5.1.2 导数的概念及其几何意义(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # Ｃ． Ａ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平均 变化率比Ｂ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平 均变化率大 Ｄ． Ａ机关单位与Ｂ机关单位自节能以来用 电量总是一样大 ［错解］　 选Ｃ．因为在（０，ｔ０）上，Ｗ１（ｔ）的 图象比Ｗ２（ｔ）的图象陡峭，∴在（０，ｔ０）上用电量 的平均变化率，Ａ机关单位比Ｂ机关单位大． ［误区警示］　 从图上看，两机关单位在（０， ｔ０）上用电量的平均变化率都取负值． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 识图时，一定要结合题意弄清图 象所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长 （减少）的快慢等要弄清                 ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．物体做直线运动所经过的路程ｓ可表示为时 间ｔ的函数ｓ（ｔ）＝ ２ｔ２ ＋ ２，则该物体在一小段 时间［２，２ ＋ Δｔ］上的平均速度为 （Ａ ） Ａ． ８ ＋ ２Δｔ　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４ ＋ ２Δｔ Ｃ． ７ ＋ ２Δｔ Ｄ． － ８ ＋ ２Δｔ ２．物体做直线运动所经过的路程ｓ可以表示为 时间ｔ的函数ｓ ＝ ｓ（ｔ），则物体在时间间隔 ［ｔ０，ｔ０ ＋ Δｔ］内的平均速度是 （Ｃ ） Ａ． ｖ０ Ｂ． Δｔ ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０） Ｃ． ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０） Δｔ Ｄ． ｓ（ｔ）ｔ ３．某物体的运动路程ｓ（单位：ｍ）与时间ｔ（单 位：ｓ）的关系可用函数ｓ（ｔ）＝ ｔ３ － ２表示，则 此物体在ｔ ＝ １ ｓ时的瞬时速度（单位：ｍ ／ ｓ）为 （Ｂ ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ３ Ｃ． － １　 　 　 Ｄ． ０ ４．抛物线ｙ ＝ ２ｘ２ 在点（１，２）处切线的斜率为 ４　 　 　 ． ５．已知函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂ在点（１，３）处的切线斜 率为２，则ｂａ ＝ ２　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                     ］ ５． １． ２　 导数的概念及其几何意义 !"#$%&'( 课程标准 １．在函数瞬时变化率的基础上，建构导数的概念． ２．掌握导数的几何意义． 学法解读 １．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．（数学抽象、数学运算） ２．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．（数学抽象） ３．能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能 力．（数学抽象、直观想象） ４．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．（数学运算） ５．了解导函数的概念．（数学抽象、数学运算） !%& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　平均变化率的概念 　 　 对于函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），设自变量ｘ从ｘ０变化到 ｘ０ ＋ Δｘ，相应地，函数值ｙ就从ｆ（ｘ０）变化到ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）．这时，ｘ的变化量为Δｘ，ｙ的变化量为 Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０）．我们把比值ΔｙΔｘ，即 Δｙ Δｘ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 叫做函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）从 ｘ０到ｘ０ ＋ Δｘ的平均变化率． 　 　 想一想：一次函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ（ａ≠０）从ｘ１ 到ｘ２的平均变化率有什么特点？ 