5.2 导数的运算(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

=2f'(无). 得所求直线方程为y-=一之(x-6》 对点训练3：(1)Cim 知-2A)-八a）:-2×i四 Ar 因为点(2,0)在切线上，所以=2- -2)-八l。-2 -2△x 又点P()在曲线y=上，所以%=1 4m-24-2.. 联立可解得xa=1,。=1, -2△x 故所求直线方程为x+y-2=0 f(）=m+A）im-2）-八）课堂检测·周双基 △r -24x =1. 故选C △r (2)令-k=△x,k-0,÷4x0. 所以im」 则原武可变形为5+九 4-3 -2△x 2.Cf'《0)=lm0+4°-30+4)-+3x0 八x和+△x)-f八n) =mA-34=m(4x-3)=-3. =-()=-×2=-1 3.Ck=m2+4)-2 Ax 例3：(1)将x=2代入曲线C的方程得y=4, 2+△x .切点P(2,4). 1a== 吉2*ay+×2- =m1244-(-2) Ar =+4-l =m[4+2·4r+3(ax)门=4 4.B依题意有im n+△x)-八）=11，所以 k=y12=4. -A)-八）.-i 八x-4x)-八) .曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), △x -△r 即4x-y-4=0. y=4x-4, +△)-f八。-1l.故选B. =-lim- Ar (2)由{ 4可得(x-2)2(x+4)=0. =3+3 △y=f八x6+Ar)-f无) 解得x1=2,2=-4 =(3x。+34x-1)2-(3x-1)2 从而求得公共点为P(2,4)或M(-4,-20). =18x4r+9(△x)2-64x, 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点， 对点训练4：y=了， 1 Ay =18x0+9Ax-6. 3+aP-3 --1-60分 △x 5.2导数的运算 far+(a2+3(ax = 4 5.2.1基本初等函数的导数 =++g(a)门=. 必备知识·探新知 .y12=22=4. 知识点2：a- cos x sin x e1 x ∴点P处切线的斜率为4. 练一练： (2):由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为 1,C对于A,(sinx)'=osx,故A错误： (2.号）在点P处的切线方程是y-弩=4(g-2).即12- 对于B,(3)'=3n3,故B错误： 3y-16=0 对于C.(g:y=2故C正确： 例4：经验证点(2.0)不在曲线)=的图象上.则设切点为 对于D(=一，故D错讽 P(xn:yo). 11 故选C 和+△r 由y八w=画4 2D因为号）=m号为常数，所以[（号川=0 -△x 故选D. =Ax·(+4)·不 关键能力·攻重难 -1 -135 @y=…派=y=(y=号=号 ++2 1 1 ③y'=(3*)'=3n3. 2 ④y'=(wgsx)'=in5 1 例4：易知P点在曲线y=x上，当P点为切点时，由上面解 法知切线方程为12x-y-16=0. (2)C(cosx)'=-sinx,A不正确： 当P点不是切点时，设切点为A(,),由定义可求得切 (sinx)‘=cosx,∴B不正确； 线的斜率为k=3x: (雨'=1 -8 ?4在曲线上心为=6心。一23戏， D不正确故选C 六后-3x话+4=0，…(+1)（无-2）2=0，=-1或 对点训练1：(1)B:fx)=sinx, =2(含去)， ∴f'(x)=cos, ∴%=-1，k=3.此时切线方程y+1=3(x+1),即3x-y+ ()m君要放选取 2=0. 故经过点P的曲线的切线有两条，方程分别为12x-y-16 (2)Bf'(x)=2x, =0和3x-y+2=0. f'(x)=2x=2, 课堂检测·固双基 解得=1. 1.B2中(x1)'=-x2 故选B ④中(c0s2)‘=0. 例2=(F=(=子。 选B i2.因为y=f八x)=lnx+2, =子x8寺=号x2= 所以)= ∴质点P在1=8时的瞬时速度为时m~ 设切点坐标为(xx+a), 对点训练2：由g=cost得g=-int, 所以了()==L=1 所以g'(5)=-im5,g'(7)=-sin7, 所以f八n)=ln1+2=2=+a=1+a, 即第5秒，第7秒时的电流强度分别是-n5安， 所以a=1. -in7安. 故选C 例3：(1)B由于y=在，所以y= 在于是叶1，所B设切友K6)式1.得气： 3 ,即过 以画线在点（子，）处的切线的斜率等于1，切线方程为4红-4 切点存在两条切线.故选B +1=0. 4.3-n3 f'(x)=3r,6(x)=n3 (2)x+y-2=0由题意知，y=e.曲线在点(0.1)处的斜 率==1，设P心ma)=>0)的号数为y=-中x r-gw)=3nd 5.1 f(x)=xg(x)=Inx, 0),曲线y=(x>0)在点P处的切线斜率k=-二(m>0). f"%)=2g6)=且s>0()-g)=2-=l, 由题意知k,k=-L,所以k=-1,由此易得m=1,n=1,即点P 的坐标为(1,1)，=-1.