4.3.2 第2课时等比数列习题课(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

六5=21-22-21-2 %=2-1 1-2 2D由题意4=2a1,S-1-2 8-3n2+n 2 1-2 =31a1 2-尝号故连n 当n≥2时，6，=8-81=3，+n3n-+a-。 2 3n-1. 3.CS=1+a,a=a+1. 当n=1时，6=S,=2满足上式，÷b.=3n-1 S2=2+a,42=1, (2)c.=a.+b=2-4+3n-1. S3=4+a,a3=2, .Tn=G+G2+…+Cn .a=443,即1=2(a+1), =(2°+2+…+2”-1)+[2+5+…+(3n-1)] 解得a=分5=2-分=8-=4， 号2+-21，业 2 2 ÷4=a=16,放选C 4D设等比数列{4.的公比为g,9≠0， 例3：S=1×号+3×寸+5×日++(2m-0× 1 若q=1,则42-a=0,与题意矛盾， 所以q≠1， 0 则4++，=“1-2 4=96, 1-g =168, 解得 =1x寸+3xg++(2m-3)×+(2-)× 14-ay=a19-a9=42, 9=2 1 所以as=a9=3. :2下② 故选D. ①-@，得5=1×7+2×+2x日++2× 5.24设a+a+a。+…+a0=X, 则a1+a3+a5+…+a=32-X, 1 ×4-2×2 2 公比为3，六32-X3,解得X=24 (2m-1)×2=1×2+ 17 -(2n-1)×2m 第2课时等比数列习题课 32n+3 关键能力·攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为q(g>0), 8=3-2t3(neN) 2 由a,=1,且-西，，a,成等差数列， 得2a=a4-a,即2g=g-92,得g=2 对点调练3：山)因为数列{倍}是公差为1的等差数列，所 所82则又=2a 以之=a1+n-1,可得S.=n(a+n-1).当n=2时，a+a (2)Ba1=35,a.=351,故a1-0.=3a,即a1三2(a+1).又a,=3,所以a+3=2(a1+1),解得a=1.所以S 4如，(n≥2)，而n-1时，4=3S=3a,可知该数列不是等比数=n.当n≥2时，a,=S,-S.1=2-(n-1)2=2n-1.当n= 列.当a。=0时，数列a,为等差数列.故本题正确答案为B 时，a=1也符合上式.所以数列an的通项公式为a.=2n-1. 对点训练1：0)8=子宁号之分 (2)由(1)可知，6n=a。·3°=(2n-1)·3°，所以数列{b, 的前n项和T,=3+3×32+5×3+…+(2n-1)×3①.所以 (2)-63 依题意，代。，，作差得a=2a· 3T.=32+3×32+…+(2n-3)×3+(2n-1)×3+②.①- 所以数列a,}是公比为2的等比数列， ②，得-2T.=3+2×(32+3+…+3)-(2n-1)×31=3+2 又因为a1=S,=2a+1, x3-3 所以a=-1,所以a,=-2-, 1-3-(2m-1)×3整理，得T=3+(n-1)×3 例4：Sn=1+a+a2+…+a”-l 所以3==1×1-22=-68 1-2 当a=1时，S=1+1+…+1=n:当a≠1且a≠0时，S。= 1-a=g-1 1 1- 1-aa-1 例2：因为通项4=1+2+京+…+2六= =2- rn(a=1), 当a=0时满足上式，∴S= 一（山=1,23，“，）.所以可利用分组求和法将其分成一个常 -cD. 课堂检测·固双基 数列（实质为等差数列）和一个等比数列分别求和，即有 1.C设数列{a.为公差为d的等差数列， 及=2-)+(2-）+-)+…+2-2) 且2,2,2“成等比数列. 可得4=2·26=29+6，可得a1+a6=2, =2-(+岁*+)=2-2++ 即有a,前6项的和为行×6(a,+4,)=6 对点训练2：(1)设公比为9，a1=1,aa=16。 9=16,9>0,9=2 129 2-1+1--2- +…+六+2k++2k+2=右边，即等式也成立.由(1)(2) 3.44.5令5=sin21°+sin22°+…+sim89° 可知 则S=sin289°+5in288°+…+sin21°， 两式相加，可得2S=(sim19+sim89)+(in2°+sin288)+ 原等式1-+号+…+六+2 1 …+(sin89°+sin1°)=89.故S=44.5. …+(neN)成立 即sin21°+sn20+…+sin89°=44.5. 4.(1)设等差数列|a的公差为d,由已知条件可 得+d=0. 