5.1.1 变化率问题(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 第五章 　 一元函数的导数及其应用 ５． １　 导数的概念及其意义 ５． １． １　 变化率问题 !"#$%&'( 课程标准 １．知道瞬时速度的概念，能描述瞬时速度与平均速度的关系． ２．会通过极限的方法求瞬时速度． ３．会区分曲线的割线斜率与切线斜率，并知道二者的不同． 学法解读 １．通过实例，领悟由平均速度到瞬时速度刻画实际的变化的过程．（数学抽象） ２．掌握瞬时速度的概念，会求解瞬时速度的相关问题．（数学抽象、数学运算） ３．通过求抛物线的切线的斜率和方程，体会极限思想的应用．（数学运算、直观想象） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　瞬时速度 　 　 我们把物体在某一时刻　 的速度称为瞬时 速度． 极限 　 　 在研究ｔ ＝ １时的瞬时速度时，我们发现，当 Δｔ无限趋近于０，即无论ｔ从小于１的一边，还 是从大于１的一边无限趋近于１时，平均速度ｖ 都无限趋近于－ ５． 事实上，由ｖ ＝ ｈ（１ ＋ Δｔ）－ ｈ（１）（１ ＋ Δｔ）－ １ ＝ － ４． ９Δｔ － ５可以发现，当Δｔ无限趋近于０时，－ ４． ９Δｔ 也无限趋近于０　 ，所以ｖ无限趋近于－ ５　 ．这 与前面得到的结论一致．数学中，我们把－ ５叫 做“当Δｔ无限趋近于０时，ｖ ＝ ｈ（１ ＋ Δｔ）－ ｈ（１）Δｔ 的极限”，记为ｌｉｍ Δｔ→０ ｈ（１ ＋ Δｔ）－ ｈ（１） Δｔ ＝ － ５． 想一想：瞬时速度与平均速度有什么关系？ 提示：设运动员在ｔ０ 时刻附近的某一时间 段［ｔ０ ＋ Δｔ，ｔ０］（Δｔ ＜ ０）或［ｔ０，ｔ０ ＋ Δｔ］（Δｔ ＞ ０）的 平均速度是ｖ，所以当不断缩短上述时间段的长 度，即Δｔ无限趋近于０时，ｖ将越来越趋近于运 动员在ｔ０时刻的瞬时速度． 求瞬时速度体现了运动变化的观点． 　 　 练一练：已知某物体的运动方程是ｓ ＝ ｔ ３ ９                         ＋ !%# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ｔ，则当ｔ ＝ ３ ｓ时的瞬时速度是 （　 ） 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　　 　 Ａ． ２ ｍ ／ ｓ Ｂ． ３ ｍ ／ ｓ Ｃ． ４ ｍ ／ ｓ Ｄ． ５ ｍ ／ ｓ 曲线的切线 　 　 在研究抛物线的割线时，我们发现，当点Ｐ 无限趋近于点Ｐ０时，割线Ｐ０Ｐ无限趋近于一个 确定的位置　 ，这个确定位置的直线Ｐ０Ｔ称为抛物 线ｆ（ｘ）＝ ｘ２在点Ｐ０（１，１）处的切线． 想一想：割线的斜率与切线的斜率有怎样 的区别与联系？ 提示：区别：割线的斜率是经过曲线上两点 连线的斜率；切线的斜率是以曲线上一点为切 点且与曲线相切的直线的斜率． 联系：切线的斜率是割线的斜率的极限值． 练一练：求函数ｙ ＝ ｘ ＋ １ｘ在ｘ ＝ １处的切线 斜率                                ． /012%345 题型探究 题型一 平均变化率的求法 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）如图所示，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［１，３］上 的平均变化率为 （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ （２）（２０２４·陕西西安中学高二检测）设地 铁在某段时间内进行调试，由始点起经过ｔ秒后 的距离为ｓ ＝ １４ ｔ ４ － ４ｔ３ ＋ １６ｔ２（单位：米），则列车 运行１０秒的平均速度为 （Ａ ） Ａ． １０米／秒 Ｂ． ８米／秒 Ｃ． ４米／秒 Ｄ． ０米／秒 　 　 ［规律方法］　 求平均变化率的方法步骤 通常用“两步”法，一作差，二作商，即： （１）先求出Δｘ ＝ ｘ２ － ｘ１，再计算Δｙ ＝ ｆ（ｘ２） － ｆ（ｘ１）． （２）对所求得的差作商，即Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１） ｘ２ － ｘ１ ＝ ｆ（ｘ１ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ１） Δｘ ． 对点训练? 一质点做直线运动，其位 移ｓ与时间ｔ的关系ｓ（ｔ）＝ ｔ２ ＋ １，该质点在［２， ２ ＋ Δｔ］（Δｔ ＞ ０）上的平均速度不大于５，求Δｔ的 取值范围． 题型二 瞬时变化率（瞬时速度）的求法 ２．已知质点Ｍ按规律ｓ ＝ ２ｔ２ ＋ ３做直线运 动．