点P处的切线方程为x+y-2=0. 即22--1=0，解得=1或x=-子（含去）。 故x=1. 对点训练3：(1)y=-号x+知+1 6 *2 y'=(c0sx)'= 5.2.2导数的四则运算法则 sin x. 3 切线斜率k=一加3=-分 5.2.3简单复合函数的导数 切线方程为一子一引：-号)即切线方程为y 必备知识·探新知 知识点1：f'(x)±g'(x)f'(x)g(x)+八x)g'(x) ++ 练一练： (2)由图形的直观性可知，当P到直线：x+y+2=0的距 AGD对于选项A(=业 (e')2 离最小时，过点P的切线与直线1是互相平行的，那么它们的斜 二A正确： 率是相等的，即切线的斜率也等于-1： 对于选项B,(xcn5x)'=(x)'c05x+x2(em5x)'=2 xcos x -xsin x,.B错误： 设P(0,%),则=y10=2=-1,=- 2 对于选项C,(3)'=3n3,C正确： (-之)由点到直线的距离公式知点P到1的距离为d 对于选项D(+引4-9是D -136 正确.故选ACD. 知识点2：(2)y·u,'y对uu对x u=4+则1=m,则(=·=-4n= 练一练： (1)引人中间变量M=3x+1,则函数是由y=m与4=3x+ -4n4+) 1复合而成的. 放=2n(4+) (2)引人中间变量u=simx,则函数是y=e"与u=sinx复 合而成的. 例3：(1)B设曲线y=nx在点(，%)处的切线与直线 x-y-2=0平行. (3)引入中间变量4=2x-1(x>2）则函数是由y=m“ y'=Inx+l, 与“=2x-1(x>号)）复合面成的， y1m=ln而+1=1， 解得=1， 关键能力·攻重难 六%=0，即切点坐标为(1,0). 例1：()A了()=(+)=+() 切点(1,0)到直线x-y-2=0的距离为4=1-0-24 /1+1 =1- 2 (2)Dy=(x'sin x)'=(x2)'·sinx+x2·(inx)'= 即曲线y=xnx上的点到直线x一y-2=0的最短距离 2xsin x+xcos x. 3)c(= -(cosx)'-cosx·x (2)D由y'=3x2-3,易知y'≥-5，即tana≥-3 =-xsin x-cos x 对点训练3：D净化费用的瞬时变化率就是净化费用函数 =xsin x+cos 的号数，因为c()=09(0<<10).所以() 对点训练1：(1)D因为f'(x)=inx+xc%x-in= 4000 4000 100-x (100-*)7 xsx,所以W(）=0,故选D 4000 (2)Afx)=e2+x·lnx. 又因为<(90）严(0-90=0，所以净化到苑净度为 ∴f'(x)=lnx+1,∴f'(1)=ln1+1=1. 90%时所需净化费用的瞬时变化率是40元/元 (3)①y'=(x3-x2-x+3)=(x3)'-(x2)'-x'+3=3x2 -2x-1. 例4：(1)函数y=()=3n(贵+）是由函数八：) ②y'=3x2e'+xe 例2：(1)设y=2,u=-2x+1,则x=u=2m·(-2) 3·m:和函数：=g()）=骨+爱复合面成的，其中：是中间 变量. =-4(-2x+1)=8x-4. (2)设y=e”,4=x-1,则y=X·=e“·1=e-1 由导数公式表可得/'（e)=3s,p'(0=受 (3)设y=lg,4=2x+1,则y=·“=n2 2 再由复合函数求导法则得=(=f"(ep)=3a:·哥 2 (2x+1)ln2 +》 (4)设y=2in,u=3x-石.则公=父=2mu×3= 将1=ls代人0，得)=子号=受（h 6m3x-看} 它表示当1=18时，潮水的高度上升迷度为h (5)设y=n,4=1-2x,则y=（u)·(1-2x)'= -7x(-2)=1-2生 (2y=1三=(x2-3x)寸 -3x 对点训练2：(1)y=(1-2x2)立，设y=u之，1=1-2x2, y=-3)-3 则=x=(）(-4)=-1-2), --3w).(2-3 （-4x)=2x(1-2x2) (2)u=sin x,y=e",y'=e",u'=cos x, 曲线y=。在点(4，)处的切线斜率为k √-3x y=e·cosx y4=- 4-3x4).(2x4-3)=-G (3)由题意得y= ÷曲线在点(4，之)处的切线方程为 -137 5 y-2=i6x-4),即5x+16r-28=0. 当-1<x<0时，对'(x)>0,则f‘(x)<0,则f(x)单调 递诚： 对点训练4：(1)54，[f3x2)]'=f'(3x2)(3x2) 当0<x<1时，f‘(x)<0.则f'(x)<0,则f八x》单调递减： =6g时'(3x),3x)在x=1处的导数值为6×1×f'(3) 当x>1时，可'(x)>0,则f'(x)>0,则f八x)单调递增： =54. 则八x)单调递增区间为(-，-1)，(1，+)：单调递减 (2)证明：联立两曲线的方程，求得它们在第一象限交点为 区间为(-1,1) (3,2).C,在第一象限的部分对应的函数解析式为y=√？