4.3.2 第1课时等比数列的前n项和公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

公比为q,则au=,9” 且aa=2a1,所以q=2, 方法二：设这三个数分别为号a,4 所以2=g=(2)°=2 ·0·0g=27, 由题意，得 对点训练4：(1)C 一年后的价格为：810×-） +a2+a2g=91. 5400: 4=3 两年后的价格为：540×1-）3600： 三年后的价格为：3600×1-）=240 ∴9g-82g2+9=0 (2)C由已知可得130×(1+12%)-≥200， 即得(=g或分=9， 即112≥需 9=士3或g=±子 (a-1%12≥需 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或93,1或-9,3，-1. 4.3.2等比数列的前n项和公式 n-1≥lg2-g338 1g1.12 n≥5.故选C 第1课时 等比数列的前n项和公式 例5：A因为a,|为等比数列，所以aa,=a4=a,a 必备知识·探新知 所以(a1a,)2=81,即a41%=±9 a(1-9)41-ag 因为在等比数列1.中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 知识点1：na1 1-4 1-9 所以a1,,同号，所以a,,=9,答案为A 练一练： 课堂检测·固双基 1.D由题意可得g== a8 面意知及，-号引.得5 故选B 故可得9=2 1 知识点2兰 故选D. 练一练： 2.D记1a.的首项为a,公比为g(g≠0)，则a=g,a,= -3点(n,5)在函数y=3+m的图象上，÷S.= g,a·a。=0,当q≠±1时，A,B均不正确：a=a9,31+m=3×3+m.又S。=-Ag+A,比较可知m=-3. ·w=g,当q≠±1时，C不正确；a%=ag,a·a= 知识点3：D因为等比数列|a。I的前n项和S满足S= g,故D正确. 10,Sm=40, 3.B42a1=4,.4ay=6, 所以S,S。-S,Ss-Sm,Sn-S:依然成等比数列. 又4+ag=5,且a.<al.a1=2,ay=3. 则S(55-Sm)=(5o-8)2,即10(5s-40）= (40-10)2,解得55=130， 则S,(S0-Ss)=(Se-S)(S-Sm),即10(Sn-130)= 4.-2设{an的公比为9(9≠0)，则aa45=44=a9·a4,30×90,解得5n=400, 显然4，≠0， 故选D. 则a=g,即a,92=g,则a19=l,因为ao=-8,则a9”·关键能力·攻重难 49=-8, 8- 则g-(g)3=-8=(-2)’,则2=-2，则a=a9·g3=g =-2. 创1：(1)显然1六由8，经，得9=分 5.方法一：设三个数依次为a,四，ag。 由题意得0·g·92-27, 又aag,即8×（付”分n=6 a2+2g+a2q=91, (2)方法一：由S。≠25知g≠1 (ag)3=27, ,即/ag=3, 1a2(1+g2+）=91,1a2(1+92+9)=91, 0=2-子0 由题意得 1-g 9 六1++9g7 12-号2 1-g 9时-82+9=0，解得=9或=) ②÷①，得1+g=9.9=8,即9=2 将g=2代人0得4=宁 9=±3或9=±3 若g=3,则a=1:若g=-3,则a=-1: 44=%0=号×2=2,3=g2= 1- 若9=分则a=9若g=-行，则a=-9 2 故这三个数为：1,3,9或-1,3，-9或9,3,1或-9,3，-1. 方法二：由S=1+a2+a,S。=S+a4+a5+a6=S+ -127 a++)=+=1+8得1+d-意=9， r4=8 解得 1 g3=8,q=2 9=2 将9=2代人5：子得a=宁 1-9 从面8- 2 六0=a=2×21=2”,8=-2 例2：(1)D因为S=8,8-54=16,S2-8,S6-S2成等 1-9 比数列， 2-2 所以S-5,=32,S6-Sg=64,56=S+(S%-S)+(S -Sw)+(S。-S2)=8+16+32+64=120. (3)方法一：由题意，得4“，9=24， (2)由题意知 l(ag)(ag)=64. 「海+S%=-240, 化简得4（父-1）=24，③ lS-S%=80. la4=±8，④ ∫S海=-80， ③÷④，得-1=±3，负值舍去，=4，·g=2或9= l5m=-160. -2. 当9=2时，代人3得a,=1s-1二》=25 2 ·公比4=5a 1-g 对点训练2：(1)因为a是等比数列，则S,S-S,S,-S6, 当g=-2时，代人③得4，=-13=11-92_25 $一…，S-S,也为等比数列，且首项为S=6,设其公比为 1-4 3 综上可知8=255或29 9因为5-8=8对则-装=4.