5.3.2 第2课时函数的最大(小)值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［点评］　 由于“ｆ ′（ｘ０）＝ ０”是“ｆ（ｘ０）为极 值”的必要不充分条件，因此由ｆ ′（ｘ０）＝ ０求得 ｍ，ｎ的值后，要验证在ｘ ＝ ｘ０ 左、右两侧导数值 的符号是否相反，才能确定是否真正在点ｘ０ 处 取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致 错解      ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·武汉高二检测）函数ｆ（ｘ）的定义域为 开区间（ａ，ｂ），其导函数ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）内的 图象如图所示，则函数ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内 极小值点的个数为 （Ａ ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ３２ ｘ ２ － ｌｎ ｘ的极值点为 （Ｂ ） Ａ． ０，１，－ １ Ｂ．槡３３ Ｃ． －槡３３ Ｄ．槡 ３ ３ ，－ 槡３ ３ ３．下列四个函数：①ｙ ＝ ｘ３；②ｙ ＝ ｘ２ ＋ １；③ｙ ＝ ｜ ｘ ｜； ④ｙ ＝２ｘ ．在ｘ ＝０处取得极小值的函数是（Ｂ ） Ａ．①②　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①③ ４．若函数ｙ ＝ － ｘ３ ＋ ６ｘ２ ＋ ｍ的极大值为１３，则 实数ｍ等于－ １９　 ． ５．如图是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图 象，对此图象，有如下结论： ①在区间（－ ２，１）内ｆ（ｘ）是增函数； ②在区间（１，３）内ｆ（ｘ）是减函数； ③ｘ ＝ ２时，ｆ（ｘ）取到极大值； ④在ｘ ＝ ３时，ｆ（ｘ）取到极小值． 其中正确的是　 　 　 　 （将你认为正确的序 号填在横线上）． 请同学们认真完成练案［１７                                  ］ 第２课时　 函数的最大（小）值 !"#$%&'( 课程标准 １．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． ２．体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 学法解读 １．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．（直观想象） ２．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．（数学抽象、逻辑推理） ３．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．（逻辑推理、数学建模、数学运算） !'% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　函数的最大值与最小值的再认识 　 　 １．基于极值概念的再认识 结合函数极值的定义，我们有如下结论： 一般地，如果在区间［ａ，ｂ］上函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最 大值和最小值，并且函数的最值必在极值点或 区间端点　 处取得． 想一想：上述结论还有怎样的内涵？ 提示：（１）给定函数的区间必须是闭区间， ｆ（ｘ）在开区间上虽然连续但不能保证有最大值 和最小值． 常见的有以下几种情况：如图（１）中的函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上有最大值而无最小值；如图 （２）中的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上有最小值而无 最大值；如图（３）中的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上 既无最大值又无最小值；如图（４）中的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）上既有最大值又有最小值． （２）函数ｆ（ｘ）的图象在区间［ａ，ｂ］上连续 不断是ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值和最小值的 充分不必要条件． 如函数ｆ（ｘ） ＝ ｜ ｘ ｜，－ １≤ｘ≤１且ｘ≠０， － １，ｘ{ ＝ ０ 的图象在［－ １，１］上 有间断点，但存在最大值和最小值． 