-5， 故仅选项C符合要求 于是有y=[(x2-5)]'=-5) 故选C 2-5-5 关键能力·攻重难 k1=y1=2 3 例1：(1)D由导函数图象可知函数f八x)在(-x,0)上增 函数，排除A,C,在(0,2)上为减函数，排除B,故选D. G,在第一象限的部分对应的函数解析式为y=J8- 42 (2)D由八x)的图象可知，y=(x)在(-，0)上是增函 数，因此在x<0时，有f'(x)>0(即f'(x)在(-，0)上的图象 全部在x轴上方)，故排除A,C:从原函数图象上可以看出，在区 2x 2V8 y= 3v√18- 间(0，，)上原函数是增函数∫'(x)>0:在区间(x,)上原函 9 数是减函数∫'(x)<0:在区间（无2，+）上原函数是增函数， 61号 (x)>0.故排除B.故选D 对点训练1：(1)D从f‘(x)的图象可以看出，在区间 k,·名=一1，两切线互相垂直 例5：(1-2x)c-ay=e-a+x(3-)=e-+ (a,”生）内(x)单调递增：在区同（生内了(）单调递 xe'-“(1-2x)'=ea+xea·（-2)=(1-2x)ea 减，即函数了()的图象在(，”生)内越来越睫蝻，在 课堂检测·固双基 1.By'=(inx)'·(1-csx）+sinx·(1-cosx) (生艺，6)内越米越平缓.由此可知，只有选项D符合 =cosx·(1-cosx）+sinx·sinx (2)C当-2<x<-1时，f'(x)<0,f'(x)>0, cos x cos'sin'x cos x cos 2x. ∴当-2<x<-1时，函数y=f八x)单调递增： 2.B fx)=ar+bx+c...f'(x)=4ax +2bx. 当-1<x<0时，f'(x)>0.f'(x)<0. 又f'(1)=2.,4m+2b=2, ∴当-1<x<0时，函数y=八x)单调递减： ∴f'(-1)=-4n-2h=-2. 当0<x<1时，对'(x)<0,∴'(x)<0, 2 3.Af'(x)=2x+ ∴当0<x<1时，函数y=x)单调递诚： 当1<x<2时，f'(x)>0f'(x)>0, 所以W'(2=号-4=-1.解得a=子 ∴当1<x<2时，函数y=尺x)单调递增，故选C 4.1函数f八x)=e, 例2：(1)Cf'(x)=(x+1)e 则f'(x)=e+e=(I+x)e', 当x<-1时∫‘(x)<0,函数单调递减 f'(0)=(1+0)e°=1. (2)Df八x)=x-2sinx+1,令f'(x)=1-2cosx>0, 故答案为1. 可得号<x<π， 5.(1)3x-2y+1=0 (2)y=1令y=0,得x=0,∴.y=1. 故)在(0，)上的单调递增区间为（号，π 5.3导数在研究函数中的应用 对点训练2：(1)f'(x)=3x2-3=3(x+1)(x-1), 令f'(x)>0,得x<-1或x>1, 5.3.1函数的单调性 令f'(x)<0,得-1<x<1. ∴.八x)的增区间是(-，-1)，(1，+)：八x)的减区间 必备知识·探新知 知识点：l.f"(x)>0f'(x)<0 是(-1,1. 练一练： (2)由x>0,得函数定义域为(0，+). D根据导函数的图象可知，f(x)在区间(-，-1)， "()=2-士令2-士>0.解得x>7:令2-士<0，得 (2,+)上f‘(x)<0,x)单调递减， 在区间(-1,2)上∫'(x)≥0(x)单调递增， 0<<子所以x)的增区间是（分+）减区向是(0，） 所以D选项正确，ABC选项错误 (3)由f(x）=inx-sx+x+1,0<x<2π，知f'(x) 故选D cos x +sin x+1. 2.较快较慢 练一练： 于是f'()=1+2im(x+4} C由题给函数y=对"(x)的图象，可得 当x<-1时，'(x)<0,则f'(x)>0,则八x)单调递增： 令f'()=0,从而m(+）=-受。 -138! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［点评］　 错解中没有注意到点（２，０）根本 不在曲线ｙ ＝ １ｘ上，直接求出函数在ｘ ＝ ２处的 导数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这 种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果 点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率 才等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲 线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义 求解         ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ １０，则ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ３２处的瞬 时变化率是 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． － ３ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ２．