5 简单复合函数的求导法则(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１７］ 第二章　 导数及其应用 § ５　 简单复合函数的求导法则 Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列函数不是复合函数的是 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ － ｘ３ － １ｘ ＋ １ Ｂ． ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ ＋ π( )４ Ｃ． ｙ ＝ １ｌｎ ｘ Ｄ． ｙ ＝（２ｘ ＋ ３） ４ ２．设ｆ（ｘ）＝ ｌｏｇ３（ｘ － １），则ｆ ′（２）＝ （Ｃ ） Ａ． ｌｎ ３ Ｂ． － ｌｎ ３ Ｃ． １ｌｎ ３ Ｄ． － １ ｌｎ ３ ３．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ（１ － ａｘ）２（ａ ＞ ０），且ｆ ′（２）＝ ５， 则ａ ＝ （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ４．曲线ｙ ＝ ｃｏｓ ２ｘ ＋ π( )６ 在ｘ ＝ π６处切线的斜率为 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． － ２ Ｃ． １２ Ｄ． － １ ２ ５．（多选）下列结论中不正确的是 （Ａ ） Ａ．若ｙ ＝ ｃｏｓ １ｘ，则ｙ′ ＝ － １ ｘ ｓｉｎ １ ｘ Ｂ．若ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ２，则ｙ′ ＝ ２ｘｃｏｓ ｘ２ Ｃ．若ｙ ＝ ｃｏｓ ５ｘ，则ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ５ｘ Ｄ．若ｙ ＝ １２ ｘｓｉｎ ２ｘ，则ｙ′ ＝ ｘｓｉｎ ２ｘ 二、填空题 ６．曲线ｙ ＝ ２ｌｎ（ｘ ＋ １）在点（０，０）处的切线方程 为ｙ ＝ ２ｘ　 ． ７．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅａｘ ＋ ｌｎ（ｘ ＋１），ｆ ′（０）＝４，则ａ ＝ ３　 　  ８．已知直线ｙ ＝ ｘ ＋ １与曲线ｙ ＝ ｌｎ（ｘ ＋ ａ）相切， 则ａ的值为２　 　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的导数： （１）ｙ ＝（１ ＋ ２ｘ２）８； （２）ｙ ＝ １ １ － ｘ槡 ２ ； （３）ｙ ＝ ｓｉｎ ２ｘ － ｃｏｓ ２ｘ； （４）ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ２ ． １０．已知ａ ＞ ０，ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ － ２ｘ ＋ １ ＋ ｌｎ（ｘ ＋ １），ｌ 是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ｐ（０，ｆ（０））处的切线， 求切线ｌ的方程． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知某函数的导数为ｙ′ ＝ １２（ｘ － １），则这个函 数可能是 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ ｌｎ １ －槡ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｌｎ １１ －槡ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｌｎ（１ － ｘ） Ｄ． ｙ ＝ ｌｎ １ｘ － １ ２．已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ２槡ｘ ，则ｆ ′ １( )２ ＝ （Ｄ ） Ａ． － ２ － ｌｎ ２ Ｂ． － ２ ＋ ｌｎ ２ Ｃ． ２ － ｌｎ ２ Ｄ． ２ ＋ ｌｎ ２ ３．设ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ２槡＋ １，则ｆ ′（２）＝ （Ｃ ） Ａ． ４５ Ｂ． １ ５ Ｃ． ２ ５ Ｄ． ３                                                                ５ —１１０— 二、填空题 ４．已知函数ｆ（ｘ）的导函数ｆ ′（ｘ），若ｆ（ｘ）＝ ｆ ′ π( )９ ·ｓｉｎ ３ｘ ＋ ｃｏｓ ３ｘ，则ｆ ′ π( )９ ＝ 　 　 　 　 ． ５．设曲线ｙ ＝ ｅａｘ在点（０，１）处的切线与直线ｘ ＋ ２ｙ ＋ １ ＝ ０垂直，则ａ ＝ ２　 　 ． 