练一练：如图所示，函数ｆ（ｘ）导函数的图象 是一条直线，则 （Ｃ ） Ａ．函数ｆ（ｘ）没有最大值也没有最小值 Ｂ．函数ｆ（ｘ）有最大值，没有最小值 Ｃ．函数ｆ（ｘ）没有最大值，有最小值 Ｄ．函数ｆ（ｘ）有最大值也有最小值 ２．求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上的最大 值与最小值的步骤： （１）求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上的 极值　 ； （２）将函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的各极值与端点处的函 数值ｆ（ａ），ｆ（ｂ）比较，其中　 　 　 　 是最大值， 　 　 　 　 是最小值． 　 　 想一想：函数的极值与最值有怎样的区别 与联系？ 提示：（１）极值是对某一点附近（局部）而 言，最值是对函数的整个定义区间［ａ，ｂ］而言． （２）在函数的定义区间［ａ，ｂ］内，极大（小） 值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有 一个． （３）函数ｆ（ｘ）的极值点不能是区间的端 点，而最值点可以是区间的端点． （４）对于在闭区间上图象连续不断的函数， 函数的最大（小）值必在极大（小）值点或区间 端点处取得． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　练一练：已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ － １，若在 区间［－ ３，２］上，ｆ（ｘ）的最大值为Ｍ，最小值为 Ｎ，则Ｍ － Ｎ ＝ （Ａ ） Ａ． ２０ Ｂ． １８ Ｃ． ３ Ｄ．                                                                   ０ !'& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 求函数的最值 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）（２０２３·临沂高二检测）ｙ ＝ ｘ３ ＋ ｘ２ － ｘ ＋ １在区间［－ ２，１］上的最小值为 （Ｃ ） Ａ． ２２２７　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． － １　 　 　 Ｄ． ４ （２）（２０２４·安庆高二检测）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ －３ｘ，ｘ∈Ｒ． ①求ｆ（ｘ）的单调区间； ②当ｘ∈［－槡３，３］时，求ｆ（ｘ）的最大值与 最小值． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 求函数最值的四个步骤：第 一步求函数的定义域；第二步求ｆ ′（ｘ），解方程 ｆ ′（ｘ）＝ ０；第三步列出关于ｘ，ｆ（ｘ），ｆ ′（ｘ）的变 化表；第四步求极值、端点值，确定最值． 特别警示：不要忽视将所求极值与区间端 点的函数值比较． 对点训练? （１）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６在区间［－ ４，４］上的最大值为 （Ａ ） Ａ． １１ Ｂ． － ７０ Ｃ． － １４ Ｄ． ２１ （２）（２０２４·白山高二检测）函数ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ 的最小值为 （Ａ ） Ａ． － ｅ －１ Ｂ． － ｅ Ｃ． ｅ２ Ｄ． － １０３ 题型二 求含参数的函数的最值 ２．已知ａ是实数，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２（ｘ － ａ）． （１）若ｆ ′（１）＝ ３，求ａ的值及曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在点（１，ｆ（１））处的切线方程； （２）求ｆ（ｘ）在区间［０，２］上的最大值． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．由于参数的取值范围不同 会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从 而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分 类讨论． ２．