6.3 函数的最值(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

2)x <s(0). 所以g()=子+2ac-(a+2) 即在(0， 2a+山）上甘'(x)<0即x)为诚函数. =2ar2-(a+2)x+l_(aw-1)(2x-) 故在0， 24+山上x)<f0)=0,不合题意，舍. 令g()=0,解得x=。或x=之， 当a≥0，此时s'(x)<0在(0，+0)上恒成立， 同理可得在(0，+）上f代x)<f(0)=0恒成立，不合题意， ①当片>分，即0<a<2时， 合：综上，a≤-2 1 若8()>0，解得0<x<号或x>。,函数g)单调递增，若 练案[20] g国<0，解得<<函数单润港就 A组·基础自测 1.Ay'=62-6x-12,由y'=0=x=-1或x=2(舍去).x= 所以g()=（）=1+n 1 -2时y=1:x=-1时y=12:x=1时y=-8. +a京-(a+2) 六ymm=12,ymn=-8.故选人 -In a-1 2.AD因为)=+之-4，eR 年-(a+2)×2 =-ln2 所以f"(x)=3x2+x-4, 令f'(x)=3x2+x-4=0,即(3x+4)(x-1)=0,解得x1= 3书=1， ②当。<分即a>2时， 所以当xe(-,-号）xe(山，+)时f"(>0,当xe 若g()>0,解得0<x<亡或x>宁函数)单调递媚，若 (-号时)<0， g()<0,解得片<x<子，函数)单调递减 1 4 所以)的单调递增区间为一，一专)和(1，+)单调 所以g(=-ha-日 递减区间为(-子，则(x)有两个极值点，B正确：且当x=1 a=(分）-h2- 时，代x)取得极小值，A正确： ③当片=分闻a=2时g)≥0恒成立，8)在(0，+×) 所以极小值为1)=一子，C错误： 又f0)=0,f(2)=2,所以f八x)在[0,2]上的最大值为2，D 上单调递增. 正确. 所以函数无极值 3.By'=e-x·e=e(1-x),令y'=0, C组·创新拓展 (1)当a=-2时x)=(1+2x)ln(1+x)-x, x=1.r0)=04)=1)=e1=5, 故')=2h1+)+-1=2h1+)-++l. ! 代1)为最大值.故选B 1+x 4.C 因为y=2h1+)=++1在(-山，+如)上为增 依题可知'(x)=ae-上≥0在(1,2)上恒成立，显然 函数， a>0.所以≥ 故f'(x)在(-1，+e)上为增函数，而f'(0)=0, 设g(x)=xe,xe(1,2),所以g'(x)=(x+1)e>0, 故当-1<x<0时∫'(x)<0,当x>0时∫'(x)>0, 所以g(x)在(1,2)上单调递增， 故爪x)在x=0处取极小值且极小值为尺0)=0，无极大值 8)>g()=6,故e≥，即a≥ se-l, (2)f"(x)=-aln(1+)+1-1=-alh(1+x) 即a的最小值为e,故选C (a+),x>0, 5.ACD对A,因为函数x)的定义域为R而∫'(x)=2(x-I) 1+x (x-4)+(x-1)2=3(x-1)(x-3), 设4（到=-h1+）-9>0, 易知当xe(1,3)时f'(x)<0,当x∈(-，1)或xe(3, +e)时f'(x)>0 期(x)=+ (a+1) =-a(x+1)+a+1 (1+x) (1+x) 函数x)在(-，1)上单调递增，在(1,3)上单调递减，在 ax+2a+l (3,+)上单调递增，故x=3是函数爪x)的极小值点，正确： (1+x) 对B,当0<x<1时，x-x2=x(1-x)>0,所以1>x>x2>0, 当a≤-时()>0，放()在(0，+)上为增函数 而由上可知，函数fx)在(0,1)上单调递增，所以x)> f八x),错误： 故s(x)>s(0)=0,即f'(x)>0. 对C,当1<x<2时，1<2x-1<3,而由上可知，函数f(x)在 所以x)在[0，+)上为增函数，故x)≥代0)=0. (1,3)上单湖递减， 当-<a<0时，当0<<2a+时x)<0, 所以f(1)>2x-1)>3).