4.1 第1课时数列的概念与简单表示法(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教A版2019)

书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第四章　 数列 ４． １　 数列的概念 第１课时　 数列的概念与简单表示法 必备知识·探新知 　 　 知识点１：１．确定的顺序　 ２．每一个数　 ３． ｎ 练一练： 　 　 １ ０１２　 令２ｎ － １ ＝ ２ ０２３，解得ｎ ＝ １ ０１２． 知识点２：正整数集Ｎ 　 第ｎ项ａｎ 　 ａｎ ＝ ｆ（ｎ）　 依次取值 ｛ａｎ｝ 　 　 练一练： 　 　 ５６ 　 ∵ ｆ（ｎ）＝ １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋ １ ｎ ＋ ３ ＋…＋ １ ３ｎ， ∴ ｆ（１）＝ １１ ＋ １ ＋ １ １ ＋ ２ ＝ １ ２ ＋ １ ３ ＝ ５ ６ ． 知识点３：一个式子 　 　 练一练： 　 　 １． － ６　 ａ４ ＝ ４ ２ － ７ × ４ ＋ ６ ＝ － ６． ２． ａｎ ＝ ２ｎ － １ 知识点４：有限　 无限　 大于　 小于　 相等 　 　 练一练： 　 　 Ａ　 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ　 根据数列的相关概念，可知数列４，７，１２ ，槡５，４ 是数列，故Ａ错误．同一个数在一个数列中可以重复出现，故Ｂ 错误．由无穷数列的概念可知Ｃ正确．当ａ，ｂ都代表数时，能构 成数列，当ａ，ｂ中至少有一个不代表数时，不能构成数列，因为 数列是按确定的顺序排列的一列数，故Ｄ错误． （２）Ｃ　 Ｄ是有穷数列，Ａ是递减数列，Ｂ是摆动数列，故 选Ｃ． 对点训练１：（１）Ｄ　 ①是错误的，例如无穷个３构成的常数 列３，３，３，…的各项都是３；②是错误的，数列－ １，０，１与数列１， ０，－ １各项的顺序不同，即表示不同的数列；③是正确的，故 选Ｄ． （２）①　 ②③④⑤ 　 ①② 　 ③ 　 ⑤ 　 ①是有穷递增数列， ②是无穷递增数列，③是无穷递减数列，④是无穷数列，也是摆 动数列；⑤是无穷数列，也是常数列． 　 　 例２：（１）ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ２ｎ ． （２）ａｎ ＝ ｎ ２ ２ ． （３）ａｎ ＝ １ ＋（－ １） ｎ ２ ． （４）ａｎ ＝ － １ｎ （ｎ ＝ ２ｋ － １）， ３ ｎ （ｎ ＝ ２ｋ{ ） （其中ｋ∈Ｎ），由于１ ＝ ２ － １， ３ ＝ ２ ＋ １，所以数列的通项公式可合写成ａｎ ＝ （－ １）ｎ ·２ ＋（－ １） ｎ ｎ ． （５）ａｎ ＝ １３ （１０ ｎ － １）． 对点训练２：（１）ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ １（２ｎ － １）． （２）ａｎ ＝（ｎ ＋ １） ２ － ｎ ２ｎ ＋ １ ． （３）ａｎ ＝ ５９ （１０ ｎ － １）． （４）ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ ＋ ２． 　 　 例３：（１）ａ４ ＝ ３ × １６ － ２８ × ４ ＝ － ６４，ａ６ ＝ ３ × ３６ － ２８ × ６ ＝ － ６０． （２）令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ － ４９，解得ｎ ＝ ７或ｎ ＝ ７３ （舍去）， 所以ｎ ＝ ７，即－ ４９是该数列的第７项． 令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ ６８，解得ｎ ＝ ３４３或ｎ ＝ － ２． 因为３４３ Ｎ ，－ ２Ｎ，所以６８不是该数列的项． （３）ａｎ ＝ ｎ（３ｎ － ２８），令ａｎ ＜ ０，又ｎ∈Ｎ，解得ｎ ＝ １，２，３，４， ５，６，７，８，９，即数列｛ａｎ｝中有９个负数项． 