5.3.3 利用导数解决与函数有关的问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

=2222在a-2.0内相有8e)<0 故函数y=八x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是 x取0,2,3时的函数值，而f八0)=5f(2)=-15(3)=-4, 六g(x)单调递减，g(x)m=g(-2)=-1,六.a>-1. 故最大值为5，最小值为-15. 综合①②③及条件a≠0可得a的取值范围为 (-1.0)U(0.27). 3自得2当>1球者 对点训练3：(1)因为)=2ar一冬+n a,则f'(x)<0f(x单调递减，若1<x<√a,则f'(x)>0, 所以-2a+号+ 九单遥指，故当=时西数有最大值一得解 因为)在x=1=处取得极值， 得a=子<1，不符合题意当a=1时，函数)在[1，+) 所以f')=0f'(分）=0 上单调递减，最大值为f代山=子，不符合题意.当0<a<1 即2a+6+1=0. 时，两数代到在[1，+)上单调递减，最大值为)=。古 2a+4b+2=0 =号解得。=厅-1，符合题意故a的值为-1放选 [a=-3 解得 4.Bf'(x)=-4x3+4x,由f'(x)=0得x=±1或x=0. 易知八-1)=1)=4为极大值也是最大值，故应选B 5.1由f(x)=sinx-2x-a, 所以所求a,6的值分洲为-子，一了 得/'(x)=c0sx-2<0, 所以函数f(x)在[0，π]上单调递诚， (2)在片，上存在使得不等式)-≤0成立，只 所以八x)的最大值是f0)=-a=-1,故a=1. 需cf代x)n, 5.3.3利用导数解决与函数有关的问题 关键能力·攻重难 =2x-3x+1.-2x-10(x-D 例1：(1)函数f代x)的定义域为R,f'(x)=e-1,令f'(x) 3x2 3x2 =0,解得x=0.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表 所以当xe(什)时"()<0)是诚函数： 所示： (-,0) 0 (0,+c) 当xe(宁，时'()>0)是增函数： f'(x) 0 所以宁分)是)在[子]小上的最小值 fx) 所以f代x)在区间(-，0)上单调递减，在区间(0，+)上 雨2)=+n=-h2. 单调递增.当x=0时x)的极小值八0)=1，也是最小值，故函 所以c≥号-h2 数fx)的值域为[1，+) (2)由(1)可知函数的最小值为1，且-)=。+12) 所以e的取值范围为[宁-h2,+} =e2-20)=1,当x→+∞时x)一+0∫'(x)→+：当x 例4：(1)设x)-血，则斯'(x)=-血三 +-时，指数函数y=e越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图 象上的点逐渐趋向于直线y=一x,根据上述信息，画出函数x) 所以f'(1)=1.所以1的方程为y=x-1. 的大致图象如图1所示. (2)令g(x)=x-1-一f(x),则除切点之外，曲线C在直线1 (3)截取函数fx)在区间[-1,2]上的图象如图2所示.由 的下方等价于g(x)>0(Vx>0,x≠1) x)满是g()=0,且g()=1-f(x)=-1+n 图象知，当0)<m≤-1).即当me（L.。+1时)与y 当0<x<1时，x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单 =m恰有两个不同的交点，即当me(1,。+小时，在区间 调递减： [-1,2]上恰有两个不同的实根：同理，当m=1或】+1<m≤ 当x>1时，x2-1>0,ln￥>0，所以g'(x)>0,故g(x)单调 递增。 e2-2时，方程fx)=m在区间[-1,2]上有唯一的实根：当m 所以，g(x)>g(1)=0(Hx>0,x≠1).所以除切点之外，曲 <1或m>e-2时，方程f八x)=m在区间[-1,2]上无实根， 线C在直线l的下尔 课堂检测·固双基 1.Cf'(x)=3x2-3=3(x2-1),:-1<x<1. x2<1,3(x2-1)<0,即f'(x)<0. f代x)在(-1,1)上为减函数，f代1)<代x)<f-1).放f八x)在 (-1,1)内既无最大值，也无最小值 2.D由y=2x3-3x2-12x+5得y=62-6x-12, 令y'=0得x=-1(舍去)或x=2. 图1 图2 143 对点调练1：(：)=号 --kn x(x>0), ,f(x)的单调递增区间为(0.1)和(3.