（位移单位：ｃｍ，时间单位：ｓ                                   ） !%$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （１）当ｔ ＝ ２，Δｔ ＝ ０． ０１时，求ΔｓΔｔ； （２）当ｔ ＝ ２，Δｔ ＝ ０． ００１时，求ΔｓΔｔ； （３）求质点Ｍ在ｔ ＝ ２时的瞬时速度． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 求物体运动的瞬时速度的 步骤： （１）由物体运动的位移ｓ与时间ｔ的函数关 系式求出位移增量Δｓ ＝ ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０）． （２）求ｔ０ 到ｔ０ ＋ Δｔ这段时间的平均速度 ｖ ＝ Δｓ Δｔ ． （３）求ｌｉｍ Δｔ→０ Δｓ Δｔ 的值，即得ｔ ＝ ｔ０时的瞬时速度． 对点训练? （１）（２０２４·洛阳高二检 测）一质点运动的方程为ｓ ＝５ －３ｔ２，若该质点在时 间段［１，１ ＋Δｔ］内相应的平均速度为－３Δｔ －６，则 该质点在ｔ ＝１时的瞬时速度是 （Ｄ ） Ａ． － ３ 　 Ｂ． ３ Ｃ． ６　 　 　 Ｄ． － ６ （２）已知物体的运动方程是ｓ ＝ － ４ｔ２ ＋ １６ｔ （ｓ的单位为ｍ；ｔ的单位为ｓ），则该物体在ｔ ＝ ２ ｓ时的瞬时速度为 （Ｄ ） Ａ． ３ ｍ ／ ｓ Ｂ． ２ ｍ ／ ｓ Ｃ． １ ｍ ／ ｓ Ｄ． ０ ｍ ／ ｓ 题型三 曲线在某点处的瞬时变化率（切线斜率）的求法 ３．（１）求函数ｙ ＝ ｘ２ ＋ １ｘ ＋ ５在ｘ ＝ ２处的切 线斜率； 　 　 ［尝试作答     ］ 　 　 （２）曲线ｆ（ｘ）＝ ３ｘ ＋ ｘ２在点（１，ｆ（１））处的 切线方程为 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ ５ｘ － １ Ｂ． ｙ ＝ － ５ｘ ＋ １ Ｃ． ｙ ＝ １５ ｘ ＋ １ Ｄ． ｙ ＝ － １ ５ ｘ － １ ［规律方法］　 求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处 的瞬时变化率的步骤： （１）求函数值的改变量Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０）． （２ ）求函数的平均变化率Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ ． （３）当Δｘ无限趋近于０时，求ΔｙΔｘ趋近的常 数即求ｋ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ Δｙ Δｘ( )的值．函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处的瞬时变化率即为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 处 的切线斜率． 对点训练? 求抛物线ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ｘ在 点（２，２）处的切线方程． 易错警示 　 　 不能正确识图致误 ４． Ａ，Ｂ两机关单位开展节能活动，活动开 始后两机关的用电量Ｗ１（ｔ），Ｗ２（ｔ）与时间ｔ （天）的关系如图所示，则一定有 （Ｂ ） Ａ．两机关单位节能效果一 样好 Ｂ． Ａ机关单位比Ｂ                                                                        机关单位节能效果好 !%% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # Ｃ． Ａ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平均 变化率比Ｂ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平 均变化率大 Ｄ． Ａ机关单位与Ｂ机关单位自节能以来用 电量总是一样大 ［错解］　 选Ｃ．因为在（０，ｔ０）上，Ｗ１（ｔ）的 图象比Ｗ２（ｔ）的图象陡峭，∴在（０，ｔ０）上用电量 的平均变化率，Ａ机关单位比Ｂ机关单位大． ［误区警示］　 从图上看，两机关单位在（０， ｔ０）上用电量的平均变化率都取负值． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 识图时，一定要结合题意弄清图 象所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长 （减少）的快慢等要弄清                 ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．