4.2.1 第2课时等差数列的性质及应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

所以２ｂ ＝ １ ａ ＋ １ ｃ ，化简得２ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）， 又ｂ ＋ ｃａ ＋ ａ ＋ ｂ ｃ ＝ ｂｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ＋ ａｂ ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）＋ ｃ ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝ ２ａｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝（ａ ＋ ｃ） ２ ａｃ ＝ （ａ ＋ ｃ）２ ｂ（ａ ＋ ｃ） ２ ＝ ２·ａ ＋ ｃｂ ， 所以ｂ ＋ ｃａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． 对点训练２：由ｍ和２ｎ的等差中项为４，得ｍ ＋ ２ｎ ＝ ８． 又由２ｍ和ｎ的等差中项为５， 得２ｍ ＋ ｎ ＝ １０． 两式相加，得ｍ ＋ ｎ ＝ ６． 所以ｍ和ｎ的等差中项为ｍ ＋ ｎ２ ＝ ３． 　 　 例３：（１）①ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ 为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２ （不是常数），所以此数列不是等差数列． （２）方法一：因为１ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ ＝ １ ａｎ ＋ ３，所以１ａｎ ＋ １ － １ ａｎ ＝ ３， 又因为ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），且ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １２ ．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为 １ ２ ，公差为３． 方法二：因为ｂｎ ＝ １ａｎ，且ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ ， 所以ｂｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ＝ １ａｎ ＋ ３ ＝ ｂｎ ＋ ３， 所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １ ２ ． 所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为１２ ，公差为３． 对点训练３： （１）因为ａｎ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２ｎ ＝ １０ ＋ ｎｌｇ ２， 所以ａｎ ＋ １ ＝ １０ ＋（ｎ ＋ １）ｌｇ ２． 所以ａｎ ＋１ －ａｎ ＝［１０ ＋（ｎ ＋１）ｌｇ ２］－（１０ ＋ｎｌｇ ２）＝ ｌｇ ２（ｎ∈Ｎ）． 所以数列｛ａｎ｝为等差数列． （２）由条件，得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ ＝ ａｎ ｎ ＋ １， 即ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ １， 所以数列ａｎ{ }ｎ 是首项为２，公差为１的等差数列，所以ａｎｎ ＝ ｎ ＋ １，即ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． ＡＣ　 根据等差数列的定义可知Ａ，Ｃ中的数列是等差数列，故 选ＡＣ． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． ＡＢＤ　 Ｃ项不满足等差数列的定义．故选ＡＢＤ． ５．当ｎ≥２时，由ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｎ ｎ － １， 得（ｎ － １）ａｎ ＋ １ ＝ ｎａｎ， 所以ｎａｎ ＋ ２ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ ＋ １，两式相减得： ｎａｎ ＋ ２ －（ｎ － １）ａｎ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ ＋ １ － ｎａｎ， 整理得，ｎａｎ ＋ ２ ＋ ｎａｎ ＝ ２ｎａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ ＝ ２ａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ， 又因为ａ３ － ａ２ ＝ ２ａ２ － ａ２ ＝ ａ２ ＝ ａ２ － ０ ＝ ａ２ － ａ１，所以数列｛ａｎ｝ 是等差数列． 第２课时　 等差数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１：（１）ｎ － ｍ　 （２）ａｐ ＋ ａｑ 　 ２ａｐ 知识点２：ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 　 练一练： 　 　 Ｃ　 数列｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１ ＋ ａ７ ＝ ２ａ４ ＝ ４， ∴ ａ４ ＝ ２， ∴ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ ５ａ４ ＝ １０． 