专题4-2 等差数列的概念【16类题型汇总】-【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题专练（人教A版2019选择性必修二）

【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题（人教A版2019选择性必修二） 专题4-2 等差数列的概念 总览 题型解读 【题型1】求等差数列的通项公式或某一项 【题型2】等差数列基本量的计算 【题型3】等差中项及应用 【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用 【题型5】等差数列的判断 【题型6】等差数列证明（1）:直接作差或等差中项形式 【题型7】等差数列证明（2）：因式分解型 【题型8】求等差数列中的最大(小)项 【题型9】等差数列的实际应用 【题型10】等差数列与数学文化的结合 【题型11】构造等差数列（1）：取倒数型 【题型12】构造等差数列（2）：插入数字或每隔k项抽项数 【题型13】构造等差数列（3）：提取2个等差数列的公共项构成新数列 【题型14】构造等差数列（4）： 奇偶相间讨论型（奇偶数列） 【题型15】构造等差数列（5）：隔项等差（奇偶数列） 【题型16】构造等差数列（6）：其它类型 一、等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*)． (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)差必须是同一个常数． (4)公差可以是正数、负数、零． (5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列． 二、等差中项以及拓展 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且. 注意： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)a3是a1和a5的等差中项，特别注意下标之间的关系． 拓展：若，则（下标之和性质关系） 三、等差数列的通项公式与函数性质 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 证明：可以用累加法推导 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 2．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 注意： ①已知首项a1和公差d，便可写出通项公式． ②等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一． 等差数列通项公式的求法与应用技巧 ③等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． ④等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一” 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 四、等差数列的性质 1.下标性质 （1）在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 （2）下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. （3）在等差数列{}中，若，，，则有. 2.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 3.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求等差数列的通项公式或某一项 等差数列概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*) 等差数列的通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 【例题1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【例题2】等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ） A． B． C． D． 【例题3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【例题4】在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】已知数列中，，，则 . 【巩固练习2】（22-23高三上·山西运城·阶段练习）已知数列的首项，，对任意的，都有，则 . 【巩固练习3】已知在数列中，，，则等于 ． 【巩固练习4】在数列中，，则数列的通项公式为 . 【巩固练习5】已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【巩固练习6】已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 . 【题型2】等差数列基本量的计算 等差数列基本量的计算是指把条件拆成基本量和的形式，解二元方程组来得出所求 【例题1】在等差数列中，，，且，________． 【例题2】（高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例题3】（22-23高二上·江苏苏州·期末）若数列是等差数列，a1=1，，则a5=（　　） A． B． C． D． 【例题4】（2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式； 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【巩固练习2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】已知数列是等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习4】已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则的取值范围是 . 【巩固练习5】（2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式； 【题型3】等差中项及应用 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且. 应用1、等差数列中任意相邻的三项构成等差数列，且中间项是等差中项，即 应用2、若数列对均满足，则为等差数列 简证：，即为等差数列. 应用3、若，则 【例题1】已知为等差数列，，．求． 【例题2】已知数列满足：，，则 ． 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【例题4】已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【例题5】（高二上·云南曲靖·期末）已知中三边，，成等差数列，，，也成等差数列，则的形状为 . 【巩固练习1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【巩固练习2】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 【巩固练习3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知为等差数列，且，，则 . 【巩固练习4】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习5】（高二上·江苏徐州·期中）正数a，b的等差中项是，且，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【巩固练习6】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列中，若，则的值为 ． 【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用 在对等差数列基本量进行计算时，利用等差数列的性质可以起到减少计算量的作用，很多时候即使不求出和也能得出答案 【例题1】已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证. 【例题2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为等差数列，，则 . 【例题3】已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【例题4】（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【巩固练习2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【巩固练习4】已知等差数列满足，则的值为 . 【巩固练习5】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习6】（23-24高二下·云南玉溪·开学考试）若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 【巩固练习7】已知正项等差数列，若，，则(    ) A． B． C． D． 【巩固练习8】若是公差不为的等差数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【题型5】等差数列的判断 证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，在化简得到定值． (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N×）都成立． (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an＝pn＋q（p，q为常数）是等差数列． ②前n项和公式：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【例题1】已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【例题2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【例题3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【例题4】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习1】已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【巩固练习2】（多选）记为数列的前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A．数列为递减数列 B． C． D．数列是等差数列 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【巩固练习4】（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【巩固练习5】（23-24高二下·广东佛山·期末）（多选）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 【题型6】等差数列证明（1）:直接作差或等差中项形式 1、等差数列概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*) 2、若数列对均满足，则为等差数列 简证：，即为等差数列. 