因为a>0所以g=2 则5=(50-5%）+(5-5）+…+(8-56）+(S。 方法二：由等比数列的性质得a·4=a=64, 5)+5,6x1-22=62-10. ,04=±8. 1-2 当a=8时，a6-%4=24.4。=32,=4=4. (2)设该数列有2n项，则 4+a4+a6+…+4n=170, ① .9=±2. a1++a5+…+n-1=85,@ 当4=-8时，w-4=24,6=16,9= -2 ①÷②，得9=2. 无解， S=4·(9-1) 9-1· 故9=±2,41=8. 85+170=1×(2-12 当g2时4号=182-25 2-1 1-g 即2=256=2°，.2n=8, 当g=-2时4=2=-1,81-2.29 即该数列的公比为2，项数为8. 1-g 3 例3：6由题可知，每天植树棵数构成首项为2，公比为2 综上可知8=25或学 的等比数列，所以有a。=2”,S。=2-2,令S≥100，满足条件 的最小的整数n=6. (4当=1时4=4画号满足S=号 对点训练3：C设牛、马、羊所吃禾苗分别为a,出，43，则 a,g=2 3 0,是公比为分的等比数列 r41=6. 当q≠1时，由题意得 解得 综 9=-1 所以S,= 2=50 1-9 2 上可知4=2或6 解得4，一9，所以单主人应偿还： 对点训练1：(1)B设公比为g,则 解得9=子 例4：若g=1,则S3=30,=6,符合题意.此时，4=1,43=a =2 侧该数列的前10项和为 若g≠1，则由等比数列的前n项和公式，得S=-】 20-2.1 1-9 2- 21-92=6, 1-91-2 29 1-4 解得4=1（舍去）或g=-2. (2)由题意知 此时，4=a142=2×(-2)2=8. r4,+9=10, 综上所述，9=1,4=2或g=-2,45=8. a时+a= 课堂检测·固双基 1.D显然数列2的首项为2，公比为2， -128 3=21-22=2-2 a,=2- 1-2 2D由题意4=2a,S=1-22 8-3n2+n 1-2 =31a1 2 哈-兴号故n 当n≥2时，6=8-81=3w,+n-3n-l广+a- 2 2 3n-1. 3CS=1+a,.a1=a+1. 当n=1时，b,=S,=2满足上式，bn=3n-1 S2=2+a,4=1, (2)ca=a.+6.=2"-1+3n-1, S3=4+a,a3=2, ∴.T。=C+c3+…+c。 4=a143,即1=2(a+1), =(2"+2+…+2-1)+[2+5+…+(3n-1)] 解得a=分=2-分=5-=4， 号+24g-02-140业 2 2 aa=2=16,故选C. 4.D设等比数列{a,的公比为g,g≠0， 例3S=1x号+3×号+5×日++(2m-0× 1 若g=1,则4-4=0，与题意矛盾， 所以g≠1， 则a,++41中1 41=96, 1×}+3xg++(2n-3)×+(2m-1)× 1 1-9 解得 a2-g=49-a19=42 g=2 1 所以a6=a14=3. 2② 故选D. ①-@得=1x7+2x}+2xg+…+2× 5.24设42+a4+a。+…+a=X, 则a1+43+4s+…+aw=32-X, 1 1 X :公比为3，心32-X=3,解得术=24 (221=1×7+—，21 -(2m-1)×2 第2课时等比数列习题课 32n+3 关键能力·攻重难 例1：(1)A设等比数列的公比为g(g>0), 2.S.=3-2n43(neN). 由4=1，且-4,42，a,成等差数列， 得2a,=a4-a,即2g=g-9,得9=2. 对点调练3：山)因为数列倍是公差为1的等差数列，所 1-4×2 所以8.=1-2，则S=2a-1 以 =a1+n-1,可得S=n(1+n-1).当n=2时，a1+a2= (2)Ba4=35,a.=35-1,故a4-0,=30,即a1:2(a,+1).又a=3,所以a1+3=2(a,+1),解得4=l.所以5 4a,(n≥2)，而n=1时，a1=3S,=3a1,可知该数列不是等比数 列.当a。=0时，数列1a.为等差数列.故本题正确答案为B =n2.当n≥2时，a,=S.-S-1=m2-(n-1)2=2n-1.当n=1 时，41=1也符合上式.所以数列1a的通项公式为a,=2n-1. 对点训练1：)以=方及号=宁 (2)由(1)可知，bn=0.·3”=(2n-1）·3,所以数列6， 的前n项和T.=3+3×3+5×3+·+(2n-1)×3”①.所以 2)-63依题意，{代及22+作得a24 3T.=32+3×32+…+(2n-3)×3”+(2n-1)×3+"②.①- 所以数列，是公比为2的等比数列， ②，得-2T=3+2×(32+3+…+3)-(2n-1)×3m+1=3+2 又因为a,=S=2a1+1, x32-3 1-3-(2n-1)×3.