6.1 函数的单调性(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

成立,即&-2x在(1,+)上恒成立,所以&[-2. +x). 3.B 由/(x)的图象可得,在y轴的左侧,图象下降/(x)递减, 2.D方法一:依题意有/'(x)= 即有导数小干0.可排除C.D: 再由y轴的右侧,图象先下降再上升,最后下降。 函数/(x)递减,再递增,后递减。 2x 即有导数先小于0,再大于0,最后小于0. 1-(2x)·nx 可排除A;则B正确. 故选B. 2r 故()-2-2-2+tn2. 2x× 1 (0.4)上是减函数. 所以有/(2)>f(e)>/(3). 5.AB 设g(x)=e·f(x). #1.-+.n g(x)-e·2*=()在定义域B上是增函数,故A正确; g()=(+2)e’,g'(x)=(+2x+2)'=[(+1)2+1]e >0.所以g(x)在定义域B上是增函数,故B正确; #()2 g(x)-e·3”-()在定义域R上是减函数,C不正确; 2 g(x)-e·cosx,则g(x)-v2e'co+)g'(x)>0在定 3.C/(t)-1.(1) 2 义域B上不恒成立,D不正确 过6.(-×,-)(1.+*)由y'--'(x)=3- 2+1 2-1-3(+)(x-1). -2- 21)+1 (_2 令f'(x)>0.解得x>1或x<- 函数(x)的单调递增区间是(-×,-).(1,+). 4.3/./(x)=f()sin 3x+ cos3x, 过选7() ./'(x)=/()·3eos3x-3sin3x. 函数y=x+2eos x.y'=1-2sinx<0 令x=可得/()-/'()x3eos-3sin吾 -3()-3x解得/()-3、. 又x=[0,2n]. x(),故答案(5). 5.2y=e".(ax)'=ae". 8.[e,+x)由题意知f'(x)=e-a<0在(-2.3)上恒 &曲线y=e”在点(0.1)处的切线的斜率k=a.由题意得ax 成立. (-)--1.a=2. 'ae在xe(-2.3)上恒成立. .-2<x<3*<e'<e,只需ae. 6. 由y'=(ecos 3x)'=(e*)'cos 3x+e*(cos 3x)' 当a=e时f'(x)=e'-e在xe(-23)上f'(x) 0. -2 eos 3x+e(-3sin 3x)=e*(2cos 3x-3sin 3x). 即/(x)在(-2.3)上为减函数. 得y'1.。=2.则切线方程为y-1=2(x-0).即2x-y+1=0 若直线/与切线平行,可设直线/的方程为2x-y+c=0. .. 两平行线间的距离d-l-1l-v5.得e=6或e--4. 9.(1)函数的定义域为D=(0.+×). 5 故直线/的方程为2x-y+6=0或2t-v-4=$ C组·创新拓展 用x:分割定义域D,得下表: (0.) 2 由题可得 ) 。x (,) /(x) ( 0 f(x) 练案[18] .函数/(t)的单调减区间为(0.).单调递增区间 A组·基础自测 1.B 对于B.y=xe.则'=e'y=xe在R上为增函数,在$ 为({},) (0.+x)上也为增函数,选B. (2)函数的定义域为D=(-x,+x). #2 'f'(x) =(x)'e*+x(e)=2xe-x2e -172- =e”'(2x-2). 过5.[-1,1]/'(x)-3)(r+1) 令f'(x)=0,由于0.x.=0.=. 。 用x;t分割定义域D.得下表: 令广'(x)<0,解得:-1<x<3. (-×.0)0 (0.2) (2.+x) 故/(x)在(-1,3)上递减,故(m,m+2)C(-1,3). 1 /'() 0 _ /(x) ~ 6.(1)因为/f(x)=x-r'“,xeR. 2./(x)的单调递减区间为(-,0)和(2.+).单调递增区 所以f'(x)=1-(3x+ar)e“ 间为(0,2). 因为/(x)在(1/f(1))处的切线方程为y=-x+1 10.函数/(x)=k-lnx的定义域为(0.+x). 所以/(1)=-1+1=0f(1)=-1. /'(t)=-1-- r1-1xe*=0. 解得[=~1. 11-(3+a)e--1.' =1. 