+) f (2)由(1)知x)=x-三-4x在(0,1)上单调递增，在 1,3]上单满递减. ①当k≤0时，由f'(x)>0知函数f(x)的单满递增区间是 所以，当0<x≤3时x)=f1)=-2, (0,+3). 因此，当0<x≤3时，桓有代x)=x-三-4nx≤-2， ②当k>0时，由f'(x)>0知函数(x)的单调递增区间是 (压，+)： 即x2+2x-3≤4xlnx f'(x)<0知函数f代x)的单调递减区间是(0，瓜). 例3：方法一：根据题意知，只有点C在线段AD上某一适当 位置，才能使总运费最省，设C点距D点xkm,则 (2)①当E<√，即k>e时，函数f八x)在(1，e)上单调 B0=40,AC=50-x, 递减 ∴BC=√BD+CD=R+40 九0=<0)=>0函数x)在(1，上 又设总的水管费用为y元，依题意有 有一个零点。 y=3a(50-x)+5a√震+40(0<x<50). ②当=仄，即k=e时，函数x)在(1.)上单调递减 小y=-3a+5 0=二=0函数到在1,0上设有零点 /量2+40 令y'=0,解得x=30. ③当1<瓜<6，即1<k<e,函数f八x)在(1，瓜)上单调递 在(0,50)上y只有一个极值点，根据实际问题的意义，函 诚，在（瓜，）上单调递增. :数在x=30(km)处取得最小值.此时AC=50-x=20km.∴，供 水站建在A,D之间距甲厂20km处，可使水管费用最省. )周=兰(1-h)>0.函数到在(1，同 方法二设LD=8,则BC=品。 上没有零点 ④当≤1，即0<k≤1时，函数尺x)在(1，)上单调递增 品0<<》 CD= )=宁>0函数)在(1,0上没有零点： 4c=0-品。 综上所述，当k>e时，函数fx)在(1，√)上有一个零点： 设总的水管费用为f八)，依题意，有 当0<≤e时，函数f八x)在(1，E)上没有零点. 0)=(30-a品。 例2.周为)=1所W")=" =150a+40a.5-3cos0 sin 8 -1)=1,因为)=号+-，所以g)=-兰 f'《0)=40a.5-3s0'血0-6-3ms0(s血 之-6，因为曲线y=)与曲线y=g)的一个公共点是AL, sin'0 =40a.3-5cas9 sin' 1),且在点A处切线互相垂直.所以g(1)=1.g'(1)·f‘(1)= -1,所以g(1)=a+1-b=1,g(1)=-a-1-b=1,解得a= 令'()-0，得m8=子根据问题的实际意义，当s0 -1,b=-1. 3 4 (2g()=-台++)+gx≥2a1血.s 3时，函数取最小值，此时sim8=3 d0子4c=0-品。=20m 13 即供水站建在A,D之间距甲厂20km处，可使水管费用 令h(x)=x）+g(x)-2(x≥1). 量省。 对点训练3：(1)因为CD∥OA,所以∠ODC=∠AOD= 则h()=l-血￥。-上+x, x rad. x e'x 在△0cD中，∠0CD=号∠c00=号-，0D=2km 3 x x 因为31，所以h)=+号+1>0， 由正弦定理，得0C CD 2-4E sin x ,2π3 所以h(x)在[1，+)上单调递增，h(x)≥h(1)=0. 即1--9-上+x≥0， 得0c45ma,D:4y5m(号-hm又周m x e"x 所以当容1时到+g)≥是 的长为2（号-m, 对点训练2：(1)x)的定义域为(0，+)√'(x)=1+子 aa(号号列 4=2-4x+3=x-1)(x-32 =2a(5inx+cosx-x+于）re(0,于} 令f'(x)>0,解得x>3或x<1, (2)i记x)=2a5simx+csx-x+号）xe(0,号)】 -144 则'(x)=2a(,3omsx-simx-1)=2a[2ao(x+石)-，点，问题中面积的最大值显然存在.故当0=号时面积取最大 '()=0,得x=君 值，最大面积为、=(@号+）m号=（分+）冷 当x变化时∫'(x)代x)的变化如表： 3Br. (o,) 五 () 4 例5：4由ax3-3x+1≥0，得m3≥3x-1.因为xe f'(x) 0 [-1,1],故分离参数a,需根据x的取值进行分类讨论，讨论 如下： f(x) 单调递增 极大值 单调递减 (1)当x=0时，1>0恒成立，a可以取任意实数： 所以f孔x)在x= 处取得最大值，这个极大值就是最大值， 6 (2)当0<≤1时，可得a≥-子+是恒成立，故a≥ 即(）=2如×(5+若）=(（2万+号n故当x=石时，广告 位出租的总收入最大，最大值为(2厅+号元 令1=士+e1,+0).易求得三次函数g0=-+3r在[1， 例4：设包装盒的高为h(m),底面边长为a(cm),由已知 +x)上的最大值为g(2)=4,所以a≥4. 