4.2.1 第1课时等差数列的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ， 若数列｛ａｎ｝为递增数列，则ｔ的取值范围 是（－ ３，＋ ∞）　 ． ［错解］　 ［－ ２，＋ ∞） ［误区警示］　 在错解中，忽略了数列的特 征，即ｎ的取值的离散性，常会得出－ ｔ２≤１，即 ｔ∈［－ ２，＋ ∞）错误结果．事实上，由抛物线的 对称性知，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｔｘ在［１，＋ ∞）上不 单调照样可以使得数列｛ａｎ｝单调，当对称轴位 于区间１，３( )２ 内时，ａ１ ＜ ａ２也成立． 　 　 ［正解                  ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ １１ － ａｎ ．若ａ１ ＝ １ ２， 则ａ１０ ＝ （Ａ ） Ａ． １２ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ． － １ ２．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（１）＝ １，ｆ（ｎ ＋ １）＝ ｆ（ｎ）＋ ３（ｎ∈Ｎ），则ｆ（ｎ）是 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．不能确定 ３．数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，ａｎ ＋１ ＝（２ｎ － λ）ａｎ （ｎ ＝１，２，…），则ａ３等于 （Ａ ） Ａ． １５ Ｂ． １０ Ｃ． ９ Ｄ． ５ ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ２ｎ － １，则此 数列的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ －１　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋２ － ａｎ ＝ ６，则ａ１１ 的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２                ］ ４． ２　 等差数列 ４． ２． １　 等差数列的概念 第１课时　 等差数列的概念 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念． ２．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系． ３．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题． 学法解读 １．能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问题的能力． （数学抽象） ２．掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算．（逻辑推理、数学运算） ３．掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列．（数学抽象、逻辑推理） !!) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等差数列的定义 　 　 一般地，如果一个数列从第２项　 起，每一 项与它的前一项　 的差都等于同一个常数　 ， 那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做 等差数列的公差　 ，公差通常用字母ｄ表示． 想一想：对等差数列的理解，有哪些问题需 要注意？ 提示：１．“从第２项起”因为首项没有“前一 项”． ２．一个数列从第２项起，每一项与它前一 项的差即使等于常数，这个数列也不一定是等 差数列，因为当这些常数不同时，该数列不是等 差数列，因此定义中强调“同一个常数”，注意不 要漏掉这一条件． ３．求公差ｄ时，可以用ｄ ＝ ａｎ － ａｎ －１（ｎ≥２）来 求，也可以用ｄ ＝ ａｎ ＋１ － ａｎ来求．注意公差是每一 项与其前一项的差，且用ｄ ＝ ａｎ － ａｎ －１求公差时，要 求ｎ≥２，ｎ∈Ｎ． 　 　 练一练：已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ≠０，则ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３是｛ａｎ｝为等差数列的 （Ｂ ） Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不是充分条件也不是必要条件 等差中项 　 　 由三个数ａ，Ａ，ｂ组成的等差数列可以看成最 简单的等差数列．这时，Ａ叫做ａ与ｂ的等差中项． 事实上，若ａ，Ａ，ｂ成等差数列，则Ａ ＝ ａ ＋ ｂ２ ， 且Ａ是ａ与ｂ的等差中项；若Ａ ＝ ａ ＋ ｂ２ ，即Ａ － ａ ＝ ｂ － Ａ，则ａ，Ａ，ｂ成等差数列． 想一想：“数列｛ａｎ｝是等差数列”与“２ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ ＋１（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ＋）”之间是什么关系？ 提示：等价关系． 　 　 练一练：在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３、ａ５ 是方程 ｘ２ － ４ｘ ＋ ３ ＝ ０的两根，则ａ４的值为 （Ａ ） Ａ． ２　 　 　 Ｂ． ３　 　 　 Ｃ． ± ２　 　 　 Ｄ． ３２ 等差数列的通项公式 递推公式 通项公式 ａｎ ＋ １ － ａｎ　 ＝ ｄ（ｎ∈Ｎ） ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ　 （ｎ∈Ｎ） 　 　 想一想：等差数列的通项公式有怎样的 内涵？ 　 　 