4.4 数学归纳法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

2-1+1-=2- +…+2+2+1+2h+2=右边，即等式也成立由(1)(2) 3.44.5令5=sim21°+sin22°+…+sin89 可知. 则S=sin2389°+sin288°+…+sin21°， .11 -1 两式相加，可得2S=(sin'1°+sin'89°)+(sin2+in288)+ 原等式子+34++-+2中 …+(sin289°+sim21°)=89.故S=44.5, 即sin19+sin32°+…+sin89o=44.5. …+六aeN)成立 4.(1)设等差数列。1的公差为d,由已知条件可 得，+d=0, 对点训练2：0)当1时，左边=女分右边号 12a1+12d=-10. =了，左边=右边，等式成立。 解得1， 22 1d=-l. (2)假设当。=6(eN)时等式成立，即有女3花 故数列0.}的通项公式为。=2- k(+1) 2号+… …+(2k-10(2k+1）-2(2k+6 2 则当n=女+1时， 1,03-n.2-n 所以宁=京+++ 1223 (k+1)2 x3+3×5+…+(2k=10(2+D+(2k+1)(2k+3) 111 两式相减得=一立分一 12-n k(k+1) (k+1)2 (k+1)(k+2) 2* 2*1, 2(2k+1)+(2k+1)(2k+3)=2(2h+3) 11 即当n=k+1时等式成立 14“2产2-n 所以= 由(1)(2)可得，对于任意的n∈N等式都成立， 12 1-2 例3.0当=2时1+宁=号<2-号：命题成立 ②假设n=k时命题成立，即1+宁+子+…+京< 所以S是 2- k 4.4·数学归纳法 1 当n=k+1时，1+2+京+…+F+k+可 必备知识·探新知 知识点：(1)m(2)k+1 +<2本++厅=2-+1 2 1 1 练一练： D表达式的左边是从1开始加到a+结束， +1命题成立 1 所以验证n=1成立时等式左边计算所得项是1+++ 由①②知原不等式在n≥2时均成立 a3+a. 对点训练3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 故选D. 边，不等式成立 关键能力·攻重难 例1：D在证明n=k+1不等式也成立时，没有应用=k (2)假设当n=(≥1且keN)时，不等式成立，即1+ 时的假设，即没有用到归纳递推，故从n=k到n=素+1的推理 <2R 不正确，故选D, 1 1 对点训练1：C当n=k时，左边=++k+2+…+k中F 则当n=+1时， 1+41 +…+ <2+ 当n=水+1时，左边=+2+中3+…+ 五√R+I + =2匠+打+1<+(+D2+ (k+1)+(-万+(+1)+k+(k+1)+(k+D,故不等式左 k+l √R+I 边的变化是带加十和中2两项.同时减少一项 2+=2+ k+1 例2：①当m=1时，左边=1-宁=子，右边=古=分等 1 所以当n=k+1时，不等式成立. 由(1)(2)可知，原不等式对任意nN都成立. 式成立 ②假设当n=k时，等式成立 例4：1由“2v2及得9-a2型 8,由S可求得a, 即1-分+写+…+永有+中2+… =2,=6,41=10,由此猜想a。{的通项公式a。=4n-2, nE N'. (2)①当n=1时，a1=2,等式成立： 则当=k+1时，左边=1-宁++…+2 ②假设当n=(素eN")时，等式成立，即a4=4-2, 01=81-8=01+2)2(a+2)2 8 8 +222+2*…++2h2中2中2 六(at1+ae)(a1-a-4)=0 -130 又a1+a≠0，.a1-a1-4=0, 01=a4+4=4h-2+4=4(k+1)-2. 5.(+)产观察题中所给的前几项，等式左边为立方和。 “当=素+1时，等式也成立 等式右边为和平方，测可得到第n个等式为1’+2+…+n 由①②可知，a.=4n-2对任何neN”都成立. 1 对点训练4：(1)由a+=2-4n 章末整合提升 1 1 可得4=2-2-0 要点专项突破 ,11, 2-u 例1：A由数列{a.}为递增的等比数列，可知公比9>0，而 2-2-2-0 1-2a a=ae>0,所以q>1,an>0.由2(a,+an）=5n+1,得2an+ 1 1 3-2a 20,分=5u9,则2对-59+2=0，解得9=2或9=（舍去）.由 a4=2-02-3-20 2-u4-3a =a,得(a)子=ag,解得a,=2.因此a.=2 例2：(1)设1a.的公比为9， (2)推测a,=n-)-(n-2a 由已知得16=2g,解得9=2，.a。=2×2-'=2" n-(n-1)a (2)由(1)得4=8,4=32， 下面用数学归纳法证明： 则4=8,6=32. ①当n=1时.左边=a,=a, 右边=，)2)=，结论成立. 