一物体的运动方程为ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ３ｘ，则ｆ ′（０） ＝ （Ｃ ） Ａ． Δｘ － ３ Ｂ．（Δｘ）２ － ３Δｘ Ｃ． － ３ Ｄ． ０ ３．（２０２４·深圳高二检测）曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ１ － ｘ 在点（２，－ ２）处的切线的斜率ｋ为 （Ｃ ） Ａ． １３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １ Ｄ． － ５３ ４．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１１，则 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ － Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． １１ Ｂ． － １１ Ｃ． １１１ Ｄ． － １ １１ ５．函数ｙ ＝（３ｘ － １）２在ｘ ＝ ｘ０处的导数为０，则 ｘ０ ＝ 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１３                      ］ ５． ２　 导数的运算 ５． ２． １　 基本初等函数的导数 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解利用定义求函数的导数． ２．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数． ３．会解决与曲线的切线相关的问题． 学法解读 １．能根据定义求函数ｙ ＝ ｃ（ｃ为常数），ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ １ｘ，ｙ ＝槡ｘ的导数．（数学抽象、数学运 算） ２．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．（数学抽象、数学运算） !%* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　几个常用函数的导数 函数 导数 ｆ（ｘ）＝ ｃ ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｆ（ｘ）＝ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ １ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ｆ ′（ｘ）＝ ２ｘ ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ｆ（ｘ）＝ １ｘ ｆ ′（ｘ）＝ － １ ｘ２ ｆ（ｘ）＝槡ｘ ｆ ′（ｘ）＝ １ ２槡ｘ 基本初等函数的导数公式 函数 导数 ｆ（ｘ）＝ ｃ（ｃ为常数） ｆ ′（ｘ）＝ ０ ｆ（ｘ）＝ ｘα（α∈Ｑ，且α≠０） ｆ ′（ｘ）＝ αｘα － １　 ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ　 ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ － ｓｉｎ ｘ　 ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ａ ＞ ０，且ａ≠１） ｆ ′（ｘ）＝ ａｘ ｌｎ ａ ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ　 ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇａｘ（ａ ＞０，且ａ≠１） ｆ ′（ｘ）＝ １ｘｌｎ ａ ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ｆ ′（ｘ）＝ 　 　 　 　 　 想一想：ｆ ′（ｘ０）与［ｆ（ｘ０）］′有什么不同？ 　 　 提示：ｆ ′（ｘ０）表示函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处的 导数，是一个常数，而［ｆ（ｘ０）］′ ＝ ０（当ｘ０ 确定 时，ｆ（ｘ０）是一个常数，其导数为０）． 　 　 练一练： １．下列导数运算正确的是 （Ｃ ） Ａ． ｓｉｎ( )ｘ ′ ＝ － ｃｏｓ ｘ Ｂ． ３( )ｘ ′ ＝ ３ｘ Ｃ． ｌｏｇ２( )ｘ ′ ＝ １ ｘ·ｌｎ ２ Ｄ (． １ )ｘ ′ ＝ １ ｘ２ ２．设函数ｆ( )ｘ ＝ ｃｏｓ ｘ，则(ｆ π )[ ]３ ′ ＝ （Ｄ ） Ａ． －槡３２ Ｂ．槡 ３ ２ Ｃ． １２ Ｄ．                                         ０ /012%345 题型探究 题型一 公式法求导数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）① ｙ ＝ １ ｘ４ ；② ｙ ＝ ｘ·３槡ｘ；③ ｙ ＝ ３ｘ； ④ｙ ＝ ｌｏｇ５ｘ． 　 　 ［尝试作答      ］ 　 　 （２）下列结论正确的是 （Ｃ ） Ａ．若ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ，则ｙ′ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ．若ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ，则ｙ′ ＝ － ｃｏｓ ｘ Ｃ．若ｙ ＝ １ｘ，则ｙ′ ＝ － １ ｘ２ Ｄ．若ｙ ＝槡ｘ，则ｙ′ ＝槡ｘ２ 　 　 ［规律方法］　 运用基本初等函数的导数公 式求导的注意事项 （１）对于简单的函数，直接套用公式． （２）对于较为复杂，不能直接套用公式的， 可先把题中函数恒等变形为基本初等函数，再 求导                      ． !&! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 对点训练? （１）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ，则ｆ ′ π( )６ 等于 （Ｂ ） Ａ． ０　 　 　 Ｂ．槡３２ 　 　 　 Ｃ．槡 ２ ２ 　 　 　 Ｄ． １ ２ （２）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２，ｆ ′（ｘ０）＝ ２，则ｘ０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １ Ｃ． ２ Ｄ． ３ 题型二 导数公式的实际应用 ２．若质点Ｐ的运动方程是ｓ ＝ ３ ｔ槡２（ｓ的单位 为ｍ，ｔ的单位为ｓ），求质点Ｐ在ｔ ＝ ８时的瞬时 速度． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 瞬时速度是路程关于时间函 数的导数，加速度是速度关于时间函数的导数， 计算时应先求导函数再求某点处的导数． 对点训练? 从时刻ｔ ＝ ０开始的ｔ秒 内，通过某导体的电量ｑ（单位：库仑）可以由公 式ｑ ＝ ｃｏｓ ｔ表示．求第５秒和第７秒时的电流强 度（单位：安）． 题型三 导数公式的应用 ３．（１）曲线ｙ ＝槡ｘ在点１４， １( )２ 处的切线方 程为 （Ｂ ） Ａ． ４ｘ － ４槡３ｙ ＋ ２槡３ － １ ＝ ０ Ｂ． ４ｘ － ４ｙ ＋ １ ＝ ０ Ｃ． ４槡３ｘ － ４ｙ ＋ ２ －槡３ ＝ ０ Ｄ． ４ｘ ＋ ４ｙ － ３ ＝ ０ （２）设曲线ｙ ＝ ｅｘ在点（０，１）处的切线与曲 线ｙ ＝ １ｘ（ｘ ＞ ０）上点Ｐ处的切线垂直，则点Ｐ处 的切线方程为ｘ ＋ ｙ － ２ ＝ ０　 ． 　 　 ［规律方法］　 利用导数的几何意义处理综 合应用题的两种思路： （１）与导数的几何意义相关的题目往往涉 及解析几何的相关知识，如直线的方程、直线间 的位置关系等，因此要综合应用所学知识解题． （２）与导数的几何意义相关的综合问题解 题的关键是函数在某点处的导数，已知切点可 以求斜率，已知斜率也可以求切点，切点的坐标 是常设的未知量． 对点训练? （１）曲线ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在点 Ｐ π３， １( )２ 处的切线方程为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． （２）已知点Ｐ为抛物线ｙ ＝ ｘ２上任意一点， 当Ｐ到直线ｌ：ｘ ＋ ｙ ＋ ２ ＝ ０的距离最小时，求点 Ｐ的坐标及点Ｐ到直线ｌ的距离                                                                       ． !&" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 不能正确理解切点的实质而致误 ４．经过点Ｐ（２，８）作曲线ｙ ＝ ｘ３的切线，求切线 方程． ［错解］　 设ｆ（ｘ）＝ ｘ３，由定义得ｆ ′（２）＝ １２，∴所求切线方程为ｙ － ８ ＝ １２（ｘ － ２）， 即１２ｘ － ｙ － １６ ＝ ０． ［误区警示］　 曲线过点Ｐ的切线与在点Ｐ 处的切线不同． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 在求切线方程的过程中，关键是 寻找两个条件：一是切点，二是切线的斜率．其 中切点又是关键，需要找清切点，如本例中点 Ｐ（２，８）不一定是切点，做题时要高度关注                ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．下列各式中正确的个数是 （Ｂ ） ①（ｘ７）′ ＝ ７ｘ６；②（ｘ －１）′ ＝ ｘ －２； ③（５ ｘ槡２）′ ＝ ２５ ｘ － ３ ５；④（ｃｏｓ ２）′ ＝ － ｓｉｎ ２． Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．