即-4<f2x-1)<0,正确： 0 对D,当-1<x<0时f(2-x)-f代x)=(1-x)(-2-x)- 故()在0，-2上为减数，故在(0,0。出上() (x-1)2(x-4)=(x-1)(2-2x)>0. 所以f2-x)>x),正确： -175 故选ACD f八3)=-3+3×3+9×3+e=e+27. 6.32令f'(x)=3x2-12=0,得x=-2或x=2. 若函数(x)的图象与x轴有三个交点， 列表得： ,解得-27<c<5. -3(-3.-2 -2 （-2,2 (2.3)3 则代”756 即e的范周是(-27,5) f'() + 0 + B组·能力提升 x)17 极大值24 极小值-8才 :1.D 根据条件可得f‘(x)▣。-1， 可知M=24,m=-8,∴.M-m=32 7.-3令f'(x)=e+(x+a)e=(x+a+1)e=0,解得x= 令f'(x)=0可得x=e, -a=1. 则当0<x<e时，f'(x)>0f(x)单调递增，当e<x≤2e时， 依题意代-a-1)=-e-=-e2,解得a=-3,经检验符 ∫'(x)<0,(x)单调递减：测当x=e时，八x)取极大值也为最 合题意 大值，所以fx)=f八e)=elne-e=0. 8(-4,-2)f'(x)=m-2x,f'(x)=0,得x=受 2.Af"(x)=(x+2 (x+2)2 令f'(x)>0.解得：x>-1. 由题设得-2<受<-1，故me(-4,-2) 令f'(x)<0,解得：x<-1. 9.(1)fx)=ax2+bc+c,f'(x)=3a2+b, 故x)在(-2，-1)递减，在(-1，+∞)递增， ,x)在点x=2处取得极值c-16. 若f八x)在(-2，a)有最小值， f'(2)=0, 则a>-1,故选A f2)=e-16 3.C函数fx)=-x+3br, g12a+6=0. f'(x)=-3x2+3h, 18a+2b+e=e-16. 令f'(x)=0,当b>0时，可得x=±6， 化商件化0 xe(-∞，-)，x∈(B,+)'(x)<0,函数是减函数，则 函数的极大值：f(6)=2bB, 解得化出2 当xe[0,1]时，尺x)的值城为[0,1] (2)由(1)知fx)=x-12x+c,f'(x)=3x2-12, 可知6≤1时瓜=26瓜，解得6= 2 令f'(x)=0,得x1=-2,=2, 当b≥1时f代1)=-1+3b=1,无解. 当x后（-，-2)或x后(2，+)时，f'(x)>0,fx)在 当b≤0时，xe[0,1]时(x)的值域为[0,1，不成立： (-,-2)和(2，+）上为增函数， 函数f八x)=-x+3bx,当x∈[0,1]时，f八x)的值域为[0， 当x∈(-2,2)时f'(x)<0,f(x)在(-2,2)上为减函数 由此可知fx)在x1=-2处取得极大值八-2)=16+c,代x) ,则4的值空。 在=2处取得极小值f(2)=c-16,由题设条件知16+c= 故选C 28得c=12, 此时f(-3)=9+c=21,f(3)=-9+e=3,f(2)=c-16= 4.2-2m2+2a令F"(x)=1-2--2=0得x=2. -4, 当xe(0,2)时F"(x)<0,当xe(2,+0)时，F(x)>0. 因此fx)在[-3,3]的最小值为2)=-4. .当x=2时F(x)m=F(2)=2-2ln2+2a 10.(1)由f八x)=-x3+ar2+br+c可得f'(x)=-3x2+2ux5.[e,+)fx)≥2即a≥2x2-2xmx +. 令g(x)=2x2-2x21nx,x>0,则g'(x)=2x(1-2nx) 因为f'(-1)=0f'(2)=9, 由g'(x）=0得x=e子。 所以(29y解得a=3=9 且0<x<e时，g'(x)>0:当x>e时g'(x)<0, 所以f(x)=-x3+3x2+9x+e.f'(x)=-3x2+6x+9= x=ei时，g(x)取最大值g(e)=e,a≥e -3(x2-2x-3) 6.