 所以36e(0,1),使得p(6)=0,即3e(0,号）使得 13m5-20>13×1.6-20=0.8 >0. g'(xo）=0, 当te(o,1),e(t)>0,即当xe(0,xo),g'(x)>0,g(x)单渊 h24)=13m25-48-15×24 25 递增. 所以xe(0,)g(x)>g(0)=0,不合题意 265-48-号<26×1.61-48 综上，4的取值范围为(-g,3] 72 =-20.54<0 a=-h1+动fr到=1-- 当x∈(-1,0)时f'(x)<0:当xE(0,+）f'(x)>0: 所以由零点存在性定理及h()的单调性，h()在（乞4上必 x)在(-1,0)上单调递减，在(0，+%)上单调递增. 有一个零点，在(4,24)上必有一个零点，综上所述，h()有两 则rx)的单调递诚区间为(-1,0)，单调递增区间为(0，+). 个零点，即满足2S△co=15S6w的A有两个 -148