设b1的公差为d,则有 「b+2d=8 1b,+4d=32 1-(1-1)a ②假设m=k时， 有44=k-)-(k-24 解白26 k-(k-1)a 所以6=-16+12(n-1)=12m-28. 则当n=k+1时， 所以数列1b的前n项和 1 1 s=n-16+12n-28】=6m2-22n 12-a2.-9-2 2 k-(k-1)a k-(k-1)a 例3：()证明：由已知子+女=2得8=2弘且60。 2b. =2k-(k-1)aJ-[(k-1)-(k-2)a间 1 b. k-(k-1)a (k+1）-k@ 取a=1,由S=6,得6=子 =[k+1)-]-[(k+1)-2a (k+1)-[(k+1)-1]a 由于b.为数列S,|的前n项积 故当n=k+1时，结论成立。 26 2b2b. 由①②可知，对n∈N“都有 所以2b-‘2,2h.-=6, 2b,2b, a,=n-)-(a2a -(n-1)a 所以26-‘26-2b6… 例5：(1)当n=3时，左边=2+22=6，右边=2(22-1)=6， 2b1-b 等式成立： 所以2， (2)假设n=时，结论成立，即2+2+…+2- 由于b1≠0. 2 =2(24-1-1) 1 所以2山1-一产即6-6=2其中neN 那么m=k+1时，2+2+…+2-1+2=2(2-1-1）+2= 2·2-2=2(2-1)=2[24)-4-1]. 所以数列6，是以么=号为首项，以d=号为公差的等差 所以当=k+I时，等式也戒立 数列. 由(1)(2)可知，等式对任意n>2,neN"都成立. 课堂检测·固双基 (2)由(1)可得，数列16，是以6，=子为首项，以4=之为 1.B验证可知n=1,2,3,4,5,6时，此不等式左边<右边，n=7公差的等差数列， 时，左边=右边，而左边式子的值随着n的增加而增加，所以 6=号+(a-)x号=1+受 1 可推知n≥8时，左边>右边，因此n的起始值应取8，故选B 2D当n=2时，左边最后一项为2一3 1 1 2b。 2+n $,=2h.-151+m 3.B根据数学归纳法的步骤可知，若P(n)对m=2成立，则对 当a=1时，4=S=子 n=2+2=4也成立，由此可推得P(n)对所有正偶数n都成 立，故选B 2+n1+”=-(n+0 当n≥2时，a,=S-51=1+nn 4八2)>n+2 2 自变量的取值依次为2,4=2,8=2,16=2， 显然对于n=1不成立， 32=2,…,故为2.右边分母全为2，分子依次为3.4,5,6， 2n=1, 7.…,故右边为2即2)>” 1 2 2 n(n+1)n22. -131# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 对于通项中含字母的数列求和，忽略对字 母进行分类讨论而致误 ４．求数列１，ａ，ａ２，…的前ｎ项和Ｓｎ． ［错解］　 Ｓｎ ＝ １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ －１ ＝ １ － ａ ｎ １ － ａ ＝ ａ ｎ － １ ａ － １ ． ［误区警示］　 错误的原因在于忽略了对ａ 的取值进行分类讨论． 　 　 ［正解                            ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，且２ａ１，２，２ａ６成等 比数列，则｛ａｎ｝前６项的和为 （Ｃ ） Ａ． １５　 　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ２１２ Ｃ． ６ Ｄ． ３ ２．数列１，１２，２， １ ４，４， １ ８，…的前２ｎ项和Ｓ２ｎ ＝ 　 　 　 　 　 ． ３．在推导等差数列前ｎ项和的过程中，我们使 用了倒序相加法，类比可以求得ｓｉｎ２１° ＋ ｓｉｎ２２° ＋…＋ ｓｉｎ２８９° ＝ ４４． ５　 ． ４．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ２ ＝ ０，ａ６ ＋ ａ８ ＝ － １０． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）求数列ａｎ ２{ }ｎ 的前ｎ项和Ｓｎ． 请同学们认真完成练案［１０                      ］ ４． ４ 　 数学归纳法 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解数学归纳法的原理． ２．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． ３．能归纳猜想，利用数学归纳法证明与正整数有关的数学命题． 学法解读 １．了解数学归纳法的原理．（数学抽象、逻辑推理） ２．掌握数学归纳法的步骤．（逻辑推理） ３．能用数学归纳法证明一些简单的数学命题．（逻辑推理） !$% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　数学归纳法 　 　 一般地，证明一个与正整数ｎ有关的命题， 可按下列步骤进行： （１）（归纳奠基）证明当ｎ ＝ ｎ０　 （ｎ０∈Ｎ） 时命题成立； （２）（归纳递推）以“当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥ ｎ０）时命题成立”为条件，推出“当ｎ ＝ ｋ ＋ １　 时 命题也成立”． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对 从ｎ０开始的所有正整数ｎ都成立，这种证明方 法称为数学归纳法． 想一想：用数学归纳法证明命题的关键是 什么？ 提示：步骤（２）是用数学归纳法证明命题的 关键．归纳假设“当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ，ｋ≥ｎ０）时命题 成立”起着已知的作用，证明“当ｎ ＝ ｋ ＋ １时命 题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根 据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当ｎ ＝ ｋ ＋ １时命题也成立．而不能直接将ｎ ＝ ｋ ＋ １代 入归纳假设，此时ｎ ＝ ｋ ＋ １时命题成立也是假 设，命题并没有得证． 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　练一练：用数学归纳法证明“１ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋… ＋ ａ３ｎ ＋１ ＝ １ － ａ ３ｎ ＋２ １ － ａ ａ≠( )１ ”，验证ｎ ＝ １成立时等 式左边计算所得项是 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． １ ＋ ａ Ｃ． １ ＋ ａ ＋ ａ２ Ｄ． １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ                             ４ /012%345 题型探究 题型一 对数学归纳法的理解 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．对于不等式ｎ２ ＋槡 ｎ ＜ ｎ ＋ １（ｎ∈Ｎ），某 同学用数学归纳法的证明过程如下： （１）当ｎ ＝ １时， １２槡＋ １ ＜ １ ＋ １，不等式 成立． （２）假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ≥１且ｋ∈Ｎ）时，不等 式成立，即ｋ２ ＋槡 ｋ ＜ ｋ ＋ １，则当ｎ ＝ ｋ ＋ １时， （ｋ ＋ １）２ ＋（ｋ ＋ １槡 ） ＝ ｋ２ ＋ ３ｋ槡 ＋ ２ ＜ （ｋ２ ＋ ３ｋ ＋ ２）＋ ｋ槡 ＋ ２ ＝ （ｋ ＋ ２）槡 ２ ＝ （ｋ ＋ １） ＋ １， ∴当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，不等式成立，则上述证法 （Ｄ ） Ａ．过程全部正确 Ｂ． ｎ ＝ １验证不正确 Ｃ．归纳假设不正确 Ｄ．从ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １的推理不正确 　 　 ［规律方法］　 数学归纳法的三个关键点 （１）验证是基础：找准起点，奠基要稳，有些 问题中验证的初始值不一定是１． （２）递推是关键：数学归纳法的实质在于递 推，要正确分析式子中项数的变化，弄清式子两 边的构成规律． （３）利用假设是核心：在第二步证明ｎ ＝ ｋ ＋ １时，一定要利用归纳假设． 对点训练? （２０２４·广东佛山期末）用 数学归纳法证明“ １ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ ＞ １１ ３４” 时，由ｋ到ｋ ＋ １，不等式左边的变化是（Ｃ ） Ａ．增加 １２（ｋ ＋ １）一项 Ｂ．增加１２ｋ ＋ １和 １ ２ｋ ＋ ２两项 Ｃ．增加１２ｋ ＋ １和 １ ２ｋ ＋ ２两项，同时减少 １ ｋ ＋ １ 一项 Ｄ．                                  以上结论都不正确 !$& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型二 用数学归纳法证明等式 ２．用数学归纳法证明１ － １２ ＋ １ ３ － １ ４ ＋…＋ １ ２ｎ － １ － １ ２ｎ ＝ １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ（ｎ∈Ｎ ）． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明等式时， 一是弄清ｎ取第一个值ｎ０ 时等式两端项的情 况；二是弄清从ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １等式两端的项 是如何变化的，即增加了哪些项，减少了哪些 项；三是证明ｎ ＝ ｋ ＋ １时结论也成立，要设法将 待证式与归纳假设建立联系，并向ｎ ＝ ｋ ＋ １时 证明目标的表达式进行变形． 对点训练? 用数学归纳法证明： １２ １ × ３ ＋ ２２ ３ × ５ ＋ …＋ ｎ２ （２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）＝ ｎ（ｎ ＋ １） ２（２ｎ ＋ １）．（ｎ∈Ｎ ） 题型三 用数学归纳法证明不等式 ３．用数学归纳法证明：１ ＋ １ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １ ｎ２ ＜ ２ － １ｎ（ｎ≥２）． ［分析］　 按照数学归纳法的步骤证明，由 ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １的推证过程可应用放缩技巧， 使问题简单化． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 用数学归纳法证明不等式和 证明恒等式注意事项大致相同，需要注意的是： （１）在应用归纳假设证明过程中，方向不明 确时，可采用分析法完成，经过分析找到推证的 方向后，再用综合法、比较法等其他方法证明． （２）在推证“ｎ ＝ ｋ ＋ １时不等式也成立”的 过程中，常常要将表达式作适当放缩变形，以便 于应用归纳假设，变换出要证明的结论． 对点训练? 用数学归纳法证明：１ ＋ １ 槡２ ＋ １ 槡３ ＋…＋ １ 槡ｎ ＜ ２槡ｎ（ｎ∈Ｎ）                                                                      ． !$' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型四 数学归纳法在数列中的应用 ４．（２０２３·深圳市耀华实验学校高二联考） 已知数列｛ａｎ｝是正数组成的数列，其前ｎ项和 为Ｓｎ，对于一切ｎ∈Ｎ均有ａｎ与２的等差中项等 于Ｓｎ与２的等比中项． （１）计算ａ１，ａ２，ａ３，并由此猜想数列｛ａｎ｝的 通项公式； （２）用数学归纳法证明（１）中你的猜想． ［分析］　 （１）由题意Ｓｎ ＝（ａｎ ＋ ２） ２ ８ ，令ｎ ＝ １，因为Ｓ１ ＝ ａ１，可求出ａ１的值，再反复代入，分 别求出ａ２，ａ３，总结出规律写出通项公式； （２）根据（１）中的猜想，利用归纳法进行证 明，假设当ｎ ＝ ｋ时成立，然后利用已知条件验 证ｎ ＝ ｋ ＋ １时也成立，从而求证． 　 　 ［尝试作答    ］ 　 　 ［规律方法］　 通过此例可看出观察、归纳、 猜想、证明的思想方法的基本思路是：在探讨某些 问题时，可以先从观察入手，发现问题的特点，形成 解决问题的初步思路，然后用归纳方法进行试探， 提出猜想，最后用数学归纳法给出证明． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ａ， ａｎ ＋１ ＝ １ ２ － ａｎ ． （１）求ａ２，ａ３，ａ４； （２）推测数列｛ａｎ｝的通项公式，并用数学归 纳法证明． 易错警示 　 　 未用归纳假设而致误 ５．用数学归纳法证明：２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ －１ ＝ ２（２ｎ －１ － １）（ｎ ＞ ２，ｎ∈Ｎ）． ［错解］　 （１）当ｎ ＝ ３时，左边＝ ２ ＋ ２２ ＝ ６， 右边＝ ２（２２ － １）＝ ６，等式成立． （２）假设ｎ ＝ ｋ时，结论成立，即２ ＋ ２２ ＋… ＋ ２ｋ －１ ＝ ２（２ｋ －１ － １），那么由等比数列的前ｎ项 和公式，得２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｋ －１ ＋ ２ｋ ＝ ２（１ － ２ ｋ） １ － ２ ＝ ２（２ｋ － １）． 所以当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，等式也成立． 由（１）（２）可知，等式对任意ｎ ＞ ２，ｎ∈Ｎ 都成立． ［误区警示］　 错解中的第二步没用到归纳 假设，直接使用了等比数列的求和公式．由于未用 归纳假设，造成使用数学归纳法失误． 　 　 ［正解        ］ 　 　 ［点评］　 在用数学归纳法证明中，两个基 本步骤缺一不可． 其中，第一步是递推的基础，验证ｎ ＝ ｎ０ 时 结论成立的ｎ０不一定为１，根据题目要求，有时 可为２，３等；第二步是递推的依据，证明ｎ ＝ ｋ ＋ １时命题也成立的过程中，一定要用到归纳假 设，否则就不是数学归纳法                                                         ． 