【例题1】已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【例题2】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知数列{}满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{}的通项公式． 【例题3】数列满足. (1)求的值； (2)设，证明是等差数列. 【例题4】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知数列{an}满足，，令. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【例题5】（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 【巩固练习1】（23-24高二上·浙江温州·期末）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列 所以数列是首项为，公差为的等差数列 【巩固练习2】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. 【巩固练习3】已知满足，且. (1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式. 【巩固练习4】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知数列满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【巩固练习5】已知数列的前项和为．证明：数列是等差数列； 【巩固练习6】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【题型7】等差数列证明（2）：因式分解型 若递推公式中出现了关于和的齐二次式，且为正项数列，则一般需要通过因式分解来得出常数. 【例题1】在数列中，，且前n项和满足，则数列的通项公式为________． 【例题2】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； 【例题3】（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知数列各项均为正数，且，. (1)证明：为等差数列，并求出通项公式； (2)设，求. 【巩固练习1】（高二下·浙江绍兴·期中）已知正数数列的前项和满足：，则 ，通项 【巩固练习2】已知正项数列的前项和为，. （1）求、； （2）求证：数列是等差数列. 【巩固练习3】（22-23高二下·福建泉州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求，； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【巩固练习4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【巩固练习5】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）在正项等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【巩固练习6】（23-24高二上·广东中山·期中）数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数使得成等差数列？说明理由. 【题型8】求等差数列中的最大(小)项 求等差数列中的最大（小）项的主要方法是：首先确定数列的公差正负，然后判断数列是递增还是递减，接着找出首项和末项，最后根据数列的单调性确定最大（小）项的位置及值。 【例题1】（22-23高二上·广东深圳·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【例题2】设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【例题3】（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【巩固练习1】（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【巩固练习2】（22-23高二上·重庆巴南·阶段练习）已知数列，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项. 【巩固练习3】无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【题型9】等差数列的实际应用 等差数列在实际中有广泛应用，如计算存款利息、工资增长、温度梯度、等距分布的物品数量等，它简化了连续、等间隔变化的量的计算，是数学中重要的模型之一 【例题1】习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 【例题2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 . 【巩固练习1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 【巩固练习2】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【巩固练习3】稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘 蒽 并四苯 … 并n苯 结构简式 … … 分子式 … … 由此推断并十苯的分子式为 . 【题型10】等差数列与数学文化的结合 等差数列不仅是一种重要的数学概念，在数学文化中也占据着独特的位置。古代文明中，等差数列的概念被用于天文历法的计算，例如中国古代的历法中就运用了等差数列来预测日食、月食等天象。此外，在音乐理论中，音阶的构成也可以看作是一种等差数列的应用，每个音符之间的频率比遵循一定的等差关系。文学作品中，等差数列有时也被用作创作的灵感来源，通过数列的规律性来构建故事的节奏或是人物的发展脉络。等差数列以其简洁而强大的特性，成为连接数学与文化的一座桥梁 【例题1】（21-22高二下·河南郑州·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（    ）． A．51 B．68 C．106 D．157 【例题2】（22-23高二上·上海虹口·期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ） A．20180 B．20200 C．20220 D．20240 【例题3】（22-23高二上·浙江杭州·期末）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．103 B．107 C．109 D．105 【巩固练习1】（高二上·江苏连云港·期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列则该数列共有（    ） A．132项 B．133项 C．134项 D．135项 【巩固练习2】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（    ） A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺 【巩固练习3】（高二下·安徽宣城·期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列中共有 项． 【巩固练习4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第 项. 【题型11】构造等差数列（1）：取倒数 形如（为常数且）的递推式：两边同除，转化为形式 注意：有的递推公式是分式的形式，如：，等，化为整式之后就符合上面的式子结构了 【例题1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例题2】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【例题3】已知各项均不为0的数列满足，且，则 ． 【巩固练习1】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习2】（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【巩固练习3】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【题型12】构造等差数列（2）：插入数字或每隔k项抽项数 1、在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 例如：是公差为d的等差数列，则是公差为kd的等差数列 2、要在两个已知项之间插入数字构成新的等差数列，首先计算这两项间的原有公差d。然后，决定要插入的项数k，计算新的公差。最后，从第一项开始，按新公差依次计算并插入每个新项，直到完成插入。这样就能构造出包含新项的等差数列。 【例题1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列. （1）求数列的通项公式. （2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 【例题2】已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【例题3】已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 【巩固练习1】已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列 ． 【巩固练习2】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【巩固练习3】已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 【巩固练习4】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 【题型13】构造等差数列（3）：提取2个等差数列的公共项构成新数列 要从两个等差数列中提取公共项构成新的等差数列，首先找出两数列的通项公式。设两个数列的通项分别为和。找到满足的项，这些项即为公共项。选取两个连续的公共项作为新数列的首项和第二项，其差值即为新数列的公差。这样即可构造出由公共项组成的新等差数列. 如果是选填就直接找规律即可，解答题要写出规范解答过程，可以设两个等差数列的通项公式分别为，，然后令，求解与的关系 结论1：两个等差数列的公差分别为正整数s和t，则它们的公共项构成新的等差数列，且新数列的公差为s 和t的“最小公倍数” 结论2：两个等差数列的公差分别为最简分数和，则它们的公共项从小到大排列构成的新等差数列的公差为（说明：为正整数m，n的最小公倍数，为正整数m，n的最大公约数．） 【例题1】定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（    ） A．2025 B．2021 C．2017 D．2013 【例题2】（2020·新高考1卷真题·改）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 ． 