对点训练３：（１）Ｂ　 由题意令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ２，可得ｎ ＝ ２（负 值舍去），为正整数，即２是｛ａｎ｝的项；同理令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ４０，可 得ｎ不为正整数，即４０不是｛ａｎ｝的项；令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ５６，可得ｎ ＝ ８（负值舍去），为正整数，即５６是｛ａｎ｝的项；令ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ ＝ ９０，可得ｎ ＝ １０（负值舍去），是正整数，即９０是｛ａｎ｝的项．故 选Ｂ． （２）①因为ａｎ ＝ ４ｎ２ ＋ ３ｎ， 所以ａ４ ＝ ４４２ ＋ ３ × ４ ＝ １ ７ ， ａ６ ＝ ４ ６２ ＋ ３ × ６ ＝ ２２７ ． ②令４ ｎ２ ＋ ３ｎ ＝ １１０，则ｎ ２ ＋ ３ｎ － ４０ ＝ ０，解得ｎ ＝ ５或ｎ ＝ － ８， 注意到ｎ∈Ｎ， 故将ｎ ＝ － ８舍去，所以１１０是该数列的第５项． 　 　 例４：３或４　 ｎａｎ ＝ ｎ（ｎ － ７）＝ ｎ２ － ７ｎ ＝ ｎ －( )７２ ２ － ４９４ ． 因为ｎ∈Ｎ，所以ｎ ＝ ３或ｎ ＝ ４时，数列｛ｎａｎ｝的项最小． 课堂检测·固双基 １． Ｃ 　 数列２，４３ ， ８ ５ ， １６ ７ ， ３２ ９ ，…可写成 ２１ ２ × １ － １， ２２ ２ × ２ － １， ２３ ２ × ３ － １， ２４ ２ × ４ － １， ２５ ２ × ５ － １，…，所以通项公式ａｎ ＝ ２ｎ ２ｎ － １．故 选Ｃ． ２． Ｂ ３． Ｃ　 依题意知，ａ５ － ａ４ (＝ １５ ＋ １ ＋ １５ ＋ ２ ＋…＋ １ )２ × ５ (－ １４ ＋ １ ＋ １４ ＋ ２ ＋…＋ １ )２ × ４ ＝ １９ ＋ １１０ － １５ ＝ １９０ ．故选Ｃ． ４． ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ２ 　 由题图可知ａｎ ＝ ａｎ － １ ＋ ｎ，ｎ≥２，∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｎ                                                               ， —１１７— ∴ ａ２ － ａ１ ＝ ２，ａ３ － ａ２ ＝ ３，ａ４ － ａ３ ＝ ４，…，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｎ，∴ ａｎ － ａ１ ＝ （ｎ － １）（２ ＋ ｎ） ２ ，则ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｎ ２ ，当ｎ ＝ １时，也成立． ５．令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４１９， ∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４１９ ＝ ０， 此方程无正整数解，故４１９不是数列中的项． 令ｎ（ｎ ＋ １）＝ ４２０，∴ ｎ２ ＋ ｎ － ４２０ ＝ ０， ∴ （ｎ － ２０）（ｎ ＋ ２１）＝ ０，∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ ２０． 故４２０是数列中的第２０项． 第２课时　 数列的通项公式与递推公式 必备知识·探新知 　 　 知识点１：ｎ　 相邻两项　 多项 练一练： 　 　 １３ 知识点２：１． ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ２． Ｓ１，ｎ ＝ １ Ｓｎ － Ｓｎ － １，ｎ≥{ ２ 　 　 练一练： 　 　 Ｂ　 Ｓｎ ＝ ｎ ３ － ２ｎ２ａ１ ＝ － １， 方法一：当ｎ≥２时， ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｎ ３ － ２ｎ２ － ｎ( )－ １ ３ ＋ ２ ｎ( )－ １ ２ ＝ ｎ３ － ２ｎ２ － ｎ３ ＋ ３ｎ２ － ３ｎ ＋ １ ＋ ２ｎ２ － ４ｎ ＋ ２ ＝ ３ｎ２ － ７ｎ ＋ ３， ∴ ａ５ ＝ ４３，ａ６ ＝ ６９， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ １１２． 