已知函数最值求参数，可先求出函数在 给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数 值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大 值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使 问题得以解决． 对点训练? 已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｅｘ（ｘ ＋ １）． （１）求函数ｆ（ｘ）的极值； （２）求函数ｆ（ｘ）在区间［ｔ，ｔ ＋ １］（ｔ ＞ － ３） 上的最小值ｇ（ｔ）                                                                   ． !'' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型三利用最值求解恒成立或有解问题 ３．已知ａ≠０，函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ｘ － ２）２（ｘ∈ Ｒ）．若对任意ｘ∈［－ ２，１］，不等式ｆ（ｘ）＜ ３２恒 成立，求ａ的取值范围． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 将证明或求解不等式问题转 化为研究一个函数的最值问题可以使问题解决 变得容易． 一般地，若不等式ａ≥ｆ（ｘ）恒成立，ａ的取 值范围是ａ≥［ｆ（ｘ）］ｍａｘ；若不等式ａ≤ｆ（ｘ）恒成 立，则ａ的取值范围是ａ≤［ｆ（ｘ）］ｍｉｎ ． 对点训练? 设函数ｆ（ｘ）＝ ２ａｘ － ｂｘ ＋ ｌｎ ｘ，若ｆ（ｘ）在ｘ ＝ １，ｘ ＝ １２处取得极值． （１）求ａ，ｂ的值； （２）在１４，[ ]１ 上存在ｘ０ 使得不等式ｆ（ｘ０） － ｃ≤０成立，求ｃ的取值范围． 易错警示 　 　 没有准确把握条件致误 ４．设ｌ为曲线Ｃ：ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ 在点（１，０）处的切 线． （１）求ｌ的方程； （２）证明：除切点（１，０）之外，曲线Ｃ在直 线ｌ的下方． ［错解］　 （１）设ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ ，则ｆ ′（ｘ）＝ １ － ｌｎ ｘ ｘ２ ．所以ｆ ′（１）＝ １．所以ｌ的方程为ｙ ＝ ｘ － １． （２）由（１）知ｙ ＝ ｘ － １是曲线ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ 在 点（１，０）处的切线，又当ｘ ＝ ２时，有ｆ（２）＝ ｌｎ ２２ ＜ １，故切线ｌ上的对应点（２，１）在曲线Ｃ上的 (点２，ｌｎ ２ )２ 的上方， ∴曲线Ｃ上除切点（１，０）外都在曲线ｌ 下方． ［误区警示］　 （１）正确；（２）中错误地认为 直线ｌ与曲线Ｃ相切，则Ｃ上所有点都在直线ｌ 的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二 次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数 的几何意义所致． 　 　 ［正解                                                                                 ］ !'( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［点评］　 由直线与曲线相切的定义知，直 线ｌ与曲线Ｃ相切于某点Ｐ是一个局部定义， 当ｌ与Ｃ切于点Ｐ时，不能保证ｌ与Ｃ无其他公 共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他 交点      ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ（－ １ ＜ ｘ ＜ １） （Ｃ ） Ａ．有最大值，但无最小值 Ｂ．有最大值，也有最小值 Ｃ．无最大值，也无最小值 Ｄ．无最大值，但有最小值 ２．函数ｙ ＝ ２ｘ３ － ３ｘ２ － １２ｘ ＋ ５在［０，３］上的最大 值和最小值分别是 （Ｄ ） Ａ． ５，１５　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５，－ ４ Ｃ． ５，－ １６ Ｄ． ５，－ １５ ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ｘ２ ＋ ａ （ａ ＞ ０）在［１，＋ ∞）上 的最大值为槡３３ ，则ａ的值为 （Ａ ） Ａ．槡３ － １ Ｂ． ３４ Ｃ． ４３ Ｄ．槡３ ＋ １ ４．若函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ４ ＋ ２ｘ２ ＋ ３，则ｆ（ｘ）（Ｂ ） Ａ．