若直线ｙ ＝ ｘ ＋ ａ和曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ ＋ ２相切，则实 数ａ的值为 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ． ３ ２ ３．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ３ 的切线的斜率等于１，则其切 线方程有 （Ｂ ） Ａ． １个 Ｂ． ２个 Ｃ．多于两个 Ｄ．不能确定 ４．若ｆ（ｘ）＝ ｘ３，ｇ（ｘ）＝ ｌｏｇ３ｘ，则ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ） ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ２，ｇ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ，若ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ） ＝ １，则ｘ ＝ １　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１４                ］ ５． ２． ２　 导数的四则运算法则 ５． ２． ３　 简单复合函数的导数 !"#$%&'( 课程标准 １．能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则，求简单函数的导数． ２．能求简单的复合函数（限于形如ｆ（ａｘ ＋ ｂ））的导数． 学法解读 １．理解函数的和、差、积、商的求导法则．（数学运算） ２．理解求导法则的证明过程，能够综合运用导数公式和导数运算法则求函数的导数．（逻辑推理、数 学运算） ３．利用导数的运算法则解决有关问题．（数学抽象、数学运算） ４．了解复合函数的概念．（数学抽象） ５．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数．（逻辑推理、数学运算） ６．能运用复合函数求导及导数运算法则解决综合问题．（数学抽象、数学运算） !&# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　导数的四则运算法则 符号表达 文字叙述 ［ｆ（ｘ）± ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ） ± ｇ′（ｘ）　 两个函数的和（差）的导 数，等于这两个函数的导 数的和（差） ［ｆ（ｘ）ｇ（ｘ）］′ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 两个函数的积的导数，等于 第一个函数的导数乘上第 二个函数，加上第一个函数 乘上第二个函数的导数 ｆ（ｘ） ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）－ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ） ［ｇ（ｘ）］２ （ｇ（ｘ）≠０） 两个函数的商的导数，等 于分子上函数的导数乘分 母上的函数减去分子上的 函数乘分母上函数的导 数，再除以分母上函数的 平方 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　练一练：（多选题）下列求导运算正确的是 （　 ） Ａ． ｘｅ( )ｘ ′ ＝ １ － ｘｅｘ Ｂ．（ｘ２ｃｏｓｘ）′ ＝ － ２ｘｓｉｎ ｘ Ｃ．（３ｘ）′ ＝ ３ｘ ｌｎ ３ Ｄ． ２ｘ２ ＋ ３ ｘ( )３ ′ ＝ － ４ｘ３ － ９ｘ４ 复合函数的导数 　 　 （１）定义：一般地，对于两个函数ｙ ＝ ｆ（ｕ） 和ｕ ＝ ｇ（ｘ），如果通过中间变量ｕ，ｙ可以表示成 ｘ的函数，那么称这个函数为函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）和 ｕ ＝ ｇ（ｘ）的复合函数，记作ｙ ＝ ｆ（ｇ（ｘ））． （２）求导法则：对于复合函数ｙ ＝ ｆ（ｇ（ｘ））， ｙ ′ｘ ＝ ｙ ′ｕ·ｕ ′ｘ　 ，即ｙ对ｘ的导数等于ｙ对ｕ　 的 导数与ｕ对ｘ　 的导数的乘积． 想一想：复合函数的求导问题，关键在于分 清复合函数是由哪些基本函数复合而成的，选 好中间变量．求解时要注意什么？ 提示：（１）内、外层函数通常为基本初等 函数． （２）求每层函数的导数时注意分清是对哪 个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　练一练：引入中间变量，并指出下列函数是 由怎样的函数复合而成的． （１）ｙ ＝（３ｘ ＋ １）１０； （２）ｙ ＝ ｅｓｉｎ ｘ； （３）ｙ ＝ ｌｎ（２ｘ － １）                                                   ． /012%345 题型探究 题型一利用导数的运算法则求函数的导数 １．