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．用数学归纳法证明不等式１ ＋ １２ ＋ １ ４ ＋…＋ １ ２ｎ －１ ＞ １２７６４成立，起始值至少应取为 （Ｂ ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １０ ２．用数学归纳法证明：１ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ２ｎ － １ ＜ ｎ（ｎ∈Ｎ且ｎ ＞ １），第一步验证ｎ ＝ ２时，左边 计算所得项为 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． １ ＋ １２ Ｃ． １３ Ｄ． １ ＋ １ ２ ＋ １ ３ ３．如果命题Ｐ（ｎ）对ｎ ＝ ｋ成立，那么它对ｎ ＝           ｋ !$( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ＋ ２也成立，若Ｐ（ｎ）对ｎ ＝ ２成立，则下列结 论正确的是 （Ｂ ） Ａ． Ｐ（ｎ）对所有正整数ｎ都成立 Ｂ． Ｐ（ｎ）对所有正偶数ｎ都成立 Ｃ． Ｐ（ｎ）对所有正奇数ｎ都成立 Ｄ． Ｐ（ｎ）对所有自然数ｎ都成立 ４．已知ｆ（ｎ）＝ １ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ｎ（ｎ∈Ｎ ），计 算得ｆ（２）＝ ３２，ｆ（４）＞ ２，ｆ（８）＞ ５ ２，ｆ（１６）＞ ３， ｆ（３２）＞ ７２，由此推测，当ｎ ＞ ２时，有　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．观察下列等式：１３ ＝ １２，１３ ＋ ２３ ＝ ３２，１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＝ ６２，１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋ ４３ ＝ １０２，…，根据上述规 律，第ｎ个等式为１３ ＋ ２３ ＋ ３３ ＋…＋ ｎ３ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１１                ］ 章末整合提升 + , = > ? @ 数列 数列的概念与简单表示法 定义：按照确定的顺序排列的一列数 分类有穷数列{无穷数列 表示方法 列表法 解析法通项公式{递推公式     图象法 函数特征（数列的单调性）递增数列{              递减数列 两个基本数列 等差数列 定义：从第２项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数 递推公式：ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ｄ（常数） 通项公式：ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 前ｎ项和公式：Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ 性质：若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ          ） 等比数列 定义：从第２项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数 递推公式：ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ是常数） 通项公式：ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１ 前ｎ项和公式：Ｓｎ ＝ ｎａ１（ｑ ＝ １） ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ＝ ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ （ｑ≠１{ ） 性质：若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ，则ａｍ·ａｎ ＝ ａｐ·ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ                                     ） 数列的求和 公式求和 分组求和 错位相减法求和 裂项求和       倒序相加求和 数学归纳法基本原理{                                                简单应用 !$)