【例题3】将数列与的公共项从小到大依次排列得数列，求的通项公式 【巩固练习1】（22-23高二上·广东深圳·期末）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【巩固练习2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【巩固练习3】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，求的通项公式 设，则有 【题型14】构造等差数列（4）： 奇偶相间讨论型（奇偶数列） （1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 （2）分段数列 （3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 【例题1】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列中，，，，则 ． 【巩固练习2】2021·新高考1卷T17（1） 已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式 【题型15】构造等差数列（5）：隔项等差（奇偶数列） 满足，一般化为隔项等差数列 【例题】已知,求的通项公式． 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列 解答过程 由 ，可推出 ，两式作差 所以 是隔项等差数列： ① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ② 构成以 为首项的等差数列，公差为 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上：无论 为奇数还是偶数： . 【例题1】（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 【例题2】数列满足：，求通项. 【巩固练习1】已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 【巩固练习2】已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【巩固练习3】已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 【题型16】构造等差数列（6）：其它类型 1、递推公式为时，要先在原递推公式两边同时除以，得： 2、形如型的递推式：可以化为特殊数列的形式求解 3、已知与的关系；或与的关系时，替换题中的 【例题1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【例题2】已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【例题3】（22-23高二上·江苏南京·期末改编）设数列满足且，则 ;数列 . 【例题4】设数列的前n项和为，且，，则 ． 【巩固练习1】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知数列满足，且（，且）． (1)求，； (2)求数列的通项公式. 【巩固练习3】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【巩固练习3】在数列中，，若，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【巩固练习4】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； 【巩固练习5】在数列中，，且对任意的，都有，则________ 1 / 27 学科网（北京）股份有限公司 $$【重难点突破】2024-2025学年高二上学期数学常考题（人教A版2019选择性必修二） 专题4-2 等差数列的概念 总览 题型解读 【题型1】求等差数列的通项公式或某一项 【题型2】等差数列基本量的计算 【题型3】等差中项及应用 【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用 【题型5】等差数列的判断 【题型6】等差数列证明（1）:直接作差或等差中项形式 【题型7】等差数列证明（2）：因式分解型 【题型8】求等差数列中的最大(小)项 【题型9】等差数列的实际应用 【题型10】等差数列与数学文化的结合 【题型11】构造等差数列（1）：取倒数 【题型12】构造等差数列（2）：插入数字或每隔k项抽项数 【题型13】构造等差数列（3）：提取2个等差数列的公共项构成新数列 【题型14】构造等差数列（4）： 奇偶相间讨论型（奇偶数列） 【题型15】构造等差数列（5）：隔项等差（奇偶数列） 【题型16】构造等差数列（6）：其它类型 一、等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示. 注意点： (1)概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*)． (2)定义中强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项． (3)差必须是同一个常数． (4)公差可以是正数、负数、零． (5)当d>0时，是递增数列，当d＝0时，是常数列，当d<0时，是递减数列． 二、等差中项以及拓展 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且. 注意： (1)任意两个实数都有等差中项，且唯一． (2)a3是a1和a5的等差中项，特别注意下标之间的关系． 拓展：若，则（下标之和性质关系） 三、等差数列的通项公式与函数性质 1．首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 证明：可以用累加法推导 a2－a1＝d， a3－a2＝d， a4－a3＝d， … an－an－1＝d， 左右两边分别相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)． 2．若数列{an}是等差数列，首项为a1，公差为d，则an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)． (1)点(n，an)落在直线y＝dx＋(a1－d)上，这条直线的斜率为d，在y轴上的截距为a1－d； (2)这些点的横坐标每增加1，函数值增加d. 注意： ①已知首项a1和公差d，便可写出通项公式． ②等差数列的通项公式是an，a1，d，n四个变量之间的关系，知三求一． 等差数列通项公式的求法与应用技巧 ③等差数列的通项公式可由首项与公差确定，所以要求等差数列的通项公式，只需求出首项与公差即可． ④等差数列{an}的通项公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四个参数，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三个数，那么就可以由通项公式求出第四个数，这一求未知量的过程，我们通常称之为“知三求一” 熟练掌握等差数列是关于n的一次函数型这一结构特征，并且公差d是一次项系数，它的符号决定了数列的单调性，d>0时，数列{an}为递增数列，d＝0时，数列{an}为常数列，d<0时，数列{an}为递减数列． 四、等差数列的性质 1.下标性质 （1）在等差数列中,若,则. 特别的,若,则有 （2）下标成等差数列且公差为m的项,,,(k,m)组成公差为md的等差数列. （3）在等差数列{}中，若，，，则有. 2.等差数列通项公式的变形及推广 （1） （2）. （3）,且. 3.若分别是公差为的等差数列,则有 数列 结论 公差为d的等差数列(c为任一常数) 公差为cd的等差数列(c为任一常数) 公差为2d的等差数列(k为常数) 公差为的等差数列(p,q为常数) 题型汇编 知识梳理与常考题型 【题型1】求等差数列的通项公式或某一项 等差数列概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*) 等差数列的通项公式：首项为a1，公差为d的等差数列{an}的通项公式为 【例题1】（23-24高二上·浙江绍兴·期末）已知数列的首项，且满足，则（    ） A． B． C．16 D．19 【答案】B 【分析】根据条件得出数列是以，的等差数列，即可求出结果. 【详解】由，得到，又， 所以数列是以，的等差数列，得到， 【例题2】等差数列3，11，19，27，…的通项公式是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先得到首项与公差，即可求出通项公式. 【详解】因为等差数列的首项，公差， 所以通项公式为. 【例题3】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知数列中，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以条件可知为等差数列，求得通项公式后，进一步计算即可. 【详解】因为，且， 所以是以1为首项，为公差的等差数列， 故， 则， 故 【例题4】在数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先把变形得到，再由等差数列的定义即可求出通项公式. 【详解】由得， 令，则， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，即， 所以. 【巩固练习1】已知数列中，，，则 . 【答案】 【分析】先判断得是等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解． 【详解】因为，所以数列是等差数列，公差， 又，所以． 【巩固练习2】（22-23高三上·山西运城·阶段练习）已知数列的首项，，对任意的，都有，则 . 【答案】41 【分析】分析得到数列是等差数列，求出数列的公差即得解. 【详解】解：因为对任意的，都有， 所以对任意的，都有， 所以数列是等差数列， 因为，，所以. 所以. 【巩固练习3】已知在数列中，，，则等于 ． 【答案】 【分析】根据题意可得数列是以1为首项，2为公差的等差数列，再利用等差数列的通项公式即可得解． 【详解】解：因为，所以，则数列是以为首项，2为公差的等差数列，则，故，所以． 【巩固练习4】在数列中，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据可得为等差数列，从而可求的通项公式. 【详解】由题设可得，故为等差数列， 故 【巩固练习5】已知数列中，，且是等差数列，则（    ） A．36 B．37 C．38 D．39 【答案】A 【分析】根据等差数列的定义写出的通项公式，再利用累加法求. 【详解】因为，所以， 又是等差数列，故首项为3，公差为2， 所以， 所以． 【巩固练习6】已知数列（）为等差数列，且，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的概念可得数列的通项公式，进而可得. 【详解】设等差数列的公差为， 由，， 得， 解得， 所以， 即 【题型2】等差数列基本量的计算 等差数列基本量的计算是指把条件拆成基本量和的形式，解二元方程组来得出所求 【例题1】在等差数列中，，，且，________． 【答案】 【分析】利用等差数列的通项公式，解出，代入即可. 【详解】设等差数列的公差为 则 所以 【例题2】（高二上·广东深圳·期末）已知等差数列的首项为，且从第10项开始均比1大，则公差d的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】易得，结合通项公式，解关于的不等式即可. 【详解】由题意得所以解得. 【例题3】（22-23高二上·江苏苏州·期末）若数列是等差数列，a1=1，，则a5=（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令、 可得等差数列的首项和第三项，即可求出第五项，从而求出. 