提示：（１）由等差数列的通项公式可知，等 差数列中的任一项均可用首项和公差表示出 来，因此，要确定等差数列的通项公式，只需确 定该数列的首项和公差即可，因此我们把等差 数列的首项和公差称为等差数列的基本量． （２）等差数列的通项公式中涉及ａｎ，ａ１，ｄ，ｎ 四个量，知道其中三个量可以求出第四个量． 　 　 练一练：已知｛ａｎ｝是等差数列，首项ａ１ ＝ － １，公差ｄ ＝ － ３，则ａ８ ＝ － ２２　 ． 等差数列与一次函数的关系 　 　 由于ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ －１）ｄ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），所以 当ｄ≠０时，等差数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ是一次函数 ｆ（ｘ）＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）（ｘ∈Ｒ）当ｘ ＝ ｎ时的函数值， 即ａｎ ＝ ｆ（ｎ）． 想一想：等差数列与一次函数有怎样的联 系与区别？ 提示： 等差数列 一次函数 解析式ａｎ ＝ ｋｎ ＋ ｂ（ｋ≠０，ｎ∈Ｎ） ｆ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｂ（ｋ≠０） 不同点 定义域为Ｎ，图象是 一系列孤立的点（在直 线ｆ（ｘ）＝ ｋｘ ＋ ｂ上） 定义域为Ｒ，图象 是一条直线 相同点 等差数列通项公式与函数的解析式都是关于 自变量的一次整式，等差数列的图象是相应 的一次函数图象上的一系列孤立的点 　 　 练一练：已知点（１，５），（２，３）是等差数列 ｛ａｎ｝图象上的两点，则数列｛ａｎ｝为 （Ｂ ） Ａ．递增数列　 　 　 　 　 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．                                                                    无法确定 !!* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一 等差数列的通项公式 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知｛ａｎ｝为等差数列，分别根据下列条 件写出它的通项公式． （１）ａ３ ＝ ５，ａ７ ＝ １３； （２）前三项为：ａ，２ａ － １，３ － ａ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 要想求出等差数列的通项公 式ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，那么ａ１ 和ｄ就是必须求 出的量，我们称之为基本量，在解题中，要时刻 把握这两个量，它们常常是我们解题的基础． 　 　 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， 已知ａ２ ＝ ２，ａ５ ＝ ８，则ａ９ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８　 　 　 　 　 　 Ｂ． １２ Ｃ． １６ Ｄ． ２４ （２）等差数列｛ａｎ｝中， ①已知ａ３ ＝ － ２，ｄ ＝ ３，求ａｎ的值； ②若ａ５ ＝ １１，ａｎ ＝ １，ｄ ＝ － ２，求ｎ的值． 题型二 等差中项的应用 ２．（１）已知ａ ＝ １ 槡３ ＋槡２ ，ｂ ＝ １ 槡３ －槡２ ，则ａ，ｂ 的等差中项为 （Ａ ） Ａ．槡３　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ．槡２ Ｃ．槡３３ Ｄ．槡 ２ ２ （２）等差数列ｘ，３ｘ ＋ ３，６ｘ ＋ ６，…的第四项 等于 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． ９ Ｃ． １２ Ｄ． １８ （３）已知１ａ， １ ｂ， １ ｃ成等差数列，证明： ｂ ＋ ｃ ａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． ［分析］　 （１）求ａ，ｂ的等差中项等差中 项的定义等式计算． （２）先根据已知求出ｘ的值，再求出数列的 第四项． （３）先由条件得到ａ，ｂ，ｃ的关系，再计算 ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ａ ＋ ｂ ｃ ，化简可得等于２ ａ ＋ ｃ( )ｂ ． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 １．等差中项的应用策略 （１）涉及等差数列中相邻三项问题可用等 差中项求解． （２）在一个等差数列中，从第２项起，每一 项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后 一项的等差中项，即２ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ ＋１（ｎ≥２）；实 际上，等差数列中的某一项是与其等距离的前 后两项的等差中项，即２ａｎ ＝ ａｎ －ｍ ＋ ａｎ ＋ｍ（ｍ，ｎ∈ Ｎ，ｍ ＜ ｎ）                                                                    ． !"! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ２．