方法二：∵ Ｓｎ ＝ ｎ３ － ２ｎ２， ∴ Ｓ６ ＝ ６ ３ － ２ × ６２ ＝ １４４，Ｓ４ ＝ ４３ － ２ × ４２ ＝ ３２， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ Ｓ６ － Ｓ４ ＝ １１２， 故选Ｂ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｃ 　 因为数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ １，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １ （ｎ∈Ｎ），所以ａ２ ＝ ２ａ１ ＋ １ ＝ ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ２ａ２ ＋ １ ＝ ６ ＋ １ ＝ ７， ａ４ ＝ ２ａ３ ＋ １ ＝ １４ ＋ １ ＝ １５． （２）８　 由题知ａ３ ＝ ａ２ ＋ ａ１ ＝３，ａ４ ＝ ａ３ ＋ ａ２ ＝５，ａ５ ＝ ａ４ ＋ ａ３ ＝８． （３）①因为ａ１ ＝ ０，ａ２ ＝ １，ａ３ ＝ ４，ａ４ ＝ ９，ａ５ ＝ １６，所以ａｎ ＝（ｎ － １）２ ． ②因为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ １ ２ ＝ ２ ４ ， ａ４ ＝ ２ ５ ，ａ５ ＝ １ ３ ＝ ２ ６ ，所以ａｎ ＝ ２ ｎ ＋ １． ③因为ａ１ ＝ ３ ＝ １ ＋ ２ × ３０， ａ２ ＝ ７ ＝ １ ＋ ２ × ３ １， ａ３ ＝ １９ ＝ １ ＋ ２ × ３ ２， ａ４ ＝ ５５ ＝ １ ＋ ２ × ３ ３， ａ５ ＝ １６３ ＝ １ ＋ ２ × ３ ４， 所以ａｎ ＝ １ ＋ ２ × ３ｎ － １ ． 对点训练１：Ｃ　 由ａｎ ＋ １ ＝ １ － １ａｎ及ａ１ ＝ ２，得ａ２ ＝ １ ２ ，ａ３ ＝ － １，ａ４ ＝ ２，至此可发现数列｛ａｎ｝是周期为３的周期数列：２，１２ ， － １，２，１２ ，－ １，…． 而２ ０２０ ＝ ６７３ × ３ ＋ １，故ａ２ ０２０ ＝ ａ１ ＝ ２． 　 　 例２：（１）ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ｌｎ １ ＋ １( )ｎ ＝ ｌｎ（１ ＋ ｎ）－ ｌｎ ｎ，ａ１ ＝ ２， ａ２ － ａ１ ＝ ｌｎ ２，ａ３ － ａ２ ＝ ｌｎ ３ － ｌｎ ２， ａ４ － ａ３ ＝ ｌｎ ４ － ｌｎ ３，… ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ（ｎ － １）（ｎ≥２）， 以上各式相加得ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ２ ＋（ｌｎ ３ － ｌｎ ２）＋…＋［ｌｎ ｎ － ｌｎ（ｎ － １）］． 所以ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ（ｎ≥２）． 因为ａ１ ＝ ２也适合上式， 所以ａｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ． （２）因为ａ１ ＝ １， ａｎ ＝ １ － １( )ｎ ａｎ － １（ｎ≥２）， 所以ａｎａｎ － １ ＝ ｎ － １ ｎ ，ａｎ ＝ ａｎ ａｎ － １ ·ａｎ － １ａｎ － ２· ａｎ － ２ ａｎ － ３ ·…·ａ３ａ２· ａ２ ａ１ ·ａ１ ＝ ｎ － １ｎ · ｎ － ２ ｎ － １· ｎ － ３ ｎ － ２·…· ２ ３· １ ２·１ ＝ １ ｎ ． 又因为ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １， 符合上式，所以ａｎ ＝ １ｎ ． 