物体做直线运动所经过的路程ｓ可表示为时 间ｔ的函数ｓ（ｔ）＝ ２ｔ２ ＋ ２，则该物体在一小段 时间［２，２ ＋ Δｔ］上的平均速度为 （Ａ ） Ａ． ８ ＋ ２Δｔ　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４ ＋ ２Δｔ Ｃ． ７ ＋ ２Δｔ Ｄ． － ８ ＋ ２Δｔ ２．物体做直线运动所经过的路程ｓ可以表示为 时间ｔ的函数ｓ ＝ ｓ（ｔ），则物体在时间间隔 ［ｔ０，ｔ０ ＋ Δｔ］内的平均速度是 （Ｃ ） Ａ． ｖ０ Ｂ． Δｔ ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０） Ｃ． ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０） Δｔ Ｄ． ｓ（ｔ）ｔ ３．某物体的运动路程ｓ（单位：ｍ）与时间ｔ（单 位：ｓ）的关系可用函数ｓ（ｔ）＝ ｔ３ － ２表示，则 此物体在ｔ ＝ １ ｓ时的瞬时速度（单位：ｍ ／ ｓ）为 （Ｂ ） Ａ． １　 　 　 Ｂ． ３ Ｃ． － １　 　 　 Ｄ． ０ ４．抛物线ｙ ＝ ２ｘ２ 在点（１，２）处切线的斜率为 ４　 　 　 ． ５．已知函数ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂ在点（１，３）处的切线斜 率为２，则ｂａ ＝ ２　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１２                     ］ ５． １． ２　 导数的概念及其几何意义 !"#$%&'( 课程标准 １．在函数瞬时变化率的基础上，建构导数的概念． ２．掌握导数的几何意义． 学法解读 １．经历由平均变化率到瞬时变化率的过程，体会导数的概念的实际背景．（数学抽象、数学运算） ２．知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，体会导数的内涵与思想．（数学抽象） ３．能够通过函数图象直观地理解导数的几何意义，培养学生的抽象思维能力和应用知识的能 力．（数学抽象、直观想象） ４．根据导数的几何意义，会求曲线上某点处的切线方程．（数学运算） ５．了解导函数的概念．（数学抽象、数学运算） !%& 去)，a1=2. :3+(4)+9(△)2+27△-3+4 所以a,=2” 9 (2)依题意及(1)知，b,=0,当2”≤m<2"+时，bn=n,又2= =+)2+44. 9 64<100,27=128>100,故b.≤6. 当2≤m<22时，b=1,即63=b=1:当22≤m<2时，b= 点g（aP+4 2,即64=b=。=b,=2:当23≤m<2时，bn=3,即bw=b= …=bs=3:…:当2≤m<2'时，bn=6,即bou=bs=…=bm ÷四会=回)(4P+4+4=4放连C =6. 知识点3：一个确定的位置 故Sm=b1+(b+b）+(b4+6+b。+)+…+(b2+b3+ 练一练： …+ba）+(bu+b6+…+bm） =1×0+2×1+2×2+23×3+2×4+2×5+(100-64+ 因为△y=(1+A)+1+A-（1+1) 1)×6 =480. =x+1+ -1, 所以Sm=1×0+1×2+2×22+3×2+4×2+5×25+6× 所哈点l-中a '△x 37=480. 7.(1)设等比数列{a,的公比为g>0, 所以=四四小1+)-0 因为a=1,S2=43-1.即a+4=a3-1, 关键能力·攻重难 可得1+9=g2-1,整理得g2-q-2=0,解得g=2或g=-1 例1：(1)B (舍去)， 30-1 △x 3-1 所以82 (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 ix(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 (2)(1)证明：由(1)可知4=2-，且keN°，≥2， 为(10）二0=10（米/秒）. 当a=41=25≥4时，则0=21<2-1=n- 10-0 ln-1=41-1<a+d ,即a<n 对点训练1：质点在[2,2+△]上的平均速度为 -1<a4l 8=[(2+山)2+11-(22+1 可知4=2-，b.=k+1, b.-1=b4+(a+1-4e-1)·2k=k+26(2-1-1)=k(2- 4:tA=4+4 1), 又i≤5，即4+41≤5，△≤1. 可得b。-1-a·6=k(2-1)-(k+1)2-1=(k-1)2-+-k 又△1>0，∴.41的取值范围为(0,1]. ≥2(k-1)-k=k-2≥0， 当且仅当=2时，等号成立，所以6.