故选Ｃ． 知识点３：（１）①ｄ　 ②ｃｄ　 ③２ｄ　 （２）ｐｄ１ ＋ ｑｄ２ 　 　 练一练： 　 　 ＡＢＣ　 等差数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的公差均为ｄ（ｄ≠０），对于Ａ， 由λａｎ ＋ １ － λａｎ ＝ λ（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＝ λｄ为常数，则数列｛λａｎ｝为等差 数列；对于Ｂ，由ａｎ ＋ １ ＋ ｂｎ ＋ １ － ａｎ － ｂｎ ＝（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＋（ｂｎ ＋ １ － ｂｎ） ＝ ２ｄ为常数，则数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝为等差数列；对于Ｃ，由ａ２ｎ ＋ １ － ｂ２ｎ ＋ １ －（ａ２ｎ － ｂ２ｎ）＝（ａｎ ＋ １ － ａｎ）·（ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ）－（ｂｎ ＋ １ － ｂｎ）（ｂｎ ＋ １ ＋ ｂｎ）＝ ｄ［２ａ１ ＋（２ｎ － １）ｄ］－ ｄ［２ｂ１ ＋（２ｎ － １）ｄ］＝ ２ｄ（ａ１ － ｂ１） 为常数，则数列｛ａ２ｎ － ｂ２ｎ｝为等差数列；对于Ｄ，由ａｎ ＋ １ ｂｎ ＋ １ － ａｎｂｎ ＝（ａｎ ＋ ｄ）（ｂｎ ＋ ｄ）－ ａｎｂｎ ＝ ｄ２ ＋ ｄ（ａｎ ＋ ｂｎ）不为常数，则数列 ｛ａｎｂｎ｝不为等差数列． 知识点４： 　 　 练一练： 　 　 Ｃ　 因为｛ａｎ｝为等差数列，设公差为ｄ， 因为数列｛ａｎ｝单调递增，所以ｄ ＞ ０， 所以ａ１ ＋ ａ８ ＝ ａ３ ＋ ａ６ ＝ ２ａ６ － ３ｄ ＝ ６， 则２ａ６ － ６ ＝ ３ｄ ＞ ０，解得ａ６ ＞ ３， 故选Ｃ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∵ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ，ａ６０ ＝ ａ１ ＋ ５９ｄ， ∴ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ５９ｄ ＝ ２０{ ，解得 ａ１ ＝ ６４ １５， ｄ ＝ ４１５ { ． ∴ ａ７５ ＝ ａ１ ＋ ７４ｄ ＝ ６４ １５ ＋ ７４ × ４ １５ ＝ ２４． 方法二：∵ ｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１５，ａ３０，ａ４５，ａ６０，ａ７５也为等差数列． 设其公差为ｄ，则ａ１５为首项，ａ６０为第４项， ∴ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋ ３ｄ，即２０ ＝ ８ ＋ ３ｄ，解得ｄ ＝ ４． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋ ｄ ＝ ２０ ＋ ４ ＝ ２４． 方法三：∵ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋（６０ － １５）ｄ， ∴ ｄ ＝ ａ６０ － ａ１５ ６０ － １５ ＝ ４ １５                                                                      ． —１２０— ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋（７５ － ６０）ｄ ＝ ２０ ＋ １５ × ４１５ ＝ ２４． 对点训练１：７　 方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由题意，得ａ１ ＋ ｄ ＝ ３， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ６{ ，∴ ａ１ ＝ ５ ２ ， ｄ ＝ １２ { ． ∴ ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ５ ２ ＋ ９ ２ ＝ ７． 方法二：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∴ ａ８ － ａ２ ＝ ６ｄ ＝ ３，∴ ｄ ＝ １２ ． ∴ ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ２ｄ ＝ ６ ＋ ２ × １ ２ ＝ ７． 　 　 例２：（１）Ａ　 ∵ ｛ａｎ｝是等差数列，∴ ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３，故ａ１３ ＝ ２ × ６ － ３ ＝ ９． （２）３５　 方法一：设数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的公差分别为ｄ１，ｄ２，因 为ａ３ ＋ ｂ３ ＝（ａ１ ＋ ２ｄ１）＋（ｂ１ ＋ ２ｄ２）＝（ａ１ ＋ ｂ１）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ７ ＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１， 所以ｄ１ ＋ ｄ２ ＝ ７，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝（ａ３ ＋ ｂ３）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１ ＋ ２ × ７ ＝ ３５． 