【详解】令得， 令得， 所以数列的公差为， 所以，解得 【例题4】（2023·全国·高考II卷真题）已知为等差数列，，记，分别为数列，的前n项和，，，求的通项公式； 【答案】(1)； 【分析】（1）设等差数列的公差为，用表示及，即可求解作答. 【详解】（1）设等差数列的公差为，而， 则， 于是，解得，， 所以数列的通项公式是. 【巩固练习1】（24-25高二上·江苏苏州·期中）等差数列中，，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】A 【分析】首先由等差数列的通项公式求出公差d，则可求. 【详解】设等差数列的公差为d， 则， 因为，所以， 所以 【巩固练习2】（23-24高二上·山东泰安·阶段练习）首项为的等差数列，从第项起开始为正数，则公差的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析，，从而求解. 【详解】设等差数列首项为，公差为，由从第项起开始为正数， 所以，即，解得，故D正确. 【巩固练习3】已知数列是等差数列，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设数列的公差为d，分别表示出，，，验证C；然后分别解出，验证ABD是否正确即可. 【详解】设数列的公差为d， 则，，， 因此，故C正确； ，，不满足，故A错误； ，，故B错误； ，，则，故D错误 【巩固练习4】已知等差数列的前项和为，公差为，且满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据已知判断等差数列先正后负，是递减数列，即可得出，再根据等差数列通项结合已知列不等式，即可解出答案. 【详解】，， ，则， 解得， ， ，即的取值范围是. 【巩固练习5】（2023·全国·高考1卷真题）设等差数列的公差为，且．令，记分别为数列的前项和．，若，求的通项公式； 【答案】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式建立方程求解即可； 【详解】（1），，解得， ， 又， ， 即，解得或（舍去）， . 【题型3】等差中项及应用 由三个数a，A，b组成的等差数列可以看成是最简单的等差数列．这时，A叫做a与b的等差中项，且. 应用1、等差数列中任意相邻的三项构成等差数列，且中间项是等差中项，即 应用2、若数列对均满足，则为等差数列 简证：，即为等差数列. 应用3、若，则 【例题1】已知为等差数列，，．求． 【答案】1 【详解】设的公差为d，首项为，根据题意得 ， ∴∴ 【例题2】已知数列满足：，，则 ． 【答案】 【分析】由，得，可知为等差数列，从而可以求出的通项公式，进而可求出的值． 【详解】解：由，得， ∴为等差数列．又，， ∴， ∴． ∴． 【例题3】（23-24高二上·江苏南京·期末）若数列 是等差数列，且 ，则 （    ） A．30 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】利用等差中项列式求解即可. 【详解】数列是等差数列，则是和的等差中项， 有，即，解得. 【例题4】已知递增数列是等差数列，若，，则（    ） A．2024 B．2023 C．4048 D．4046 【答案】C 【分析】设数列的公差为d（），解法一：根据题意结合等差数列的通项公式求，即可得结果；解法二：根据等差数列的性质并以为中心求，即可得结果. 【详解】解法一：设数列的公差为d（）， 因为，， 则，解得， 所以； 解法二：设数列的公差为d（）， 由得， 又因为，即，解得， 所以. 【例题5】（高二上·云南曲靖·期末）已知中三边，，成等差数列，，，也成等差数列，则的形状为 . 【答案】等边三角形 【解析】根据等差数列条件列方程化简得即可判断结果. 【详解】因为，，成等差数列，，，也成等差数列， 所以 则 即 所以 故 所以为等边三角形 【巩固练习1】（23-24高二上·陕西咸阳·阶段练习）在等差数列中，若，则（    ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】C 【分析】根据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将的值代入即可求出值． 【详解】由题意，得， 所以，故C正确. 【巩固练习2】（23-24高二上·山西吕梁·阶段练习）在等差数列中，，则（    ） A． B． C．1345 D．2345 【答案】A 【分析】根据等差数列的性质可得，，进而可得公差和通项公式，利用通项公式代入运算即可. 【详解】因为，得， 又因为，得， 可得数列的公差，则， 所以． 【巩固练习3】（23-24高二上·安徽滁州·期末）已知为等差数列，且，，则 . 【答案】 【分析】利用等差中项的性质求解即可. 【详解】由等差中项性质得， 解得. 【巩固练习4】（2024高二·全国·专题练习）在等差数列中，已知，，则数列的通项公式可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】方法一，设出首项，公差为d，代入已知条件即可求解；方法二，根据等差数列性质可求出，代入到已知可求出公差为d，即可求解；方法三，根据韦达定理可求出，是方程的两根，再根据等差数列可求出通项公式. 【详解】方法一（基本量法）设的首项为，公差为d， 则由，得，∴． 代入，整理得，解得． 当时，，； 当时，，． 方法二（等差数列的性质）∵，∴． ， ∴，∴． 当时，； 当时，． 方法三（方程思想）∵，∴， ∴，（由和与积，联想到根与系数的关系） ∴，是方程的两根，∴或 由，，得，∴． 同理，由，，得． 【巩固练习5】（高二上·江苏徐州·期中）正数a，b的等差中项是，且，，则的最小值是（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【解析】由等差中项的性质得出，再由基本不等式求出最小值. 【详解】由题意可知， 当且仅当时，取等号 【巩固练习6】（24-25高二上·江苏徐州·阶段练习）等差数列中，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，再根据等差数列的通项公式计算即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由，. 【题型4】等差数列的性质及简化计算的应用 在对等差数列基本量进行计算时，利用等差数列的性质可以起到减少计算量的作用，很多时候即使不求出和也能得出答案 【例题1】已知数列是等差数列，p，q，s，，且.求证. 分析：只要根据等差数列的定义写出，，，，再利用已知条件即可得证. 证明：设数列的公差为d，则 ， ， ， . 所以，. 因为，所以. 【例题2】（23-24高二上·广东深圳·期末）已知为等差数列，，则 . 【答案】6 【分析】根据等差数列的性质，即可求解. 【详解】根据等差数列的性质可知，，又， 所以. 【例题3】已知等差数列中，，是函数的两个零点，则（    ） A．3 B．6 C．8 D．9 【答案】B 【分析】由等差数列的性质进行计算即可. 【详解】由已知，函数的两个零点，即方程的两根，， ∴， ∵数列为等差数列， ∴， ∴. 【例题4】（23-24高二上·四川达州·期末）在递增等差数列中有，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分析条件，求出通项公式后利用裂项相消法求和即可. 【详解】设公差为，首项为，由等差数列下标和性质得，结合， 是递增等差数列，解得，(另一组解舍)， 故，，， 即， 令，则原式为求的前项和， 故原式， 【巩固练习1】（23-24高二上·福建福州·期末）已知公差不为0的等差数列满足，则的最小值为（    ） A．9 B． C． D． 【答案】B 【分析】先通过等差数列的性质得到，再利用基本不等式中1的妙用来求解最值即可. 【详解】根据等差数列性质可得，则， ， 当且仅当，即时，取“”号. 【巩固练习2】（24-25高二上·福建龙岩·期中）公差不为0的等差数列中，，则的值不可能是（   ） A．9 B．16 C．22 D．25 【答案】C 【分析】由等差数列的性质可得，即可得，的所有可能取值，即可求解. 【详解】因为，所以， 又，， 所以或或或或或或或或， 所以的值可能是，，，，. 【巩固练习4】已知等差数列满足，则的值为 . 【答案】3 【分析】由等差数列通项公式得，即，进而求出 【详解】由等差数列通项公式得， 即，故， . 【巩固练习5】（23-24高二上·重庆·阶段练习）已知等差数列为递增数列，且满足，，则其通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用等差数列性质求出 ，，从而求出通项公式. 【详解】由数列为递增等差数列，则，且， 又因为，所以，， 所以数列的公差，， 所以数列的通项公式为，故B项正确. 【巩固练习6】（23-24高二下·云南玉溪·开学考试）若数列是等差数列，且，则（ ） A．48 B．50 C．52 D．54 【答案】A 【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的下标和性质可求得，而，代入即可得出答案. 【详解】设等差数列的公差为， 由等差数列的下标和性质可得：，解得：， 而 【巩固练习7】已知正项等差数列，若，，则(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合已知条件，利用等差数列的性质求出和，进而求出公差即可求解. 【详解】在等差数列中，依题意，， 故， 解得，， 故和是的两根，解得，，， 因为为正项等差数列，故公差， 从而，，则，即， 所以. 【巩固练习8】若是公差不为的等差数列，满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，可得，根据题意求得，然后利用等差数列的基本性质得出，利用等差数列求和公式可求得的值. 【详解】设等差数列的公差为，可得， ，， 即，， ，所以，， 由等差数列的基本性质可得，即 【题型5】等差数列的判断 证明数列是等差数列的主要方法： (1)定义法：对于n≥2的任意自然数，验证an－an－1为同一常数．即作差法，将关于an－1的an代入an－an－1，在化简得到定值． (2)等差中项法：验证2an－1＝an＋an－2（n≥3，n∈N×）都成立． (3)判定一个数列是等差数列还常用到的结论： ①通项公式：an＝pn＋q（p，q为常数）是等差数列． ②前n项和公式：Sn＝An2＋Bn（A，B为常数）是等差数列. 问题的最终判定还是利用定义. 【例题1】已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差； （2）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差； （3）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想. 【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【例题2】（23-24高二下·山东菏泽·期中）从1，2，3，…，9这9个数字中任取3个不同的数字，使它们成等差数列，则这样的等差数列共有（    ） A．16个 B．24个 C．32个 D．48个 【答案】C 【分析】分别对公差的各不同取值判断等差数列的个数，即可求解． 【详解】解：当公差时，数列有1，2，3；2，3，4；3，4，5；4，5，6；，5，6，7；6，7，8；7，8，9共7个； 当公差时，数列有1，3，5；2，4，6；3，5，7；4，6，8；5，7，9共5个； 当公差时，数列有1，4，7，；2，5，8；3，6，9共3个； 当公差时，数列有1，5，9共1个， 同理，当时，有7个， 当时，有5个， 当时，有3个， 当时，有1个， 故共有． 【例题3】（23-24高二上·广东深圳·期末）若数列是等差数列，则下列数列不一定是等差数列的是（ ） A． B． C．（为常数） D． 【答案】A 【分析】根据题意，结合等差数列的定义和特殊数列，逐项判定，即可求解. 