第4章 数列章末整合提升(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ＋ ２也成立，若Ｐ（ｎ）对ｎ ＝ ２成立，则下列结 论正确的是 （Ｂ ） Ａ． Ｐ（ｎ）对所有正整数ｎ都成立 Ｂ． Ｐ（ｎ）对所有正偶数ｎ都成立 Ｃ． Ｐ（ｎ）对所有正奇数ｎ都成立 Ｄ． Ｐ（ｎ）对所有自然数ｎ都成立 ４．已知ｆ（ｎ）＝ １ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ｎ（ｎ∈Ｎ ），计 算得ｆ（２）＝ ３２，ｆ（４）＞ ２，ｆ（８）＞ ５ ２，ｆ（１６）＞ ３， ｆ（３２）＞ ７２，由此推测，当ｎ ＞ ２时，有　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．观察下列等式：１３ ＝ １２，１３ ＋ ２３ ＝ ３２，１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＝ ６２，１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋ ４３ ＝ １０２，…，根据上述规 律，第ｎ个等式为１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋…＋ ｎ３ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１１                ］ 章末整合提升 + , = > ? @ 数列 数列的概念与简单表示法 定义：按照确定的顺序排列的一列数 分类有穷数列{无穷数列 表示方法 列表法 解析法通项公式{递推公式     图象法 函数特征（数列的单调性）递增数列{              递减数列 两个基本数列 等差数列 定义：从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 递推公式：ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ｄ（常数） 通项公式：ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 前ｎ项和公式：Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ 性质：若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ          ） 等比数列 定义：从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 递推公式：ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ是常数） 通项公式：ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１ 前ｎ项和公式：Ｓｎ ＝ ｎａ１（ｑ ＝ １） ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ＝ ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ （ｑ≠１{ ） 性质：若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍ·ａｎ ＝ ａｐ·ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ                                     ） 数列的求和 公式求和 分组求和 错位相减法求和 裂项求和       倒序相加求和 数学归纳法基本原理{                                                简单应用 !$) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # A B + , C D 　 　 １．解决等差、等比数列有关问题的几点 注意 （１）等差数列、等比数列公式和性质的灵活 应用． （２）对于计算解答题注意基本量及方程思 想的运用． （３）注重问题的转化，由非等差数列、非等 比数列构造出新的等差数列或等比数列，以便 利用相关公式和性质解题． （４）当题目中出现多个数列时，既要纵向考 察单一数列的项与项之间的关系，又要横向考 察各数列之间的内在联系． ２．