等差中项法判定等差数列 若数列｛ａｎ｝满足２ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ ＋１（ｎ≥２）， 则可判定数列｛ａｎ｝是等差数列． 对点训练? 若ｍ和２ｎ的等差中项为 ４，２ｍ和ｎ的等差中项为５，求ｍ和ｎ的等差 中项． 题型三 等差数列的判断与证明 ３．（１）判断下列数列是否为等差数列？ ①ａｎ ＝ ３ｎ ＋ ２； ②ａｎ ＝ ｎ ２ ＋ ｎ． （２）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ （ｎ∈Ｎ），ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ）． 求证：数列｛ｂｎ｝是等差数列，并求出首项和 公差． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 证明一个数列是等差数列常 用的方法有：（１）利用定义法，即证ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ 常数．（２）利用等差中项的概念来进行判定，即 证２ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ ＋１（ｎ≥２）． 对点训练? （１）若数列｛ａｎ｝的通项公 式为ａｎ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２ｎ（ｎ∈Ｎ），求证：数列｛ａｎ｝为 等差数列； （２）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ｎａｎ ＋１ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ ＋ ｎ（ｎ ＋ １）．求证：数列ａｎ{ }ｎ 是等差数列，并 求｛ａｎ｝的通项公式． 易错警示 　 　 求等差数列的公差时因考虑不周致误 ４．首项为－ ２４的等差数列从第１０项起开 始为正数，则公差的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． ｄ ＞ ８３ Ｂ． ｄ ＜ ３ Ｃ． ８３≤ｄ ＜ ３ Ｄ． ８ ３ ＜ ｄ≤３ ［错解］　 ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ － ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０，解得 ｄ ＞ ８３ ．故选Ａ． ［误区警示］　 该等差数列的首项为负数， 从第１０项起开始为正数，说明公差为正数，且 第９项为非正数，第１０项为正数，解决此类问 题时容易忽视第９项的要求． 　 　 ［正解                                                                              ］ !"" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选题）下列数列是等差数列的是（　 ） Ａ． ０，０，０，０，０，… Ｂ． １，１１，１１１，１ １１１，… Ｃ． － ５，－ ３，－ １，１，３，… Ｄ． １，２，３，５，８，… ２．等差数列－ ３，１，５，…的第１５项的值是 （Ｂ ） Ａ． ４０　 　 　 　 　 　 　 　 Ｂ． ５３　 　 　 Ｃ． ６３　 　 　 Ｄ． ７６ ３．等差数列１，－ １，－ ３，－ ５，…，－ ８９，它的项数 为 （Ｃ ） Ａ ９２　 　 　 Ｂ ４７　 　 　 Ｃ ４６　 　 　 Ｄ ４５ ４．（多选题）以下选项中能构成等差数列的是 （　 ） Ａ． ２，２，２，２ Ｂ． ３ｍ，３ｍ ＋ ａ，３ｍ ＋ ２ａ，３ｍ ＋ ３ａ Ｃ． ｃｏｓ ０，ｃｏｓ １，ｃｏｓ ２，ｃｏｓ ３ Ｄ． ａ － １，ａ ＋ １，ａ ＋ ３ ５．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ０，当ｎ≥２时，ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｎ ｎ － １． 求证：数列｛ａｎ｝是等差数列． 请同学们认真完成练案［３                            ］ 第２课时　 等差数列的性质及应用 !"#$%&'( 课程标准 　 能熟练掌握等差数列的性质，并能利用等差数列的性质解决相关问题． 学法解读 １．熟悉等差数列的相关性质，并能够应用该知识灵活地进行运算．（逻辑推理、数学运算） ２．能够应用等差数列解决一些生活中的实际问题．（逻辑推理、数学建模、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　等差数列中的项与序号的关系 　 　 （１）两项关系 ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ － ｍ　 ）ｄ（ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ） 则ａｎ ＋ ａｍ ＝ ａｐ ＋ ａｑ　 ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ２ａｐ　 ． 等差数列的项的对称性 　 　 有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的 两项之和等于首末两项的和（若有中间项则等 于中间项的２倍），即ａ１ ＋ ａｎ ＝ ａ２ ＋ ａｎ －１　 ＝ ａｋ ＋ ａｎ － ｋ ＋１　 ＝ ２ａｎ ＋ １２ （其中ｎ为奇数且ｎ≥３）． 　 　 练一练：数列｛ａｎ｝为等差数列，若ａ１ ＋ ａ７ ＝ ４，则ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８　 　 　 Ｂ． ９　 　 　 Ｃ． １０　 　 　 Ｄ．               １２ !"# 方法三：令ｙ ＝ ３ｘ２ － ｘ，则函数的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴为直线ｘ ＝ １６ ＜ １，则函数ｙ ＝ ３ｘ ２ － ｘ在１６ ，＋( )∞ 上 单调递增，故数列｛ａｎ｝是递增数列． 对点训练４：（１）证明：∵ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ （ｎ ＋ １） ２ （ｎ ＋ １）２ ＋ １ － ｎ２ ｎ２ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １） ２（ｎ２ ＋ １）－ ｎ２［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］ ［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］（ｎ２ ＋ １） ＝ ２ｎ ＋ １［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］（ｎ２ ＋ １）， 由ｎ∈Ｎ，得ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０，即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ ． ∴数列｛ａｎ｝是递增数列． （２）因为｛ａｎ｝为递增数列，所以ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即（ｎ ＋ １）２ ＋ λ（ｎ ＋ １）＞ ｎ２ ＋ λｎ，则λ ＞ － ２ｎ － １．又ｎ∈Ｎ，故λ ＞ － ３． 　 　 例５：（－ ３，＋ ∞）　 正解一：由数列｛ａｎ｝为递增数列，知 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋ ｔ（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｔｎ）＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ｔ ＞ ０恒成 立，即ｔ ＞ －（２ｎ ＋ １）恒成立． 而ｎ∈Ｎ，所以ｔ ＞ － ３，故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 正解二：ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ ＝ ｎ ＋ ｔ( )２ ２ － ｔ ２ ４ ， 由于ｎ∈Ｎ，且数列｛ａｎ｝为递增数列，结合二次函数的图 象可得－ ｔ２ ＜ ３ ２ ，解得ｔ ＞ － ３， 故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由ａｎ ＋ １ ＝ １１ － ａｎ，且ａ１ ＝ １ ２ ，可得ａ２ ＝ １ １ － ａ１ ＝ １ １ － １２ ＝ ２， ａ３ ＝ １ １ － ａ２ ＝ １１ － ２ ＝ － １，ａ４ ＝ １ １ － ａ３ ＝ １１ －（－ １）＝ １ ２ ，所以 ａｎ ＋ ３ ＝ ａｎ（ｎ∈Ｎ），即数列｛ａｎ｝是以３为周期的周期数列，所 以ａ１０ ＝ ａ１ ＝ １２ ．故选Ａ． ２． Ａ　 ∵ ｆ（ｎ ＋ １）－ ｆ（ｎ）＝ ３（ｎ∈Ｎ）， ∴ ｆ（２）＞ ｆ（１），ｆ（３）＞ ｆ（２），ｆ（４）＞ ｆ（３），…， ｆ（ｎ ＋ １）＞ ｆ（ｎ），…， ∴ ｆ（ｎ）是递增数列． ３． Ａ　 由ａ２ ＝（２ － λ）ａ１，可得２ － λ ＝ ３，解得λ ＝ － １，∴ ａ３ ＝（２ × ２ ＋ １）× ３ ＝ １５．故选Ａ． ４． ａｎ ＝ ２ ｎ － １ 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ － １ ＝ １， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ｎ － １ －（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １ ． 又２１ －１ ＝ １，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ５． ３１　 ａ３ ＝ ６ ＋ ａ１ ＝ ７， ａ５ ＝ ６ ＋ ａ３ ＝ １３， ａ７ ＝ ６ ＋ ａ５ ＝ １９， ａ９ ＝ ６ ＋ ａ７ ＝ ２５， ａ１１ ＝ ６ ＋ ａ９ ＝ ３１． ４． ２　 等差数列 ４． ２． １　 等差数列的概念 第１课时　 等差数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１：从第２项　 它前一项　 同一个常数　 公差 练一练： 　 　 Ｂ　 例如ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ － １，ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ － ３，满足ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３，但是ａ２ － ａ１ ＝ ２≠ａ３ － ａ２ ＝ － ６，不符合等差数列的定义， 故推不出｛ａｎ｝为等差数列； 若｛ａｎ｝为等差数列，设公差为ｄ，所以ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ３ｄ，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ３ｄ，则ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３ ． 所以ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３ 是｛ａｎ｝为等差数列的必要条件但不 是充分条件． 故选Ｂ． 知识点２： 　 　 练一练： 　 　 Ａ　 由韦达定理和等差中项的性质可得ａ３ ＋ ａ５ ＝ ４ ＝ ２ａ４， 因此ａ４ ＝ ２． 故选Ａ． 知识点３：ａｎ ＋ １ － ａｎ 　 ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 　 　 练一练： 　 　 － ２２ 知识点４： 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 等差数列｛ａｎ｝的图象所在直线的斜率ｋ ＝ ５ － ３１ － ２ ＝ － ２ ＜ ０，故数列｛ａｎ｝是递减数列． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 设首项为ａ１，公差为ｄ，则 ａ３ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ５， ａ７ ＝ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ １３{ ，解得 ａ１ ＝ １， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）× ２ ＝ ２ｎ － １． ∴通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － １． （２）由等差中项的公式，得 ２ ×（２ａ － １）＝ ａ ＋（３ － ａ），ａ ＝ ５４ ． ∴首项为ａ ＝ ５４ ，公差为２ａ － １ － ａ ＝ ａ － １ ＝ ５ ４ － １ ＝ １ ４ ． ∴ ａｎ ＝ ５ ４ ＋（ｎ － １）× １ ４ ＝ ｎ ４ ＋ １． ∴通项公式为ａｎ ＝ ｎ４ ＋ １． 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ ０， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：（１）Ａ　 ａ，ｂ的等差中项为 ａ ＋ ｂ ２ ＝ １ 槡槡３ ＋ ２ ＋ １ 槡槡３ － ２ ２ ＝ 槡槡槡槡３ － ２ ＋ ３ ＋ ２ ２ 槡＝ ３． （２）Ｂ　 由题意得２（３ｘ ＋ ３）＝ ｘ ＋（６ｘ ＋ ６）， 所以ｘ ＝ ０． 所以等差数列的前三项为０，３，６，公差为３， 所以等差数列的第四项为９．故选Ｂ． （３）证明：因为１ａ ， １ ｂ ， １ ｃ成等差数列                                                                       ， —１１９— 所以２ｂ ＝ １ ａ ＋ １ ｃ ，化简得２ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）， 又ｂ ＋ ｃａ ＋ ａ ＋ ｂ ｃ ＝ ｂｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ＋ ａｂ ａｃ ＝ ｂ（ａ ＋ ｃ）＋ ｃ ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝ ２ａｃ ＋ ｃ２ ＋ ａ２ ａｃ ＝（ａ ＋ ｃ） ２ ａｃ ＝ （ａ ＋ ｃ）２ ｂ（ａ ＋ ｃ） ２ ＝ ２·ａ ＋ ｃｂ ， 所以ｂ ＋ ｃａ ， ａ ＋ ｃ ｂ ， ａ ＋ ｂ ｃ 成等差数列． 对点训练２：由ｍ和２ｎ的等差中项为４，得ｍ ＋ ２ｎ ＝ ８． 又由２ｍ和ｎ的等差中项为５， 得２ｍ ＋ ｎ ＝ １０． 两式相加，得ｍ ＋ ｎ ＝ ６． 所以ｍ和ｎ的等差中项为ｍ ＋ ｎ２ ＝ ３． 　 　 例３：（１）①ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ 为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２ （不是常数），所以此数列不是等差数列． （２）方法一：因为１ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ ＝ １ ａｎ ＋ ３，所以１ａｎ ＋ １ － １ ａｎ ＝ ３， 又因为ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），且ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １２ ．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为 １ ２ ，公差为３． 方法二：因为ｂｎ ＝ １ａｎ，且ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ ， 所以ｂｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ＝ １ａｎ ＋ ３ ＝ ｂｎ ＋ ３， 所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １ ２ ． 所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为１２ ，公差为３． 对点训练３： （１）因为ａｎ ＝ １０ ＋ ｌｇ ２ｎ ＝ １０ ＋ ｎｌｇ ２， 所以ａｎ ＋ １ ＝ １０ ＋（ｎ ＋ １）ｌｇ ２． 所以ａｎ ＋１ －ａｎ ＝［１０ ＋（ｎ ＋１）ｌｇ ２］－（１０ ＋ｎｌｇ ２）＝ ｌｇ ２（ｎ∈Ｎ）． 所以数列｛ａｎ｝为等差数列． （２）由条件，得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ ＝ ａｎ ｎ ＋ １， 即ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ １， 所以数列ａｎ{ }ｎ 是首项为２，公差为１的等差数列，所以ａｎｎ ＝ ｎ ＋ １，即ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． ＡＣ　 根据等差数列的定义可知Ａ，Ｃ中的数列是等差数列，故 选ＡＣ． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． ＡＢＤ　 Ｃ项不满足等差数列的定义．故选ＡＢＤ． ５．当ｎ≥２时，由ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｎ ｎ － １， 得（ｎ － １）ａｎ ＋ １ ＝ ｎａｎ， 所以ｎａｎ ＋ ２ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ ＋ １，两式相减得： ｎａｎ ＋ ２ －（ｎ － １）ａｎ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １）ａｎ ＋ １ － ｎａｎ， 整理得，ｎａｎ ＋ ２ ＋ ｎａｎ ＝ ２ｎａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ ＝ ２ａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ， 又因为ａ３ － ａ２ ＝ ２ａ２ － ａ２ ＝ ａ２ ＝ ａ２ － ０ ＝ ａ２ － ａ１，所以数列｛ａｎ｝ 是等差数列． 第２课时　 等差数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１：（１）ｎ － ｍ　 （２）ａｐ ＋ ａｑ 　 ２ａｐ 知识点２：ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 　 　 练一练： 　 　 Ｃ　 数列｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１ ＋ ａ７ ＝ ２ａ４ ＝ ４， ∴ ａ４ ＝ ２， ∴ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＝ ５ａ４ ＝ １０． 故选Ｃ． 知识点３：（１）①ｄ　 ②ｃｄ　 ③２ｄ　 （２）ｐｄ１ ＋ ｑｄ２ 　 　 练一练： 　 　 ＡＢＣ　 等差数列｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的公差均为ｄ（ｄ≠０），对于Ａ， 由λａｎ ＋ １ － λａｎ ＝ λ（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＝ λｄ为常数，则数列｛λａｎ｝为等差 数列；对于Ｂ，由ａｎ ＋ １ ＋ ｂｎ ＋ １ － ａｎ － ｂｎ ＝（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＋（ｂｎ ＋ １ － ｂｎ） ＝ ２ｄ为常数，则数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝为等差数列；对于Ｃ，由ａ２ｎ ＋ １ － ｂ２ｎ ＋ １ －（ａ２ｎ － ｂ２ｎ）＝（ａｎ ＋ １ － ａｎ）·（ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ）－（ｂｎ ＋ １ － ｂｎ）（ｂｎ ＋ １ ＋ ｂｎ）＝ ｄ［２ａ１ ＋（２ｎ － １）ｄ］－ ｄ［２ｂ１ ＋（２ｎ － １）ｄ］＝ ２ｄ（ａ１ － ｂ１） 为常数，则数列｛ａ２ｎ － ｂ２ｎ｝为等差数列；对于Ｄ，由ａｎ ＋ １ ｂｎ ＋ １ － ａｎｂｎ ＝（ａｎ ＋ ｄ）（ｂｎ ＋ ｄ）－ ａｎｂｎ ＝ ｄ２ ＋ ｄ（ａｎ ＋ ｂｎ）不为常数，则数列 ｛ａｎｂｎ｝不为等差数列． 知识点４： 　 　 练一练： 　 　 Ｃ　 因为｛ａｎ｝为等差数列，设公差为ｄ， 因为数列｛ａｎ｝单调递增，所以ｄ ＞ ０， 所以ａ１ ＋ ａ８ ＝ ａ３ ＋ ａ６ ＝ ２ａ６ － ３ｄ ＝ ６， 则２ａ６ － ６ ＝ ３ｄ ＞ ０，解得ａ６ ＞ ３， 故选Ｃ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∵ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ，ａ６０ ＝ ａ１ ＋ ５９ｄ， ∴ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ５９ｄ ＝ ２０{ ，解得 ａ１ ＝ ６４ １５， ｄ ＝ ４１５ { ． ∴ ａ７５ ＝ ａ１ ＋ ７４ｄ ＝ ６４ １５ ＋ ７４ × ４ １５ ＝ ２４． 方法二：∵ ｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１５，ａ３０，ａ４５，ａ６０，ａ７５也为等差数列． 设其公差为ｄ，则ａ１５为首项，ａ６０为第４项， ∴ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋ ３ｄ，即２０ ＝ ８ ＋ ３ｄ，解得ｄ ＝ ４． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋ ｄ ＝ ２０ ＋ ４ ＝ ２４． 方法三：∵ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋（６０ － １５）ｄ， ∴ ｄ ＝ ａ６０ － ａ１５ ６０ － １５ ＝ ４ １５                                                                      ． —１２０—