5.3.2 第1课时函数的极值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

∴.fx)在(0.1)上为减函数，在(1.+∞)上为增函数 所以当x<-号或x>1时f'()>0,当-号<x<1时， x+a+(x-1) ②当a>0时f'(x）= a f'(x)<0 4>0-a+1<0. 所以()在(-0，-）和（山，+）上单调递增，在 a 由f'(x)>0.得x>1:由f'(x)<0,得0<x<1 -3上单调递减。 ∴.f尺x)在(0,1)上为减函数，在(1，+)上为增函数 所以代x)在x=1处取得极小值，该值为f1)=2 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1， 故选C +∞)上为增函数 关键能力·攻重难 例5：由已知得x>0,则函数八x)的定义域为(0，+e). 例1：(1)C因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有 f()=a+号-2'(2)=a+号 -1=0.得a= 4个函数值为0， =号+京是2-+2 "()>0,得0<<2或x>2,"()<0,得号<x<2 故函数x)的单调递增区间为(0，），(2，+x),单调递诚区 即f'(a)=0f'(b)=0f'(c)=0f(d)=0 间为分2引 xe(-,a),函数是增函数，xe(a,b),函数是减函数， 课堂检测·固双基 xe(b,c),函数是增函数，xe(c,d)函数是减函数，xe(d, L.B选项A中f'(x)>0且为常数函数：选项C中，f(x)>0,且 +),函数是增函数， f'(x)在(x1)内单调递增：选项D中f"(x)>0且f'(x)在(x, 可知极大值点为：x=a,x=c:极小值点为：x=b,x=d x,)内先增后威，故选B. 故选C 2Dfx)=(x-3)e, (2)由图象可知：当x=±3时，函数收极小值0：当x=0时， ∴.f'(x)=e+(x-3)c=(x-2)e, 函数取极小值3：当x=±1时，函数取极大值4 f'(x)>0得x>2选D. 注：这个两数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均 不存在 3C函数)=宁-血x的定义城为(0，+0)")= 对点训练1：(1)D若f'(）=0,则爪)是函数(x)的极 )<0,即x-<0,解得0<x<1,故选C 值，不正确，反例y=x中，f'(0)=0,但是x=0不是函数的极 值点，故A不正确：对于B,例如f(0)=0是f八x)=Ix的极小 4Df'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),/'(x)<0得-2<x<2, 值，但代x)=Ix在x=0处不可导，所以错误：对于C,函数f(x) ,2m≥-2. 可有多个极大值和极小值，所以错误对于D,根据可导函数判 由题意(2m,m+1)C(-2,2),所以{m+1≤2， 断是否存在极值的条件，可得若方程'(x)=0无实数解，则定 l2m<m+1, 义在R上的函数代x)无极值，所以正确. 解得-1≤m<L (2)①④对于①，当x∈(-，-2)时f'(x)<0f(x)单 5=f")h 调递域，当xe(-2,1)时.f'(x)>0f(x)单调递增，-2是函数 的极小值点，①正确：对于2，当xE(-2,1)时，f'(x)>0,f代x） f'(x)>0可知lnx<I,即0<x<e 单调递增，当xe(1,+)时f'(x）>0x)单调递增，故1不 故函数x)=n的单调递增区间为(0，e）),又(0,2)5(0，e). 是两数f尺x)的极值点，②错误：对于③，由题中图象可知f‘(0) >0,所以y=f孔x》在x=0处切线的斜率大于零，③错误：对于 、函数x)=山严在(0,2)上为单调递增函数 ④，由题中图象可知当xE(-2,2)时，f'(x)≥0.函数单调递 增，④正确，故正确的序号是①④ 5.3.2函数的极值与最大（小）值 例2：(1)函数f代x)的定义域为R:'(x)=3x2-12=3(x+ 2)(x-2). 第1课时函数的极值 令f'(x)=0,得x=-2或x=2 必备知识·探新知 当x变化时，f'(x)f代x)的变化情况如下表： 知识点1：f'(x)<0f'(x)>0f'(x)<0 (-g.-2)】 -2 -2.2 2 (2.+】 练一练： f'(x) + 0 0 A 知识点2：极大值极小值 fx) 极大值 4 极小值 练一练： 从表中可以看出，当x=一2时，函数有极大值， Cf(x)=2-x2-x+3的定义城为R, 且/-2)=(-2)3-12×(-2)=16. 所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 当x=2时，函数尺x)有极小值， -140 且2)=2-12×2=-16 由题意，f‘(x)=0应有根x=±1.故5a=3b. (2)f'(x)cos x(1 +cos x)+sin a(-sin x) 于是f'(x)=5ar(x2-1) cos x cos'x sin'x ①当a>0时，x变化时，y、y'的变化情况如下表： =cos x+cos'x-(1-cosx) -x,-1 -1 -1.0) 0 (0.1) (1,+ =2cos'x +cos x-I =(2cosx-1)(cosx+1). 