提示：一次函数的图象为一条直线，图象上 任意两点连线的斜率固定不变，故一次函数 ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ（ａ≠０）在定义域内的任意区间上 的平均变化率都等于常数ａ． 　 　 练一练：一物体运动方程如下：（位移单 位：ｍ，时间单位：ｓ）Ｓ ＝３ｔ２ ＋ ２，则物体在ｔ∈［３， ５］内的平均速度为２４ ｍ／ ｓ　 ． 瞬时变化率（导数）的概念 　 　 如果当Δｘ→０时，平均变化率ΔｙΔｘ无限趋近 于一个确定的值，即Δｙ Δｘ 有极限，则称ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ ｘ０处可导，并把这个确定的值叫做ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 ｘ ＝ ｘ０处的导数（也称为瞬时变化率），记作ｆ ′（ｘ０） 或ｙ ′ ｜ ｘ ＝ ｘ０，即ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍΔｘ→０ Δｙ Δｘ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 　 　 练一练：设函数ｆ( )ｘ 在ｘ ＝ １处的导数为２， 则ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ １ － Δ( )ｘ － ｆ( )１ Δｘ ＝ （Ａ ） Ａ． － ２　 　 　 Ｂ． ２　 　 　 Ｃ． ２３ 　 　 　 Ｄ． ６ 导数的几何意义 　 　 （１）切线的定义． 如图，在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上任取一点Ｐ（ｘ， ｆ（ｘ）），如果当点Ｐ（ｘ，ｆ（ｘ））沿着曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ） 无限趋近于点Ｐ０（ｘ０，ｆ（ｘ０））时，割线Ｐ０Ｐ无限 趋近于一个确定的位置，这个确定位置的直线 Ｐ０Ｔ称为曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在Ｐ０处的切线． 　 　 （２）导数的几何意义． 函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数ｆ ′（ｘ０）就是切 线Ｐ０Ｔ的斜率ｋ，即ｋ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ ｆ ′（ｘ０）． 　 　 练一练：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象如图所示， ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数，令ａ ＝ ｆ ′（２），ｂ ＝ ｆ ′（４），ｃ ＝ ｆ（４）－ ｆ（２）２ ，则下列数值排序正确的 是 （Ｃ ） Ａ． ｂ ＜ ａ ＜ ｃ Ｂ． ａ ＜ ｂ ＜ ｃ Ｃ． ａ ＜ ｃ ＜ ｂ Ｄ． ｃ ＜ ｂ ＜ ａ 导函数的概念 　 　 （１）定义：当ｘ变化时，ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）就是ｘ的 函数，称它为ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数（简称导数）． （２）记作ｆ ′（ｘ）或ｙ′，即ｆ ′（ｘ）＝ ｙ′ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ） Δｘ ． 想一想：函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处的导数 ｆ ′（ｘ０）、导函数ｆ ′（ｘ）之间有怎样的区别与 联系？ 提示：区别：（１）ｆ ′（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处函数值的改变量与自变量的改变量之比的极 限，是一个常数，不是变量； （２）ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数，是对某一 区间内任意ｘ而言的，即如果函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）                                                                    在开 !%' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 区间（ａ，ｂ）内的每点处都有导数，此时对于每一 个ｘ∈（ａ，ｂ），都对应着一个确定的导数ｆ ′（ｘ）， 从而构成了一个新的函数——导函数ｆ ′（ｘ）． 联系：函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处的导数ｆ ′（ｘ０） 就是导函数ｆ ′（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处的函数值．