函数x)=lnx+4的定义域为(0，+x), 由f'(x)>0,即x2-2x-3<0,可得-1<x<3: 由f'"(x)<0,即x2-2x-3>0,可得x<-1或x>3 f"(x)=⊥ 所以f(x)的单调递增区间为(-1,3)，单调递减区间为 (-0,-1)和(3，+). (1)a<0,∴f'(x)>0, (2)由(1)知x)在[-2，-1)上单调递减，在(-1,2]上单 故函数在其定义域(0，+)上单调递增 (2)xe[1,e]时，分如下情况讨论： 调递增. 所以当x=-1时代x)取得极小值f-1)=-(-1)户+3× ①当a<1时f'(x>0,函数f几x)单调递增，其最小值为r1) (-1)2+9×(-1)+c=c-5, =a<1,这与函数在[1，]上的最小值是子相矛盾。 f-2)=-(-2)3+3×(-2)2+9×(-2)+c=e+2 ②当a=1时，函数f代x)在[1，e]上单调递增，其最小值为代1) f2)=-2'+3×22+9×2+c=c+22. 则f(x)在区间[-2,21上的最大值为f(2)=c+22=20.所 =1,同样与最小值是号相矛唇。 以c=-2. ③当1<a<e时，函数f代x)在[1，a)上有f'(x)<0,x)单调 (3)由(1)知当x=-1时.(x)取得极小值f八-1)=-(-1)3 递减，在(a,e]上f'(x)>0f(x)单调递增，所以，函数f八x) +3×(-1)+9×(-1)+e=c-5: 当x=3时八x)取得极大值 的最小值为a)=na+1,由na+1=2,得a=2 176 ④当a=e时，函数f(x)在[1，e】上有f'(x)<0,八x)单调递 所以=m2=号x5×8=1601 减，其最小值为©)=2，这与最小值是号相矛盾。 6.40由题设知y'=x2-39x-40. ⑤当a>e时，显然函数f八x)在[1，e]上单调递诚，其最小值为 令y>0,解得x>40或x<-1, 尺e)=1+日>2，仍与最小值是之相矛盾： 故隔数y=宁-碧-0(x>0)在[40，+)上递增， 综上所述，a的值为E 在(0,40)上递减.所以当x=40时，y取得最小值 组·创新拓展 由此得为使耗电量最小.测其速度应定为40， A设P(x,y),则点P关于原点的对称点为（一x,-y）, 7.3设圆柱的底面半径为R,母线长为L,则V=RL=27π，所 p=x+-2 以L~是要使用料最省，只西使圆性表面积最小，因为5。一 所以 y=-e…+a' -x 成2肚=术+(R0). 因为存在这样的点P使得点P关于原点O的对称点在曲线y 所以S表(R)=2mR-54,令S表(R)=0,得R=3,所以当R =g(x)上， R 所以x+-2=e”+二行解，所以+1-2x-a=0,所 =3时，S最小 以(x-12-a=xe,令h(x)=(x-1)2-a, 80ems设水深为h时，水面半径为r, 9π 所以h(x)在x=1处取得最小值，且h(1)=-a,令t(x)= xe,f'(x)=e”-xe=e'(1-x), 则=所以r=, 当x<1时，'(x)>0,当x>1时，'(x)<0, 经过s后，水的体积为20 所以(x)在(-，1)上单调递增，在(1，+)上单调递减， 则=写含利点 所以(x)在x=1取得最大值()=1×e=上，因为方程 即h()= 20×64, 有解， N3 所以h(1)≤(1)，即-a≤上，所以a≥一上，所以a的最小 所以h'(t)= 120×64/20×64. 3 值为-日 又h=4时，r= ,=3m 练案[21] 所以=费)小-是 A组·基础自测 LB某导体的电量g在5s时的瞬时变化率就是第5s时的电 9.