得a=2x,h=60-2=2(30-x),其中0<x<30 2 (3)当-1≤<0时，可得a≤-亨+子板成立，故 (1)5=4ah=8x(30-x)=-8(x-15)2+1800,所以当x= 15时，S取得最大值. u≤(+) (2)V=a2h=22(-x2+30x2),V'=62x(20-x),当V"= 0时，得x=20,x=0(舍去)，当x∈(0,20)时，V">0:当∈(20， 令1=1e(-0,-1小，易求得三次函数g)=-f+3 30)时，”<0，所以当x=20时，V取得极大值，也是最大值. 在(-0，-1]上的最小值为g(-1)=4,所以a≤4综上可得， i4=4. 此时合=子，即包装盒的商与底面边长的比值为分 课堂检测·固双基 对点训练4：方法一：设上底长为2x,如图所示： .6-+8-234. .y=-x2+81(x>0). 令y=0得x=9,令y<0得x>9,令y‘>0得0<x<9 ,.函数在(0.9)上单调递增，在(9.+）上单调递减. ,当x=9时，函数取得最大值.故选C. 2.D如图所示，设圆雏形漏斗底面半径为rm,高 连接OD,作DP⊥BC,则梯形的高DP=√R-,记梯形的 为hm,则h2+2=20,解得r=√400-，所 面积为S,则有 S-2B+2,h=(R+)√R-F(0<x<R) 以漏斗容积V=号㎡h=号·(400-)h= 2 S=R-xR+x)·x-R--2x 号(40h-)0<h<20). R-x R 令S=0.得x=受0<x<风). 所以r=3(400-3折) 由于函数在(0，)内连续可导，且只有一个导数为0的点， 所以r=0,得0，或=05（合去）。 问题中的面积的最大值显然行在，故当x=受时面积取得最大 当0<h<205时，>0，V单调递增：当205<h<20时， 3 值，最大面积为5-(R+√食-(3 y<0.V单调递减，所以当h=20,5m时.y最大 4 3 方法二：由图可得，连接O0,设∠DOC=0,如图所示， 故选D. 则梯形上底AD=2Rcs0,梯形面积为S, 3.C因为函数(x)=-:有两个不同的零点，所以方程 S=(2Rcos 0+2R)Rsin 0 -a=0有两个不同的实数根，令g()=三，因此函数 =(aos0+1)im60<0<7) g(x)=h的图象与函数y=a的图象有两个交点g(x)= S'=R'(2cos0+cos 0-1). 令9=0，得0=(0<8<受） 1-n,当x>e时，g(x)<0g(x)单调递减，当0<x<e时， x g(x)>0,g(x)单调递增，因此当x=e时，函数g(x)取得最 由于函数在(0，受）内连续可导，且只有一个导数为0的 大值，最大值为g(e)=e=,显然当x>1时，g()>0,当 e 145 0<x<1时g()<0,且g)=0.因此函数g()=的图 例3：C因为()=2+之2-4红，所以f'()=3+x 象如图所示（为方便观察，横轴与纵轴的单位长度不同），由4=(x-1)(3x+4), 图可知，当ae(0,）时，函数g(x)=的图象与函数y=a 4 令"()=0得=-3函=1， 的图象有两个交点，故选C 当x(-0,-号)u1,+)时，f”()>0,当x (-子时f()<0 放)的单渊递增区间为(-的，一含）和(1，+西)，单满 递诚区间为-号) 4.144设小正方形的边长为xcm,则盒子的容积为V=x(10- 2x)(16-2x),即V=4(-13x2+40x)(0<x<5),=4(3x2- 则当x=1时)取得极小值，且极小值为1)=一多 26x+40)=4(3x-20)(x-2). 故选C 令”=4(3x-20)(x-2)=0,得x=2.=9(不符合题意，舍 例4：(1)f(x)=3x2+2ax+bf'(1)=3+2a+b, 过曲线上P点的切线方程为y-f尺1)=(3+2a+b)(x-1). 去)，x=2是唯一极值点也就是最值点。 即y-(a+b+c+1)=(3+2a+b)(x-1), 所以，当x=2时，盒子容积的最大值为144cm 整理得，y=(3+2a+b)x-a+e-2 已知该切线方程为y=3x+1, 10 设CD⊥AB,垂足为E,DE的长为xkm 所以+2a+h=3即2+b=0, 由AB=0.6,AC=BC=0.5,得AE=EB=0.3. le-a-2=1, c-a=3. CE=/AC-AE=0.3-0.3=0.4. 因为y=f(x)在x=-2时有极值， CD=0.4-x 所以W'(-2)=0, 所以-4a+b=-12, AD=BD=√AE+DE r2a+b=0. ra=2. =w0.3+x=√0.09+x. 