【详解】因为数列为等差数列，设公差为，可得， 对于A中，例如：等差数列，则， 此时数列不是等差数列，所以A符合题意； 对于B中，数列中，可得，所以数列为常数列， 所以数列一定是等差数列，所以B不符合题意； 对于C中，数列中，可得（常数）， 所以数列一定是等差数列，所以C不符合题意； 对于D中，数列中，可得， 所以数列一定是等差数列，所以D不符合题意. 【例题4】（24-25高三上·内蒙古包头·开学考试）“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】先假设数列是等差数列，结合等差数列的性质设出其首项及公差，计算可得数列亦为等差数列，举出恰当的数列的通项公式，使是等差数列，但不是等差数列即可得. 【详解】若数列是等差数列，可设其首项为，公差为， 则，则， 即数列是以为首项，为公差的等差数列； 若数列是等差数列，取，则，符合要求， 但数列不为等差数列， 故“数列是等差数列”是“数列是等差数列”的充分不必要条件. 【巩固练习1】已知数列是等差数列，下面的数列中①②③④必为等差数列的个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】设出等差数列的公差，利用等差数列定义一一判断四个数列，对于④中数列，只需举反例即可说明. 【详解】由数列是等差数列，不妨设其公差为，则， 对于①，因，，则为常数，故是等差数列； 对于②，不妨设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于③，设，则，，于是为常数，故是等差数列； 对于④，若数列为，显然是等差数列，则数列为，因，故不是等差数列. 即在①，②，③，④中，是等差数列的有3个 【巩固练习2】（多选）记为数列的前项和，若数列是首项为1，公差为2的等差数列，则（    ） A．数列为递减数列 B． C． D．数列是等差数列 【答案】BC 【分析】根据等差数列的通项即可判断B；根据求出数列的通项，即可判断C；由的符号即可判断A；根据等差数列的定义即可判断D. 【详解】由题意，所以，故B正确； 当时，， 当时，， 当时，上式也成立， 所以，故C正确； 因为，所以数列为递增数列，故A错误； ， 因为，， 所以数列不是等差数列，故D错误. 故选：BC. 【巩固练习3】（23-24高二下·浙江·期中）对于数列，设甲：为等差数列，乙：，则甲是乙的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式计算可证明充分性；由得，两式相减，结合等差中项的应用即可证明必要性. 【详解】充分性：若是等差数列， 则． 必要性：若，则， 两式相减得， 即，所以是等差数列． 所以甲是乙的充要条件. 【巩固练习4】（多选）若数列是等差数列，公差，则下列对数列的判断正确的是（    ） A．若，则数列是递减数列 B．若，则数列是递增数列 C．若，则数列是公差为d的等差数列 D．若，则数列是公差为的等差数列 【答案】AD 【分析】写出的通项公式，结合各项写出的通项公式，利用所得通项公式对应函数性质判断单调性、等差数列的通项公式判断等差数列. 【详解】由且， A：由，即数列是递减数列，对； B：由，若时，如，不单调，错； C：由，则数列是公差为的等差数列，错； D：由，则数列是公差为的等差数列，对. 故选：AD 【巩固练习5】（23-24高二下·广东佛山·期末）（多选）已知数列的前项和为，则下列选项中，能使为等差数列的条件有（    ） A． B． C．对，有 D． 【答案】BCD 【分析】对A、B：利用与的关系计算后，结合等差数列定义即可得；对C：利用赋值法构造即可得；对D：借助分段函数性质计算即可得. 【详解】对A：，当时，， 则，即， ，则，故不为等差数列，故A错误； 对B：当时，，则， 即，即对任意的，有，此时， 即数列是以为首项，为公差的等差数列，故B正确； 对C：令，则对，有， 故数列是以为公差的等差数列，故C正确； 对D：， 则，故数列是以为公差的等差数列，故D正确. 故选：BCD. 【题型6】等差数列证明（1）:直接作差或等差中项形式 1、等差数列概念的符号表示：an＋1－an＝d(n∈N*) 2、若数列对均满足，则为等差数列 简证：，即为等差数列. 【例题1】已知一个无穷等差数列的首项为，公差为d． （1）将数列中的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （2）取出数列中的所有奇数项，组成一个新的数列，这个新数列是等差数列吗？如果是，它的首项和公差分别是多少？ （3）取出数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列，它是等差数列吗？你能根据得到的结论作出一个猜想吗？ 【答案】（1）是等差数列，首项为，公差为；（2）是等差数列，首项为首项为，公差为；（3）是等差数列，首项为，公差为；猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【解析】 【分析】（1）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差； （2）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差； （3）由题意可知，新的数列为：，可知新等差数列的首项及公差，进而得到猜想. 【详解】（1）由题意可知，将无穷等差数列的前m项去掉，其余各项组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （2）由题意可知，取出无穷等差数列中的所有奇数项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. （3）由题意可知，取出无穷等差数列中所有序号为7的倍数的项，组成一个新的数列为： ，这个新数列是等差数列，首项为，公差为. 猜想：等差数列每隔一定距离抽取一项后所组成的新数列仍是等差数列. 【例题2】（22-23高二上·河南郑州·阶段练习）已知数列{}满足． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列{}的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）两边取倒数可得：，即可证明； （2）由（1）利用等差数列的通项公式即可得出． 【详解】（1）证明：数列{}满足． 两边取倒数可得：，即， ∴数列{}是等差数列，首项为，公差为2； （2）由（1）可得：， 解得． 【例题3】数列满足. (1)求的值； (2)设，证明是等差数列. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据数列的递推关系式求解即可； （2）结合递推关系式与等差数列的定义证明即可. 【详解】（1）数列满足 所以， （2）∵ ∴为等差数列. 【例题4】（23-24高二上·广东汕头·阶段练习）已知数列{an}满足，，令. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将递推关系代入，利用定义证明是等差数列； （2）由等差数列通项公式求，进而得. 【详解】（1）∵ ， ∴，又， ∴是首项为，公差为的等差数列． （2）由（1）知， ，∴. 【例题5】（22-23高二上·福建厦门·阶段练习）已知数列，，且满足，． (1)证明：数列是等差数列并求出的通项公式； (2)若是数列的前n项和，求数列的通项公式. 【答案】(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）定义法证明等差数列，再求出首项与公差由等差数列通项公式可得所求； （2）由与关系分类求通项公式即可得. 【详解】（1）由， 则 ， 故数列是等差数列，且首项为，公差为. 则， 即的通项公式为. （2）由，则 由（1）知，所以， 当时，. 当时，时，也适合. 综上所述，数列的通项公式为. 【巩固练习1】（23-24高二上·浙江温州·期末）已知数列满足， (1)求证：数列为等差数列 【分析】（1）证明为定值即可； 【详解】（1）因为，所以，即， 所以数列是首项为，公差为的等差数列 【巩固练习2】（23-24高二上·山东菏泽·期末）已知数列的首项为，前项和为，且. (1)求证：数列为等差数列. 【分析】（1）利用得到，再结合，得到，证明出结论； 【详解】（1）对于， 两式相减，得， 递推可得：， 两式相减：得， 所以 所以， 即为等差数列. 【巩固练习3】已知满足，且. (1)求； (2)证明数列是等差数列，并求的通项公式. 【答案】(1) (2)证明详见解析， 【分析】（1）根据递推关系求得正确答案. （2）根据已知条件进行整理，结合等差数列的定义进行证明，进而求得. 【详解】（1）依题意，，， 所以，， 所以. （2）依题意，，， 所以，所以是首项为，公差为的等差数列， 所以. 【巩固练习4】（23-24高二上·安徽黄山·期末）已知数列满足：. (1)求证：数列为等差数列； (2)若，求满足条件的最大整数n. 【答案】(1)证明见解析 (2)24 【分析】（1）根据等差数列的定义结合已知的递推式可证得结论； （2）由（1）可求得，则可得，然后利用裂项相消法可求得，进而解不等式可求得结果. 【详解】（1）证明：因为， 所以 ， 因为，所以数列是以2为公差，1为首项的为等差数列； （2）解：由（1）得， 所以 所以， 所以 由，得， 因为，所以满足条件的最大整数为24. 【巩固练习5】已知数列的前项和为．证明：数列是等差数列； 【答案】证明见解析 【分析】利用与的关系及等差数列的定义即可求解. 【详解】因为，， ，即， ，即， 是1为首项，1为公差的等差数列． 【巩固练习6】（23-24高二上·江苏常州·期末）设是正项数列的前项和，且，． (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列的通项公式． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由题中的递推公式可得，从而可求解. （2）由（1）可得，当时，求得，再验证，从而可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，， 所以， 所以是以为首项，为公差的等差数列． （2），且，所以． 当时，，． 时，不满足上式， 所以． 【题型7】等差数列证明（2）：因式分解型 若递推公式中出现了关于和的齐二次式，且为正项数列，则一般需要通过因式分解来得出常数. 【例题1】在数列中，，且前n项和满足，则数列的通项公式为________． 【答案】 【分析】利用与的关系可求得数列为等差数列，再利用等差数列的通项公式即可求解 【详解】当时，，解得； 当时，由， 得， 两式相减得 ， 即， 整理得， 因为，所以，即， 又，故数列是首项为1，公差为2的等差数列， 所以. 【例题2】（23-24高二下·安徽芜湖·阶段练习）设是正项数列，且其前项和为，已知. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）首先求得的值，然后结合递推关系式整理可得数列为等差数列，结合等差数列通项公式可得数列的通项公式； 【详解】（1）当时，，解得：， 当且时，， ∴， 整理可得：， ∵，∴，∴， ∴数列以2为首项，4为公差的等差数列， ∴. 【例题3】（23-24高二上·湖南长沙·期中）已知数列各项均为正数，且，. (1)证明：为等差数列，并求出通项公式； (2)设，求. 【答案】(1)证明见解析， (2)20 【分析】（1）根据等差数列定义证明等差数列，再根据通项公式计算即可； （2）分组求和计算可得. 【详解】（1）因为， 所以，， 因为数列各项均为正数，即， 所以，，即数列为等差数列，公差为，首项为. 所以. （2）由（1）知，其公差为，所以， 所以，. 【巩固练习1】（高二下·浙江绍兴·期中）已知正数数列的前项和满足：，则 ，通项 【答案】 3 【分析】利用给定的递推公式求出，再结合探求出是等差数列，然后计算即得. 