(1)x从0分钟变化到36分钟，y关于x的平均变化率为 流强度， 36)-f02=12=L 36-0 =36=3 因为g=4+3,所以当t=5时，电流强度为4×5+3=23(C/s) 2B设矩形的长为，则宽为32.4-x,所以矩形面积为S 它表示该考生前36分钟平均每分钟解答完}道题 =x(4-x)=-x2+4x(0<x<4),所以S=-2x+4,令S= (2)f'()= 左f6)=ga0)0 0,得x=2,所以矩形的最大面积为5=2(4-2)=4. 3.D设两段长分别为xem,(12-x)cm,这两个正三角形的边 它们分别表示该考生在第64分钟和第100分钟时每分钟可 长分别为青cm,2m,面积之和为S(x):夏 解答号道题和。道题 4 10.设C点D点xkm,则AC=50-x(km). [(+(4-门号-警+16 所以BC=√BD+CD=R+40(km). 又设总的水管费用为y元， 令)=（台-号）-0，解得=6则x=6是80的极 依题意，得y=3a(50-x)+5a√+40(0<x<50). 小值点，也是最小值点， y'=-3a+ 5ax /x2+40 所以S(x)=S(6)=25cm2 4D由题意，总利润 令y=0,解得x=30,y'>0,30<x<50,函数单嗣递增，y'< 0,0<x<30,函数单调递减， P(x)= 900+300r-20000.0≤r≤390. 在(0,50)上，y只有一个极小值点，根据问题的实际意义，函 70090-100x,x>390 数在x=30km处取得最小值，此时AC=50-x=20(km), 故供水站建在A,D之间距甲厂20km,可使水管费用最省. ,P(x)= 30+300,0≤r≤390， B组·能力提升 -100,x>390 :1.C 瞬时变化率即为f'(x)=x-2x,为二次函数，且f'(x)= 令P(x)=0,得x=300,经检验当x=300时总利润最大，故 (x-1)2-1,又xe[0,5], 选D. 放x=1时，f'(x)mn=-1. 5AC0)=1+.则()=()=1+ 2.D设圆锥的高为x,则底面半径为√20-，其体积为= 当=7时，=8， 号(40-).0<x<20,P=}(400-32).令P=0,解 -177练案［２０］ 第二章　 导数及其应用 § ６　 ［６． ３　 函数的最值］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ２ｘ３ － ３ｘ２ － １２ｘ ＋ ５在［－ ２，１］上的最 大值、最小值分别是 （Ａ ） Ａ． １２；－ ８ Ｂ． １；－ ８ Ｃ． １２；－ １５ Ｄ． ５；－ １６ ２．（多选）已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ １２ ｘ ２ － ４ｘ，则 （Ａ ） Ａ． ｘ ＝ １是ｆ（ｘ）的极小值点 Ｂ． ｆ（ｘ）有两个极值点 Ｃ． ｆ（ｘ）的极小值为１ Ｄ． ｆ（ｘ）在［０，２］上的最大值为２ ３．函数ｙ ＝ ｘｅ － ｘ，ｘ∈［０，４］的最大值是（Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． １ｅ Ｃ． ４ ｅ４ Ｄ． ２ ｅ２ ４．（２０２３·新高考Ⅱ卷）已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｅｘ － ｌｎ ｘ在区间（１，２）上单调递增，则ａ的最小值 为 （Ｃ ） Ａ． ｅ２ Ｂ． ｅ Ｃ． ｅ －１ Ｄ． ｅ －２ ５．（多选）（２０２４·新课标Ⅰ卷）设函数ｆ（ｘ）＝ （ｘ － １）２（ｘ － ４），则 （　 　 ） Ａ． ｘ ＝ ３是ｆ（ｘ）的极小值点 Ｂ．当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ（ｘ）＜ ｆ（ｘ２） Ｃ．当１ ＜ ｘ ＜ ２时，－ ４ ＜ ｆ（２ｘ － １）＜ ０ Ｄ．当－ １ ＜ ｘ ＜ ０时，ｆ（２ － ｘ）＞ ｆ（ｘ） 二、填空题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － １２ｘ ＋ ８在区间［－ ３，３］ 上的最大值与最小值分别为Ｍ，ｍ，则Ｍ － ｍ ＝ ３２　 　 ． ７．