解方程组{c-a=3, 得b=-4 动力线总长1=AD+BD+CD L-4a+b=-12,le=5, =2√0.09+x2+0.4-x. 所以f代x)=x2+2x2-4x+5. 令=2· 2x (2)f'(x)=3x2+4x-4=(3x-2)(x+2). 2V009+p-1 (=0得=-2=号 -2x-/0.09+ -=0 当x∈[-3，-2]时/'(x)>0: √0.09+x 即2x-√0.09+x=0. 当e(-2,号)时f"()<0: 箭得：=语（C0 当xe(号小时>0 当<r<0:当>得r>0 所以x)的单调递增区间为-3，-2)和（号： 1在=治时有最小价 单调递诚区同为(-2，号）】 章末整合提升 又-2)=13（号）-器-3）=8)=4， 所以代x)在区间[-3,1]上的最大值为13. 要点专项突破 例5：(1)f'(x)=3ax2+2br+c. 例1：y=3x-2已知当x=1时f(1)=1, /'()=x+h0++）得f"()=3. 由已知得f'(0)=f'(1)=0,得6=0， L3a+2b+c=0. re=0 根据点斜式可得：y-1=3(x-1)→y=3x-2, 解得 3 故答案为：y=3x-2. b=-20 例2：[1，+e)f'(x)=(x2+2x+a)e, f'（(x)=3a2-3ax 若函数f(x)=(a+x2)e在R上单调递增，则f'(x)≥0在 R上恒成立， 台)受02 即x2+2x+a≥0在R上恒成立， .a=-2,b=3 所以4=4-4u≤0白a≥1， fx）=-2x3+3x2 故a的取值范围是[1，+∞). (2)令八x)≤，即-2x+3x2-x≤0， 146# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［点评］　 由直线与曲线相切的定义知，直 线ｌ与曲线Ｃ相切于某点Ｐ是一个局部定义， 当ｌ与Ｃ切于点Ｐ时，不能保证ｌ与Ｃ无其他公 共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他 交点      ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ（－ １ ＜ ｘ ＜ １） （Ｃ ） Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值 ２．函数ｙ ＝ ２ｘ３ － ３ｘ２ － １２ｘ ＋ ５在［０，３］上的最大 值和最小值分别是 （Ｄ ） Ａ． ５，１５　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５，－ ４ Ｃ． ５，－ １６ Ｄ． ５，－ １５ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ｘ２ ＋ ａ （ａ ＞ ０）在［１，＋ ∞）上 的最大值为槡３３ ，则ａ的值为 （Ａ ） Ａ．槡３ － １ Ｂ． ３４ Ｃ． ４３ Ｄ．槡３ ＋ １ ４．若函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ４ ＋ ２ｘ２ ＋ ３，则ｆ（ｘ）（Ｂ ） Ａ．最大值为４，最小值为－ ４ Ｂ．最大值为４，无最小值 Ｃ．最小值为－ ４，无最大值 Ｄ．既无最大值，也无最小值 ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｘ － ａ，若ｆ（ｘ）在［０， π］上的最大值为－ １，则实数ａ的值是１　 　 ． 请同学们认真完成练案［１８                        ］ ５． ３． ３　 利用导数解决与函数有关的问题 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用． ２．能利用导数解决简单的实际问题． ３．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题． 学法解读 １．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的 单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．（逻辑推理、数学运算） ２．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．（逻辑推理、数学运算） ３．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．（直观想象、数学运算） ４．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．（数学建模、 数学运算） !') ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # /012%345 题型探究 题型一 利用导数研究函数的零点个数 １．给定函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ｘ． （１）判断函数ｆ（ｘ）的单调性，并求出ｆ（ｘ） 的值域； （２）画出函数ｆ（ｘ）的大致图象； （３）求出方程ｆ（ｘ）＝ ｍ（ｍ∈Ｒ）在区间 ［－ １，２］上的根的个数． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 利用导数研究函数的零点， 可利用导数判断函数的单调性，借助函数零点 存在定理判断；另外，也可将函数的零点问题转 化为函数图象的交点问题，利用数形结合来 解决． 对点训练? 设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ２ ２ － ｋｌｎ ｘ． （１）若ｋ∈Ｒ，求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若ｋ ＞ ０，讨论ｆ（ｘ）在（１，槡ｅ）上的零点 个数． 题型二 利用导数证明不等式 ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ １ － ｌｎ ｘｘ ，ｇ（ｘ）＝ ａｅ ｅｘ ＋ １ｘ － ｂｘ，若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）与曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）的一个公 共点是Ａ（１，１），且在点Ａ处的切线互相垂直． （１）求ａ，ｂ的值； （２）证明：当ｘ≥１时，ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ）≥ ２ｘ ． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 构造函数法证明不等式 一般地，待证不等式的两边都含有同一个 变量，可通过构造函数，转化为函数的最值问题 来证明，其一般步骤如下： １．移项，使不等式的一边为０，将另一边构 造为“左减右”或“右减左”的函数． ２．利用导函数研究所构造的函数的单 调性． ３．借助构造函数的单调性可证结论成立． 对点训练? 已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － ３ｘ － ４ｌｎ ｘ． （１）求ｆ（ｘ）的单调递增区间                                                                   ； !'* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）当０ ＜ ｘ≤３时，求证：ｘ２ ＋ ２ｘ － ３≤ ４ｘｌｎ ｘ． 题型三 实际生活中的优化问题 ３．有甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸 的岸边Ａ处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于 离河岸４０ ｋｍ的Ｂ处，乙厂到河岸的垂足Ｄ与Ａ 相距５０ ｋｍ，两厂要在此岸边合建一个供水站Ｃ， 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千 米３ａ元与５ａ元．问供水站Ｃ建在岸边何处才能 使水管费用最省． ［分析］　 适当选定变元，构造相应的函数 关系，通过求导的方法或其他方法求出函数的 最小值．可确定点Ｃ的位置． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 用导数解最值应用题，一般 应分为五个步骤： ①建立函数关系式ｙ ＝ ｆ（ｘ）；②求ｙ′；③令 ｙ′ ＝ ０，求出相应的ｘ０；④指出ｘ ＝ ｘ０处是最值点 的理由；⑤对题目所问作出回答．求实际问题中 的最值问题时，可以根据实际意义确定取得最 值时变量的取值． 对点训练? 如图是一个半径为２ ｋｍ， 圆心角为π３的扇形游览区的平面示意图，Ｃ是半 径ＯＢ上一点，Ｄ是圆弧ＡＢ上一点，且ＣＤ∥ ＯＡ．现在线段ＯＣ，线段ＣＤ及圆弧ＤＢ三段所示 位置设立广告位，经测算广告位出租收入在线 段ＯＣ处时为２ａ元／ ｋｍ，在线段ＣＤ及圆弧ＤＢ 处时均为ａ元／ ｋｍ．