【详解】数列的前项和满足：，则当时，，解得， 当时，，即， 整理得：，又数列是正项数列，于是得， 从而得数列是首项为1，公差为2的等差数列，则，， 所以，通项公式为. 【巩固练习2】已知正项数列的前项和为，. （1）求、； （2）求证：数列是等差数列. 【答案】（1），；（2）证明见解析. 【解析】（1）直接在数列递推式中取即可求、 （2）在数列递推式中将换成，得另一递推式后作差，整理即可证明数列是等差数列 【详解】（1）由已知条件得：.∴. 又有，即. 解得（舍）或. （2）由得 时：， ∴， 即， ∴， ∴， ∴即， 经过验证也成立， 所以数列是首项为1，公差为2的等差数列. 【巩固练习3】（22-23高二下·福建泉州·期末）已知正项数列的前项和为，且满足． (1)求，； (2)设，数列的前项和为，求证：． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】(1)当时由＝(＋1)与＝(＋1)作差，由此得出是等差数列，从而求出即可； (2).通过（1）再裂项得出数列的通项公式，进而并项相加即得结论． 【详解】（1）……① ，……② 由 ②－①得，， ． 又， 所以，由① 所以是首项为1公差为的等差数列， 所以， 代入①得． （2）， ， 因为， 所以，即． 【巩固练习4】（23-24高二下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）已知正项数列，满足． (1)求； (2)若，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系，结合已知条件以及等差数列的通项公式即可求得结果； （2）根据（1）求出，利用裂项求和法求得结果. 【详解】（1）由，可得，， 两式相减得，又， ，即，，又，解得， 所以数列是以3为首项，以2为公差的等差数列， . （2）由（1），， 所以 . 【巩固练习5】（23-24高三上·河南周口·阶段练习）在正项等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)记，求数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设等差数列的通项公式，再结合从而求解. （2）由（1）可得，然后利用裂项求和从而求解. 【详解】（1）设等差数列的通项公式，由于， 令，则，将代入，解出或， 因为各项为正数，则，所以：. 故数列的通项公式为：. （2）由（1）知， 所以： 故数列的前项和为：. 【巩固练习6】（23-24高二上·广东中山·期中）数列的前项和为，. (1)求数列的通项公式； (2)是否存在正整数使得成等差数列？说明理由. 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据已知和求通项可得结果； （2）假设存在正整数使得成等差数列，推出矛盾可得结果. 【详解】（1）当时， 当时， 经检验，当时符合 故数列的通项公式为：. （2）若成等差数列，则，， 这与为正整数且矛盾， 所以不存在正整数使得成等差数列. 【题型8】求等差数列中的最大(小)项 求等差数列中的最大（小）项的主要方法是：首先确定数列的公差正负，然后判断数列是递增还是递减，接着找出首项和末项，最后根据数列的单调性确定最大（小）项的位置及值。 【例题1】（22-23高二上·广东深圳·期末）（多选）数列的前项和为，已知，则（   ） A．是递减数列 B．是等差数列 C．当时， D．当或4时，取得最大值 【答案】CD 【分析】由数列的通项公式与前n项和的关系即可求出，对选项分别讨论及计算即可得到正确答案. 【详解】当时，， 当时，， 不满足上式， 所以， 对于A，由于，，所以不是递减数列，所以A错误， 对于B，由于，，，所以， 所以不是等差数列，所以B错误， 对于C，由，得，所以当时，，所以C正确， 对于D，，因为， 所以当或4时，取得最大值，所以D正确， 故选：CD. 【例题2】设，则当数列{an}的前n项和取得最小值时，n的值为（    ） A．4 B．5 C．4或5 D．5或6 【解题思路】结合等差数列的性质得到，解不等式组即可求出结果. 【解答过程】由，即，解得，因为,故. 【例题3】（23-24高二上·河南郑州·开学考试）等差数列中，，，给出下列命题：①，②，③是各项中最大的项，④是中最大的值，⑤为递增数列.其中正确命题的序号是 . 【解题思路】直接利用等差数列中，，，进行转换，进一步求出公差为负值，且，，最后求出结果． 【解答过程】等差数列中，，，所以，则． 所以，则． 所以①正确． ②整理得正确． ③是各项中最大的项，应该是最小的正数项．故错误． ④是中最大的值，正确； ⑤为递增数列．错误，应改为递减数列． 故答案为：①②④． 【巩固练习1】（22-23高二上·陕西渭南·阶段练习）在等差数列中，记，则数列（    ） A．有最大项，有最小项 B．有最大项，无最小项 C．无最大项，有最小项 D．无最大项，无最小项 【答案】C 【分析】 根据题意求出，根据等差数列的各项符号得到数列的单调性，由此可求得结果. 【详解】解：依题意可得公差，， 所以当时，，当时，， 因为，，， ，， ， 又当时，，且，即，所以当时，数列单调递增，所以数列无最大项，数列有最小项. 【巩固练习2】（22-23高二上·重庆巴南·阶段练习）已知数列，，数列满足. (1)求证：数列是等差数列； (2)求数列中的最大项. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）将代入中进行化简，然后利用等差数列定义得出结论即可. （2）求出数列，利用函数单调性求解. 【详解】（1）因为，. 所以当时， 又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列.. （2）由（1）知，. 则时，, 设函数易知在上为减函数 所以当时，取得最大值. 【巩固练习3】无穷数列满足：且． （1）求证：为等差数列； （2）若为数列中的最小项，求的取值范围． 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【分析】（1）利用递推公式证得，根据等差数列的定义即可得出结论； （2）由于数列是以1为公差的等差数列，所以若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，然后结合题意即可得到，解不等式组即可求出结果. 【详解】（1）因为，则 所以 ， 故数列是以1为公差的等差数列； （2）若，则数列是递增数列，所以数列无最大项，因此中无最小项，故，又数列是递增数列，且为数列中的最小项，所以是数列中的最大负项，从而有，而，则，解得， 故的取值范围为. 【题型9】等差数列的实际应用 等差数列在实际中有广泛应用，如计算存款利息、工资增长、温度梯度、等距分布的物品数量等，它简化了连续、等间隔变化的量的计算，是数学中重要的模型之一 【例题1】习近平总书记提出：乡村振兴，人才是关键．要积极培养本土人才，鼓励外出能人返乡创业．为鼓励返乡创业，黑龙江对青山镇镇政府决定投入创业资金和开展“创业技术培训”帮扶返乡创业人员．预计该镇政府每年投入的创业资金构成一个等差数列（单位万元，），每年开展“创业技术培训”投入的资金为第一年创业资金的倍，已知．则预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为（    ） A．72万元 B．96万元 C．120万元 D．144万元 【答案】C 【分析】本题可设等差数列的公差为，然后根据题意得出五年累计总投入资金为，最后通过基本不等式即可求出最值. 【详解】设等差数列的公差为， 由题意可知，五年累计总投入资金为： ， 因为， 所以， 当且仅当时取等号， 故预计该镇政府帮扶五年累计总投入资金的最大值为120万元 【例题2】（23-24高二上·福建龙岩·期中）潮涌杭州，亚运来了！2023年9月23日，第19届亚运会在杭州盛大开幕，这是杭州历史上的一件大事，也是中国继北京奥运会、广州亚运会后再次举办的大型国际体育赛事.某网站全程转播了该次赛事，为庆祝本次赛事，该网站举办了一场针对本网站会员的奖品派发活动，派发规则如下：①对于会员编号能被3整除余1且被5整除余1的可以获得精品吉祥物一套；②对于不符合①中条件的可以获得普通吉祥物一套.已知该网站的会员共有2023人（编号为1号到2023号，中间没有空缺），则获得精品吉祥物的人数为 . 【答案】135 【分析】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为，根据题意结合等差数列的通项求出其通项公式，进而可得出答案. 【详解】将能被3整除余1且被5整除余1的正整数按从小到大排列，所得的数列记为， 由已知得是3的倍数，也是5的倍数， 所以为15的倍数，所以是首项为0，公差为15的等差数列， 所以， 令，可得， 又，解得且， 故获得精品吉祥物的人数为135. 【巩固练习1】某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少d（d为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定d的取值范围． 【答案】 【分析】这台设备使用n年后的价值构成一个数列．由题意可知，10年之内（含10年），这台设备的价值应不小于万元；而10年后，这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解． 【详解】解：设使用n年后，这台设备的价值为万元，则可得数列．由已知条件，得 ． 由于d是与n无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是． 根据题意，得，即，解这个不等式组，得． 【巩固练习2】百善孝为先，孝敬父母是中华民族的传统美德.因父母年事已高，大张与小张兄弟俩约定：如果两人在同一天休息就一起回家陪伴父母，并把这一天记为“家庭日”.由于工作的特殊性，大张每工作三天休息一天，小张每周星期一与星期五休息，除此之外，他们没有其它休息日.已知2021年共有365天，2021年1月1日（星期五）是他们约定的首个“家庭日”，则2021年全年他们约定的“家庭日”是星期五的天数为 ；2021年全年他们约定的“家庭日”共有 个. 【答案】 ； . 【分析】根据等差数列的性质进行求解即可. 【详解】设大张的休息日构成的等差数列为，显然大张在2021年第天放假， 所以有， 若小张每周星期五休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有； 若小张每周星期一休息，小张休息日构成等差数列为，则有， 此时两数列的公共项为：，首项为，公差为，末项为， 设共有项，所以有， 所以2021年全年他们约定的“家庭日”共有天 【巩固练习3】稠环芳香烃化合物中有不少是致癌物质，比如学生钟爱的快餐油炸食品中会产生苯并芘，它是由一个苯环和一个芘分子结合而成的稠环芳香烃类化合物，长期食用会致癌.下面是一组稠环芳香烃的结构简式和分子式： 名称 萘 蒽 并四苯 … 并n苯 结构简式 … … 分子式 … … 由此推断并十苯的分子式为 . 【答案】 【分析】根据等差数列的定义可以判断出稠环芳香烃的分子式中、的下标分别成等差数列，结合等差数列的通项公式可以求出并n苯的分子式，最后求出并十苯的分子式即可. 【详解】因为稠环芳香烃的分子式中下标分别是：，的下标分别是： 所以稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为4，所以通项公式为： ， 稠环芳香烃的分子式中下标成等差数列，首项为，公差为2，所以通项公式为： ， 所以并n苯的分子式为：， 因此当时，得到并十苯的分子式为：. 【题型10】等差数列与数学文化的结合 等差数列不仅是一种重要的数学概念，在数学文化中也占据着独特的位置。古代文明中，等差数列的概念被用于天文历法的计算，例如中国古代的历法中就运用了等差数列来预测日食、月食等天象。此外，在音乐理论中，音阶的构成也可以看作是一种等差数列的应用，每个音符之间的频率比遵循一定的等差关系。