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １ｘ的导数ｆ ′（ｘ）＝ （Ａ ） 　 　 Ａ． １ － １ ｘ２ 　 　 　 　 　 Ｂ． １ － １ｘ Ｃ． １ ＋ １ ｘ２ Ｄ． １ ＋ １ｘ （２）函数ｙ ＝ ｘ２ ｓｉｎ ｘ的导数为 （Ｄ ） Ａ． ｙ′ ＝ ２ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ Ｂ． ｙ′ ＝ ｘ２ｃｏｓ ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ｘ Ｄ． ｙ′ ＝２ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｘ２ｃｏｓ ｘ （３）函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘｘ 的导数是 （Ｃ             ） !&$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # Ａ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ ｘ２ Ｂ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ － ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ Ｄ． ｙ′ ＝ － ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ 　 　 ［规律方法］　 应用导数的四则运算法则的 思路方法及注意事项 （１）熟记导数的四则运算法则，尤其是积、 商的求导法则． （２）应用和、差、积、商的求导法则求导数 时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或 商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三 角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免 出错． （３）对于三个以上函数的积、商的导数，依 次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 对点训练? （１）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ，则 (ｆ ′ π )２ 的值为 （Ｄ ） Ａ． π２ Ｂ． １ Ｃ． － １ Ｄ． ０ （２）（２０２３·福建南安侨光中学高三月考） 已知ｆ（ｘ）＝ ｅ２ ０２３ ＋ ｘ·ｌｎ ｘ，则ｆ ′（１）＝ （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ｅ２ ０２３ ＋ １ Ｃ． ｅ２ ０２３ － １ Ｄ． ｅ２ ０２３ （３）求下列函数的导数： ①ｙ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ ＋ ３； ②ｙ ＝ ｘ３ｅｘ ． 题型二 复合函数的导数 ２．求下列函数的导数： （１）ｙ ＝（－ ２ｘ ＋ １）２；（２）ｙ ＝ ｅｘ －１； （３）ｙ ＝ ｌｏｇ２（２ｘ ＋ １）；（４）ｙ (＝ ２ｓｉｎ ３ｘ － π )６ ；（５）ｙ ＝ １ １ － ２槡 ｘ ． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 求复合函数导数的步骤 分解 适当选取中间变量，正确分解复合关系成ｙ ＝ ｆ（ｕ），ｕ ＝ ｇ（ｘ） 的形式 ↓  求导 分步逐层求导，即先求ｙ′ｕ，再求ｕ′ ｘ ↓  回代 计算ｙ′ｕ·ｕ′ｘ，并把ｕ ＝ ｇ（ｘ） 代入 对点训练? 求下列函数的导数： （１）ｙ ＝ １ １ － ２ｘ槡 ２ ；（２）ｙ ＝ ｅｓｉｎ ｘ； （３）ｙ ＝ ｓｉｎ (２ ２ｘ ＋ π )３                                                                        ． !&% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型三 导数四则运算法则的应用 ３．（１）曲线ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ上的点到直线ｘ － ｙ － ２ ＝ ０的最短距离是 （Ｂ ） Ａ．槡２　 　 Ｂ．槡２２ Ｃ． １　 　 Ｄ． ２ （２）设点Ｐ是曲线ｙ ＝ ｘ３ －槡３ｘ ＋ ２３上的任 意一点，点Ｐ处切线的倾斜角为α，则角α的取 值范围是 （Ｄ ） Ａ． ２３ π，[ )π Ｂ． π２， ５ ６( ]π Ｃ． ０，π[ )２ ∪ ５６ π，( )π Ｄ． ０，π[ )２ ∪ ２３ π，[ )π 　 　 ［规律方法］　 导数公式和导数的运算法则 是导数应用的基础．