设∠ＡＯＤ ＝ ｘ ｒａｄ，广告位出 租的总收入为ｙ元． （１）求ｙ关于ｘ的函数解析式，并指出该函 数的定义域； （２）试问：ｘ为何值时，广告位出租的总收 入最大？并求出其最大值                                                                        ． !(! ! 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" # . # # # # # # # 题型四 几何中的最值问题 ４．请你设计一个包装盒．如图１所示，ＡＢＣＤ 是边长为６０ ｃｍ的正方形硬纸片，切去白色部 分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚 线折起，使得Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个点重合于图２中的 点Ｐ，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒． Ｅ， Ｆ两点在ＡＢ上，是被切去的一个等腰直角三角 形斜边的两个端点．设ＡＥ ＝ ＦＢ ＝ ｘ ｃｍ． （１）某广告商要求包装盒的侧面积Ｓ（ｃｍ２） 最大，试问ｘ应取何值？ （２）某厂商要求包装盒的容积Ｖ（ｃｍ３）最 大，试问ｘ应取何值？并求出此时包装盒的高 与底面边长的比值． 　 　 ［尝试作答               ］ 　 　 ［规律方法］　 解决面积、体积的最值问题， 要正确引入变量，将面积或体积表示为变量的 函数，结合实际问题的定义域，利用导数求解函 数的最值． 对点训练? 在半径为Ｒ的半圆内，以 直径为一底边作一个内接等腰梯形，如何使其 面积最大？最大面积是多少？ 易错警示 　 　 利用参变分离时忽视自变量的取值范围 ５．设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ３ｘ ＋ １，若对任意的 ｘ∈［－１，１］，都有ｆ（ｘ）≥０成立，则实数ａ的值为 ４　 　 　 ． ［错解］　 由ａｘ３ － ３ｘ ＋ １≥０，得ａｘ３≥３ｘ － １． 分离参数得ａ (≥ － １ｘ３ ＋ ３ ｘ )２ 恒成立， 令ｔ ＝ １ｘ，易求得三次函数ｇ（ｔ）＝ － ｔ ３ ＋３ｔ２在 ［－１，１］上的最大值为ｇ（０）＝０，∴ ａ≥０                                                                        ． !(" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ［误区警示］　 本题上述解法中有两处错 误．（１）是在参数分离的过程中，要在不等式两 边同时除以ｘ３才能实现参数的分离，若ｘ的取 值范围在正数区间上，可以避免讨论；若ｘ的取 值范围中包含零或负数，则需要进行分类讨论． （２）是换元后未求新元ｔ的范围，ｔ的范围 不再是［－ １，１］． 　 　 ［正解                     ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知某生产厂家的年利润ｙ（单位：万元）与年 产量ｘ（单位：万件）的函数关系式为ｙ ＝ － １３ ｘ ３ ＋８１ｘ －２３４，则使该生产厂家获取最大年利润的 年产量为 （　 ） Ａ． １３万件 Ｂ． １１万件 Ｃ． ９万件 Ｄ． ７万件 ２．要做一个圆锥形的漏斗，其母线长为２０ ｃｍ， 要使其容积最大，则其高应为 （Ｄ ） Ａ． ５槡３３ ｃｍ Ｂ． １０槡３ ３ ｃｍ Ｃ． ５槡３ ｃｍ Ｄ． ２０槡３３ ｃｍ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ － ａ有两个不同的零点， 则实数ａ的取值范围是 （Ｃ ） Ａ．（０，ｅ） Ｂ．（－ ∞，ｅ） (Ｃ． ０，１ )ｅ (Ｄ． － ∞， １ )ｅ ４．从边长为１０ ｃｍ ×１６ ｃｍ的矩形纸板的四角截 去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒 子，则盒子容积的最大值为１４４　 ｃｍ３ ． ５．如图所示，两个工厂Ａ，Ｂ相距０． ６ ｋｍ，变电站 Ｃ距Ａ，Ｂ都是０． ５ ｋｍ，计划铺设动力线，先由 Ｃ沿ＡＢ的中垂线至Ｄ，再与Ａ，Ｂ相连，Ｄ点 选在距ＡＢ 　 　 　 　 　 ｋｍ处时，动力线最短． 请同学们认真完成练案［１９                              ］ !(#