-1≥4·b.: 阁2岁》@ (i)由(1)可知：S,=2”-1=a+1-1, _2t+△)2+3-(2r+3=4+24 △t 若n=1,则=1，b1=1: 若n≥2，则a1-4,=2*- (1)当1=2,4=001时，之=4×2+2×0.01=802(am/s. 当2-1<i≤2-1时，b-6-1=2k,可知{6，为等差数列， 可得某=：2222-》=4=号[(3以 2)当1=2，=001时，光=4×2+2×0001=80m(em2 2 -1)4-(3-4)4-1], (3加=-(+2)=e4x2=8mo. 所以26=1+号[5x4-2×4+8x4-5x4+…+(3n 对点训练2：(1)D该质点在1=1时的瞬时速度为-6， 故选D. 1)4-(3n-4)4门=3n-)4+山，且n=1,符合上式，综 (2)D△s=-4(2+△)2+16(2+△)+4×22-16×2 =-4(4)2, 上所述：之6，=3n-1)4+1 A=-4)2 =-4△. △ 第五章 一元函数的导数及其应用 =-(-)0 ∴物体在1=2s时的瞬时速度为0m/a 5.1导数的概念及其意义 例3：(1)当x=2时，4y=(2+4)2+2+4+5- 5.1.1变化率问题 (2+7+5）=4a+(a2+22+ -△r 必备知识·探新知 知识点1：某一时刻 知识点2：无限趋近于0-5 所u4+-2 1 练一练： 所四=一（4+ar-+2a4+0-0 c“4s=3++(3+4)- 9 号-3=票，所以函数在x2处的切线斜率为=宁 -133 (2)A曲线f(x)=3x+x2在点(1(1)处的切线的斜率 所以a<c<b. 为k=四31+9+°-3+山=5)=4，由点斜 故选C △ 知识点4：f(x）=x, 式得切线方程为y-4=5(x-1),即y=5x-【. 对点训练3：2+△x)-f2) 4f=f1+△x)-f1)=1+△x-1. =(2+4r)2-(2+4r)-2=34x+(△x)2, 4Y-+4x-1.(个+42-1 所以切线的斜率 △x △r △x(/1+△x+1)》 k=m2+4)-2 △x(1+4x+1)1+4x+1 =画34a(3+4)-3 则切线方程为y-2=3(x-2), 1 即3x-y-4=0. f'(1)=2 例4：B由题可知，4机关单位所对应的图象比较陡峭，B关键能力·攻重难 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在[0，。]上的平均 例1：4y=2+4x)-f2)=(2+4r)'-(2+△x)-(2 变化率都小于0，故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 -2)=(△x)'+6(△x)2+11△x, 好.故选B. 课堂检测·固双基 Ag=(△x)2+6Ar+l, △x 1.A函数￥=￥()=22+2」 △=2(2+4)2+2-(2×22+2)=24r2+84, -四(a产+64+]=，即"(2)= ·物体在[2,2+]上的平均速度为 1 A9.2Y+8△=24+8. 对点训练1：因为Ay=(1+△)++△（1+1)=△r+ 2.C由平均变化率的概念知C正确，故选C. 1+41, 3.B由s()=3-2,得 +)'-2-2-2 所u哈-l1中a =▣(3+31·4+4)=3,3×12=3. 所以=一-+)=a 侧物体在t=1s时的瞬时速度为3/s故选B. 对点训练2：)号 取4x≠0，△y=1+Ax-√T, 44k=-20+-2x= ,2+4r+2△x2-2 Ar Ay=1+4x-1 △r △x 四(4+24)=4.放答案为4 △r △x(1+△￥+1) 521+-a+0=a+a4时=2a=2. △x V个+△x+1 解得a=1,把切点(1,3)代人函数y=ar2+b, -a7 1 得3=a+b,所以6=3-4=2，故么=2 a 22 5.1.2 导数的概念及其几何意义 (2)D 因为Ag=m+△)=m.m+Am。 △x △r amag所W'a)=四aag后所以-后 -2 -2 必备知识·探新知 知识点1：+A)-) Ar 之，m=4,解得m=±2. 练一练： 24m/s在1e[3,5]内，物体的运动方程为S=3r2+2,则 例2：B解法一：6+-创 h 该段时间内的位移△S=(3×25+2)-(3×9+2)=48(m),则 平均速度为=A-8=24(m/. =气+》-)+x)-- 4=2 h 八x+△x)-fn)） =lm6+h)- 八n)-f八xn-h) -lin 知识点2：lim h 练一练： nn+(-h)]-fx】 A--4-四=m-1-4. =f'(x)+ -h △x -△x =f'(）+f'(xn） -1-2仙.-f“0.-2 =2f'(). -△ 故选A. 解法二：+h)--h h 知识点3： 练一练： =四2x≤+)-%-) 2h c由函数图象知'(2)<=2<'(4)， 4-2 =26+-- 26 -134