对点训练2：)当1时，左边=女3宁：右边号 12a1+12d=-10, =了，左边=右边，等式成立 解得，1， 22 ld=-1. （②)假设当a=kk后N)时等式成立，即有后+发5 故数列a.}的通项公式为an=2-n k(k+1) 2s++++2 …+2k-10(2h+1-2(2h+i 24-1 2 则当n=者+1时， 12 22 2 (k+1)2 22T x3+3x5+…+(2k-1)(2k+D+(2k+1)(2+3) 12-n k(k+1) (k+1)2 -(k+1)(k+2) 2 21, 2(2k+1)+(2h+1)(2k+3)-2(2h+3) 11 即当n=k+1时等式成立 1422-n 所以5=方 由(1)(2)可得，对于任意的n∈N等式都成立 12+ 1-2 例3，①当=2时，1+分=子<2-宁-会命题成立 ②假设n=k时命题成立，即1+分+京+…+京< 所以5是 2-k 4.4·数学归纳法 当n=k+1时，1+ 3+…+ 1 1 2 必备知识·探新知 1 1 1 1,11 知识点：(1)n。 (2)k+1 2 本+(k1可<2-+6+D2-下+中=2- 练一练： D表达式的左边是从1开始加到a“结束， +1命题成立 所以验证n=I成立时等式左边计算所得项是1+a+a+ 由①2知原不等式在m≥2时均成立 a+a. 对点训练3：(1)当n=1时，左边=1，右边=2.左边<右 故选D. 边，不等式成立 关键能力·攻重难 例1：D在证明n=k+1不等式也成立时，没有应用n=k (2)假设当n=(≥1且keN)时，不等式成立，即1+ 时的假设，即没有用到归纳递推，放从n=k到n=+1的推理： 不正确，故选D, *+<2底 1 对点训练1：C当n=k时，左边=中++2+…++ 则当n=k+1时。 1+1+1 当n=k+1时，左边=2中3+叶 1 +…+ 1 +司 2压+打+L<+(+D+山 (+)+(6-万+(+)+k+(k+1)+(+万放不等式左 +T /k+1 边的变化是增加十和中两项.同时减少4。一项 2k+-2/+1 +T 例2，①当01时左边=1宁=宁右边=十=宁，等 所以当n=+1时，不等式成立 由(1)(2)可知，原不等式对任意neN'都成立 式成立 ②假设当n=k时，等式成立， 例4：0)品2西得82型 8,由S可求得a 即1-之+分冬+…*点永"动+中2+… =2,4=6,4=10,由此猜想a,}的通项公式a,=4n-2, ne N'. 1 + (2)①当n=1时，a1=2,等式成立： 则当=k+1时，左边=1-子+兮号+…+2石一品 ②假设当n=(keN)时，等式成立，即a4=4k-2, 04=81-8=01+2y2_(0+2)2 8 *xh+2h+中2*…+*+22 1 8 (al+as)(a41-a4-4)=0. 130# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．等比数列｛２ｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ｎ － １ Ｂ． ２ｎ － ２ Ｃ． ２ｎ ＋１ － １ Ｄ． ２ｎ ＋１ － ２ ２．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ ＝ ２，前ｎ项和为 Ｓｎ，则Ｓ５ａ２ ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． １７２ Ｄ． ３１ ２ ３．若等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ －１ ＋ ａ，则 ａ３ａ５ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １６ Ｄ． ３２ ４．（２０２２·全国乙卷文）已知等比数列｛ａｎ｝的前 ３项和为１６８，ａ２ － ａ５ ＝ ４２，则ａ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４ Ｂ． １２ Ｃ． ６ Ｄ． ３ ５．设数列｛ａｎ｝是等比数列，公比为３，前８０项和 为３２，则ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６ ＋…＋ ａ８０ ＝ ２４　 ． 请同学们认真完成练案［９                 ］ 第２课时　 等比数列习题课 !"#$%&'( 课程标准 １．进一步理解等比数列中ａｎ与Ｓｎ的关系． ２．掌握几种与等比数列有关的求和方法． 学法解读 １．