文学作品中，等差数列有时也被用作创作的灵感来源，通过数列的规律性来构建故事的节奏或是人物的发展脉络。等差数列以其简洁而强大的特性，成为连接数学与文化的一座桥梁 【例题1】（21-22高二下·河南郑州·阶段练习）南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中讨论过高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，而是逐项差数之差或者高次差相等．例如“百层球堆垛”：第一层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，第四层有10个球，第五层有15个球，…，各层球数之差：，，，，…即2，3， 4，5，…是等差数列．现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41，则该数列的第8项为（    ）． A．51 B．68 C．106 D．157 【答案】C 【分析】对高阶等差数列按其定义逐一进行构造数列，直到出现一般等差数列为止，再根据其递推关系进行求解. 【详解】现有一个高阶等差数列，其前6项分别为1，3，6，12，23，41， 各项与前一项之差：，，，，，… 即2，3，6，11，18，…， ，，，，… 即1，3，5，7，…是等差数列， 所以，． 【例题2】（22-23高二上·上海虹口·期中）1934年，东印度（今孟加拉国）学者森德拉姆发现了“正方形筛子”如图所示，根据规律，则“正方形筛子”中位于第100行的第100个数是（    ） A．20180 B．20200 C．20220 D．20240 【答案】B 【分析】先求出第100行的第一个数，再根据第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列，从而得到第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200． 【详解】第一列的数字为4，7，10，13，16，……，成等差数列，公差d＝3，其通项公式＝4＋3(n－1)＝3n＋1，故第100行的第一个数为＝301， 再看行，第一行的数是公差为3的等差数列，第二行的数是公差为5的等差数列，第三行的数是公差为7的等差数列，…，第n行的数是公差为3＋2×(n－1)的等差数列， 则第100行的数是公差为3＋2×(100－1)＝201的等差数列， 所以第100行的第100个数是301＋201×(100－1)＝20200． 【例题3】（22-23高二上·浙江杭州·期末）“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列，则（    ） A．103 B．107 C．109 D．105 【答案】B 【分析】根据已知条件进行转化得到数列通项公式，由题意解出不等式即可判断项数. 【详解】由题意，被3除余2且被7除余2的数即为被21除余2的数，故， 则. 【巩固练习1】（高二上·江苏连云港·期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？”现将1到2020共2020个整数中，同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列则该数列共有（    ） A．132项 B．133项 C．134项 D．135项 【答案】D 【解析】由题意抽象出数列是等差数列，再根据通项公式计算项数. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得：， 所以该数列的项数共有135项. 【巩固练习2】《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气，自冬至日起，其日影长依次成等差数列，立春当日日影长为9.5尺，春分当日日影长为6尺，则小满当日日影长为（    ） A．尺 B．13尺 C．尺 D．尺 【答案】D 【分析】由题意，利用等差数列的定义和性质，得出结论． 【详解】设十二个节气其日影长依次成等差数列，公差为， 则由题意可得，，， 则小满当日日影长． 【巩固练习3】（高二下·安徽宣城·期中）数学著作《孙子算经》中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二(除以3余2)，五五数之剩三(除以5余3)，问物几何？"现将1到1000共1000个整数中同时满足“三三数之剩二，五五数之剩三”的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列中共有 项． 【答案】67 【分析】根据题意可得被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，求出通项公式小于等于1000解不等式可得答案. 【详解】被3除余2且被5除余3的数构成首项为8，公差为15的等差数列，记为，则，令，解得，所以该数列的项数共有67项． 【巩固练习4】（22-23高二上·江苏淮安·期中）我国古代数学著作《孙子算经》中有一道题: “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩二，七七数之剩二，问物几何?”根据这一数学思想，所有被 3除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，所有被 5 除余 2的正整数按从小到大的顺序排列组成数列，把数列与的公共项按从小到大的顺序排列组成数列， 则数列的第10项是数列的第 项. 【答案】28 【分析】根据给定的条件，求出数列，的通项公式，再推导出数列的通项即可计算作答. 【详解】依题意，数列，的通项公式分别为，令， 即有，则，因此，即，有， 于是得数列的通项为，，由得：， 所以数列的第10项是数列的第28项. 【题型11】构造等差数列（1）：取倒数 形如（为常数且）的递推式：两边同除，转化为形式 注意：有的递推公式是分式的形式，如：，等，化为整式之后就符合上面的式子结构了 【例题1】（24-25高二上·福建宁德·阶段练习）已知数列的首项，且满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用取倒法证得是等差数列，进而求得，从而得解. 【详解】因为，，易知， 所以，即， 又，所以， 故是以为首项，为公差的等差数列， 则，故， 所以. 【例题2】（23-24高二上·陕西西安·期中）已知数列满足，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】取倒数法求通项，将变形可得数列为等差数列，计算即可得. 【详解】，即， 可得，又， 即有数列是首项为1，公差为4的等差数列， 可得， 即. 【例题3】已知各项均不为0的数列满足，且，则 ． 【答案】 【分析】将取倒数化简可得，即判断为等差数列，即可求得的通项公式，即可得答案. 【详解】由题意知数列满足，即， 即， 即为首项是，公差为1的等差数列， 故， 故 【巩固练习1】已知数列满足，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数列的递推关系，利用取倒数法进行转化，构造等差数列，求出通项公式即可． 【详解】解：因为，则，又，则， 所以数列是首项为2，公差为1的等差数列， 所以，所以， 则． 【巩固练习2】（22-23高二上·湖北荆州·期末）已知数列，则数列的通项公式 ． 【答案】 【分析】取倒数后得为等差数列，再由等差数列的通项公式求解． 【详解】由题意得，故是首项为1，公差为1的等差数列， 得，即， 故答案为： 【巩固练习3】（23-24高二下·河南·期中）数列中，若，，则 ． 【答案】19 【分析】取倒数可得，即可得数列的通项公式，计算即可得. 【详解】∵，则， ∴，∴故数列为等差数列，公差等于2， 又，故， ∴. 【题型12】构造等差数列（2）：插入数字或每隔k项抽项数 1、在等差数列中每隔相同的项选出一项，按原来的顺序排成一列，仍然是一个等差数列． 例如：是公差为d的等差数列，则是公差为kd的等差数列 2、要在两个已知项之间插入数字构成新的等差数列，首先计算这两项间的原有公差d。然后，决定要插入的项数k，计算新的公差。最后，从第一项开始，按新公差依次计算并插入每个新项，直到完成插入。这样就能构造出包含新项的等差数列。 【例题1】已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列. （1）求数列的通项公式. （2）是不是数列的项？若是，它是的第几项？若不是，说明理由. 分析：（1）是一个确定的数列，只要把，表示为中的项，就可以利用等差数列的定义得出的通项公式；（2）设中的第n项是中的第项，根据条件可以求出n与的关系式，由此即可判断是否为的项. 解：（1）设数列的公差为. 由题意可知，，，于是 . 因为，所以，所以. 所以. 所以，数列的通项公式是. （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项，这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则. 令，解得. 所以，是数列的第8项. 【例题2】已知等差数列中，，若在数列每相邻两项之间插入三个数，使得新数列也是一个等差数列，则新数列的第43项为 . 【答案】 【分析】 先计算出等差数列的公差，进而得到新的等差数列的公差，从而求出的通项公式，求出新数列的第项. 【详解】设等差数列的公差为，则， 所以， 设在数列每相邻两项之间插入三个数所得新数列为， 则新的等差数列的公差为，首项为， 所以新数列的通项公式为， 故. 【例题3】已知{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16． （1）求数列{an}的通项公式； （2）若从数列{an}中，依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项，按原来的顺序组成一个新数列{bn}，试求出{bn}的通项公式． 【答案】（1）an＝2n ；（2）bn＝4n . 【分析】（1）根据等差数列的通项公式列出方程，可得答案； （2）由（1）可得出{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．由等差数列的通项公式可得答案. 【详解】解：（1）∵a1＋a2＋a3＝12，∴a2＝4． ∵a8＝a2＋(8－2)d，∴16＝4＋6d，∴d＝2，∴an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n． （2）a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝4n． 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4， ∴{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列．∴bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n． 【巩固练习1】已知等差数列的首项为2，公差为8，在中每相邻两项之间插入三个数，使它们与原数列的项一起构成一个新的等差数列，则数列 ． 【答案】4046 【分析】根据题意结合等差数列的定义可求得，进而利用等差数列的通项公式即可得结果. 【详解】设数列的公差为， 由题意可得：，即，且， 故. 【巩固练习2】（23-24高二上·浙江宁波·期中）已知等差数列，现在其每相邻两项之间插入一个数，使之成为一个新的等差数列． (1)求新数列的通项公式； (2)16是新数列中的项吗？若是，求出是第几项，若不是，说明理由． 【答案】(1) (2)是 【分析】（1）求出原等差数列的通项公式，利用求解； （2）根据数列的通项公式求解即可. 【详解】（1）设已知的等差数列为，易知， 则， 则， 由题意知：. （2）令， 故是新数列中的项. 