对点训练２：（１）Ｃ　 由题意得ａｎ ＋ １ｎ ＋ １ － ａｎ ｎ ＝ ｌｎ（ｎ ＋ １）－ ｌｎ ｎ， 令ｎ分别为１，２，３，…，ｎ － １，累加得ａｎｎ － ａ１ １ ＝ ｌｎ ｎ － ｌｎ １ ＝ ｌｎ ｎ， ａｎ ｎ ＝ ２ ＋ ｌｎ ｎ，∴ ａｎ ＝（２ ＋ ｌｎ ｎ）ｎ，故选Ｃ． （２）Ｂ　 ａ２ ＝ ２２ － ２ ＋ １ ＝ ３，ａ３ ＝ ９ － ６ ＋ １ ＝ ４， 所以可猜想ａｎ ＝ ｎ ＋ １． 故选Ｂ． 　 　 例３： １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １３２ ；当ｎ≥２ 时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ －１ ＝ ｎ２ ＋ １２ ｎ( )＋５ [－ （ｎ －１）２ ＋ １２ （ｎ － １） ]＋ ５ ＝２ｎ － １２ ． 又２ × １ － １２ ＝ ３ ２ ≠ａ１， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ １３ ２ ，ｎ ＝ １， ２ｎ － １２ ，ｎ≥２{ ． 对点训练３：２ × ３ｎ － １ 　 因为ａ４ ＝ Ｓ４ － Ｓ３ ＝ ａ１（３ ４ － １） ２ － ａ１（３３ － １） ２ ＝ ａ１ ２ （８１ － ２７）＝ ２７ａ１ ＝ ５４，所以ａ１ ＝ ２，所以Ｓｎ ＝ ３ ｎ －１．当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ３ｎ － １ －（３ｎ － １ － １）＝ ２ × ３ｎ － １ ．当 ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ ２ ＝ ２ × ３１ －１，符合上式． 故数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ２ × ３ｎ － １ ． 　 　 例４：方法一：ａｎ ＝ ３ｎ２ － ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）， 则ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）－（３ｎ２ － ｎ）＝ ６ｎ ＋ ２ ＞ ０ （ｎ∈Ｎ）， 即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，故数列｛ａｎ｝是递增数列． 方法二：ａｎ ＝ ３ｎ２ － ｎ，ａｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １）， 则ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）２ －（ｎ ＋ １） ３ｎ２ － ｎ ＝ ｎ ＋ １ｎ · ３ｎ ＋ ２ ３ｎ － １ ＞ １（ｎ∈Ｎ ）． 又易知ａｎ ＞ ０，故ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即数列｛ａｎ｝是递增数列                                                                      ． —１１８— 书 ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第四章 　 数列 ４． １　 数列的概念 第１课时　 数列的概念与简单表示法 !"#$%&'( 课程标准 １．通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念、表示方法（列表、图象、通项公式）以及数 列的分类． ２．了解数列是一种特殊函数，并能通过函数思想研究数列的性质． ３．理解数列的通项公式的意义，并学会求一些简单数列的通项公式． 学法解读 １．了解数列的概念和数列的几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式），会根据数列的前几 项写出数列的通项公式．（数学抽象、逻辑推理） ２．理解数列的通项公式，并能够根据通项公式求数列中的某些项．（数学运算） ３．用函数思想理解数列，掌握数列的单调性，要求能够对数列进行合理分类，以提高学生分析 问题和解决问题的能力．