整理，得7，=3+(n-1)×3 所以4=-1，所以a。=-2-, 例4：5=1+a+a2+…+a”- 所以S。=-1×122=-68, 1-2 当a=1时，S=1+1+…+1=n:当a≠1且a≠0时，S.= 1 1-a-a-1 !1-a-a-1 例2：因为通项m=1+2+交+…+2可= =2- rn(a=1), 1- 2 当4=0时满足上式.∴S,= 2(=L,23,…,),所以可利用分组求和法将其分成一个常 D). 课堂检测·固双基 数列（实质为等差数列）和一个等比数列分别求和，即有 :I.C设数列a.|为公差为d的等差数列， s=2-)+2-）-)*+(2-2 且21,2,2成等比数列 可得4=21·26-2+6，可得01+a6=2, 即有a,前6项的和为×6(a,+a,)=6 对点训练2：(1)设公比为g,a=1,aa4=16 9=16,9>0,.q=2. 2-=0+24+…+2++g+…+） -129! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ４． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和公式 第１课时　 等比数列的前ｎ项和公式 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解等比数列前ｎ项和公式的推导过程． ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｑ，ｎ，Ｓｎ的关系． ３．掌握等比数列的前ｎ项和公式、性质及其应用． 学法解读 １．掌握等比数列的前ｎ项和公式与应用．（逻辑推理、数学运算） ２．能运用等比数列的前ｎ项和公式解决一些简单的实际问题．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等比数列的前ｎ项和公式 　 　 设等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为 ｑ，则｛ａｎ ｝的前ｎ 项和公式为Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 ，ｑ ＝ １， 　 　 　 　 　 　 ＝ 　 　 　 　 　 　 ，ｑ≠１{ ． 想一想：在运用等比数列前ｎ项和公式求 和时，要注意什么？ 　 　 提示：当公比未知时，一定要对公比进行分 类讨论． 　 　 练一练：已知数列｛ａｎ｝是等比数列，若ａ１ ＝ １，ｑ ＝ ２，Ｓｎ ＝ ３１，则ｎ等于 （Ｂ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ 等比数列前ｎ项和公式与其 公比ｑ的关系 　 　 （１）当公比ｑ≠１时，等比数列的前ｎ项和 公式是Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ，它可以变形为Ｓｎ ＝ － ａ１ １ － ｑ·ｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ，设Ａ ＝ 　 　 　 　 　 ，则上式 可写成Ｓｎ ＝ － Ａｑｎ ＋ Ａ的形式． 则数列Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓｎ，…的图象是函数 ｙ ＝ － Ａｑｘ ＋ Ａ图象上的一群孤立的点． 由此可见，非常数列的等比数列的前ｎ项 和Ｓｎ是一个关于ｎ的指数型函数与一个常数的 和，且指数型函数的系数与常数项互为相反数． （２）当公比ｑ ＝ １时，因为ａ１≠０，所以Ｓｎ ＝ ｎａ１，则数列Ｓ１，Ｓ２，Ｓ３，…，Ｓｎ，…的图象是正比例 函数ｙ ＝ ａ１ｘ图象上的一群孤立的点． 　 　 练一练：等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，点 （ｎ，Ｓｎ）在函数ｙ ＝ ３ｘ ＋１ ＋ ｍ的图象上，则ｍ ＝ － ３　 　 ． 等比数列前ｎ项和的性质 　 　 （１）若｛ａｎ｝是公比为ｑ的等比数列，则 Ｓｎ ＋ｍ ＝ Ｓｎ ＋ ｑ ｎＳｍ． （２）在等比数列｛ａｎ｝中，当项数为２ｎ（ｎ∈ Ｎ）时，Ｓ偶Ｓ奇＝ ｑ． （３）｛ａｎ｝是公比不为－ １的等比数列，则Ｓｎ， Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ仍成等比数列，其公比为ｑｎ． 　 　 练一练：已知等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ 满足Ｓ５ ＝ １０，Ｓ１０ ＝ ４０，则Ｓ２０ ＝ （Ｄ ） Ａ． １３０　 　 Ｂ． １６０　 　 Ｃ． ３９０　 　 Ｄ．                                      ４００ !#* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一与等比数列前ｎ项和有关的基本运算 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在等比数列｛ａｎ｝中，公比为ｑ，前ｎ项和 为Ｓｎ． （１）若ａ１ ＝ ８，ａｎ ＝ １４，Ｓｎ ＝ ６３ ４ ，求ｎ； （２）若Ｓ３ ＝ ７２，Ｓ６ ＝ ６３ ２ ，求ａｎ及Ｓｎ； （３）若ａ６ － ａ４ ＝ ２４，ａ３·ａ５ ＝ ６４，求Ｓ８； （４）若ａ３ ＝ ３２，Ｓ３ ＝ ９ ２，求ａ１ ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和运算的 技巧 （１）在等比数列的通项公式和前ｎ项和公 式中，共涉及五个量：ａ１，ａｎ，ｎ，ｑ，Ｓｎ，其中首项ａ１ 和公比ｑ为基本量，且“知三求二”，常常列方程 组来解答． （２）对于基本量的计算，列方程组求解是基 本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消 元，有时会用到整体代换． 提醒：两式相除是解决等比数列基本量运 算常用的运算技巧． 对点训练? （１）在等比数列｛ａｎ｝（ｎ∈ Ｎ）中，若ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ １８，则Ｓ１０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２ － １ ２８ Ｂ． ２ － １ ２９ Ｃ． ２ － １ ２１０ Ｄ． ２ － １ ２１１ （２）在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ３ ＝ １０，ａ４ ＋ ａ６ ＝ ５４，求Ｓ５ ． 题型二等比数列的前ｎ项和的性质的应用 ２．（１）（２０２４·云南昆明高三模拟）已知等 比数列｛ａｎ｝的各项都是正数，Ｓｎ为其前ｎ项和， 若Ｓ４ ＝ ８，Ｓ８ ＝ ２４，则Ｓ１６ ＝ （Ｄ ） Ａ． ４０ Ｂ． ５６ Ｃ． ７２ Ｄ． １２０ （２）等比数列｛ａｎ｝共有２ｎ项，所有项数的 和为－ ２４０，且奇数项的和比偶数项的和大８０， 求公比ｑ的值． 　 　 ［尝试作答                                                                              ］ !$! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和的性质 （１）｛ａｎ｝是公比不为－ １的等比数列，则 Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ仍成等比数列，其公比 为ｑｎ． （２）在等比数列｛ａｎ｝中，当项数为２ｎ（ｎ∈ Ｎ）时，Ｓ偶Ｓ奇＝ ｑ． 对点训练? （１）已知等比数列｛ａｎ｝，ａｎ ＞ ０，Ｓ３ ＝ ６，ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ ２４，求Ｓ９９的值． （２）一个等比数列的首项为１，项数为偶 数，其中奇数项的和为８５，偶数项的和为１７０， 求该数列的公比和项数． 题型三 应用问题 ３．某住宅小区计划植树不少于１００棵，若第 一天植２棵，以后每天植树的棵数是前一天的２ 倍，则需要的最少天数ｎ（ｎ∈Ｎ）等于６　 　 　 ． 　 　 ［规律方法］　 解决实际问题，关键是从题 中抽象出数学模型，必须写清等比数列｛ａｎ｝的 由来． 对点训练? （２０２３·汕尾高二检测）中 国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问 题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊 主曰：“我羊食半马”．马主曰：“我马食半牛”． 今欲衰偿之，问各出几何？此问题的译文是：今 有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔 偿５斗粟． 羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马 的一半”．马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的 一半”．打算按此比例偿还，他们各偿还多少？ 该问题中，１斗为１０升，则羊主人应偿还多少升 粟 （Ｃ ） Ａ． ２５３ Ｂ． ５０ ３ Ｃ． ５０ ７ Ｄ． １００ ７ 易错警示 　 　 忽略对公比ｑ的讨论致误 ４．