当k0时,k-1<0/(x)<0. 所以a=-1.b=1. 则/(x)在(0.+x)上单调递减. (2)由(1)得g(x)=f(x)=1-(3-x)e(xeR). 当>o时,由f'(x)c0.即-1co. 则g'(x)--x(-6x+6)e*1. 解得。。# $令-6+6=0,解得x=3+3.不妨设x=3-,x=3+ ③.则0xx. 由”(1)o.即-10.解得x>士 易知。”>0恒成立. 所以令g'(x)<0,解得0<x<x.或x>x; .当k>0时(x)的单调通减区间为(0.). 令g’(x)>0,解得x<0或x.<x<x: 单调递增区间为(*) 所以g(x)在(0,x.),(x,+×)上单调递减,在(-×,0) (x,)上单调递增. 综上所述,当k<0时、/f(x)的单调递减区间为(0.+),无 即g(x)的单调递减区间为(0.3-3)和(3+3.+x).单调递增 单调递增区间; 区间为(-0)和(3-33+③). 当 >0时J(x)的单调递减区间为(0.).单调递增区间 C组·创新拓展 当→o时.[()# 为() (-*.-2)U(0.2) 2 c0. B组·能力提升 .(t)-x)在(0.+*)上为减函数, 1.D 根据题意知/'(t)-a*+2x+a,若函数/(x)-3ax+ 又/(2)=0.即(2)=0 +ax+1有三个不同的单调区间,则/'(x)=ax+2x+a=0 .在(0,+x)上,当且仅当0<x<2时,(x)>0. 有两个不相等的实根,A=4-4a>0.且a×0. 解得-1<a<1,且az0. 此时x/f(x)>0.又f(x)为奇函数,.h(x)=xf(x)也为奇 故实数a的取值范围是(-1.0)U(0,1). 丽数 2.B 由题意可得f'(x)=sinx+a→o恒成立,故a-sinx恒 由数形结合知x=(-,-2)时/f(x)>0 成立,因为-I<-sinxs1.所以a>1.故选B 故x×f(x)>0的解集为(-x,-2)U(0.2). 3.D 构造函数g(x)-(x).则 练案[19] sinx' A组·基础自测 &'(t)(x)sinx-f(x) os x 1.B 根据导数的性质可知,若函数y=/(x)在这点处取得极 sint 值,则/'(x)=0.即必要性成立;反之不一定成立,如函数/f(x) 由已知可得,当xs0.是)时/(x)sinx-f(x)oos x>0. =x在R上是增函数/'(x)=3x,则/'(0)=0,但在x=0处 函数不是极值,即充分性不成立. 所以g'(x)>0,g(x)为增函数. 故函数y=/(x)在某点处的导数值为0是函数y=/(x)在这 所以(-)#a()#{#() 点处取得极值的必要不充分条件,故选B # $ .B f'(x)=I-2sinx.令f'(x)=0. 因为xeo”,所以x吾,当xe吾)时 所以()() /'(x)<0,当xe(o.)时/'(x)>0. 4.(-×,-1)U(0.1)由xf'(x)<0.可得 ##_ 所以吾是/(x)在o."上的极大值点 由题图可知当-1<x<1时.f(x)单调递减,3.C函数f(x)在R上可导,其导函数为f'(x),且函数f(x) f'(x)<0,当x<-1或x>1时/(x)单调递增f(x)>0.则 在x=-2处取得极小值. 当x-2时f'(x)>0;当x=-2时f(x)=0;当x-$ 解得0<x<1或x<-1. 时/(x)c0. &xf(x)<0的解集为(-×,-1)U(0.1). .当x>0时,f'(x)>0;当-2<x<0时,f'(x)<0;当x= -173-练案［１８］ 第二章　 导数及其应用 § ６　 ［６． １　 函数的单调性］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列函数中，在（０，＋ ∞）内为增函数的是 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘｅ２ Ｃ． ｙ ＝ ｘ３ － ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｌｎ ｘ － ｘ ２．若函数ｈ（ｘ）＝ ２ｘ － ｋｘ在（１，＋ ∞）上是增函 数，则实数ｋ的取值范围是 （Ａ ） Ａ．