（数学抽象、逻辑推理） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　数列的概念 　 　 １．定义：按确定的顺序　 排列的一列数叫 做数列． ２．项：数列中的每一个数　 叫做这个数列 的项． ３．形式：ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…，简记为｛ａｎ｝， 其中ａｎ是数列的第ｎ　 项，第１项也叫做首项． 　 　 练一练：已知数列１，３，５，…，２ｎ － １，…则 ２ ０２３是数列中的第１ ０１２　 项． 数列与函数的关系 　 　 数列｛ａｎ｝是从正整数集Ｎ　 （或它的有限 子集｛１，２，…，ｎ｝）到实数集Ｒ的函数，其自变 量是序号ｎ，对应的函数值是数列的第ｎ项ａｎ　 ， 记为ａｎ ＝ ｆ（ｎ）　 ．也就是说，当自变量从１开始，按 照从小到大的顺序依次取值　 　 时，对应的一 列函数值ｆ（１），ｆ（２），…，ｆ（ｎ），…就是数列 ｛ａｎ｝　 ．另一方面，对于函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），如果ｆ（ｎ） （ｎ∈Ｎ）有意义，那么ｆ（１），ｆ（２），…，ｆ（ｎ），… 构成了一个数列｛ｆ（ｎ）｝                  ． !!" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 想一想：数列与函数有怎样的区别与联系？ 提示：（１）以前我们学过的函数的自变量通 常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数 的函数． （２）数列是以正整数作为自变量的特殊函 数，因此在解决数列问题时，要善于利用函数的 知识、函数的观点、函数的思想方法． （３）要注意数列的特殊性（离散型）．由于 数列的定义域是Ｎ（或它的有限子集｛１，２，…， ｎ｝），所以数列的值域是一系列孤立的实数组成 的集合． 　 　 练一练：已知ｆ（ｎ）＝ １ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋ １ ｎ ＋ ３ ＋ …＋ １３ｎ（ｎ∈Ｎ ＋），则ｆ（１）＝ 　 　 　 ． 数列的通项公式 　 　 如果数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ 与它的序号ｎ 之间的对应关系可以用一个式子　 来表示，那 么这个式子叫做这个数列的通项公式． 　 　 想一想：数列的通项公式的本质是什么？ 提示：数列的通项公式实际上是一个以正 整数集Ｎ或它的有限子集｛１，２，…，ｎ｝为定义 域的函数的解析式．同“所有函数不一定都有解 析式”类似，并不是所有数列都有通项公式，如 槡２精确到１，０． １，０． ０１，０． ００１，…的近似值构成 的数列１，１． ４，１． ４１，１． ４１４，…就没有通项公式． 有些数列的通项公式可以有多个，即不唯一． 　 　 练一练： １．数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ｎ２ － ７ｎ ＋ ６， 则ａ４ ＝ － ６　 ． ２．数列１，３，５，７，…的通项公式为　 　 　 ａｎ ＝ ２ｎ － １　 ． 数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的 个数 有穷数列项数有限　 的数列 无穷数列项数无限　 的数列 按项的 变化趋势 递增数列从第２项起，每一项都大于　它的前一项的数列 递减数列从第２项起，每一项都小于　它的前一项的数列 常数列 各项都相等　 的数列 摆动数列 从第２项起，有些项大于它的 前一项，有些项小于它的前一 项的数列 　 　 练一练：下列说法中正确的是 （Ａ ） Ａ．数列１，－ ２，３，－ ４，…是一个摆动数列 Ｂ．数列１，２，…，２ ０２３是无穷数列 Ｃ．｛ａｎ｝与ａｎ是相同的概念 Ｄ．数列－ ２，３，６，８可以表示为｛－ ２，３，６， ８                                                ｝ /012%345 题型探究 题型一 数列的概念及分类 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（１）下列说法正确的是 （Ｃ ） Ａ． ４，７，１２，槡５，４不是数列 Ｂ．