最大值为４，最小值为－ ４ Ｂ．最大值为４，无最小值 Ｃ．最小值为－ ４，无最大值 Ｄ．既无最大值，也无最小值 ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｘ － ａ，若ｆ（ｘ）在［０， π］上的最大值为－ １，则实数ａ的值是１　 　 ． 请同学们认真完成练案［１８                        ］ ５． ３． ３　 利用导数解决与函数有关的问题 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例进一步掌握导数在研究函数的单调性、极值、图象、零点等问题中的应用． ２．能利用导数解决简单的实际问题． ３．能利用导数研究函数的性质、解决简单的实际问题． 学法解读 １．通过分析实际问题，理解导数的实际意义，掌握导数的几何意义，能够利用导数讨论函数的 单调性、极值和最值问题，培养学生综合应用知识的能力．（逻辑推理、数学运算） ２．通过导数证明不等式以及求参数或取值范围等综合问题．（逻辑推理、数学运算） ３．能够利用导数判断函数零点的个数，由函数零点个数求参数．（直观想象、数学运算） ４．通过实际例子，体会导数在解决最优问题中的应用，培养学生解决实际问题的能力．（数学建模、 数学运算） !') 第2课时函数的最大（小）值 从而f八x)=0)=0. 必备知识·探新知 当0<号<2，即0<a<3时。 知识点1：极值点或区间端点 练一练： x)在[0，]上单调递减，在号，2小上单调递增。 C由函数图象可知，函数只有一个极小值点x=1,且函数 从而f代x)= r8-4a(0<a≤2)， 在此处取得最小值，没有最大值. l0(2<a<3) 2.(1)极值(2)最大的一个最小的一个 r8-4a(a≤2)， 练一练： 综上所述x)=={0(a>2) A由fx)=x3-3x-1得f'(x)=3x2-3,令f'(x)=0,解 对点训练2：(1)f'(x)=2e(x+2), 得x=±1， 由f'(x)>0,得x>-2:由f'(x)<0,得x<-2. 所以x=1,x=-1为函数代x)的极值点。 八x)在(-2，+0)上单调递增.在(-∞，-2)上单调 因为f-3)=-19-1)=1f1)=-3f2)=1, 递减. 所以在区间[-3,2]上，M=fx)=1,N=fx)m=-19, fx)的极小值为f代-2)=-2e-2,无极大值. 故M-N=20. (2)由(1)，知f(x)在(-2，+)上单调递增，在(-， 关键能力·攻重难 -2)上单调递诚. 例1：(1)Cy=3x2+2x-1=(3x-1)(x+1),令y=0解 t>-3,∴t+1>-2 得x=号或x=-1 ①当-3<t<-2时f(x)在[t,-2)上单调递减，在(-2， +1]上单调递增， 当x=-2时，y=-1:当x=-1时，y=2: x)m=fr-2)=-2e2 当=宁时，号当x=1时，=2，所以函数的最小值为 22 ②当≥-2时代x)在[1，t+1]上单调递增， f八x）e=f代）=2e'(t+1), -1,选C. 「-2e2,-3<t<-2 (2)①f'(x)=32-3=3(x+1)(x-1). g)=fx)={2c(u+1),≥-2. 当x<-1或x>1时∫(x)>0,当-1<x<1时，f'(x) 例3：方法一：fx)=m(2-4r+4)=ar23-4ar2+4ar, <0. f'(x)=3ax2-8m+4a=a(3x2-8.x+4)=a(3r-2)(x 所以(x)的单调递增区间为(-，-1)和(1，+)，递减-2)， 区间为(-1,1) ②由①知xe[-5,3]时x)的极大值为/-1)=2，代x) 当a>0时)在[-2，]上单调递增，在[子上单满 的极小值为1)=-2，又-3)=03)=18. 递诚 所以fx)的最大值为18fx)的最小值为-2 故f()的最大值为()=器。<32，即。<27 对点训川练1：(1)A函数fx)=x-3x2-9x+6的导数为 f'(x)=3x-6x-9 0<a<27. 令f'(x)=0得x=-1或x=3. 当a<0时，)在[-2，]上单调递减，在[子上单调 由f-4)=-70:-1)=11: f3)=-21:f(4)=-14: 递增，又-2)=-32a>f1)=a, 所以函数y=2-3x2-9x+6在区间[-4,4]上的最大值为 f(x)的最大值为f代-2)=-32a<32,即a>-1. .-1<a<0 11 (2)A因为y=xnx,定义域是(0，+%)， 综上可得，a的取值范围为(-1,0)U(0,27) 方法二：①当x=0时x)=0<32恒成立 所以y=1+山x,令y>0,解得：x>。 ②当x(0,1时)<32化为a<卫 令y<0,解得：0<x<L (x-2)加成立. xx-2)的最小值设g(x)=一32 a小于 32 (-2,则g'(x) 所以函数在(0，上递减，在（合+）上递增。 -32(3x-2) 故x=。时，函数取最小值-合 x2(x-2)3 当x变化时，g'(x),g(x)的变化情况如下表： 例2：(1)f'(x)=3x2-2a 因为f'(1)=3-2a=3,所以a=0 3 又当a=0时1)=1f'(1)=3. 所以曲线y=f八x)在点(1f(1))处的切线方程为3x-y-2 g'(x) 0 32 =0 g(x) 极小值 32 (2)令f()=0,解得=0,6=号 当行≤0，即a≤0时x)在[0,2]上单调递增， g()=号）=2na<2n. 从而fx)=f八2)=8-4a, ③当xe[-2,0)时x)<32化为a>2 (一2)面成立， 当号≥2，即a≥3时，x)在[0,2]上单调递诚。 32 ;: x(x-2)的最大值，设g(x)=32 a大于 (x-2,则g'(x) 142 =2222在a-2.0内相有8e)<0 故函数y=八x)=2x3-3x2-12x+5在[0,3]上的最值可能是 x取0,2,3时的函数值，而f八0)=5f(2)=-15(3)=-4, 六g(x)单调递减，g(x)m=g(-2)=-1,六.a>-1. 故最大值为5，最小值为-15. 综合①②③及条件a≠0可得a的取值范围为 (-1.0)U(0.27). 3自得2当>1球者 对点训练3：(1)因为)=2ar一冬+n a,则f'(x)<0f(x单调递减，若1<x<√a,则f'(x)>0, 所以-2a+号+ 九单遥指，故当=时西数有最大值一得解 因为)在x=1=处取得极值， 得a=子<1，不符合题意当a=1时，函数)在[1，+) 所以f')=0f'(分）=0 上单调递减，最大值为f代山=子，不符合题意.当0<a<1 即2a+6+1=0. 时，两数代到在[1，+)上单调递减，最大值为)=。古 2a+4b+2=0 =号解得。=厅-1，符合题意故a的值为-1放选 [a=-3 解得 4.Bf'(x)=-4x3+4x,由f'(x)=0得x=±1或x=0. 易知八-1)=1)=4为极大值也是最大值，故应选B 5.1由f(x)=sinx-2x-a, 所以所求a,6的值分洲为-子，一了 得/'(x)=c0sx-2<0, 所以函数f(x)在[0，π]上单调递诚， (2)在片，上存在使得不等式)-≤0成立，只 所以八x)的最大值是f0)=-a=-1,故a=1. 需cf代x)n, 5.3.3利用导数解决与函数有关的问题 关键能力·攻重难 =2x-3x+1.-2x-10(x-D 例1：(1)函数f代x)的定义域为R,f'(x)=e-1,令f'(x) 3x2 3x2 =0,解得x=0.当x变化时，f'(x),f(x)的变化情况如下表 所以当xe(什)时"()<0)是诚函数： 所示： (-,0) 0 (0,+c) 当xe(宁，时'()>0)是增函数： f'(x) 0 所以宁分)是)在[子]小上的最小值 fx) 所以f代x)在区间(-，0)上单调递减，在区间(0，+)上 雨2)=+n=-h2. 单调递增.当x=0时x)的极小值八0)=1，也是最小值，故函 所以c≥号-h2 数fx)的值域为[1，+) (2)由(1)可知函数的最小值为1，且-)=。+12) 所以e的取值范围为[宁-h2,+} =e2-20)=1,当x→+∞时x)一+0∫'(x)→+：当x 例4：(1)设x)-血，则斯'(x)=-血三 +-时，指数函数y=e越来越小，趋向于0，因此函数f(x)图 象上的点逐渐趋向于直线y=一x,根据上述信息，画出函数x) 所以f'(1)=1.所以1的方程为y=x-1. 的大致图象如图1所示. (2)令g(x)=x-1-一f(x),则除切点之外，曲线C在直线1 (3)截取函数fx)在区间[-1,2]上的图象如图2所示.由 的下方等价于g(x)>0(Vx>0,x≠1) x)满是g()=0,且g()=1-f(x)=-1+n 图象知，当0)<m≤-1).即当me（L.。+1时)与y 当0<x<1时，x2-1<0,lnx<0,所以g'(x)<0,故g(x)单 =m恰有两个不同的交点，即当me(1,。+小时，在区间 调递减： [-1,2]上恰有两个不同的实根：同理，当m=1或】+1<m≤ 当x>1时，x2-1>0,ln￥>0，所以g'(x)>0,故g(x)单调 递增。 e2-2时，方程fx)=m在区间[-1,2]上有唯一的实根：当m 所以，g(x)>g(1)=0(Hx>0,x≠1).所以除切点之外，曲 <1或m>e-2时，方程f八x)=m在区间[-1,2]上无实根， 线C在直线l的下尔 课堂检测·固双基 1.Cf'(x)=3x2-3=3(x2-1),:-1<x<1. x2<1,3(x2-1)<0,即f'(x)<0. f代x)在(-1,1)上为减函数，f代1)<代x)<f-1).放f八x)在 (-1,1)内既无最大值，也无最小值 2.D由y=2x3-3x2-12x+5得y=62-6x-12, 令y'=0得x=-1(舍去)或x=2. 图1 图2 143