已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，Ｓ３ ＝ ６，求ａ３ 和ｑ． ［错解］　 由等比数列的前ｎ项和公式得 Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ２（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ６， ∴ （１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２） １ － ｑ ＝ ３， ∴ １ ＋ ｑ ＋ ｑ２ ＝ ３，∴ ｑ２ ＋ ｑ － ２ ＝ ０． ∴ ｑ ＝ － ２或ｑ ＝ １（舍去）∴ ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２ × （－ ２）２ ＝ ８． ［误区警示］　 错解中由于没讨论公比ｑ是 否为１，就直接使用了等比数列的前ｎ项和公式 Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ，从而导致漏解． 　 　 ［正解                                                                                    ］ !$" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．等比数列｛２ｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ｎ － １ Ｂ． ２ｎ － ２ Ｃ． ２ｎ ＋１ － １ Ｄ． ２ｎ ＋１ － ２ ２．设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ ＝ ２，前ｎ项和为 Ｓｎ，则Ｓ５ａ２ ＝ （Ｄ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． １７２ Ｄ． ３１ ２ ３．若等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ －１ ＋ ａ，则 ａ３ａ５ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １６ Ｄ． ３２ ４．（２０２２·全国乙卷文）已知等比数列｛ａｎ｝的前 ３项和为１６８，ａ２ － ａ５ ＝ ４２，则ａ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １４ Ｂ． １２ Ｃ． ６ Ｄ． ３ ５．设数列｛ａｎ｝是等比数列，公比为３，前８０项和 为３２，则ａ２ ＋ ａ４ ＋ ａ６ ＋…＋ ａ８０ ＝ ２４　 ． 请同学们认真完成练案［９                 ］ 第２课时　 等比数列习题课 !"#$%&'( 课程标准 １．进一步理解等比数列中ａｎ与Ｓｎ的关系． ２．掌握几种与等比数列有关的求和方法． 学法解读 １．掌握等比数列前ｎ项和公式在几何中的应用．（逻辑推理、直观想象） ２．能够运用等比数列前ｎ项和公式解决实际问题．（逻辑推理、数学建模） ３．能够利用递推公式解决一些实际问题．（逻辑推理、数学建模） /012%345 题型探究 题型一 等比数列ａｎ与Ｓｎ的关系 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４成等差数列，则Ｓｎ与 ａｎ的关系是 （Ａ ） Ａ． Ｓｎ ＝ ２ａｎ － １ Ｂ． Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ １ Ｃ． Ｓｎ ＝ ４ａｎ － ３ Ｄ． Ｓｎ ＝ ４ａｎ － １ （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，对任意正整 数ｎ，ａｎ ＋１ ＝ ３Ｓｎ，则下列关于｛ａｎ｝的论断中正确 的是 （Ｂ ） Ａ．一定是等差数列 Ｂ．可能是等差数列，但不会是等比数列 Ｃ．一定是等比数列 Ｄ．可能是等比数列，但不会是等差数列 　 　 ［规律方法］　 关于等比数列Ｓｎ与ａｎ的关系 （１）Ｓｎ与ａｎ 的关系可以由Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ１ － ｑ 得 到，一般已知ａ１，ｑ即可得到二者之间的关系，也 可以通过特殊项验证判断． （２）Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ａｎ（ｎ≥２）是Ｓｎ与ａｎ之间的 内在联系，既可以推出项ａｎ －１，ａｎ，ａｎ ＋１之间的关 系，也可得到Ｓｎ －１，Ｓｎ，Ｓｎ ＋１之间的关系，体现了 Ｓｎ与ａｎ关系的本质                     ． !$#