数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＝ ３，则从第２项起，各 项均不等于３ Ｃ．数列１，２，３，…是无穷数列 Ｄ． ａ，－ ３，－ １，１，ｂ，５，７，９，１１能构成数列 （２）下列四个数列中，既是无穷数列又是递 增数列的是 （Ｃ ） Ａ． １，１２， １ ３， １ ４，… Ｂ． ｓｉｎ π７，ｓｉｎ ２π ７ ，ｓｉｎ ３π ７ ，… Ｃ． － １，－ １２，－ １ ４，－ １ ８，… Ｄ． １，槡２，槡３，…，槡２１ 　 　 ［规律方法］　 解答数列概念题要紧扣相关 定义，观察数列的项数特征，确定是有穷数列还是 无穷数列，观察项的特点、变化规律确定增减性、周 期性，也可以借助函数的单调性判断数列的增减． 对点训练? （１）                   下列有关数列的说法 !!# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 正确的是 （Ｄ ） ①同一数列的任意两项均不可能相同； ②数列－ １，０，１与数列１，０，－ １是同一个 数列； ③数列中的每一项都与它的序号有关． Ａ．①②　 Ｂ．①③　 Ｃ．②③　 Ｄ．③ （２）已知下列数列： ①２，２２，２２２，２ ２２２； ②０，１２， ２ ３，…， ｎ － １ ｎ ，…； ③１，１３， １ ９，…， １ ３ｎ －１ ，…； ④ － １，０，－ １，０，…，（－ １） ｎ － １ ２ ，…； ⑤ａ，ａ，ａ，ａ，…． 其中，有穷数列是①　 ，无穷数列是②③ ④⑤　 ，递增数列是①②　 ，递减数列是③　 ，常 数列为⑤　 ．（将正确的序号填在横线上） 题型二 归纳数列的通项公式 ２．写出下列数列｛ａｎ｝的一个通项公式： （１）１２， ３ ４， ７ ８， １５ １６， ３１ ３２，…； （２）１２，２， ９ ２，８， ２５ ２ ，…； （３）０，１，０，１，０，１，…； （４）－ １，３２，－ １ ３， ３ ４，－ １ ５， ３ ６，…； （５）３，３３，３３３，３ ３３３，…． 【分析】　 考查各项的结构特点，联想基本 数列． （１）分母依次是２，４，８，…，即２ｎ，而分子比分 母少１． （２）将分母统一为２，分子恰为平方数． （３）这是个摆动数列，可寻找其平衡位置， 并用（－ １）ｎ去调节． （４）此数列的每一项都分为三部分：分子、分 母、符号．奇数项都为负，且分子都是１，偶数项为 正，且分子都是３，分母依次是１，２，３，４，…，正负 号可以用（－１）ｎ调节． （５）将数列各项写为９３， ９９ ３ ， ９９９ ３ ，…． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 一些基本数列的通项公式应 当牢记在心． 数列｛ａｎ｝ 通项公式 １，２，３，４，… ａｎ ＝ ｎ ２，４，６，８，… ａｎ ＝ ２ｎ １，３，５，７，… ａｎ ＝ ２ｎ － １ １，４，９，１６，… ａｎ ＝ ｎ２ ２，４，８，１６，… ａｎ ＝ ２ｎ １，１２ ， １ ３ ， １ ４ ，… ａｎ ＝ １ ｎ ２，６，１２，２０，… ａｎ ＝ ｎ·（ｎ ＋ １） １，－ １，１，－ １，… ａｎ ＝（－ １）ｎ － １ ９，９９，９９９，９ ９９９，… ａｎ ＝ １０ｎ － １ １，１，１，１，… ａｎ ＝ １ 　 　 对点训练? 写出下列数列｛ａｎ｝的一个 通项公式： （１）１，－ ３，５，－ ７，９，…； （２）２ ２ － １ ３ ， ３２ － ２ ５ ， ４２ － ３ ７ ， ５２ － ４ ９ ，…； （３）５，５５，５５５，５ ５５５，…； （４）１３，１， ９ ５， ８ ３，…                                                                       ． !!$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型三 数列中的项的求解与判断 ３． 