5.3.1 函数的单调性(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变 量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外 层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中 间变量变成自变量的函数． ５．函数ｙ ＝ ｘｅ１ －２ｘ的导数为ｙ′ ＝ （１ － ２ｘ） ｅ１ －２ｘ　 ． 　 　 ［错解］　 ｙ′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘ（ｅ１ －２ｘ）′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘｅ１ －２ｘ ＝（１ ＋ ｘ）ｅ１ －２ｘ ． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 错解中对ｅ１ －２ｘ求导数，没有按照 复合函数的求导法则进行，导致求导不完全                 ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（１ － ｃｏｓ ｘ）的导数是ｙ′ ＝ （Ｂ ） Ａ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ Ｂ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ ｘ － ｃｏｓ ２ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ Ｄ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ ２．若函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ４ ＋ ｂｘ２ ＋ ｃ满足ｆ ′（１）＝ ２，则 ｆ ′（－１）＝ （Ｂ ） Ａ． － １ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ３．已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（２ｘ ＋ １）－ ａｘ，且ｆ ′（２）＝ － １， 则ａ ＝ （Ａ ） Ａ． ７５ Ｂ． ６ ５ Ｃ． － ３５ Ｄ． － ４ ５ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ，ｆ ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数， 则ｆ ′（０）＝ １　 　 　 ． ５．（１）曲线ｆ（ｘ）＝ ３ｘ２槡＋ １在点（１，２）处的切线 方程为３ｘ － ２ｙ ＋ １ ＝ ０　 ． （２）ｙ ＝ １ １ － ｘ槡 ２ 的水平切线方程是ｙ ＝ １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                    ］ ５． ３　 导数在研究函数中的应用 ５． ３． １　 函数的单调性 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系． ２．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间． ３．能利用导数研究与函数单调性相关的问题． 学法解读 １．理解导数与函数的单调性的关系．（数学抽象、逻辑推理、直观想象） ２．掌握利用导数判断函数单调性的方法．（数学抽象、逻辑推理） ３．会用导数求函数的单调区间．（逻辑推理、数学运算） !&' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　函数的单调性与导数 　 　 １．函数的单调性与导数正负的关系 一般地，函数ｆ（ｘ）的单调性与导函数ｆ ′（ｘ） 的正负之间具有如下关系： 单调 递增 在某个区间（ａ，ｂ）上，如果　 　 　 　 ， 那么函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调 递增 单调 递减 在某个区间（ａ，ｂ）上，如果　 　 　 　 ， 那么函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ａ，ｂ）上单调 递减 　 　 想一想：如何从导数的几何意义理解上述 结论？ 