0 令'(=0，得w=号或m- 极大值 无极值 极小值 当0<x<2时=号与= 由表可知： 4=f尺-1)=-a+b+c, 0=f(1)=a-b+c. 当x在区间(0,2π)内变化时∫'(x),(x)的变化情况如下表： 又5a=3b,解之得：a=3,b=5,c=2 ②当a<0时.同理可得a=-3,b=-5.c=2. 3 2 综上.a=3,b=5,c=2或a=-3.b=-5,c=2 例4：f'(x)=3x2+12mr+4m, (x) 0 0 + 极大值 极小值 依断整布代2.0 3 35 4 即12-24m+4n=0. 4 L-8+24m-8n+8m=0. 故当写时有极大值为3， 解得女 当x=受时)有极小值为-3马 当m=1,n=3时f'(x)=3x2+12x+12=3(x+2)2≥0， 4 所以爪x)在R上单调递增，无极值，不符合题意： (3)y'-2x+1)-2·24-21- 当m=2,n=9时，f'(x)=3x2+24x+36=3(x+2)(x+ (2+1)2 (x2+1)月 6),当-6<x<-2时f'(x)<0,当x>-2时f'(x)>0, 令y‘=0,解得x=1或x=一1.当x变化时，yy'的变化情 故八x)在x=一2处取得极值，符合题意 况如下表： 综上所述，m=2.n=9.所以m+4n=38. -1 -1,1) 1 (1,+的】 课堂检测·固双基 1.A由图象可知，满足f'(x)=0且导函数函数值左负右正的 0 0 只有一个，故f代x)在(a,b)内的极小值点只有一个. 极小值-3 极大值-1 2.B 由已知，得x)的定义城为(0，+∞)，了'(x)=3x- 当x=一1时，y有极小值，并且y小情=-3： 当x=1时，y有极大值，并且能大懒=一1 对点训练2：y=92-1,令y=0,解得=3本=一3 f'()>0当0<x<时f(<0.所以当=时)服 当x变化时，y和y的变化情况如下表： 33 得板小值从面九)的极小值点为：=停在：处取极 0 0 小值，无极大值点，选B 3.B①y=x在R上单调递增，无极值： 极大伯 2y=x+1在(-e,0)上单调递减，在(0.+∞)上单调递 单调递增 单调递减 曼小值了 单调递增 9 增，故②正确： ③y=1x在(-e,0)上单湖递诚，在(0，+∞)上单调递增， 因此，当x=- 11 3时，)有极大值，并且= 故③正确： ④y=2在R上单调递增，故④不正确.，选B 而当x=了时，y有极小值，并且= 7 4.-19y'=-3x2+12x=-3x(x-4). 例3：(1)Af'(x)=32+b. 令y=0得x1=0,2=4. 由题可知'(1)=01)=-2 x,y‘,y之间的关系如下表 ·02新得1e-8 -e,0) 0 (0.4) (4,+0 0 0 故选A (2)ABf'(x)=6x2+2ax+36 极小值 极大值 且在x=2处有极值， 由表可知=4)=32+m=13,m=-19 ∴.f'(2)=0,即24+4a+36=0. 解得a=-15 5.③”()的图象可见在(-，)和2,4)上f()< ÷∫'(x)=6r2-30x+36=6(x-2)(x-3)， f'(x)>0得x<2或x>3 0x)单调递减，在(-号.2）和(4，+)上"()>0x) 对点训练3：f'(x)=5r-3hr2=x2(5ar2-3b). 单调递增，÷只有③正确。 -141! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ５． ３． ２　 函数的极值与最大（小）值 第１课时　 函数的极值 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解函数的极值及相关的概念． ２．能利用导数求某些函数极值． 学法解读 １．了解函数极值的概念，会从几何直观角度理解函数的极值与导数的关系，并会灵活应用． （数学抽象、逻辑推理、直观想象） ２．掌握函数极值的判定及求法．（逻辑推理、数学运算） ３．掌握函数在某一点取得极值的条件．（数学抽象、逻辑推理） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　极小值、极大值的概念 极小值 极大值 定义 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点 ｘ ＝ ａ的函数值ｆ（ａ）比 它在点ｘ ＝ ａ附近其他 点的函数值都小， ｆ ′（ａ）＝ ０；而且在点ｘ ＝ ａ附近的左侧ｆ ′（ｘ） ＜０　 ，右侧ｆ ′（ｘ）＞ ０　 ， 就把点ａ 叫做函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极小值点， ｆ（ａ）叫做函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的极小值 若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点 ｘ ＝ ｂ的函数值ｆ（ｂ）比 它在点ｘ ＝ ｂ附近其 他点的函数值都大， ｆ ′（ｂ）＝ ０；而且在点 ｘ ＝ ｂ 附近的左侧 ｆ ′（ｘ） ＞ ０；右侧 ｆ ′（ｘ）＜０　 ，就把点ｂ 叫做函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极 大值点，ｆ（ｂ）叫做函数 ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极大值 图象 　 　 极小值点、极大值点统称为极值点，极小值 和极大值统称为极值． 