方法二：因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列． 所以数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列，所以２（ａ３ ＋ ｂ３）＝ （ａ１ ＋ ｂ１）＋（ａ５ ＋ ｂ５），所以２ × ２１ ＝ ７ ＋ ａ５ ＋ ｂ５，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５． （３）Ｄ　 方法一：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ５ａ５ ＝ ７５０， ∴ ａ５ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ＝ ３００． 方法二：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ａ１ ＋ ４ｄ ＋ ａ１ ＋ ５ｄ ＋ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２（ａ１ ＋ ４ｄ） ＝ ３００． 对点训练２：（１）Ｃ　 因为（ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＋ ３）－ （ａｎ ＋ ａｎ ＋ ２）＝ （ａｎ ＋ １ － ａｎ）＋（ａｎ ＋ ３ － ａｎ ＋ ２）＝ ２ｄ，所以数列ａ１ ＋ ａ３，ａ２ ＋ ａ４，ａ３ ＋ ａ５，…是公差为２ｄ的等差数列． （２）８　 方法一：∵ ｛ｂｎ｝为等差数列， ∴可设其公差为ｄ， 则ｄ ＝ ｂ１０ － ｂ３１０ － ３ ＝ １２ －（－ ２） ７ ＝ ２， ∴ ｂｎ ＝ ｂ３ ＋（ｎ － ３）ｄ ＝ ２ｎ － ８． ∴ ｂ８ ＝ ２ × ８ － ８ ＝ ８． 方法二：由ｂ８ － ｂ３８ － ３ ＝ ｂ１０ － ｂ３ １０ － ３ ＝ ｄ， 得ｂ８ ＝ ｂ１０ － ｂ３１０ － ３ × ５ ＋ ｂ３ ＝ ２ × ５ ＋（－ ２）＝ ８． 　 　 例３：设四个数分别为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ， 则：（ａ －３ｄ）＋（ａ － ｄ）＋（ａ ＋ ｄ）＋（ａ ＋３ｄ）＝２６　 ①（ａ － ｄ）（ａ ＋ ｄ）＝４０{ ② 由①，得ａ ＝ １３２ ．代入②，得ｄ ＝ ± ３ ２ ． ∴四个数为２，５，８，１１ 或１１，８，５，２． 对点训练３：设这三个数为ａ ＋ ｄ，ａ，ａ － ｄ（ｄ ＞ ０）， 则３ａ ＝ １２，（ａ ＋ ｄ）·ａ·（ａ － ｄ）＝ ４８{ ． 解得ａ ＝ ４， ｄ ＝ ２{ ． 所以这三个数是６，４，２． 　 　 例４：Ｂ 课堂检测·固双基 １． Ａ　 在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ７ ＝ ２ａ４，所以ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ７２ ＝ ７． ２． Ｂ　 由已知ａ１ ＝（ｌｇ ２）２ ( ) ( )＋ ｌｇ ５ ｌｇ ２ ＋ １ ＝ ｌｇ ２ ｌｇ ２ ＋ ｌｇ ５ ＋ ｌｇ ５ ＝ １， 因为数列｛ａｎ｝是等差数列，设公差为ｄ，由ａ３ ＋ ａ２ ＝ ５，又ａ１ ＝ １，解得ｄ ＝ １． 故有ａｎ ＝ １ ＋ ｎ( )－ １ × １ ＝ ｎ，∴ ａ３ ＝ ３， ∴ ２ａ１·２ａ２·２ａ３·２ａ４·２ａ５ ＝ ２ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＝ ２５ａ３ ＝ ２１５ ． 故选Ｂ． ３． ４　 ａ３ ＋ ａ５ ＝ ２ａ４，ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３ ＝ ３ａ１０， ∴ ３（ａ３ ＋ ａ５）＋ ２（ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３）＝ ６ａ４ ＋ ６ａ１０ ＝ ６（ａ４ ＋ ａ１０） ＝ ２４， ∴ ａ４ ＋ ａ１０ ＝ ４． ４． ９０　 因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，所以｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成 了等差数列，所以（ａ２ ＋ ｂ２）－（ａ１ ＋ ｂ１）＝（ａ３ ＋ ｂ３）－（ａ２ ＋ ｂ２），所以ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０． ５． ＡＢ　 设这四个数分别为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ， 则ａ － ３ｄ ＋ ａ － ｄ ＋ ａ ＋ ｄ ＋ ａ ＋ ３ｄ ＝ ２８， ａ －( )ｄ ａ ＋( )ｄ ＝ ４０{ ， 解得ａ ＝ ７， ｄ{ ＝ ３ 或ａ ＝ ７，ｄ ＝ － ３{ ， 所以这四个数依次为－ ２，４，１０，１６或１６，１０，４，－ ２． 故选ＡＢ． ４． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和公式 第１课时　 等差数列的前ｎ项和公式 必备知识·探新知 　 　 知识点：ａｎ ＋ ａｎ －１ ＋…＋ ａ２ ＋ ａ１ 　 ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 　 ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ －１）ｄ ２ 练一练： 　 　 １． Ａ　 ∵ ａ４ ＋ ａ９ ＝ ａ６ ＋ ａ７，又ａ４ － ａ６ ＋ ａ９ ＝ ７， ∴ ａ７ ＝ ７， 则Ｓ１３ ＝ １３（ａ１ ＋ ａ１３）２ ＝ １３ × ２ａ７ ２ ＝ １３ａ７ ＝ １３ × ７ ＝ ９１． 故选Ａ． ２． Ａ　 由Ｓ１５ ＝ ４５得Ｓ１５ ＝ ａ１ ＋ ａ( )１５ × １５２ ＝ １５ａ８ ＝ ４５ａ８ ＝ ３，所以２ａ１２ － ａ１６ ＝ ａ１６ ＋ ａ( )８ － ａ１６ ＝ ａ８ ＝ ３，故选Ａ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 则 ａ３ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ９ｄ ＝ １３， Ｓ７ ＝ ７ａ１ ＋ ７ × ６ ２ ｄ ＝ ７ａ１ ＋ ２１ｄ ＝ ３５ { ， 解得ａ１ ＝ ２， ｄ ＝ １{ ， ∴ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２ ＋ ７ ＝ ９，故选Ｂ． （２）Ｃ　 Ｓ２ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ ｄ ＝ ４　 ① Ｓ４ ＝ ４ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ２０　 ② 由①②解得ａ１ ＝ １２ ，ｄ ＝ ３．故选Ｃ． （３）１５　 由６ａ１ ＋ ６ × ５２ ｄ ＝ ２，９ａ１ ＋ ９ × ８ ２ ｄ ＝ ５得ａ１ ＝ － １ ２７， ｄ ＝ ４２７，所以Ｓ１５ ＝ １５ａ１ ＋ １５ × １４ ２ ｄ ＝ １５． 对点训练１：（１）①由等差数列的前ｎ项和公式                                                                      ， —１２１— # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选题）下列数列是等差数列的是（　 ） Ａ． ０，０，０，０，０，… Ｂ． １，１１，１１１，１ １１１，… Ｃ． － ５，－ ３，－ １，１，３，… Ｄ． １，２，３，５，８，… ２．等差数列－ ３，１，５，…的第１５项的值是 （Ｂ ） Ａ． ４０　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５３　 　 　 Ｃ． ６３　 　 　 Ｄ． ７６ ３．等差数列１，－ １，－ ３，－ ５，…，－ ８９，它的项数 为 （Ｃ ） Ａ ９２　 　 　 Ｂ ４７　 　 　 Ｃ ４６　 　 　 Ｄ ４５ ４．（多选题）以下选项中能构成等差数列的是 （　 ） Ａ． ２，２，２，２ Ｂ． ３ｍ，３ｍ ＋ ａ，３ｍ ＋ ２ａ，３ｍ ＋ ３ａ Ｃ． ｃｏｓ ０，ｃｏｓ １，ｃｏｓ ２，ｃｏｓ ３ Ｄ． ａ － １，ａ ＋ １，ａ ＋ ３ ５．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ０，当ｎ≥２时，ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｎ ｎ － １． 求证：数列｛ａｎ｝是等差数列． 请同学们认真完成练案［３                            ］ 第２课时　 等差数列的性质及应用 !"#$%&'( 课程标准 　 能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题． 学法解读 １．熟悉等差数列的相关性质，并能够应用该知识灵活地进行运算．（逻辑推理、数学运算） ２．能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题．（逻辑推理、数学建模、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等差数列中的项与序号的关系 　 　 （１）两项关系 ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ － ｍ　 ）ｄ（ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ） 则ａｎ ＋ ａｍ ＝ ａｐ ＋ ａｑ　 ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ２ａｐ　 ． 等差数列的项的对称性 　 　 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的 两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等 于中间项的２倍），即ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ －１　 ＝ ａｋ ＋ ａｎ － ｋ ＋１　 ＝ ２ａｎ ＋ １２ （其中ｎ为奇数且ｎ≥３）． 　 　 练一练：数列｛ａｎ｝为等差数列，若ａ１ ＋ ａ７ ＝ ４，则ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８　 　 　 Ｂ． ９　 　 　 Ｃ． １０　 　 　 Ｄ．               １２ !"# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 等差数列的性质 　 　 （１）若｛ａｎ｝是公差为ｄ的等差数列，则下列 数列： ①｛ｃ ＋ ａｎ｝（ｃ为任一常数）是公差为ｄ　 的 等差数列； ②｛ｃ·ａｎ｝（ｃ为任一常数）是公差为ｃｄ　 的等差数列； ③｛ａｎ ＋ ａｎ ＋ ｋ｝（ｋ为常数，ｋ∈Ｎ）是公差为 ２ｄ　 的等差数列． （２）若｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝分别是公差为ｄ１，ｄ２的等 差数列，则数列｛ｐａｎ ＋ ｑｂｎ｝（ｐ，ｑ是常数）是公差 为ｐｄ１ ＋ ｑｄ２　 的等差数列． 　 　 练一练：（多选题）若等差数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝ 的公差均为ｄ（ｄ≠０），则下列数列中是等差数 列的是 （　 ） Ａ．｛λａｎ｝（λ为常数） Ｂ．｛ａｎ ＋ ｂｎ｝ Ｃ．｛ａ２ｎ － ｂ２ｎ｝ Ｄ．｛ａｎｂｎ｝ 等差数列的单调性 　 　 由等差数列和一次函数的关系可知等差数 列的单调性受公差ｄ的影响． （１）当ｄ ＞ ０时，数列为递增数列，图象如图 １所示； （２）当ｄ ＜ ０时，数列为递减数列，图象如图 ２所示； （３）当ｄ ＝ ０时，数列为常数列，图象如图３ 所示． 练一练：已知等差数列｛ａｎ｝单调递增且满 足ａ１ ＋ ａ８ ＝ ６，则ａ６的取值范围是 （Ｃ ） Ａ． － ∞，( )３ Ｂ． ３，( )６ Ｃ． ３，＋( )∞ Ｄ． ６，＋( )                                   ∞ /012%345 题型探究 题型一 等差数列通项公式的推广 ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ －ｍ）ｄ的应用 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．若｛ａｎ｝为等差数列，ａ１５ ＝ ８，ａ６０ ＝ ２０， 求ａ７５ ． 　 　 ［尝试作答          ］ 对点训练? 等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ ３，ａ８ ＝ ６，则ａ１０ ＝ ７　 　 　 ． 题型二用性质ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ， ｑ∈Ｎ ＋，且ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ）解题 ２．（１）（２０２３·天津宝坻区高二月考）在等 差数列｛ａｎ｝中，已知ａ５ ＝ ３，ａ９ ＝ ６，则ａ１３ ＝ （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． １２ Ｃ． １５ Ｄ． １８ （２）（２０２４·塘沽高二检测）设数列｛ａｎ｝， ｛ｂｎ｝都是等差数列．若ａ１ ＋ ｂ１ ＝ ７，ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ２１， 则ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５　 　 　 ． （３）（２０２４·湖北武汉高三月考）在等差数 列｛ａｎ｝中，若ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０，则ａ２ ＋ ａ８ ＝ （Ｄ ） Ａ． １５０ Ｂ． １６０ Ｃ． ２００ Ｄ． ３００ ［规律方法］　 等差数列运算的两条常用 思路 （１）根据已知条件，列出关于ａ１，ｄ的方程 （组），确定ａ１，ｄ，然后求其他量                                 ． !"$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）利用性质巧解，观察等差数列中的项的 序号，若满足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ ＝ ２ｒ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ，ｒ∈ Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ ＝ ２ａｒ． 特别提醒：递增等差数列ｄ ＞ ０，递减等差数 列ｄ ＜ ０，解题时要注意数列的单调性对ｄ取值 的限制． 对点训练? （１）由公差ｄ≠０的等差数 列ａ１，ａ２，…，ａｎ组成一个新的数列ａ１ ＋ ａ３，ａ２ ＋ ａ４，ａ３ ＋ ａ５，…，下列说法正确的是 （Ｃ ） Ａ．新数列不是等差数列 Ｂ．新数列是公差为ｄ的等差数列 Ｃ．新数列是公差为２ｄ的等差数列 Ｄ．新数列是公差为３ｄ的等差数列 （２）已知｛ｂｎ｝为等差数列，若ｂ３ ＝ － ２， ｂ１０ ＝ １２，则ｂ８ ＝ ８　 　 　 ． 题型三 等差数列中的对称设项 ３．成等差数列的四个数之和为２６，第二个 数和第三个数之积为４０，求这四个数． ［分析］　 已知四个数成等差数列，有多种 设法，但如果四个数的和已知，常常设为ａ － ３ｄ， ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ更简单．再通过联立方程组 求解． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 三个数或四个数成等差数列 时，设未知量的技巧如下： （１）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为奇数时，可 设中间一项为ａ，再用公差为ｄ向两边分别设 项：…，ａ － ２ｄ，ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ２ｄ，…． （２）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为偶数时，可 设中间两项为ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，再以公差为２ｄ向两 边分别设项：…，ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ，…， 这样可减少计算量． 对点训练? （２０２４·龙岩高二检测）设 三个数成单调递减的等差数列，三个数的和为 １２，三个数的积为４８，求这三个数． 易错警示 　 　 对等差数列的定义理解不透彻而致误 ４．已知数列｛ａｎ｝是无穷数列，则“２ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ３”是“数列｛ａｎ｝为等差数列”的 （Ｂ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ［错解］　 Ｃ ［误区警示］　 应用定义法判断或证明一个 数列是等差数列时，必须要判定或证明ａｎ ＋１ － ａｎ或ａｎ － ａｎ －１（ｎ≥２）等于一个常数，不能只对 数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保 证数列中的每一项都满足等差的要求． 　 　 ［正解                                                                               ］ !"% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＋ ａ７ ＝ １４，则ａ４ ＝ （　 ） Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． １４ Ｄ． １６ ２．已知等差数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ （ｌｇ ２）２ ＋ ｌｇ ５ ( )ｌｇ ２ ＋ １ ，ａ３ ＋ ａ２ ＝ ５，则２ａ１·２ａ２·２ａ３·２ａ４ ·２ａ５的值为 （Ｂ ） Ａ． １ ０２４ Ｂ． ２１５ Ｃ． ２５６ Ｄ． ２８ ３．等差数列｛ａｎ｝中，３（ａ３ ＋ ａ５）＋ ２（ａ７ ＋ ａ１０ ＋ ａ１３）＝ ２４，则ａ４ ＋ ａ１０ ＝ ４　 　 　 ． ４．数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，且ａ１ ＝ １５， ｂ１ ＝ ３５，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ７０，则ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０　 　 　 ． ５．（多选题）已知四个数成等差数列，它们的和 为２８，中间两项的积为４０，则这四个数依次 为 （　 ） Ａ． － ２，４，１０，１６ Ｂ． １６，１０，４，－ ２ Ｃ． ２，５，８，１１ Ｄ． １１，８，５，２ 请同学们认真完成练案［４                 ］ ４． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和公式 第１课时　 等差数列的前ｎ项和公式 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程． ２．借助教材掌握ａ１，ａｎ，ｄ，ｎ，Ｓｎ的关系． ３．掌握等差数列的前ｎ项和公式、性质及其应用． 学法解读 １．了解等差数列前ｎ项和公式的推导过程．（逻辑推理、数学运算） ２．掌握等差数列前ｎ项和的公式及其应用．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等差数列的前ｎ项和公式的 推导（倒序相加法） 　 　 设Ｓｎ 是等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ｄ为 ｛ａｎ｝的公差， Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａｎ． 倒序得Ｓｎ ＝ ａｎ ＋ ａｎ －１ ＋…＋ ａ２ ＋ ａ１　 ， 两式相加得２Ｓｎ ＝（ａ１ ＋ ａｎ）＋（ａ２ ＋ ａｎ －１） ＋…＋（ａｎ ＋ ａ１）． 由等差数列的性质得ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ －１ ＝ ａ３ ＋ ａｎ －２ ＝…＝ ａｎ ＋ ａ１， 所以有Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ①． 又ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，代入①式，得Ｓｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 ②． 想一想：等差数列前ｎ项和公式的内涵是 什么？ 　 　 提示：Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ 反映了等差数列的前 ｎ项和与它的首项、末项之间的关系；Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ反映了等差数列的前ｎ项和与它的首 项、公差之间的关系，而且是关于ｎ的“二次函 数”．两者从不同的角度反映了等差数列的性质                  ． !"&