［－ ２，＋ ∞） Ｂ．［２，＋ ∞） Ｃ．（－ ∞，－ ２］ Ｄ．（－ ∞，２］ ３．设ｆ（ｘ）在定义域内可导，其图象如图所示，则 导函数ｆ ′（ｘ）的图象可能是 （Ｂ ） ４．已知函数ｆ（ｘ）＝槡ｘ － ｌｎ ｘ，则有 （Ｃ ） Ａ． ｆ（２）＜ ｆ（ｅ）＜ ｆ（３） Ｂ． ｆ（ｅ）＜ ｆ（２）＜ ｆ（３） Ｃ． ｆ（３）＜ ｆ（ｅ）＜ ｆ（２） Ｄ． ｆ（ｅ）＜ ｆ（３）＜ ｆ（２） ５．（多选）若函数ｅｘ ｆ（ｘ）（ｅ ＝ ２． ７１８ ２８……是自 然对数的底数）在ｆ（ｘ）的定义域上单调递增， 则称函数ｆ（ｘ）具有Ｍ性质，下列函数中具有 Ｍ性质的是 （Ａ ） Ａ． ｆ（ｘ）＝ ２ － ｘ Ｂ． ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ Ｃ． ｆ（ｘ）＝ ３ － ｘ Ｄ． ｆ（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ 二、填空题 ６．函数ｙ ＝ ｘ３ － ｘ２ － ｘ的单调增区间为　 　 　 　 　 ． ７．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｃｏｓ ｘ（０≤ｘ≤２π）的单调递 减区间为　 　 　 　 　 ． ８．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ － ａｘ － １在区间（－ ２，３）上为 减函数，则ａ的取值范围为［ｅ３，＋ ∞）　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的单调区间： （１）ｆ（ｘ）＝ ３ｘ２ － ２ｌｎ ｘ； （２）ｆ（ｘ）＝ ｘ２·ｅ － ｘ ． １０．讨论函数ｆ（ｘ）＝ ｋｘ － ｌｎ ｘ的单调区间                                                                ． —１１２— Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知定义在Ｒ上的函数ｆ（ｘ）＝ １３ ａｘ ３ ＋ ｘ２ ＋ ａｘ ＋１有三个不同的单调区间，则实数ａ的取值 范围是 （Ｄ ） Ａ．（－ ∞，－ １）∪（１，＋ ∞） Ｂ．［－ １，０）∪（０，１］ Ｃ．（－ １，１） Ｄ．（－ １，０）∪（０，１） ２．若函数ｆ（ｘ）＝ － ｃｏｓ ｘ ＋ ａｘ为增函数，则实数 ａ的取值范围为 （Ｂ ） Ａ．［－ １，＋ ∞） Ｂ．［１，＋ ∞） Ｃ．（－ １，＋ ∞） Ｄ．（１，＋ ∞） ３．已知定义在０，π( )２ 上的函数ｆ（ｘ），ｆ ′（ｘ）是它 的导函数，且恒有ｆ（ｘ）＜ ｆ ′（ｘ）ｔａｎ ｘ成立，则 （Ｄ ） Ａ．槡３ｆ π( )４ ＞槡２ｆ π( )３ Ｂ． ｆ（１）＜ ２ｆ π( )６ ｓｉｎ １ Ｃ．槡２ｆ π( )６ ＞ ｆ π( )４ Ｄ．槡３ｆ π( )６ ＜ ｆ π( )３ 二、填空题 ４．在Ｒ上可导的函数ｆ（ｘ）的图象如图所示，则 关于ｘ的不等式ｘ ｆ ′（ｘ）＜ ０的解集为（－ ∞，－ １）∪（０，１）　 ． ５．已知函数ｆ（ｘ）＝ ３ － ｘ ２ ｅｘ 在区间（ｍ，ｍ ＋ ２）上单 调递减，则实数ｍ的取值范围为［－ １，１］　 ． 三、解答题 ６．（２０２３·北京卷）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － ｘ３ｅａｘ ＋ ｂ，曲 线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１，ｆ（１））处的切线方程为ｙ ＝ － ｘ ＋ １． （１）求ａ，ｂ的值； （２）设函数ｇ（ｘ）＝ ｆ ′（ｘ），求ｇ（ｘ）的单调 区间． Ｃ组·创新拓展 设ｆ（ｘ）是定义在Ｒ上的奇函数，ｆ（２）＝０，当ｘ ＞ ０时，有ｘｆ ′（ｘ）－ ｆ（ｘ） ｘ２ ＜ ０恒成立，则不等式 ｘ２ｆ（ｘ）＞０的解集是（－∞，－２）∪（０，２）　                                                            ． —１１３—