想一想：导数值为０的点一定是函数的极 值点吗？ 提示：可导函数的极值点一定是导数值为０ 的点，但导数值为０的点不一定是该函数的极 值点，因此可导函数的导数值为０只是该点为 极值点的必要条件，其充要条件是该点处导数 值为０且该点附近两侧的导数值异号． 　 　 练一练：若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）可导，则“ｆ ′（ｘ）＝ ０有实根”是“ｆ（ｘ）有极值”的 （　 ） Ａ．必要不充分条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 函数极值的求解步骤 　 　 一般地，求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极值的步骤是： （１）求出函数的定义域及导数ｆ ′（ｘ）； （２）解方程ｆ ′（ｘ）＝ ０，得方程的根ｘ０（                                   可能 !'" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 不止一个）； （３）用方程ｆ ′（ｘ）＝ ０的根，顺次将函数的 定义域分成若干个开区间，可将ｘ，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ） 在每个区间内的变化情况列在同一个表格中； （４）由ｆ ′（ｘ）在各个开区间内的符号，判断 ｆ（ｘ）在ｆ ′（ｘ）＝ ０的各个根处的极值情况： ①如果在ｘ０ 附近的左侧ｆ ′（ｘ）＞ ０，右侧 ｆ ′（ｘ）＜ ０，那么ｆ（ｘ０）是极大值　 ； ②如果在ｘ０ 附近的左侧ｆ ′（ｘ）＜ ０，右侧 ｆ ′（ｘ）＞ ０，那么ｆ（ｘ０）是极小值　 ． 练一练：函数ｆ ( )ｘ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ ＋ ３的极小 值是 （Ｃ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． ２ Ｄ．             ３ /012%345 题型探究 题型一 函数极值概念的理解 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）函数ｆ（ｘ）的定义域为Ｒ，其导函数 ｆ ′（ｘ）的图象如图所示，则函数ｆ（ｘ） （Ｃ ） Ａ．无极大值点，有四个极小值点 Ｂ．有三个极大值点，两个极小值点 Ｃ．有两个极大值点，两个极小值点 Ｄ．有四个极大值点，无极小值点 （２）已知函数ｙ ＝ ｜ ｘ２ － ２ ｜ ｘ ｜ － ３ ｜的图象如 图所示，由图象指出该函数的极值． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 有关给出图象研究函数性质 的题目，要分清给的是ｆ（ｘ）的图象还是ｆ ′（ｘ）的 图象，若给的是ｆ（ｘ）的图象，应先找出ｆ（ｘ）的 单调区间及极（最）值点，如果给的是ｆ ′（ｘ）的 图象，应先找出ｆ ′（ｘ）的正负区间及由正变负还 是由负变正，然后结合题目特点分析求解． 对点训练? （１）下列说法正确的是 （Ｄ ） Ａ．若ｆ ′（ｘ０）＝ ０，则ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的 极值 Ｂ．若ｆ（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）的极值，则ｆ（ｘ）在 ｘ０处有导数 Ｃ．函数ｆ（ｘ）至多有一个极大值和一个极小值 Ｄ．定义在Ｒ上的可导函数ｆ（ｘ），若方程 ｆ ′（ｘ）＝ ０无实数解，则ｆ（ｘ）无极值 （２）（２０２４·北京八中高二检测）如图所示 是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象，给出 下列结论： ① － ２是函数ｆ（ｘ）的极值点； ②１是函数ｆ（ｘ）的极值点； ③ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ０处切线的斜率小于零； ④ｆ（ｘ）在区间（－ ２，２）上单调递增． 其中正确结论的序号是①④　 ．（写出所有 正确命题的序号                                                      ） !'# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 求函数的极值 ２．求下列函数的极值： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １２ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ（１ ＋ ｃｏｓ ｘ）（０ ＜ ｘ ＜ ２π）； （３）ｆ（ｘ）＝ ２ｘ ｘ２ ＋ １ － ２． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 ［规律方法］　 利用导数求函数极值的 步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求导数ｆ ′（ｘ）． （３）解方程ｆ ′（ｘ）＝ ０得方程的根． （４）利用方程ｆ ′（ｘ）＝０的根将定义域分成若 干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间 的符号． （５）确定函数的极值，如果ｆ ′（ｘ）的符号在 ｘ０处由正（负）变负（正），则ｆ（ｘ）在ｘ０ 处取得 极大（小）值． 对点训练? 求函数ｙ ＝ ３ｘ３ － ｘ ＋ １的 极值． 题型三 已知极值（点）求参数 ３．（１）若函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ｂｘ在ｘ ＝ １处有极 值－ ２，则ａ，ｂ的值分别为 （Ａ ） Ａ． １，－ ３ Ｂ． １，３ Ｃ． － １，３ Ｄ． － １，－ ３ （２）（多选题）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ ３６ｘ － ２４在ｘ ＝ ２处有极值，则该函数的一个单 调递增区间是 （　 ） Ａ．（－ ∞，２） Ｂ．（３，＋ ∞） Ｃ．（２，＋ ∞） Ｄ．（－ ∞，３） 　 　 ［规律方法］　 已知函数极值求参数的 方法： 对于已知可导函数的极值求参数的问题， 解题的切入点是极值存在的条件：极值点处的 导数值为０，极值点两侧的导数值异号． 对点训练? 已知ｆ（ｘ）＝ ａｘ５ － ｂｘ３ ＋ ｃ 在ｘ ＝ ± １处的极大值为４，极小值为０，试确定 ａ，ｂ，ｃ的值． 易错警示 　 　 忽视极值存在的条件致误 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ６ｍｘ２ ＋ ４ｎｘ ＋ ８ｍ２在 ｘ ＝ － ２处取得极值，且极值为０，求ｍ ＋ ４ｎ 的值． ［误区警示］　 可导函数的极值点一定是导 数为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的 必要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号． 　 　 ［正解                                                                               ］ !'$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［点评］　 由于“ｆ ′（ｘ０）＝ ０”是“ｆ（ｘ０）为极 值”的必要不充分条件，因此由ｆ ′（ｘ０）＝ ０求得 ｍ，ｎ的值后，要验证在ｘ ＝ ｘ０ 左、右两侧导数值 的符号是否相反，才能确定是否真正在点ｘ０ 处 取得极值，忽视了这一检验过程，就会导致 错解      ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（２０２４·武汉高二检测）函数ｆ（ｘ）的定义域为 开区间（ａ，ｂ），其导函数ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）内的 图象如图所示，则函数ｆ（ｘ）在开区间（ａ，ｂ）内 极小值点的个数为 （Ａ ） Ａ． １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ３２ ｘ ２ － ｌｎ ｘ的极值点为 （Ｂ ） Ａ． ０，１，－ １ Ｂ．槡３３ Ｃ． －槡３３ Ｄ．槡 ３ ３ ，－ 槡３ ３ ３．下列四个函数：①ｙ ＝ ｘ３；②ｙ ＝ ｘ２ ＋ １；③ｙ ＝ ｜ ｘ ｜； ④ｙ ＝２ｘ ．在ｘ ＝０处取得极小值的函数是（Ｂ ） Ａ．①②　 　 　 　 　 　 　 　 　 　Ｂ．②③ Ｃ．③④ Ｄ．①③ ４．若函数ｙ ＝ － ｘ３ ＋ ６ｘ２ ＋ ｍ的极大值为１３，则 实数ｍ等于－ １９　 ． ５．如图是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图 象，对此图象，有如下结论： ①在区间（－ ２，１）内ｆ（ｘ）是增函数； ②在区间（１，３）内ｆ（ｘ）是减函数； ③ｘ ＝ ２时，ｆ（ｘ）取到极大值； ④在ｘ ＝ ３时，ｆ（ｘ）取到极小值． 其中正确的是　 　 　 　 （将你认为正确的序 号填在横线上）． 请同学们认真完成练案［１７                                  ］ 第２课时　 函数的最大（小）值 !"#$%&'( 课程标准 １．能利用导数求给定闭区间上不超过三次的多项式函数的最大值、最小值． ２．体会导数与单调性、极值、最大（小）值的关系． 学法解读 １．借助函数图象，直观地理解函数的最大值和最小值的概念．（直观想象） ２．弄清函数最大值、最小值与极大值、极小值的区别与联系．（数学抽象、逻辑推理） ３．会用导数求在给定区间上函数的最大值、最小值．（逻辑推理、数学建模、数学运算） !'%