提示：上述结论可以由导数的几何意义得 到：如果ｆ ′（ｘ）＞ ０，即函数ｆ（ｘ）图象的切线斜率 为正，则切线的倾斜角为锐角，曲线呈上升趋 势，即函数ｆ（ｘ）单调递增；如果ｆ ′（ｘ）＜ ０，即函 数ｆ（ｘ）图象的切线斜率为负，则切线的倾斜角 为钝角，曲线呈下降趋势，即函数ｆ（ｘ）单调 递减． 练一练：已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｆ ′( )ｘ 的图象如图所示，那么函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） （Ｄ ） Ａ．在（－ ∞，－ １）上单调递增 Ｂ．在（１，＋ ∞）上单调递减 Ｃ．在（－ ∞，２）上单调递增 Ｄ．在（２，＋ ∞）上单调递减 　 　 ２．函数值变化快慢与导数的关系 一般地，如果一个函数在某一范围内导数 的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得 较快　 ，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或 向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢　 ， 函数的图象就比较“平缓”． 想一想：函数值增长快慢与导数有怎样的 关系？ 提示：常见的对应情况如下表所示． ｆ（ｘ）的 图象 ｆ ′（ｘ） 变化规律 ｆ ′（ｘ）＞ ０ 且越来越大 ｆ ′（ｘ）＞ ０ 且越来越小 ｆ ′（ｘ）＜ ０ 且越来越小 ｆ ′（ｘ）＜ ０ 且越来越大 函数值变 化规律 函数值增加 得越来越快 函数值增加 得越来越慢 函数值减小 得越来越快 函数值减小 得越来越慢 　 　 练一练：已知函数ｙ ＝ ｘｆ ′（ｘ）的图象如图所 示（其中ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数），则下面 四个图象中，ｙ ＝ ｆ( )ｘ 的图象大致是 （Ｃ ） 　 　 　 　 　 　 　 Ａ　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ 　 　                                                               　 　 　 Ｃ　 　 　 　 　 　 　 　 Ｄ !&( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 导数与原函数图象的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）ｆ ′（ｘ）是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数，若ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象如图所示，则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图 象可能是 （Ｄ ） （２）设函数ｆ（ｘ）在定义域内可导，ｆ（ｘ）的图 象如图所示，则导函数ｆ ′（ｘ）的图象可能为 （Ｄ ） 　 　 ［规律方法］　 利用导函数ｆ ′（ｘ）的单调性 可以判断原函数ｆ（ｘ）图象的凸性：若ｆ ′（ｘ）＞ ０ 且单调递增，则原函数ｆ（ｘ）的图象上升且下凸； 若ｆ ′（ｘ）＞ ０且单调递减，则原函数ｆ（ｘ）的图象 上升且上凸；若ｆ ′（ｘ）＜ ０且单调递增，则原函 数ｆ（ｘ）的图象下降且下凸；若ｆ ′（ｘ）＜ ０且单调 递减，则原函数ｆ（ｘ）的图象下降且上凸． 对点训练? （１）已知ｆ ′（ｘ）是ｆ（ｘ）的 导函数，若ｆ ′（ｘ）的图象如图所示，则ｆ（ｘ）的图 象可能是 （Ｄ ） （２）已知函数ｙ ＝ ｘｆ ′（ｘ）的图象如图所示 （其中ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数），则ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的图象大致是下列选项中的 （Ｃ ） 题型二 利用导数求函数的单调区间 ２．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ ＋ １的单调递减区间 是 （Ｃ ） Ａ．（－ ∞，１） Ｂ．（１，＋ ∞） Ｃ．（－ ∞，－ １） Ｄ．（－ １，＋ ∞） （２）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － ２ｓｉｎ ｘ ＋ １在（０，π）上的 单调递增区间是 （Ｄ ） Ａ (． ０，π )６ Ｂ (． π ６， )π Ｃ (． ０，π )３ Ｄ (． π ３， )                                                                    π !&) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［规律方法］　 １．利用导数求函数ｆ（ｘ）的 单调区间的一般步骤为： （１）确定函数ｆ（ｘ）的定义域． （２）求导数ｆ ′（ｘ）． （３）在函数ｆ（ｘ）的定义域内解不等式 ｆ ′（ｘ）＞ ０和ｆ ′（ｘ）＜ ０． （４）根据（３）的结果确定函数ｆ（ｘ）的单调 区间． ２．若ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内可导，ｆ ′（ｘ）≥０或 ｆ ′（ｘ）≤０且ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内导数为０的点 仅有有限个，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内仍是单调函 数，例如：ｙ ＝ ｘ３在Ｒ上ｆ ′（ｘ）≥０，所以ｙ ＝ ｘ３在 Ｒ上单调递增． 对点训练? 求下列函数的单调区间： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ ＋ １； （２）ｆ（ｘ）＝ ２ｘ － ｌｎ ｘ； （３）ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ ＋ ｘ ＋ １，０ ＜ ｘ ＜ ２π； （４）ｆ（ｘ）＝ ａｘ １ － ｘ２ （ａ≠０）（－ １ ＜ ｘ ＜ １）． 题型三已知函数的单调性，确定参数的取值范围 ３．若函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － ａ２ ｘ ２ ＋（ａ － １）ｘ ＋ １ 在区间（１，４）上是减函数，在区间（６，＋ ∞）上 是增函数，试求实数ａ的取值范围． ［分析］　 根据函数的单调性与其导函数的 正负关系进行求解． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 根据已知函数的单调性求参 数的取值范围： 函数在区间［ａ，ｂ］上单调递增（减） ｆ ′（ｘ）≥０ （ｆ ′（ｘ）≤０）在区间［ａ，ｂ］上恒成立， 且在区间［ａ，ｂ］的任意子区间上ｆ ′（ｘ）不恒等 于零，然后利用分离参数法或函数性质求解恒 成立问题． 对点训练? （１）已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ａｘ － ｘ３，ｘ∈（０，１），ａ ＞ ０，若ｆ（ｘ）在（０，１）上是 增函数，则ａ的取值范围是　 　 　 　 　 　 ． （２）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｌｎ ｘ在（０，２）上不 单调，则ａ的取值范围是　 　 　 　 　 　 ． 题型四 求含参数的函数的单调区间 ４．（１）判断ｙ ＝ ａｘ３ －１（ａ∈Ｒ）在（－∞，＋∞） 上的单调性． （２）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － １ｘ － ａｌｎ ｘ（ａ∈Ｒ），讨 论ｆ（ｘ）的单调性． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 求含参数的函数的单调区间 的一般步骤 （１）求导数． （２）对参数进行分类讨论，每种情况下确定 函数在定义域内的单调性． （３）综合写出单调区间                                                                        ． !&* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 对点训练? 讨论函数ｆ（ｘ）＝ １２ ａｘ ２ ＋ ｘ －（ａ ＋ １）·ｌｎ ｘ（ａ≥０）的单调性． 易错警示 　 　 利用导数求函数单调区间时忽视定义域 致误 ５．设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ａｘ － ２ｌｎ ｘ，且ｆ ′（２）＝ ０，求函数ｆ（ｘ）的单调区间． ［误区警示］　 解答本题常常因为忽视ｆ（ｘ） 的定义域而得到错误的单调区间． 　 　 ［正解         ］ 　 　 ［点评］　 在利用导数判断函数的单调性和 求函数的单调区间时，必须首先考虑函数的定 义域，在定义域的范围之内解决问题                             ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）在区间（ｘ１，ｘ２）上是单调递 减函数，则函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间（ｘ１，ｘ２）上的 图象可以是 （Ｂ ） ２．函数ｆ（ｘ）＝（ｘ － ３）ｅｘ的单调递增区间是 （Ｄ ） Ａ．（－ ∞，２）　 　 　 　 　 　 Ｂ．（０，３） Ｃ．（１，４） Ｄ．（２，＋ ∞） ３．（２０２４·重庆高二检测）函数ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ２ － ｌｎ ｘ的单调递减区间为 （Ｃ ） Ａ．（－ １，１） Ｂ．（－ ∞，１） Ｃ．（０，１） Ｄ．（１，＋ ∞） ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １２ｘ，若ｆ（ｘ）在区间 （２ｍ，ｍ ＋ １）上单调递减，则实数ｍ的取值范 围是 （Ｄ ） Ａ．［－ １，１］ Ｂ．（－ １，１］ Ｃ．（－ １，１） Ｄ．［－ １，１） ５．证明：函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ 在区间（０，２）上是单调 递增函数． 请同学们认真完成练案［１６                                       ］ !'! y-=-6(x-4).即5+16-28=0 1 当-1<x<0时，'(x)>0,则了'(x)<0,则f(x)单调 递诚： 对点训练4：(1)54[f(3x2)]'=f'(3x2)(3x2) 当0<x<1时，f(x)<0,则f'(x)<0,则fx)单嗣递减： =6时'(3x2),f3x2)在x=1处的导数值为6×1×f'(3) 当x>1时，f'(x)>0,则f'(x)>0,则fx)单调递增： =54. 则x)单调递增区间为(-，-1)，(1，+)：单调递减 (2)证明：联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为区间为(-1,1)， (3,2).C,在第一象限的部分对应的函数解析式为y=爱-5， 故仅选项C符合要求 于是有y=[(x2-5)]'=-5 故选C 2R-5P-5 关键能力·攻重难 k=y1,3=2 3 例1：(1)D由导函数图象可知函数代x)在(-g.0)上增 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D G在第一象限的部分对应的函数解析式为y= (2)D由f八x)的图象可知，y=fx)在(-，0)上是增函 9 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-，0)上的图象 全部在x轴上方)，故排除A,C:从原函数图象上可以看出，在区 2x y'= 3/18- 间(0，x)上原函数是增函数f'(x)>0:在区间（无，）上原函 91 数是诚函数∫'(x)<0:在区间(x2,+)上原函数是增函数， 2 f‘(x)>0.故排除B.故选D. k2=y1=-3 对点训练1：(1)D从∫'(x)的图象可以看出，在区间 k1·名=-1，两切线互相垂直。 例5：(1-2x)e-2y=e-2+x(e-2)=e-+ (a,岩）内)单调递增：在区间，6内()单调递 xe-“(1-2x)'‘=e-2+xe-a·(-2)=(1-2x)e- 诚，即函数f()的图象在（口，“）内越来越睫蟑，在 课堂检测·固双基 L.By'=(sinx)'·(1-cosx)+sinx·(1-cosx)' (生艺)内越来越平缓由此可知，只有选项D符合 =cosx·(1-G0sx）+sinx·sinx (2)C当-2<x<-1时，f(x)<0,∴f'(x)>0, cos x cos'x sin'x=cos x cos 2x. .当-2<x<-1时，函数y=八x)单调递增： 2.B f(x)=ax'+bx +c...f'(x)=4ax'+2bx. 当-1<x<0时，f'(x)>0,∴f'(x)<0, 又f'(1)=2,.4a+2b=2, 当-1<x<0时，函数y=fx)单调递诚： ∴f'(-1)=-4a-2b=-2 当0<x<1时，f'(x)<0,f(x)<0, 2. 3Af'（x)=2x+行a .当0<x<1时，函数y=x)单调递诚： 所W2)=号-a=-1,解得a=子 7 当1<x<2时，f'(x)>0,∴f'(x)>0, .当1<x<2时，函数y=八x)单调递增，故选C 4.1函数fx)=e, 例2：(1)Cf'(x)=(x+1)e. 