已知数列｛ａｎ ｝的通项公式为 ａｎ ＝ ３ｎ ２ － ２８ｎ． （１）写出数列的第４项和第６项； （２）－ ４９是否为该数列的一项？如果是， 是哪一项？６８是否为该数列的一项呢？ （３）数列｛ａｎ｝中有多少个负数项？ ［分析］　 （１）分别将ｎ ＝ ４，ｎ ＝ ６代入通项 公式，即可求得ａ４，ａ６；（２）令ａｎ ＝ － ４９，ａｎ ＝ ６８， 分别求得ｎ的值，若ｎ∈Ｎ，则是数列的项，否 则不是该数列的项；（３）令ａｎ ＜ ０，求出ｎ的范 围，范围内正整数的个数即数列｛ａｎ｝中负数项 的个数． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 判断某数是否为数列中的项 的方法及步骤 （１）将所给项代入通项公式中． （２）解关于ｎ的方程． （３）若ｎ为正整数，说明某数是该数列的 项；若ｎ不是正整数，则不是该数列的项． 对点训练? （１）已知数列｛ａｎ｝的通项 公式为ａｎ ＝ ｎ２ － ｎ，则下列各数中不是数列中的 项的是 （Ｂ ） Ａ． ２　 　 　 Ｂ． ４０　 　 　 Ｃ． ５６　 　 　 Ｄ． ９０ （２）已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ４ ｎ２ ＋ ３ｎ ． ①写出数列的第４项和第６项； ②试问１１０是该数列的项吗？若是，是第几 项？若不是，请说明理由． 易错警示 　 　 忽视数列中ｎ的取值范围致误 ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ －７，则数 列｛ｎａｎ｝的最小项为第３或４　 项． ［错解］　 ７２ 　 　 ［正解                                                                                  ］ !!% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．数列２，４３， ８ ５， １６ ７ ， ３２ ９ ，…的一个通项公式ａｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ｎ２ｎ － １ Ｂ． ２ｎ ｎ Ｃ． ２ ｎ ２ｎ － １ Ｄ． ２ｎ ２ｎ ＋ １ ２．数列槡２，槡５，２槡２，槡１１，…，则２槡５是该数列的 （Ｂ ） Ａ．第６项 Ｂ．第７项 Ｃ．第１０项 Ｄ．第１１项 ３．若数列ａｎ ＝ １ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ ２ ＋…＋ １ ２ｎ，则ａ５ － ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． － １ １０ Ｃ． １ ９０ Ｄ． １９ ９０ ４．下列关于星星的图案的个数构成数列｛ａｎ｝， 则数列｛ａｎ｝的一个通项公式是　 　 　 　 　 ． ５．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）， 判断４１９和４２０是否为数列中的项？若是，是 数列中的第几项？ 请同学们认真完成练案［１                          ］ 第２课时　 数列的通项公式与递推公式 !"#$%&'( 课程标准 １．借助教材实例理解递推公式的含义． ２．能根据递推公式确定数列的前几项． 学法解读 １．了解数列递推公式的概念，知道递推公式是给出数列的一种方法．（数学抽象） ２．能根据数列的递推公式写出数列．（逻辑推理） ３．会应用数列的前ｎ项和公式求数列的通项公式．（逻辑推理、数学运算） )*+,%-.+ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　数列的递推公式 数列的表示法 意义 结构 通项公式 ａｎ可以用关于ｎ　 的式子表示 ａｎ ＝ ｆ（ｎ） 递推公式 数列的相邻两项　 或 多项　 之间的关系可 以用一个式子表示 ａｎ ＝ ｆ（ａｎ － １） （ｎ ＞ １） 　 　 想一想：递推公式与通项公式有怎样的区 别与联系？ 提示：（１）与“不一定所有数列都有通项公 式”一样，并不是所有的数列都有递推公式             ． !!&