高考中经常涉及导数计算 问题，一般以导数的运算法则、基本初等函数的 导数公式表为工具，与其他知识联系在一起考 查，既可以以选择题、填空题的形式单独考查导 数的计算，也常以解答题的某一问的形式，结合 其他知识进行考查． 对点训练? 日常生活中的饮用水通常 都是经过净化的，随着水纯净度的提高，所需净 化费用不断增加．已知１ ｔ水净化到纯净度为 ｘ％时所需费用（单位：元）为ｃ（ｘ）＝ ４ ０００１００ － ｘ（８０ ＜ ｘ ＜ １００）．那么净化到纯净度为９０％时所需净 化费用的瞬时变化率是 （Ｄ ） Ａ． － ４０元／ ｔ Ｂ． － １０元／ ｔ Ｃ． １０元／ ｔ Ｄ． ４０元／ ｔ 题型四 复合函数的导数的应用 ４．（１）某港口在一天２４小时内潮水的高度 近似满足关系式ｓ（ｔ）＝ (３ｓｉｎ π１２ｔ ＋ ５π )６ （０≤ｔ≤ ２４），其中ｓ的单位是ｍ，ｔ的单位是ｈ，求函数在 ｔ ＝ １８时的导数，并解释它的实际意义． （２）求曲线ｙ ＝ １ ｘ２ － ３槡 ｘ ( 在点４，１ )２ 处的 切线方程． 　 　 ［尝试作答              ］ 　 　 ［规律方法］　 本例（２）不要将函数ｙ ＝ １ ｘ２ － ３槡 ｘ 看作是由ｙ ＝ １ｕ，ｕ ＝槡ｖ，ｖ ＝ ｘ ２ － ３ｘ三个 函数复合而成的，这样求导就麻烦了． 对点训练? （１）若可导函数ｆ（ｘ）满足 ｆ ′（３）＝ ９，则ｆ（３ｘ２）在ｘ ＝ １处的导数值为 ５４　 ． （２）求证：双曲线Ｃ１：ｘ２ － ｙ２ ＝ ５与椭圆Ｃ２： ４ｘ２ ＋ ９ｙ２ ＝ ７２在第一象限交点处的切线互相 垂直                                                                        ． !&& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 对复合函数的求导不完全而致误 在对复合函数求导时，恰当地选择中间变 量及分析函数的复合层次是关键．一般从最外 层开始，由外及里，一层层地求导，最后要把中 间变量变成自变量的函数． ５．函数ｙ ＝ ｘｅ１ －２ｘ的导数为ｙ′ ＝ （１ － ２ｘ） ｅ１ －２ｘ　 ． 　 　 ［错解］　 ｙ′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘ（ｅ１ －２ｘ）′ ＝ ｅ１ －２ｘ ＋ ｘｅ１ －２ｘ ＝（１ ＋ ｘ）ｅ１ －２ｘ ． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 错解中对ｅ１ －２ｘ求导数，没有按照 复合函数的求导法则进行，导致求导不完全                 ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（１ － ｃｏｓ ｘ）的导数是ｙ′ ＝ （Ｂ ） Ａ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ Ｂ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ ｘ － ｃｏｓ ２ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ Ｄ． ｙ′ ＝ ｃｏｓ２ｘ ＋ ｃｏｓ ２ｘ ２．若函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ４ ＋ ｂｘ２ ＋ ｃ满足ｆ ′（１）＝ ２，则 ｆ ′（－１）＝ （Ｂ ） Ａ． － １ Ｂ． － ２ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ３．已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ（２ｘ ＋ １）－ ａｘ，且ｆ ′（２）＝ － １， 则ａ ＝ （Ａ ） Ａ． ７５ Ｂ． ６ ５ Ｃ． － ３５ Ｄ． － ４ ５ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｅｘ，ｆ ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函数， 则ｆ ′（０）＝ １　 　 　 ． ５．（１）曲线ｆ（ｘ）＝ ３ｘ２槡＋ １在点（１，２）处的切线 方程为３ｘ － ２ｙ ＋ １ ＝ ０　 ． （２）ｙ ＝ １ １ － ｘ槡 ２ 的水平切线方程是ｙ ＝ １　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１５                    ］ ５． ３　 导数在研究函数中的应用 ５． ３． １　 函数的单调性 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解函数的单调性与导数的关系． ２．能利用导数判断函数的单调性、求函数的单调区间． ３．能利用导数研究与函数单调性相关的问题． 学法解读 １．理解导数与函数的单调性的关系．（数学抽象、逻辑推理、直观想象） ２．掌握利用导数判断函数单调性的方法．（数学抽象、逻辑推理） ３．会用导数求函数的单调区间．（逻辑推理、数学运算） !&'