则f'(x)=e+e'=(l+x)e', 当x<-1时∫'(x)<0,函数单调递减 f'(0)=(1+0)e°=1. (2)D f(x)=x-2sinx+1,f'(x)=1-2cosx>0, 故答案为1， 可得号<x<, 5.(1)3x-2y+1=0 (2)y=1令y'=0,得x=0∴y=1. 放)在(0，)上的单调递增区间为（号，云） 5.3导数在研究函数中的应用 对点训练2：(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1) 令f"(x)>0,得x<-1或x>1 5.3.1函数的单调性 令f'(x)<0,得-1<x<1. 必备知识·探新知 fx)的增区间是(-，-1)，(1，+)：x)的减区间 是(-1,1) 知识点：l.f'(x)>0f'(x)<0 练一练： (2)由x>0,得函数定义域为(0，+) D根据导函数的图象可知，f(x)在区间(-，一1)， f'()=2-令2->0解得x>2:令2-<0，得 (2,+e)上f'(x)<0fx)单调递减， 在区间(-1,2)上f'(x)≥0，f(x)单调递增， 0<<子所以)的增区间是（分+）：诚区间是(0，） 所以D选项正确，ABC选项错误， (3)由f(x)=inx-csx+x+1,0<x<2π，知f'(x)= 故选D. cos x+sinx+l. 2.较快较慢 练一练： 于是f'()=1+2im(x+于}月 C由题给函数y='(x)的图象，可得 当x<-1时，对'(x)<0.则f'(x)>0,则f八x)单调递增： 令f"()=0,从而+）-县 138 得x==受 当x变化时∫'(x)(x)的变化情况如下表： 检验a= 时，符合题意 (0.r】 3知 2 :的取值范围为[子，+） '(】 0 0 方法三f'(x)=2a-3xf(x)在(0,1)上是增函数， f'(x)≥0在(0,1)上何成立 x 单调递增 +2 单调递减 3n 2 单调递增 又f'(x)为二次函数，且开口向下 f'(0)≥0. 因此，由上表知八x)的单满递增区间是(0，π)和 化0≥0.解得a≥2 a>0 单调递减区间是（一，》 (4'(x)=1-）-a(-2=a·(1+2 六。的取值范周是子，+一）》 (1-x2)7 (1-x2)2 2(分+）f')=a-= x∈(-1,1)，(1-x2)2>0,x2+1>0, x2+1 ①当a≤0时f'(x)<0时，即f代x)在(0,2)上单调递减，不 ->0 合题意， .当a>0时f'(x)>0:当a<0时f"(x)<0. ②当a>0时，令f"()=0,得x=日 ∴当a>0时x)的增区间为(-1,1)，无减区间： 当a<0时f(x)的减区间为(-1,1)，无增区间. )在(0,2)上不单调0<行<2。 例3：f"(x)=x-+a-1,由题意知f'(x)≤0在区间(14)上 恒成立，时"(x)0在区间(6，+)上恒成立 得a> f'(x)≤0得x2-x+a-1≤0. 例4：(1)y'=3a2,又x2≥0. xe(1,4).x-1e(0,3)a≥- ①当a>0时，y‘≥0，函数在R上单调递增： x-1 =x+1 ②当a<0时，y'≤0，函数在R上单调递减： x+1∈(2,5)而a≥x+1恒成立a≥5. ③当a=0时，y'=0,函数在R上没有单调性， 由f'(x)≥0得x2-ax+a-1≥0. x后(6，+0)， 2)的定义城为(0，+)”()=1+子-是 x-1>5, x-ax+1 asxtk 令g(x)=x2-ax+1,则方程x2-+1=0的判别式4= x+1∈(7，+为)，而a≤x+1恒成立， a2-4. a≤7. ①当1al≤2，即-2≤a≤2时，△≤0，f'(x)≥0，故f(x)在 经检验a=5和a=7都符合题意， (0,+e)上单调递增. a的取值范围是5≤a≤7. ②当<-2时，4>0，g(x)=0的两根都小于0，在(0， 对点训练3：()[子，+】 方法-：f'(x)=2a-3x2 +)上恒有∫'(x)>0,故f八x)在(0，+)上单调递增. 2a ③当a>2时.4>0，g(x)=0有两根为=”--4 2 令f'(x)>0,由a>0,x>0可解得0<x< 63-+后-4 )的递增区间是(o√ 2 当0<x<x1时f'(x)>0:当1<x<2时f'(x)<0:当 又：x)在(0,1)上是增函数， x>x,时f'(x)>0,故f八x)在(0，x),(名，+)上单调递增，在 o.0co√ (,1,x2)上单调递诚 综上，当a≤2时f(x)在(0，+)上单调递增，当a>2时， 厚≥1，脚≥是 )在(,(+三+小上单调递增，在 a的取值范围为子+云) /a-a-44+a-4上单调递诚 2 方法二：f'(x)=2a-3x2,f(x)在(0,1)上是增函数， 对点训练4：函数f代x)的定义域为(0，+)， ∴f"(x)≥0在(0,1)上恒成立 f'(x)=ax+1-a+1-am2+x-(a+1) 2a-3≥0，即a≥ ①当a=0时f'(x)=-1, 又*e(o.)…e(0》 x 由f'(x)>0,得x>1;由f'(x)<0,得0<x<1 -139 ∴.fx)在(0.1)上为减函数，在(1.+∞)上为增函数 所以当x<-号或x>1时f'()>0,当-号<x<1时， x+a+(x-1) ②当a>0时f'(x）= a f'(x)<0 4>0-a+1<0. 所以()在(-0，-）和（山，+）上单调递增，在 a 由f'(x)>0.得x>1:由f'(x)<0,得0<x<1 -3上单调递减。 ∴.f尺x)在(0,1)上为减函数，在(1，+)上为增函数 所以代x)在x=1处取得极小值，该值为f1)=2 综上所述，当a≥0时，f(x)在(0,1)上为减函数，在(1， 故选C +∞)上为增函数 关键能力·攻重难 例5：由已知得x>0,则函数八x)的定义域为(0，+e). 例1：(1)C因为导函数的图象如图，可知导函数图象中有 f()=a+号-2'(2)=a+号 -1=0.得a= 4个函数值为0， =号+京是2-+2 "()>0,得0<<2或x>2,"()<0,得号<x<2 故函数x)的单调递增区间为(0，），(2，+x),单调递诚区 即f'(a)=0f'(b)=0f'(c)=0f(d)=0 间为分2引 xe(-,a),函数是增函数，xe(a,b),函数是减函数， 课堂检测·固双基 xe(b,c),函数是增函数，xe(c,d)函数是减函数，xe(d, L.B选项A中f'(x)>0且为常数函数：选项C中，f(x)>0,且 +),函数是增函数， f'(x)在(x1)内单调递增：选项D中f"(x)>0且f'(x)在(x, 可知极大值点为：x=a,x=c:极小值点为：x=b,x=d x,)内先增后威，故选B. 故选C 2Dfx)=(x-3)e, (2)由图象可知：当x=±3时，函数收极小值0：当x=0时， ∴.f'(x)=e+(x-3)c=(x-2)e, 函数取极小值3：当x=±1时，函数取极大值4 f'(x)>0得x>2选D. 注：这个两数有五个极值点，其中三个极小值点处的导数均 不存在 3C函数)=宁-血x的定义城为(0，+0)")= 对点训练1：(1)D若f'(）=0,则爪)是函数(x)的极 )<0,即x-<0,解得0<x<1,故选C 值，不正确，反例y=x中，f'(0)=0,但是x=0不是函数的极 值点，故A不正确：对于B,例如f(0)=0是f八x)=Ix的极小 4Df'(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),/'(x)<0得-2<x<2, 值，但代x)=Ix在x=0处不可导，所以错误：对于C,函数f(x) ,2m≥-2. 可有多个极大值和极小值，所以错误对于D,根据可导函数判 由题意(2m,m+1)C(-2,2),所以{m+1≤2， 断是否存在极值的条件，可得若方程'(x)=0无实数解，则定 l2m<m+1, 义在R上的函数代x)无极值，所以正确. 解得-1≤m<L (2)①④对于①，当x∈(-，-2)时f'(x)<0f(x)单 5=f")h 调递域，当xe(-2,1)时.f'(x)>0f(x)单调递增，-2是函数 的极小值点，①正确：对于2，当xE(-2,1)时，f'(x)>0,f代x） f'(x)>0可知lnx<I,即0<x<e 单调递增，当xe(1,+)时f'(x）>0x)单调递增，故1不 故函数x)=n的单调递增区间为(0，e）),又(0,2)5(0，e). 是两数f尺x)的极值点，②错误：对于③，由题中图象可知f‘(0) >0,所以y=f孔x》在x=0处切线的斜率大于零，③错误：对于 、函数x)=山严在(0,2)上为单调递增函数 ④，由题中图象可知当xE(-2,2)时，f'(x)≥0.函数单调递 增，④正确，故正确的序号是①④ 5.3.2函数的极值与最大（小）值 例2：(1)函数f代x)的定义域为R:'(x)=3x2-12=3(x+ 2)(x-2). 第1课时函数的极值 令f'(x)=0,得x=-2或x=2 必备知识·探新知 当x变化时，f'(x)f代x)的变化情况如下表： 知识点1：f'(x)<0f'(x)>0f'(x)<0 (-g.-2)】 -2 -2.2 2 (2.+】 练一练： f'(x) + 0 0 A 知识点2：极大值极小值 fx) 极大值 4 极小值 练一练： 从表中可以看出，当x=一2时，函数有极大值， Cf(x)=2-x2-x+3的定义城为R, 且/-2)=(-2)3-12×(-2)=16. 所以f'(x)=3x2-2x-1=(3x+1)(x-1), 当x=2时，函数尺x)有极小值， -140