已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ ＋ ａ）ｅｘ的最小值为－ ｅ２， 则ａ的值为－ ３　 　 ． ８．已知ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ ｍｘ ＋ １在区间［－ ２，－ １］ 上的最大值就是函数ｆ（ｘ）的极大值，则ｍ的 取值范围是（－ ４，－ ２）　 ． 三、解答题 ９．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ｂｘ ＋ ｃ在ｘ ＝ ２处取得 极值为ｃ － １６． （１）求ａ，ｂ的值； （２）若ｆ（ｘ）有极大值２８，求ｆ（ｘ）在［－ ３，３］上 的最小值                                                                ． —１１６— １０．设函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的导数 ｆ ′（ｘ）满足ｆ ′（－ １）＝ ０，ｆ ′（２）＝ ９． （１）求ｆ（ｘ）的单调区间； （２）ｆ（ｘ）在区间－ ２，[ ]２ 上的最大值为２０，求 ｃ的值； （３）若函数ｆ（ｘ）的图象与ｘ轴有三个交点， 求ｃ的范围． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．函数ｆ（ｘ）＝ ｅｌｎ ｘ － ｘ在（０，２ｅ］上的最大值为 （Ｄ ） Ａ． １ － ｅ Ｂ． － １ Ｃ． － ｅ Ｄ． ０ ２．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｘ ＋ ２在（－ ２，ａ）上有最小值，则 ａ的取值范围为 （Ａ ） Ａ．（－ １，＋ ∞） Ｂ．［－ １，＋ ∞） Ｃ．（０，＋ ∞） Ｄ．［０，＋ ∞） ３．设函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ３ ＋ ３ｂｘ，当ｘ∈［０，１］时， ｆ（ｘ）的值域为［０，１］，则ｂ的值是 （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ． ３槡２ ２ Ｄ． ３槡４ ２ 二、填空题 ４．若Ｆ（ｘ）＝ ｘ － ２ｌｎ ｘ ＋ ２ａ，则Ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞） 上的最小值是２ － ２ｌｎ ２ ＋ ２ａ　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｌｎ ｘ ＋ ａ ｘ２ （ａ ＞ ０）．若当ｘ∈ （０，＋ ∞）时，ｆ（ｘ）≥２恒成立，则实数ａ的取 值范围是［ｅ，＋ ∞）　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ ａｘ ． （１）当ａ ＜ ０时，求函数ｆ（ｘ）的单调区间； （２）若函数ｆ（ｘ）在［１，ｅ］上的最小值是３２，求 ａ的值． Ｃ组·创新拓展 设函数ｆ（ｘ）＝ｘ ＋ １ｘ －２，ｇ（ｘ）＝ －ｅ ｘ ＋ ａｘ（ａ∈Ｒ）， 若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上存在一点Ｐ，使得点Ｐ关于 原点Ｏ的对称点在曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）上，则ａ （Ａ ） Ａ．有最小值－ １ｅ Ｂ．有最小值 １ ｅ Ｃ．有最大值－ １ｅ Ｄ．有最大值 １                                                                      ｅ —１１７—