这也是 求函数在ｘ ＝ ｘ０处的导数的方法之一． 　 　 练一练：求函数ｆ（ｘ）＝槡ｘ在ｘ ＝ １处的 导数           ． /012%345 题型探究 题型一 求函数在某点处的导数 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．求ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ｘ在ｘ ＝ ２处的导数． ［分析］　 利用导数的定义求导，利用“三步 法”求解． 　 　 ［尝试作答     ］ 　 　 ［规律方法］　 求导数（瞬时变化率）的三 个步骤 １．作差求函数值的变化量Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ） － ｆ（ｘ０）． ２． 作商求函数的平均变化率Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ０ ＋Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ． ３．求极限得导数ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ ．简记为 “一差，二商，三极限”． 对点训练? 求函数ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ在ｘ ＝ １ 处的导数． 　 　 对点训练? （１）已知ｙ ＝槡ｘ，则ｙ′ ｜ ｘ ＝１ ＝ 　 　 　 　 　 ． （２）已知ｆ（ｘ）＝ ２ｘ，且ｆ ′（ｍ）＝ － １ ２，则ｍ 的值等于 （Ｄ ） Ａ． － ４ Ｂ． ２ Ｃ． － ２ Ｄ． ± ２ 题型二 导数运算公式的形式化计算 ２．若函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处可导，则ｌｉｍｈ→０ ｆ（ｘ０ ＋ ｈ）－ ｆ（ｘ０ － ｈ） ｈ 等于 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（ｘ０） Ｂ． ２ ｆ ′（ｘ０） Ｃ． － ２ ｆ ′（ｘ０） Ｄ． ０ 　 　 ［规律方法］　 导数的形式化计算的本质就 是对导数概念ｆ ′（ｘ０）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ ｌｉｍ ｘ→ｘ０ ｆ（ｘ）－ ｆ（ｘ０） ｘ － ｘ０ 的理解，需要说明的是导数是一 个局部概念，它只与函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０及其 附近的函数值有关，与Δｘ无关． 对点训练? （１）设ｆ（ｘ）是可导函数， 且ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ － ２Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ － ２则ｆ ′（ｘ０）＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． － ２ （２）若ｆ ′（ｘ０）＝ ２，求ｌｉｍｋ→０ ｆ（ｘ０ － ｋ）－ ｆ（ｘ０） ２ｋ 的值                                                       ． !%( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型三 求切线方程 ３．已知曲线Ｃ：ｙ ＝ １３ ｘ ３ ＋ ４３ ． （１）求曲线Ｃ上的横坐标为２的点处的切 线方程； （２）第（１）小题中的切线与曲线Ｃ是否还 有其他的公共点？ ［分析］　 求函数在某点处的导数，一种方 法是直接求函数在该点的导数；另一种方法是 先求函数在ｘ ＝ ｘ０处的导数表达式，再把ｘ的值 代入求导数值． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．求曲线在点Ｐ（ｘ０，ｙ０）处 切线方程的步骤： （１）求出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ０ 处的导数 ｆ ′（ｘ０）； （２）根据直线的点斜式方程，得切线方程为 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０）． ２．过曲线外的点Ｐ（ｘ１，ｙ１）求曲线的切线方 程的步骤： （１）设切点为Ｑ（ｘ０，ｙ０）； （２）求出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点ｘ０ 处的导数 ｆ ′（ｘ０）； 　 　 （３）利用点Ｑ在曲线上和ｆ ′（ｘ０）＝ ｋＰＱ，解 出ｘ０，ｙ０及ｆ ′（ｘ０）． （４）根据直线的点斜式方程，得切线方程为 ｙ － ｙ０ ＝ ｆ ′（ｘ０）（ｘ － ｘ０）． ３．要正确区分曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ｐ处的切 线，与过点Ｐ的曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的切线． 