【巩固练习3】已知等差数列的公差为正数,与的等差中项为,且. 求的通项公式； 从中依次取出第项,第项,第项,， 第项,按照原来的顺序组成一个新数列,判断是不是数列中的项？并说明理由. 【答案】；是数列中的项，理由见解析. 【分析】设等差数列的公差为，由题意可知与的等差中项为，利用等差数列的定义列出式子求出公差为，，进而列出的通项公式； 写出，将代入验证即可. 【详解】解：设等差数列的公差为，根据等差中项的性质可得与的等差中项为， 所以，又因为，即. 所以，，因为公差为正数,所以. 则，则. 的通项公式. 结合可知，，，，. 令，即，符合题意，即. 所以是数列中的项. 【巩固练习4】（23-24高二上·安徽合肥·期末）某中学响应政府号召，积极推动“公益一小时”，鼓励学生利用暑假时间积极参与社区服务，为了保障学生安全，与社区沟通实行点对点服务．原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人．由于志愿者人数暴涨，学校与社区临时决定改变派遣计划，具体规则为：把原计划拟派遣的各批人数依次构成的数列记为，在数列的任意相邻两项与之间插入个2，使它们和原数列的项构成一个新的数列．按新数列的各项依次派遣支教学生．记为派遣了50批学生后参加公益活动学生的总数，则的值为 ． 【答案】200 【分析】此类问题为数列的增减项问题，把握好两点，先枚举找规律，再做好满足题意的估计，最后利用相关数列的求和公式分组求和即可. 【详解】由已知原计划第一批派遣18名学生，以后每批增加6人． 所以数列为等差数列，且，数列的公差，所以， 数列为数列的任意相邻两项与之间插入个2所得， 所以数列满足条件，，当时，， ，当时，，， 当时，，， 当时，， 所以数列的前项的和为. 【题型13】构造等差数列（3）：提取2个等差数列的公共项构成新数列 要从两个等差数列中提取公共项构成新的等差数列，首先找出两数列的通项公式。设两个数列的通项分别为和。找到满足的项，这些项即为公共项。选取两个连续的公共项作为新数列的首项和第二项，其差值即为新数列的公差。这样即可构造出由公共项组成的新等差数列. 如果是选填就直接找规律即可，解答题要写出规范解答过程，可以设两个等差数列的通项公式分别为，，然后令，求解与的关系 结论1：两个等差数列的公差分别为正整数s和t，则它们的公共项构成新的等差数列，且新数列的公差为s 和t的“最小公倍数” 结论2：两个等差数列的公差分别为最简分数和，则它们的公共项从小到大排列构成的新等差数列的公差为（说明：为正整数m，n的最小公倍数，为正整数m，n的最大公约数．） 【例题1】定义数列的公共项组成的新数列为,则数列的第101项为（    ） A．2025 B．2021 C．2017 D．2013 【答案】D 【分析】根据题意，得到数列是首项为，公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式，即可求解. 【详解】由数列的通项公式为， 可得数列的公差为，数列的公差为， 所以它们的公共项组成的新数列的公差为， 再两个数列的第1个公共项为， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 则第101项为. 【例题2】（2020·新高考1卷真题·改）将数列{2n–1}与{3n–2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则 ． 【答案】 【分析】首先判断出数列与项的特征，从而判断出两个数列公共项所构成新数列的首项以及公差，利用等差数列的求和公式求得结果. 【详解】因为数列是以1为首项，以2为公差的等差数列， 数列是以1首项，以3为公差的等差数列， 所以这两个数列的公共项所构成的新数列是以1为首项，以6为公差的等差数列， 【例题3】将数列与的公共项从小到大依次排列得数列，求的通项公式 【答案】 【分析】 【详解】法一：数列与的公共项满足 要使，则必为2的倍数，即 设，则，所以是首项为3，公差为6的等差数列，所以的通项公式为． 同理，也可以是，则为3的倍数， 法二：把常数配凑成相同的，，即 记，显然既是2的倍数也是3的倍数，故 即，故 【巩固练习1】（22-23高二上·广东深圳·期末）数列与的所有公共项由小到大构成一个新的数列，则 . 【答案】 【分析】根据数列与的性质确定数列是以为首项，为公差的等差数列，从而可得通项，即可得的值. 【详解】解：数列与分别是以为公差，为首项的等差数列， 则新的数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 故. 【巩固练习2】（23-24高二下·辽宁·期中）已知数列，则由这两个数列公共项从小到大排列得到的数列为，则数列的通项公式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据两数列的项的特征，易推得由公共项构成的新数列项的特征，写出通项公式化简即得. 【详解】因数列是首项为1，公差为2的等差数列，而数列是首项为1，公差为3的等差数列，则这两个数列的公共项从小到大排列构成的新数列是首项为1，公差为6的等差数列， 故. 【巩固练习3】将数列和的公共项从小到大排列得到数列，求的通项公式 【答案】 【详解】令，则有，， 故为4的倍数时， 令，故. 【错解】，， 设，则有 错因：这一步中，m对应的值不是整数了 【优化】，即， 令，则 【题型14】构造等差数列（4）： 奇偶相间讨论型（奇偶数列） （1）利用n的奇偶分类讨论，观察正负相消的规律 （2）分段数列 （3）奇偶各自是等差，等比或者其他数列． 【例题1】（23-24高二上·重庆九龙坡·期末）已知数列满足，，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据递推公式求出数列的前几项，即可判断A、B，依题意可得，即，从而求出数列的通项公式，即可判断C、D. 【详解】因为，，且， 所以，， 所以，故A错误；，故B错误； 又， 故，即， 所以为首项为，公差为的等差数列，故，所以C正确，D错误 【巩固练习1】（23-24高二上·湖北武汉·期末）已知数列中，，，，则 ． 【答案】 【分析】根据题设中的递推关系可得，进而根据等差数列通项公式求解即可. 【详解】由题设可得， 又，，， 所以，， 所以，，即， 所以为等差数列，公差为，首项为， 所以，． 【巩固练习2】2021·新高考1卷T17（1） 已知数列满足，，记，写出，，并求数列的通项公式 【答案】 【详解】解：（1）[方法一]【最优解】： 显然为偶数，则， 所以，即，且， 所以是以2为首项，3为公差的等差数列， 于是． [方法二]：奇偶分类讨论 由题意知，所以． 由（为奇数）及（为偶数）可知， 数列从第一项起， 若为奇数，则其后一项减去该项的差为1， 若为偶数，则其后一项减去该项的差为2． 所以，则． 【题型15】构造等差数列（5）：隔项等差（奇偶数列） 满足，一般化为隔项等差数列 【例题】已知,求的通项公式． 思路点拨：根据题意： ，可推出 ，两式作差 ，判断为隔项等差数列 解答过程 由 ，可推出 ，两式作差 所以 是隔项等差数列： ① 构成以 为首项的等差数列，公差为 ② 构成以 为首项的等差数列，公差为 下结论 求通项 当 为奇数： 为第 项： 求通项 当 为偶数： 为第 项： 综上：无论 为奇数还是偶数： . 【例题1】（23-24高三上·山西大同·阶段练习）已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 【答案】C 【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解. 【详解】由①，得， ②， 由②①得， 所以数列的偶数项是以为公差的等差数列， 则， 所以. 【例题2】数列满足：，求通项. 【解析】因为， 所以当时，， 当时，， 两式相减得：， 构成以为首项，2为公差的等差数列； 构成以为首项，2为公差的等差数列， ， ， 【巩固练习1】已知数列满足，则（    ） A．2023 B．2024 C．2027 D．4046 【答案】C 【分析】由可得，进而可得，则有数列的偶数项是以为公差的等差数列，再根据等差数列的通项即可得解. 【详解】由①，得， ②， 由②①得， 所以数列的偶数项是以为公差的等差数列， 则， 所以. 【巩固练习2】已知数列中，对任意的,都有，，求的通项公式． 【答案】 【解析】由条件，可得： 两式相减得： 因为，所以，数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列； 偶数项是首项为1公差为4的等差数列． 综上： 【巩固练习3】已知各项均为正数的数列满足：，,求数列的通项公式. 【答案】 【详解】解：由， 当时，， ∴，又，，∴。 当时，， ∴为奇数时， ；当时，， ∴为偶数时，，∴ 【题型16】构造等差数列（6）：其它类型 1、递推公式为时，要先在原递推公式两边同时除以，得： 2、形如型的递推式：可以化为特殊数列的形式求解 3、已知与的关系；或与的关系时，替换题中的 【例题1】（23-24高二上·福建龙岩·期中）已知等差数列的前项和为，满足，，则等于（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】D 【分析】由题设得是公差为1的等差数列，即有，利用关系求通项公式，进而求. 【详解】依题意：，则， 是公差为1的等差数列，且，故，， 当时，显然也满足， 所以，易知的公差为2， . 【例题2】已知数列满足，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【解析】由得， 故为等差数列，公差为1，首项为1， 所以 所以. 故答案为： 【例题3】（22-23高二上·江苏南京·期末改编）设数列满足且，则 ;数列 . 【答案】 5 【分析】设，根据题意得到数列是等差数列，求得，得到，利用，结合“累加法”，即可求得. 【详解】解：由题意，数列满足， 所以当时，，，解得， 设， 则，且， 所以数列是等差数列，公差为，首项为， 所以，即，所以 【例题4】设数列的前n项和为，且，，则 ． 【答案】 【分析】题中所给式子无法直接根据进行转化，考虑使用进行转化，先求出，再求． 【详解】由，得到， 然后两边同除以得到，即， 于是数列是公差为的等差数列． 而，于是，进而得到， 所以当时，有（）． 综上所述，． 【巩固练习1】（22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知数列满足，且（，且）． (1)求，； (2)求数列的通项公式. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据递推公式，赋值求； （2）首先变形递推公式，证明数列是等差数列，即可求通项公式. 【详解】（1）当时，， 当时，； （2）依题意，，两边同时除以， 得，即，，， 所以数列是首项为，公差为1的等差数列， 即， 所以. 【巩固练习3】数列{an}满足，，则数列{an}的通项公式为 . 【答案】． 【分析】已知式两边同除以，构造一个等差数列，由等差数列的通项公式可得结论． 【详解】∵，所以，即， ∴是等差数列，而， 所以， 所以． 【巩固练习3】在数列中，，若，则（    ） A．18 B．24 C．30 D．36 【答案】A 【分析】由已知可得，则数列是等差数列，从而可求出，进而可求得，然后由可求得结果. 【详解】由且数列不存在为0的项，得， 所以数列是等差数列，且首项为，公差为， 所以，所以． 由，得 【巩固练习4】已知数列满足，. (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用构造法，先求得，进而求得. 【详解】（1）由得：， ∵，所以数列是首项为4，公差为2的等差数列， 所以， 所以 【巩固练习5】在数列中，，且对任意的，都有，则________ 【答案】 【详解】设， 则，且， 所以数列是等差数列，公差为，首项为， 所以，即， 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $$