4.1 第2课时数列的道项公式与递推公式(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．数列２，４３， ８ ５， １６ ７ ， ３２ ９ ，…的一个通项公式ａｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ｎ２ｎ － １ Ｂ． ２ｎ ｎ Ｃ． ２ ｎ ２ｎ － １ Ｄ． ２ｎ ２ｎ ＋ １ ２．数列槡２，槡５，２槡２，槡１１，…，则２槡５是该数列的 （Ｂ ） Ａ．第６项 Ｂ．第７项 Ｃ．第１０项 Ｄ．第１１项 ３．若数列ａｎ ＝ １ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ，则ａ５ － ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． － １ １０ Ｃ． １ ９０ Ｄ． １９ ９０ ４．下列关于星星的图案的个数构成数列｛ａｎ｝， 则数列｛ａｎ｝的一个通项公式是　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）， 判断４１９和４２０是否为数列中的项？若是，是 数列中的第几项？ 请同学们认真完成练案［１                          ］ 第２课时　 数列的通项公式与递推公式 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例理解递推公式的含义． ２．能根据递推公式确定数列的前几项． 学法解读 １．了解数列递推公式的概念，知道递推公式是给出数列的一种方法．（数学抽象） ２．能根据数列的递推公式写出数列．（逻辑推理） ３．会应用数列的前ｎ项和公式求数列的通项公式．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　数列的递推公式 数列的表示法 意义 结构 通项公式 ａｎ可以用关于ｎ　 的式子表示 ａｎ ＝ ｆ（ｎ） 递推公式 数列的相邻两项　 或 多项　 之间的关系可 以用一个式子表示 ａｎ ＝ ｆ（ａｎ － １） （ｎ ＞ １） 　 　 想一想：递推公式与通项公式有怎样的区 别与联系？ 提示：（１）与“不一定所有数列都有通项公 式”一样，并不是所有的数列都有递推公式             ． !!& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）用递推公式给出一个数列，必须给出： ①“基础”——数列｛ａｎ｝的第１项（或前几 项）； ②递推关系——数列｛ａｎ｝的任意一项ａｎ 与它的前一项ａｎ －１（ｎ≥２）（或前几项）间的关 系，并且这个关系可以用一个公式来表示． 　 　 练一练：已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ ３，则ａ５ ＝ 　 　 １３　 ． 数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 　 　 １．数列前ｎ项和的概念 我们把数列｛ａｎ｝从第１项起到第ｎ项止的 各项之和，称为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，记作Ｓｎ， 即Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ　 ． ２．前ｎ项和Ｓｎ与ａｎ的关系 如果数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ 与它的序号 之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么 这个式子叫做这个数列的前ｎ项和公式． 显然Ｓ１ ＝ ａ１，而Ｓｎ －１ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ －１（ｎ ≥２）， 于是我们有ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 ． 想一想：在已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ求 该数列通项公式ａｎ时需要注意什么？ 提示：验证ｎ ＝ １的情况是否适合． 练一练：若｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ｎ３ － ２ｎ２， 则ａ５ ＋ ａ６ ＝ （Ｂ ） Ａ． ８６ Ｂ． １１２ Ｃ． １５６ Ｄ．                        ８４ /012%345 题型探究 题型一 由递推公式写出数列的前几项 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ ＋ １ （ｎ∈Ｎ），那么ａ４的值为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １５ Ｄ． ３１ （２）已知数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２，ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ －２（ｎ≥３），则ａ５ ＝ ８　 　 　 　 ． （３）根据各个数列的首项和递推公式，写出 它的前５项，并归纳出通项公式． ①ａ１ ＝ ０，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋（２ｎ － １）（ｎ∈Ｎ）； ②ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎａｎ ＋ ２（ｎ∈Ｎ ）； ③ａ１ ＝ ３，ａｎ ＋１ ＝ ３ａｎ － ２（ｎ∈Ｎ）． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 由递推公式写数列的项 （１）根据递推公式写出数列的前几项，首先 要弄清楚公式中各部分的关系，依次代入计算 即可． （２）解答这类问题时还需注意：若知道的是 首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示 后面的项的形式． （３）若知道的是末项，通常将所给公式整理 成用后面的项表示前面的项的形式． 对点训练? 数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ １ － １ ａｎ ，且ａ１ ＝ ２，则ａ２ ０２０的值为 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． １ 题型二 由数列的递推公式求通项公式 ２．（１）在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ ｌｎ １ ＋ １( )ｎ ，求数列的通项公式ａｎ； （２）设数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ －１ （ｎ≥２），求数列的通项公式ａｎ                                            ． !!' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 １．用“累加法”求数列的通 项公式 当ａｎ － ａｎ －１ ＝ ｆ（ｎ）（ｎ≥２）满足一定条件 时，常用ａｎ ＝（ａｎ － ａｎ －１）＋（ａｎ －１ － ａｎ －２）＋…＋ （ａ２ － ａ１）＋ ａ１累加来求通项ａｎ． ２．用“累乘法”求数列的通项公式 当ａｎａｎ －１ ＝ ｇ（ｎ）（ｎ≥２）满足一定条件时，常 用ａｎ ＝ ａｎａｎ －１· ａｎ －１ ａｎ －２ ·ａｎ －２ａｎ －３·…· ａ２ ａ１ ·ａ１ 累乘来 求通项ａｎ． 对点训练? （１）在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２， ａｎ ＋１ ｎ ＋ １ ＝ ａｎ ｎ ＋ ｌｎ １ ＋ １( )ｎ ，则ａｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ ＋ ｎｌｎ ｎ Ｂ． ２ｎ ＋（ｎ － １）ｌｎ ｎ Ｃ． ２ｎ ＋ ｎｌｎ ｎ Ｄ． １ ＋ ｎ ＋ ｎｌｎ ｎ （２）设数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ ａ２ｎ － ｎａｎ ＋ １，ａ１ ＝ ２，通过求ａ２，ａ３猜想ａｎ的一个通项公式为 （Ｂ ） Ａ． ａｎ ＝ ｎ － １ Ｂ． ａｎ ＝ ｎ ＋ １ Ｃ． ａｎ ＝ ｎ Ｄ． ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ 题型三 由前ｎ项和Ｓｎ求通项公式 ３．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ ＋ ５，则数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ［规律方法］　 由Ｓｎ求ａｎ的一般步骤 利用ａｎ ＝ Ｓｎ，ｎ ＝ １， Ｓｎ － Ｓｎ －１，ｎ≥２{ ，可由数列的前ｎ 项和Ｓｎ求得数列的通项公式．解题过程通常分 为四步： 第一步，令ｎ ＝ １得ａ１； 第二步，令ｎ≥２得ａｎ； 第三步，在第二步求得的ａｎ的表达式中取 ｎ ＝ １，判断其值是否等于ａ１； 第四步，写出数列的通项公式（若第三步中 ｎ ＝ １时，ａｎ 表达式的值不等于ａ１，则数列的通 项公式一定要分段表示）． 对点训练? 设数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为 Ｓｎ ＝ ａ１（３ｎ － １） ２ ，且ａ４ ＝ ５４，则数列｛ａｎ｝的通项 公式为ａｎ ＝ ２ × ３ｎ －１　 ． 题型四 数列单调性的判断 ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ３ｎ２ － ｎ （ｎ∈Ｎ），判断该数列的单调性． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 判断数列是递增数列或递减 数列，关键就是比较相邻两项ａｎ ＋１，ａｎ的大小． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝的通项 公式为ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ．求证：此数列为递增数列． （２）若数列｛ａｎ｝为递增数列，且ａｎ ＝ ｎ２ ＋ λｎ（ｎ∈Ｎ），则实数λ应满足什么条件                                                                        ？ !!( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ， 若数列｛ａｎ｝为递增数列，则ｔ的取值范围 是（－ ３，＋ ∞）　 ． ［错解］　 ［－ ２，＋ ∞） ［误区警示］　 在错解中，忽略了数列的特 征，即ｎ的取值的离散性，常会得出－ ｔ２≤１，即 ｔ∈［－ ２，＋ ∞）错误结果．事实上，由抛物线的 对称性知，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｔｘ在［１，＋ ∞）上不 单调照样可以使得数列｛ａｎ｝单调，当对称轴位 于区间１，３( )２ 内时，ａ１ ＜ ａ２也成立． 　 　 ［正解                  ］ 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ １１ － ａｎ ．若ａ１ ＝ １ ２， 则ａ１０ ＝ （Ａ ） Ａ． １２ Ｂ． ２ Ｃ． １ Ｄ． － １ ２．函数ｆ（ｘ）满足ｆ（１）＝ １，ｆ（ｎ ＋ １）＝ ｆ（ｎ）＋ ３（ｎ∈Ｎ），则ｆ（ｎ）是 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．不能确定 ３．数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，ａｎ ＋１ ＝（２ｎ － λ）ａｎ （ｎ ＝１，２，…），则ａ３等于 （Ａ ） Ａ． １５ Ｂ． １０ Ｃ． ９ Ｄ． ５ ４．已知数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ ＝ ２ｎ － １，则此 数列的通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ －１　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋２ － ａｎ ＝ ６，则ａ１１ 的值为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［２                ］ ４． ２　 等差数列 ４． ２． １　 等差数列的概念 第１课时　 等差数列的概念 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例理解等差数列、等差中项的概念． ２．借助教材实例了解等差数列与一次函数的关系． ３．会求等差数列的通项公式，并能利用等差数列的通项公式解决相关问题． 学法解读 １．能够通过实际问题理解等差数列、公差、等差中项的概念，提升分析问题、解决问题的能力． （数学抽象） ２．掌握等差数列的通项公式及其推导方法，并能够灵活地进行运算．（逻辑推理、数学运算） ３．掌握等差数列的判定方法，能运用定义法证明等差数列．（数学抽象、逻辑推理） !!) ∴ ａ２ － ａ１ ＝ ２，ａ３ － ａ２ ＝ ３，ａ４ － ａ３ ＝ ４，…，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｎ，∴ ａｎ － ａ１ ＝ （ｎ － １）（２ ＋ ｎ） ２ ，则ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ２ ，当ｎ ＝ １时，也成立． ５．令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４１９， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４１９ ＝ ０， 此方程无正整数解，故４１９不是数列中的项． 令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４２０，∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４２０ ＝ ０， ∴ （ｎ － ２０）（ｎ ＋ ２１）＝ ０，∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ ２０． 故４２０是数列中的第２０项． 第２课时　 数列的通项公式与递推公式 必备知识·探新知 　 　 知识点１：ｎ　 相邻两项　 多项 练一练： 　 　 １３ 知识点２：１． ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ２． Ｓ１，ｎ ＝ １ Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥{ ２ 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 Ｓｎ ＝ ｎ ３ － ２ｎ２ａ１ ＝ － １， 方法一：当ｎ≥２时， ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｎ ３ － ２ｎ２ － ｎ( )－ １ ３ ＋ ２ ｎ( )－ １ ２ ＝ ｎ３ － ２ｎ２ － ｎ３ ＋ ３ｎ２ － ３ｎ ＋ １ ＋ ２ｎ２ － ４ｎ ＋ ２ ＝ ３ｎ２ － ７ｎ ＋ ３， ∴ ａ５ ＝ ４３，ａ６ ＝ ６９， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ １１２． 方法二：∵ Ｓｎ ＝ ｎ３ － ２ｎ２， ∴ Ｓ６ ＝ ６ ３ － ２ × ６２ ＝ １４４，Ｓ４ ＝ ４３ － ２ × ４２ ＝ ３２， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ Ｓ６ － Ｓ４ ＝ １１２， 故选Ｂ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ 　 因为数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １ （ｎ∈Ｎ），所以ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ １ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ２ａ２ ＋ １ ＝ ６ ＋ １ ＝ ７， ａ４ ＝ ２ａ３ ＋ １ ＝ １４ ＋ １ ＝ １５． （２）８　 由题知ａ３ ＝ ａ２ ＋ ａ１ ＝３，ａ４ ＝ ａ３ ＋ ａ２ ＝５，ａ５ ＝ ａ４ ＋ ａ３ ＝８． （３）①因为ａ１ ＝ ０，ａ２ ＝ １，ａ３ ＝ ４，ａ４ ＝ ９，ａ５ ＝ １６，所以ａｎ ＝（ｎ － １）２ ． ②因为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ １ ２ ＝ ２ ４ ， ａ４ ＝ ２ ５ ，ａ５ ＝ １ ３ ＝ ２ ６ ，所以ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． ③因为ａ１ ＝ ３ ＝ １ ＋ ２ × ３０， ａ２ ＝ ７ ＝ １ ＋ ２ × ３ １， ａ３ ＝ １９ ＝ １ ＋ ２ × ３ ２， ａ４ ＝ ５５ ＝ １ ＋ ２ × ３ ３， ａ５ ＝ １６３ ＝ １ ＋ ２ × ３ ４， 所以ａｎ ＝ １ ＋ ２ × ３ｎ － １ ． 对点训练１：Ｃ　 由ａｎ ＋ １ ＝ １ － １ａｎ及ａ１ ＝ ２，得ａ２ ＝ １ ２ ，ａ３ ＝ － １，ａ４ ＝ ２，至此可发现数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列：２，１２ ， － １，２，１２ ，－ １，…． 而２ ０２０ ＝ ６７３ × ３ ＋ １，故ａ２ ０２０ ＝ ａ１ ＝ ２． 　 　 例２：（１）ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ｌｎ １ ＋ １( )ｎ ＝ ｌｎ（１ ＋ ｎ）－ ｌｎ ｎ，ａ１ ＝ ２， ａ２ － ａ１ ＝ ｌｎ ２，ａ３ － ａ２ ＝ ｌｎ ３ － ｌｎ ２， ａ４ － ａ３ ＝ ｌｎ ４ － ｌｎ ３，… ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ（ｎ － １）（ｎ≥２）， 以上各式相加得ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ２ ＋（ｌｎ ３ － ｌｎ ２）＋…＋［ｌｎ ｎ － ｌｎ（ｎ － １）］． 所以ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ（ｎ≥２）． 因为ａ１ ＝ ２也适合上式， 所以ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ． （２）因为ａ１ ＝ １， ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ － １（ｎ≥２）， 所以ａｎａｎ － １ ＝ ｎ － １ ｎ ，ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ ·ａｎ － １ａｎ － ２· ａｎ － ２ ａｎ － ３ ·…·ａ３ａ２· ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ ｎ － １ｎ · ｎ － ２ ｎ － １· ｎ － ３ ｎ － ２·…· ２ ３· １ ２·１ ＝ １ ｎ ． 又因为ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １， 符合上式，所以ａｎ ＝ １ｎ ． 对点训练２：（１）Ｃ　 由题意得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ ｌｎ（ｎ ＋ １）－ ｌｎ ｎ， 令ｎ分别为１，２，３，…，ｎ － １，累加得ａｎｎ － ａ１ １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ １ ＝ ｌｎ ｎ， ａｎ ｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ，∴ ａｎ ＝（２ ＋ ｌｎ ｎ）ｎ，故选Ｃ． （２）Ｂ　 ａ２ ＝ ２２ － ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ９ － ６ ＋ １ ＝ ４， 所以可猜想ａｎ ＝ ｎ ＋ １． 故选Ｂ． 　 　 例３： １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １３２ ；当ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ( )＋５ [－ （ｎ －１）２ ＋ １２ （ｎ － １） ]＋ ５ ＝２ｎ － １２ ． 又２ × １ － １２ ＝ ３ ２ ≠ａ１， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 对点训练３：２ × ３ｎ － １ 　 因为ａ４ ＝ Ｓ４ － Ｓ３ ＝ ａ１（３ ４ － １） ２ － ａ１（３３ － １） ２ ＝ ａ１ ２ （８１ － ２７）＝ ２７ａ１ ＝ ５４，所以ａ１ ＝ ２，所以Ｓｎ ＝ ３ ｎ －１．当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ３ｎ － １ －（３ｎ － １ － １）＝ ２ × ３ｎ － １ ．当 ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ ２ ＝ ２ × ３１ －１，符合上式． 故数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ × ３ｎ － １ ． 　 　 例４：方法一：ａｎ ＝ ３ｎ２ － ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）， 则ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）－（３ｎ２ － ｎ）＝ ６ｎ ＋ ２ ＞ ０ （ｎ∈Ｎ）， 即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，故数列｛ａｎ｝是递增数列． 方法二：ａｎ ＝ ３ｎ２ － ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）， 则ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １） ３ｎ２ － ｎ ＝ ｎ ＋ １ｎ · ３ｎ ＋ ２ ３ｎ － １ ＞ １（ｎ∈Ｎ ）． 又易知ａｎ ＞ ０，故ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即数列｛ａｎ｝是递增数列                                                                      ． —１１８— 方法三：令ｙ ＝ ３ｘ２ － ｘ，则函数的图象是开口向上的抛物线， 其对称轴为直线ｘ ＝ １６ ＜ １，则函数ｙ ＝ ３ｘ ２ － ｘ在１６ ，＋( )∞ 上 单调递增，故数列｛ａｎ｝是递增数列． 对点训练４：（１）证明：∵ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ （ｎ ＋ １） ２ （ｎ ＋ １）２ ＋ １ － ｎ２ ｎ２ ＋ １ ＝（ｎ ＋ １） ２（ｎ２ ＋ １）－ ｎ２［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］ ［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］（ｎ２ ＋ １） ＝ ２ｎ ＋ １［（ｎ ＋ １）２ ＋ １］（ｎ２ ＋ １）， 由ｎ∈Ｎ，得ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０，即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ ． ∴数列｛ａｎ｝是递增数列． （２）因为｛ａｎ｝为递增数列，所以ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即（ｎ ＋ １）２ ＋ λ（ｎ ＋ １）＞ ｎ２ ＋ λｎ，则λ ＞ － ２ｎ － １．又ｎ∈Ｎ，故λ ＞ － ３． 　 　 例５：（－ ３，＋ ∞）　 正解一：由数列｛ａｎ｝为递增数列，知 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋ ｔ（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｔｎ）＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ｔ ＞ ０恒成 立，即ｔ ＞ －（２ｎ ＋ １）恒成立． 而ｎ∈Ｎ，所以ｔ ＞ － ３，故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 正解二：ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ ＝ ｎ ＋ ｔ( )２ ２ － ｔ ２ ４ ， 由于ｎ∈Ｎ，且数列｛ａｎ｝为递增数列，结合二次函数的图 象可得－ ｔ２ ＜ ３ ２ ，解得ｔ ＞ － ３， 故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由ａｎ ＋ １ ＝ １１ － ａｎ，且ａ１ ＝ １ ２ ，可得ａ２ ＝ １ １ － ａ１ ＝ １ １ － １２ ＝ ２， ａ３ ＝ １ １ － ａ２ ＝ １１ － ２ ＝ － １，ａ４ ＝ １ １ － ａ３ ＝ １１ －（－ １）＝ １ ２ ，所以 ａｎ ＋ ３ ＝ ａｎ（ｎ∈Ｎ），即数列｛ａｎ｝是以３为周期的周期数列，所 以ａ１０ ＝ ａ１ ＝ １２ ．故选Ａ． ２． Ａ　 ∵ ｆ（ｎ ＋ １）－ ｆ（ｎ）＝ ３（ｎ∈Ｎ）， ∴ ｆ（２）＞ ｆ（１），ｆ（３）＞ ｆ（２），ｆ（４）＞ ｆ（３），…， ｆ（ｎ ＋ １）＞ ｆ（ｎ），…， ∴ ｆ（ｎ）是递增数列． ３． Ａ　 由ａ２ ＝（２ － λ）ａ１，可得２ － λ ＝ ３，解得λ ＝ － １，∴ ａ３ ＝（２ × ２ ＋ １）× ３ ＝ １５．故选Ａ． ４． ａｎ ＝ ２ ｎ － １ 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ － １ ＝ １， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ２ｎ － １ －（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １ ． 又２１ －１ ＝ １，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． ５． ３１　 ａ３ ＝ ６ ＋ ａ１ ＝ ７， ａ５ ＝ ６ ＋ ａ３ ＝ １３， ａ７ ＝ ６ ＋ ａ５ ＝ １９， ａ９ ＝ ６ ＋ ａ７ ＝ ２５， ａ１１ ＝ ６ ＋ ａ９ ＝ ３１． ４． ２　 等差数列 ４． ２． １　 等差数列的概念 第１课时　 等差数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１：从第２项　 它前一项　 同一个常数　 公差 练一练： 　 　 Ｂ　 例如ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ － １，ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ － ３，满足ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３，但是ａ２ － ａ１ ＝ ２≠ａ３ － ａ２ ＝ － ６，不符合等差数列的定义， 故推不出｛ａｎ｝为等差数列； 若｛ａｎ｝为等差数列，设公差为ｄ，所以ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ３ｄ，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ２ａ１ ＋ ３ｄ，则ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３ ． 所以ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３ 是｛ａｎ｝为等差数列的必要条件但不 是充分条件． 故选Ｂ． 知识点２： 　 　 练一练： 　 　 Ａ　 由韦达定理和等差中项的性质可得ａ３ ＋ ａ５ ＝ ４ ＝ ２ａ４， 因此ａ４ ＝ ２． 故选Ａ． 知识点３：ａｎ ＋ １ － ａｎ 　 ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 　 　 练一练： 　 　 － ２２ 知识点４： 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 等差数列｛ａｎ｝的图象所在直线的斜率ｋ ＝ ５ － ３１ － ２ ＝ － ２ ＜ ０，故数列｛ａｎ｝是递减数列． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 设首项为ａ１，公差为ｄ，则 ａ３ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ５， ａ７ ＝ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ １３{ ，解得 ａ１ ＝ １， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）× ２ ＝ ２ｎ － １． ∴通项公式为ａｎ ＝ ２ｎ － １． （２）由等差中项的公式，得 ２ ×（２ａ － １）＝ ａ ＋（３ － ａ），ａ ＝ ５４ ． ∴首项为ａ ＝ ５４ ，公差为２ａ － １ － ａ ＝ ａ － １ ＝ ５ ４ － １ ＝ １ ４ ． ∴ ａｎ ＝ ５ ４ ＋（ｎ － １）× １ ４ ＝ ｎ ４ ＋ １． ∴通项公式为ａｎ ＝ ｎ４ ＋ １． 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ ０， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：（１）Ａ　 ａ，ｂ的等差中项为 ａ ＋ ｂ ２ ＝ １ 槡槡３ ＋ ２ ＋ １ 槡槡３ － ２ ２ ＝ 槡槡槡槡３ － ２ ＋ ３ ＋ ２ ２ 槡＝ ３． （２）Ｂ　 由题意得２（３ｘ ＋ ３）＝ ｘ ＋（６ｘ ＋ ６）， 所以ｘ ＝ ０． 所以等差数列的前三项为０，３，６，公差为３， 所以等差数列的第四项为９．故选Ｂ． （３）证明：因为１ａ ， １ ｂ ， １ ｃ成等差数列                                                                       ， —１１９—