求曲线过点Ｐ的切线方程时，先验证点Ｐ 是否在曲线上，再分别按上述１、２求解． ４． ｆ ′（ｘ０）＞０时，切线的倾斜角为锐角；ｆ ′（ｘ０） ＜０时，切线的倾斜角为钝角；ｆ ′（ｘ０）＝０时，切线与 ｘ轴平行． ｆ（ｘ）在ｘ０处的导数不存在，则切线垂直 于ｘ轴或不存在． 对点训练? 已知曲线ｙ ＝ １３ ｘ ３ 上一点 (Ｐ ２，８ )３ ． （１）求点Ｐ处切线的斜率； （２）写出点Ｐ处的切线方程． 易错警示 　 　 求切线方程时忽视点是否在曲线上致误 ４．求经过点（２，０），且与曲线ｙ ＝ １ｘ相切的 直线方程． ［误区警示］　 将（２，０）误认为是切点，直 接由导数的几何意义得切线斜率ｆ ′（２）＝ ｌｉｍ Δｘ０ １ ２ ＋ Δｘ － １２ Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ０ －１ ２（２ ＋Δｘ）＝ － １ ４，从而得切线 方程为ｙ －０ ＝ － １４（ｘ －２）． 　 　 ［正解                                                                             ］ !%) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［点评］　 错解中没有注意到点（２，０）根本 不在曲线ｙ ＝ １ｘ上，直接求出函数在ｘ ＝ ２处的 导数作为曲线切线的斜率，而导致错误．避免这 种错误的方法是先判断点是否在曲线上，如果 点在曲线上，那么曲线在该点处的切线的斜率 才等于函数在该点处的导数值，如果点不在曲 线上，应先另设切点，再利用导数的几何意义 求解         ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ １０，则ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ３２处的瞬 时变化率是 （Ｂ ） Ａ． ３ Ｂ． － ３ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ２．一物体的运动方程为ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ３ｘ，则ｆ ′（０） ＝ （Ｃ ） Ａ． Δｘ － ３ Ｂ．（Δｘ）２ － ３Δｘ Ｃ． － ３ Ｄ． ０ ３．（２０２４·深圳高二检测）曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ１ － ｘ 在点（２，－ ２）处的切线的斜率ｋ为 （Ｃ ） Ａ． １３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １ Ｄ． － ５３ ４．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数为１１，则 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ － Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ＝ （Ｂ ） Ａ． １１ Ｂ． － １１ Ｃ． １１１ Ｄ． － １ １１ ５．函数ｙ ＝（３ｘ － １）２在ｘ ＝ ｘ０处的导数为０，则 ｘ０ ＝ 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１３                      ］ ５． ２　 导数的运算 ５． ２． １　 基本初等函数的导数 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解利用定义求函数的导数． ２．掌握基本初等函数的导数公式，并会利用公式求简单函数的导数． ３．会解决与曲线的切线相关的问题． 学法解读 １．能根据定义求函数ｙ ＝ ｃ（ｃ为常数），ｙ ＝ ｘ，ｙ ＝ ｘ２，ｙ ＝ １ｘ，ｙ ＝槡ｘ的导数．（数学抽象、数学运 算） ２．掌握基本初等函数的导数公式，并能进行简单的应用．（数学抽象、数学运算） !%* (2)A曲线f(x)=3x+x2在点(1(1)处的切线的斜率 所以a<c<b. 为k=四31+9+°-3+山=5)=4，由点斜 故选C △ 知识点4：f(x）=x, 式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-【. 对点训练3：2+△x)-f2) 4f=f1+△x)-f1)=1+△x-1. =(2+4r)2-(2+4r)-2=34x+(△x)2, 4Y-+4x-1.(个+42-1 所以切线的斜率 △x △r △x(/1+△x+1)》 k=m2+4)-2 △x(1+4x+1)1+4x+1 =画34a(3+4)-3 则切线方程为y-2=3(x-2), 1 即3x-y-4=0. f'(1)=2 例4：B由题可知，4机关单位所对应的图象比较陡峭，B关键能力·攻重难 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，。]