数列求和问题一般转化为等差数列或等 比数列的前ｎ项和问题或已知公式的数列求 和，不能转化的再根据数列通项公式的特点选 择恰当的方法求解．一般常见的求和方法有： （１）公式法：利用等差数列或等比数列前ｎ 项和公式． （２）分组求和法：把一个数列分成几个可以 直接求和的数列． （３）裂项（相消）法：有时把一个数列的通 项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间 项，只剩有限项再求和． （４）错位相减法：适用于一个等差数列和一 个等比数列对应项相乘构成的数列求和． （５）倒序相加法：例如，等差数列前ｎ项和 公式的推导                        ． E F G H I J 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　要点一 求数列的通项公式 １．已知等比数列｛ａｎ｝为递增数列，且ａ２５ ＝ ａ１０，２（ａｎ ＋ ａｎ ＋２）＝ ５ａｎ ＋１，则数列的通项公式ａｎ ＝ （Ａ ） Ａ． ２ｎ Ｂ． ２ｎ ＋１ (Ｃ． １ )２ ｎ (Ｄ． １ )２ ｎ ＋１ 要点二 等差、等比数列的基本量运算 ２．等比数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＝ ２，ａ４ ＝ １６． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）若ａ３，ａ５分别为等差数列｛ｂｎ｝的第３项 和第５项，试求数列｛ｂｎ｝的通项公式及前ｎ项 和Ｓｎ． 　 　 ［尝试作答       ］ 要点三 等差（等比）数列的判定或证明 ３．记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ｂｎ为数列 ｛Ｓｎ｝的前ｎ项积，已知２Ｓｎ ＋ １ ｂｎ ＝ ２． （１）证明：数列｛ｂｎ｝是等差数列； （２）求｛ａｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答                                                  ］ !$* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 要点四 等差、等比数列的性质 ４．已知数列｛ａｎ｝是等差数列，满足ａ１ ＝ ２， ａ４ ＝ ８，数列｛ｂｎ｝是等比数列，满足ｂ２ ＝ ４，ｂ５ ＝ ３２． （１）求数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式； （２）求数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ． 　 　 ［尝试作答       ］ 要点五 数列求和 ５．已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ ６，ａ５ ＝ １５，若 ｂｎ ＝ ａ２ｎ，则数列｛ｂｎ｝的前５项和等于 （Ｃ ） Ａ． ３０　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ４５ Ｃ． ９０ Ｄ． １８６ ６．求和： １ ２２ － １ ＋ １ ３２ － １ ＋ １ ４２ － １ ＋…＋ １ ｎ２ － １ （ｎ≥２）． ［分析］　 此数列的通项公式为ａｎ ＝ １ｎ２ － １， 而１ ｎ２ － １ 可以分解成两项的差，于是可以采用裂 项相消法求和． 　 　 ［尝试作答          ］ ７．设数列｛ａｎ｝为１，２ｘ，３ｘ２，４ｘ３，…，ｎｘｎ －１， …（ｘ≠０），求此数列前ｎ项的和． ［分析］　 这个数列的每一项都是一个等差 数列与一个等比数列的对应项的积，因此可以 用错位相减法． 　 　 ［尝试作答        ］ 要点六 归纳—猜想—证明 ８．（２０２４·北师大实验中学高二检测）已知 数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，对任意ｎ∈Ｎ，都有ａｎ ＋１ ＝ ｎ２ ＋ ２ａｎ ｎ ＋ １成立． （１）直接写出ａ２，ａ３，ａ４的值； （２）推测出｛ａｎ｝的通项公式并证明． 　 　 ［尝试作答                                                                                    ］ !%! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 即时巩固 １．