掌握等比数列前ｎ项和公式在几何中的应用．（逻辑推理、直观想象） ２．能够运用等比数列前ｎ项和公式解决实际问题．（逻辑推理、数学建模） ３．能够利用递推公式解决一些实际问题．（逻辑推理、数学建模） /012%345 题型探究 题型一 等比数列ａｎ与Ｓｎ的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４成等差数列，则Ｓｎ与 ａｎ的关系是 （Ａ ） Ａ． Ｓｎ ＝ ２ａｎ － １ Ｂ． Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ １ Ｃ． Ｓｎ ＝ ４ａｎ － ３ Ｄ． Ｓｎ ＝ ４ａｎ － １ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，对任意正整 数ｎ，ａｎ ＋１ ＝ ３Ｓｎ，则下列关于｛ａｎ｝的论断中正确 的是 （Ｂ ） Ａ．一定是等差数列 Ｂ．可能是等差数列，但不会是等比数列 Ｃ．一定是等比数列 Ｄ．可能是等比数列，但不会是等差数列 　 　 ［规律方法］　 关于等比数列Ｓｎ与ａｎ的关系 （１）Ｓｎ与ａｎ 的关系可以由Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ１ － ｑ 得 到，一般已知ａ１，ｑ即可得到二者之间的关系，也 可以通过特殊项验证判断． （２）Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ａｎ（ｎ≥２）是Ｓｎ与ａｎ之间的 内在联系，既可以推出项ａｎ －１，ａｎ，ａｎ ＋１之间的关 系，也可得到Ｓｎ －１，Ｓｎ，Ｓｎ ＋１之间的关系，体现了 Ｓｎ与ａｎ关系的本质                     ． !$# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 对点训练? （１）等比数列｛ａｎ｝，若已 知ａｎ ＝ ３ｎ －１，则Ｓｎ与ａｎ的关系是　 　 　 　 　 　 　 　 ； （２）记Ｓｎ为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和．若Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ １，则Ｓ６ ＝ － ６３　 ． 题型二 分组求和法 ２．求和：Ｓｎ (＝ １ ＋ １ ＋ １ )２ (＋ １ ＋ １ ２ ＋ １ ２ )２ ＋ … (＋ １ ＋ １２ ＋ １ ２２ ＋…＋ １ ２ｎ )－１ ． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 分组转化求和法 如果一个数列的每一项是由几个独立的项 组合而成，并且各独立项也可组成等差或等比 数列，则该数列的前ｎ项和可考虑拆项后利用 公式求解． 对点训练? 各项均为正数的等比数列 ｛ａｎ｝，ａ１ ＝ １，ａ２ａ４ ＝ １６，数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ，且Ｓｎ ＝ ３ｎ ２ ＋ ｎ ２ （ｎ∈Ｎ ＋）． （１）求数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的通项公式； （２）若ｃｎ ＝ ａｎ ＋ ｂｎ，求数列｛ｃｎ｝的前ｎ项 和Ｔｎ． 题型三 错位相减法 ３．求和：Ｓｎ ＝ １ × １２ ＋ ３ × １ ４ ＋ ５ × １ ８ ＋… ＋ ２ｎ － １ ２ｎ ． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 错位相减法 若数列｛ａｎ｝为等差数列，数列｛ｂｎ｝是等比数 列，由这两个数列的对应项乘积组成的新数列为 ｛ａｎｂｎ｝，当求该数列的前ｎ项的和时，常常采用将 ｛ａｎｂｎ｝的各项乘以公比ｑ，然后错位一项与｛ａｎｂｎ｝ 的同次项对应相减，即可转化为特殊数列的求和， 所以这种数列求和的方法称为错位相减法． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，数列Ｓｎ{ }ｎ 是公差为１的等差数列，且ａ２ ＝ ３． （１）求数列｛ａｎ｝的通项公式； （２）设ｂｎ ＝ ａｎ·３ｎ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项 和Ｔｎ                                                                      ． !$$