上的平均 例1：4y=2+4x)-f2)=(2+4r)'-(2+△x)-(2 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 -2)=(△x)'+6(△x)2+11△x, 好.故选B. 课堂检测·固双基 Ag=(△x)2+6Ar+l, △x 1.A函数￥=￥()=22+2」 △=2(2+4)2+2-(2×22+2)=24r2+84, -四(a产+64+]=，即"(2)= ·物体在[2,2+]上的平均速度为 1 A9.2Y+8△=24+8. 对点训练1：因为Ay=(1+△)++△（1+1)=△r+ 2.C由平均变化率的概念知C正确，故选C. 1+41, 3.B由s()=3-2,得 +)'-2-2-2 所u哈-l1中a =▣(3+31·4+4)=3,3×12=3. 所以=一-+)=a 侧物体在t=1s时的瞬时速度为3/s故选B. 对点训练2：)号 取4x≠0，△y=1+Ax-√T, 44k=-20+-2x= ,2+4r+2△x2-2 Ar Ay=1+4x-1 △r △x 四(4+24)=4.放答案为4 △r △x(1+△￥+1) 521+-a+0=a+a4时=2a=2. △x V个+△x+1 解得a=1,把切点(1,3)代人函数y=ar2+b, -a7 1 得3=a+b,所以6=3-4=2，故么=2 a 22 5.1.2 导数的概念及其几何意义 (2)D 因为Ag=m+△)=m.m+Am。 △x △r amag所W'a)=四aag后所以-后 -2 -2 必备知识·探新知 知识点1：+A)-) Ar 之，m=4,解得m=±2. 练一练： 24m/s在1e[3,5]内，物体的运动方程为S=3r2+2,则 例2：B解法一：6+-创 h 该段时间内的位移△S=(3×25+2)-(3×9+2)=48(m),则 平均速度为=A-8=24(m/. =气+》-)+x)-- 4=2 h 八x+△x)-fn)） =lm6+h)- 八n)-f八xn-h) -lin 知识点2：lim h 练一练： nn+(-h)]-fx】 A--4-四=m-1-4. =f'(x)+ -h △x -△x =f'(）+f'(xn） -1-2仙.-f“0.-2 =2f'(). -△ 故选A. 解法二：+h)--h h 知识点3： 练一练： =四2x≤+)-%-) 2h c由函数图象知'(2)<=2<'(4)， 4-2 =26+-- 26 -134 =2f'(无). 得所求直线方程为y-=一之(x-6》 对点训练3：(1)Cim 知-2A)-八a）:-2×i四 Ar 因为点(2,0)在切线上，所以=2- -2)-八l。-2 -2△x 又点P()在曲线y=上，所以%=1 4m-24-2.. 联立可解得xa=1,。=1, -2△x 故所求直线方程为x+y-2=0 f(）=m+A）im-2）-八）课堂检测·周双基 △r -24x =1. 故选C △r (2)令-k=△x,k-0,÷4x0. 所以im」 则原武可变形为5+九 4-3 -2△x 2.Cf'《0)=lm0+4°-30+4)-+3x0 八x和+△x)-f八n) =mA-34=m(4x-3)=-3. =-()=-×2=-1 3.Ck=m2+4)-2 Ax 例3：(1)将x=2代入曲线C的方程得y=4, 2+△x .切点P(2,4). 1a== 吉2*ay+×2- =m1244-(-2) Ar =+4-l =m[4+2·4r+3(ax)门=4 4.B依题意有im n+△x)-八）=11，所以 k=y12=4. -A)-八）.-i 八x-4x)-八) .曲线在点P(2,4)处的切线方程为y-4=4(x-2), △x -△r 即4x-y-4=0. y=4x-4, +△)-f八。-1l.故选B. =-lim- Ar (2)由{ 4可得(x-2)2(x+4)=0. =3+3 △y=f八x6+Ar)-f无) 解得x1=2,2=-4 =(3x。+34x-1)2-(3x-1)2 从而求得公共点为P(2,4)或M(-4,-20). =18x4r+9(△x)2-64x, 即切线与曲线C的公共点除了切点外，还有另外的公共点， 对点训练4：y=了， 1 Ay =18x0+9Ax-6. 3+aP-3 --1-60分 △x 5.2导数的运算 far+(a2+3(ax = 4 5.2.1基本初等函数的导数 =++g(a)门=. 必备知识·探新知 .y12=22=4. 知识点2：a- cos x sin x e1 x ∴点P处切线的斜率为4. 练一练： (2):由(1)知点P处切线的斜率为4，且点P的坐标为 1,C对于A,(sinx)'=osx,故A错误： (2.号）在点P处的切线方程是y-弩=4(g-2).即12- 对于B,(3)'=3n3,故B错误： 3y-16=0 对于C.(g:y=2故C正确： 例4：经验证点(2.0)不在曲线)=的图象上.则设切点为 对于D(=一，故D错讽 P(xn:yo). 11 故选C 和+△r 由y八w=画4 2D因为号）=m号为常数，所以[（号川=0 -△x 故选D. =Ax·(+4)·不 关键能力·攻重难 -1 -135