（２０２３·广西河池市高二期末（文））已知在 前ｎ项和为Ｓｎ 的数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ － ａｎ － ２，则Ｓ１０１ ＝ （Ｃ ） Ａ． － ９７　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． － ９８ Ｃ． － ９９ Ｄ． － １００ ２．已知等比数列｛ａｎ｝中ａ１ ０１１ ＝ ２，若数列｛ｂｎ｝满 足ｂ１ ＝ １４，且ａｎ ＝ ｂｎ ＋１ ｂｎ ，则ｂ２ ０２２ ＝ （　 ） Ａ． ２２ ０１７ Ｂ． ２２ ０１８ Ｃ． ２２ ０１９ Ｄ． ２２ ０２０ ３．（２０２３·全国乙卷理科）已知等差数列ａ{ }ｎ 的 公差为２π３ ，集合Ｓ ＝ ｃｏｓ ａｎ ｎ∈Ｎ{ }  ，若Ｓ ＝ ａ，{ }ｂ ，则ａｂ ＝ （　 ） Ａ． － １ Ｂ． － １２ Ｃ． ０ Ｄ． １２ ４．等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，ａ３ ＝ ３，Ｓ４ ＝ １０，则ｎ ｋ ＝ １ １ Ｓｋ ＝ 　 　 　 　 　 ． ５． 已知数列｛ａｎ ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ １，ｎ为奇数， ａｎ ＋ ２，ｎ为偶数{ ． （１）记ｂｎ ＝ ａ２ｎ，写出ｂ１，ｂ２，并求数列｛ｂｎ｝的 通项公式； （２）求｛ａｎ｝的前２０项和． ６．已知公比大于１的等比数列｛ａｎ｝满足ａ２ ＋ ａ４ ＝ ２０，ａ３ ＝ ８． （１）求｛ａｎ｝的通项公式； （２）记ｂｍ为｛ａｎ｝在区间（０，ｍ］（ｍ∈Ｎ）中 的项的个数，求数列｛ｂｍ｝的前１００项和Ｓ１００ ． ７．（２０２４·天津卷）已知数列｛ａｎ｝是公比大于０ 的等比数列．其前ｎ项和为Ｓｎ．若ａ１ ＝ １，Ｓ２ ＝ ａ３ － １． （１）求数列｛ａｎ｝前ｎ项和Ｓｎ； （２）设ｂｎ ＝ ｋ，ｎ ＝ ａｋ ｂｎ －１ ＋ ２ｋ，ａｋ ＜ ｎ ＜ ａｋ{ ＋１，ｋ∈Ｎ， ｋ≥２． （ⅰ）当ｋ≥２，ｎ ＝ ａｋ ＋１时，求证：ｂｎ －１≥ａｋ·ｂｎ； （ⅱ）求∑ Ｓｎ ｉ ＝ １ ｂｉ ． 请同学们认真完成考案（一                                                                        ） !%" 又a41+ae≠0.a41-a4-4=0, 六a41=a4+4=4k-244=4(k+1)-2. 5.(n+1)2观察题中所给的前几项，等式左边为立方和。 ∴当n=+1时，等式也成立 等式右边为和平方，则可得到第n个等式为13+2+·+n 由①②可知，a.=4n-2对任何neN'都成立 =a+ 对点训练4：(1)由02-a, 章末整合提升 1 可得a=2-42-a 要点专项突破 2-a 例1：A由数列|.}为递增的等比数列，可知公比g>0,而 a=2-12-2-d 1=3-20 a=ao>0,所以q>1,an>0.由2(a,+a2）=5a.1,得2a。+ 13-2 2a,分=5a,9,则2对-59+2=0，解得9=2或9=（舍去）.由 a=2-a2-3-20 2-a4-3a aG=ao,得(a9)2=a1g,解得a1=2.因此an=2 例2：(1)设a.}的公比为g, (2)推测a,=n-)-(n-2a 由已知得16=22，解得q=2,∴a.=2×2"-1=2 n-(n-1)a (2)由(1)得a3=8,5=32. 下面用数学归纳法证明： 则b3=8,6=32. ①当n=1时，左边=a1=a, 设b的公差为d,则有 6+2d=8, 右边=-》120=a,结论成立， b,+4d=32. 1-(1-1)a ②假设n=k时， 解得=-16， 有a4=任-1)-(-2a d-12, k-(k-1)a 所以6.=-16+12(n-1）=12H-28. 则当n=k+1时， 所以数列b,的前n项和 1 1 s=-16+2n-28=6m2-2n 42-a2-20 2 k-(k-1)a k-(k-1)a 例3：()证明：已知号+女=2得5=2且6,0， 2b. =2k-(k-1)a]-[(k-1)-(h-2)a] 1 k-(k-1)a (k+1)-ka 取m=1,由5=6，得6=受 =[k+1)-1-k+1)-2a (+1)-[(k+1)-1]a 由于6.为数列S,的前n项积。 故当n=k+1时，结论成立 2612b22b. 由①2可知，对neN"都有 所以2h‘2弘2功.6 a,=n-)-(n-2)a 2b2h, 2b n-(n-1）a 所以26‘2弘.-2h白b 例5：(1)当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(22-1)=6， 261-b4 等式成立： 所以2h-6, ■ (2)假设n=专时，结论成立，即2+22+…+2- 由于b.,1≠0. 所以2子一女即6-6=宁，其中neN 2 1 =2(2-1-1), 那么n=k+1时，2+22+…+21+2=2(21-1)+2= 2·2-2=2(2-1)=2[244)-1-1]. 所以数列16.是以6，=子为首项，以d=之为公差的等差 所以当n=k+1时，等式也成立 数列 由(I)(2)可知，等式对任意n>2,neN都成立 课堂检测·固双基 (2)由1)可得，数列6，是以6=子为首项，以d=之为 1B验证可知n=1,2,3,4,5,6时，此不等式左边<右边，n=7公差的等差数列， 时，左边=右边，而左边式子的值随若n的增加面增加，所以 6=号+(n-)×分=1+受， 3 可推知n≥8时，左边>右边，因此n的起始值应取8，故选B 1 2b。 2D当n=2时，左边最后一项为2一了 2+n 5,=26。气1+n 3.B根据数学归纳法的步骤可知，若P(n)对n=2成立，则对： 当a=1时a=8=是 n=2+2=4也成立，由此可推得P(n)对所有正偶数n都成 立，故选B 当2时a.=8-8投"可 I +nn 4八2)>”+2 自变量的取值依次为2,4=22,8=2,16=2 显然对于n=1不成立， 32=2,…,故为2“.右边分母全为2，分子依次为3,4,5,6， 2n=1, .。= 7…,故右边为”号即2)>”生号 1 2 n(n+1),n≥2 一131 例4：(1)设等差数列1a,的公差为d,由题意得d=气4 ②假设当n=(≥2，k∈N”)时成立，即a,=, 3 =2,所以a.=a+(n-1)·d=2+(n-1)×2=2n.设等比数 放当n=6+1时=+2+1=护+2k+1=(+1), 列6，的公比为9，由题意得才=会=8，解得9=2 故n=k+1时，等式成立 由①②可知，a,=n2(neN) 因为6，-么=2， 即时巩固 1.C由a,1=-a,-2.有an+a1=-2,则Sa=a1+(a2+ 所以b=6,·91=2×2-1=2 a3)+…+(a1m+a1m）=1-2×50=-99.故选C. (2)因为a,=2n,b.=2, 所以a,+6,=2n+2,所以S=n2+2m2+21-2)= 2C因为8=g,所以a··a·4·m·m 2 1-2 _6,b.b,…bup,b吧，bm,bg_62 n2+n+2+1-2 出m-云·公·公·…··66。·知 例5：C数列a.}为等差数列，由题意得 因为数列a,为等比数列，且a=2, ∫a:=a1+d=6. 所以a·a2·43·…·a28·2ow·4m·a四l=（a· Las =a +4d=15, a2m）·(a2·a2m）··(a1o0·a1）·a1ou 解 =aial·4iw1··aur·a4t=a8=20 a,=3+(n-1)×3=3n, 所会=2，又=子所以e2 .b.a2 =6n. 故选C. b1-b=6, 3.B依题意，等差数列a,冲，4=a+(a-)·号=号 ∴b,是首项为6，公差为6的等差数列，其前5项的和为 s=5×6+5x5,)×6=30+60=90. +( 1 例6：(n-1)(a+ 显然函数y=[?+(a-】的周期为3，而aeN”,即 cosa.最多3个不同取值，又cos a InEN}=|a,b. 点 则在csa1,00sa2,c0sa3中，c0sa1=c09a2≠c05a3或coa ≠c05a3=c050ay 1 小2-+3-+4-*…+n- 于是有cos0=m(0+),即有0+(0+）=26keZ,解 [()+分)+分)*( 得0=km-号ke乙. 所kezd=(a-胃m[(m-号）+割 =子20≥2 =-os(km-于人oskm=-cos2 kzcos-号=-2 例7：5.=1+2x+3x2+4x2+…+-,① 故选B 6n=x+2x2+3x3+…+(n-1)x-1+n,② 由①-②，得(1-x)5,=1+x+x2+…+x1-n, 4合由题意有低n新得白 ld=1. 当1时.0-8- 2 -L--'+.-(1+nx+n 2 2 一 1-x 1-x 23*…+ nn l 六S=-(1+n)x”+x (1-x) 当x=1时，S,=1+2+3+4+…+n=(1+2 5.(1)由题意，得6，=2=a1+1=2,4=a4=a+1=+2+1 2 =5. n(1+n2(x=1), 易得a2=a21+1,ai=a,+2, 2 所以a22=a2,+3,即61=b,+3, 1-(1+n)x+nx —(x≠1). 所以b,=2+3(n-1)=3n-1. (1-x)2 (2)由(1)可得a=3n-1,n-1=a-2+2=b.-+2= 例8：()由4=r2+2+1以及4，=1， 3n-2. n 所以41。=3×10-2=28,4m=3×10-1=29 令n=1,可得=4， 所以an}的前20项的和为(a1+a3+…+ag）+(a2+a,+… 令n=2,可得a3=9, 令n=3,可得a4=16 +）2×1022x10=0 (2)由(1)，归纳猜想a。=n(nEN). 6.(1)设等比数列a.首项为a,公比为g(q>1). 下面应用数学归纳法进行证明： ①当n=1时，4=1=1，满足题意，故成立 因为120即=20解得9=2或9=之合 a3=8. la1g2=8, 132 去)，a1=2. :3+()+9()+27A-3+ 所以a。=2” 9 (2)依题意及(1)知，6=0，当2≤m<2+时，b.=n,又2= =+a}2+4. 9 64<100,27=128>100,故6.≤6 当2≤m<2时，b。=1,即b1=b=1:当2≤m<2'时，b.= 岁ga++4 2,即b4=b3=b6=女=2；当2≤m<2时，b.=3,即be=6。= …=bs=3:…:当2≤m<2’时，bn=6,即ba=b6=…=bm 六会=)(a)产+山+小=4放选c =6. 知识点3：一个确定的位置 故Sm=b+(b2+b)+(b4+b+b6+)+…+(bm+bg+ 练一练： …+bea）+(ba+bas+…+bm） 因为△y=(1+△)++△(1+1) =1×0+2×1+22×2+23×3+2*×4+25×5+(100-64+ 1)×6 =Ax+T+Ax 1 -1, =480. 所以5m=1×0+1×2+2×2+3×2+4×2+5×2+6× 所尝1心 △x 37=480. 7.(1)设等比数列a.1的公比为g>0, 所以=一-四小-1+)=0 因为a1=1,S=a3-1,即a1+a2=a3-1, 关键能力·攻重难 可得1+9=9-1，整理得g-9-2=0,解得g=2或q=-1 例1：(1)B (舍去)， 830-岩-1 3-1 所以8号2”-1 (2)A列车从开始运行到10秒时，列车距离的增加量为 x(10)-s(0)=100-0=100(米)，则列车运行10秒的平均速度 (2)(1)证明：由(1)可知a4=2-且keN°，k≥2， 为(10)=0=10（米/秒）。 当n=a1=2≥4时，期=2-<2-1=n-1 10-0 In-1=0m-1<a 即a<n 对点训练1：质点在[2,2+△]上的平均速度为 -1<a t=[2+4)2+1-(22+ 可知a1=2-,6,=+1, : b.-1=b+(a1-4-1）·2h=k+2h(2-1-1)=k(2- _4:t(=4+a 1), 又i≤5，即4+△f≤5△≤1， 可得6.-4-a·6,=(2-1)-(k+1)2-'=(k-1)2-+-k 又4t>0,.41的取值范丽为(0,1]. ≥2(#-1)-k=k-2≥0. 当且仅当k=2时，等号成立，所以b.-1≥a·b: 例2岩=u+@ (iⅱ)由(1)可知：Sn=2”-1=a1-1, =2t+)3+3-(2+32=4+24 △ 若n=1,则S=1,b1=1: 若n≥2，则a41-a4=2- (1)当1=2.4y=001时.A=4×2+2×0.01=8.02(cm/s). 当2-<i≤2-1时，-b-1=2k,可知6，}为等差数列， 可得茎=：222》=：4=g(3 2- （2)当1=2，d=0m时，是=4x2+2x0m1=8mm/ 2 -1)4-(3k-4)4-4】. 8r=-四+2w)44×2-8m》 所以26=1+[5x4-2×4+8×49-5×4+…+(3n- 对点训练2：(1)D该质点在1=1时的瞬时速度为-6， 故选D, 1)4-(3n-4)4-]=3n-)4±上，且n=l,符合上式综 (2)D△x=-4(2+△1)2+16(2+△)+4×22-16×2 =-4(4)2, 上所述：6=(3n-1)4+1 As =-4(4)2 9 ==4△1 △ 第五章·元函数的导数及其应用 =-回-4)=0 “物体在t=2s时的瞬时速度为0m/s. 5.1导数的概念及其意义 例3(1)当x=2时，4y=(2+4+2+4+5 5.1.1变化率问题 (2++5)=4a+(4P+22 -△ 必备知识·探新知 知识点1：某一时刻 所以之=4+4+24 知识点2：无限趋近于0-5 练一练： 所以四8=+ar-4+2a4+0-42x0 c4s=3++(3+4)- 9 -3=芹所以两数在2处的切线斜*为水=宁 3 133