三、解答题 ６．曲线ｙ ＝ ｅ２ｘｃｏｓ ３ｘ在点（０，１）处的切线与直线 ｌ平行，且与ｌ的距离为槡５，求直线ｌ的方程． Ｃ组·创新拓展 我们把分子，分母同时趋近于０的分式结构 称为００型，比如：当ｘ→０时， ｓｉｎ ｘ ｘ 的极限即为 ０ ０型，两个无穷小之比的极限可能存在，也可 能不存在．早在１６９６年，洛必达在他的著作 《无限小分析》一书中创造一种算法（洛必达 法则），用以寻找满足一定条件的两函数之商 的极限，法则的大意为：在一定条件下通过对 分子、分母分别求导再求极限来确定未定式 值的方法． 如：ｌｉｍ ｘ→０ ｓｉｎ ｘ ｘ ＝ ｌｉｍｘ→０ （ｓｉｎ ｘ）′ ｘ′ ＝ ｌｉｍｘ→０ ｃｏｓ ｘ １ ＝ １，则 ｌｉｍ ｘ→０ ｅｘ ＋ ｅ － ｘ － ２ １ － ｃｏｓ ｘ ＝ ２　 　                                                                       ． —１１１— 所以y-受=号x-1. 六在=君处切线的斜*k=-2如2×若+君）=-2 所以面线y=÷在点(1，受)处的切线方程为y=宁+子5.AD对于A,y=士则y=之血子，故错误： e e 1 故选C 对于B,y=sin x2,则y'=2 xcos x2,故正确； 3D在等比数列a.中，a,=2,a4=8,所以aa=a,=16. 对于C,y=cos5x,则y'=-5sin5r,故错误： 函数(x)展开式是一个关于x的多项式，x的幂指数最高为 5,x的幂指数最低为1，且含x的系数为a144a4 对于D,y=7sin2x,则y=2in2x+00s2x,故错误 故f'(0)=aaa4=(a1·a4)2=162=2* 4.x-y-1=0f1)=0, 6y=2:y=名6=0子1=2所以切线方程为y-0 2 f'(x)=(xIn x)'=x'n x+x(In x)' 2(x-0),y=2x =Inx+l, 7.3由fx)=e"+ln(x+1), ·切线的斜米k=f"(1)=1, 得f(x)=ae”+x+ 1 六切线方程为y=x-1,即x-y-1=0 5.01由题意得f'(x)=x2-ar+b, f'(0)=4,.f'(0)=a+1=4, 由切点P0O)既在两数=了-受+c+e上又R2设切点为(o.则6=，+1，且=n+a. ∴.a=3 在切度y1上得化00 : 所以。+1=ln(x+a).① r0-m·0+6=0, 对y=hn(x+a)求导得ya则十a *1， 即 {5×0-受×0+b0+c=1, 即x。+a=1.② ②代入①河得0=-1， 解得b=0,c=1, 所以a=2. 6.设f代x)=ax++c(a0) 9.(1)设y=u,=1+2x2, 则f'(x)=2ar+6. y'=(u)'(1+2x2)'=8w7·4x 所以xf'(x)-(2x-1x)=x2(2ax+b)-(2x-1)·(ax2 =8(1+2x2)7·4x=32x(1+2x2)7 +x+C) (2)设y=u,u=1-x2, =(a-b)x2+(b-2c)x+c=1, ra-b=0, ra=2, 调y,=(u)'(1-x2) 所以6-2c=0,解得b=2, =((-2)=1-2)号 le=1, le=1, 所以fx)=2x+2x+1. (3)y.'=(sin 2x-cos 2x)' C组·创新拓展 =(sim2x)'-(c0s2x)' （1()=1+子g()=子，所以曲线y=)在=1 =2eus2x+2sin2x=2万m(2x+4） 处的切线的斜率为f‘(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线 (4)设y=c0su,=x2, 的斜率为g'(1)=-a, 则y,=(cos)'·(x2) 由已知，得f'(1)=g'(1),得a=-3. =-sin u)+2x=(-sin )2x (2)由题意，得1+子=-(x>0), =-2xsin x. 10.fx)=ax2-2x+1+ln(x+1).f0)=1. f'(0=2am-2+x 1 则a=--2≤-22，当且仅当x=2时，等号成立，故实数 a的取值范m为(-，-22]. -2+(2m-2x-1 x+1 练案[17] ∫'(0)=-1， A组·基础自测 .切点P的坐标为(0,1)，1的斜*为-1， 1,AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数“ .切线1的方程为x+y-1=0. =x+开，y=msu的复合函数，C中的函数可看作函数u=h名B组·能力提升 y=的复合函数D中的函数可看作函数u=2x+3,y: 1.A函数y=h个-x可以看作y=nu,u=F和=1-x的复 合两数， 的复合函数，故选A 心'=.·4·'=(h)·(而·(1-x)y=↓ 2cf')=x-1n3-l)'=x-n3 (分)(- f'(2)=n3 1 3.Af'(x)=(1-x)2-2ax(1-ax), “后2=（-1)2品2-4符合： ∴f'(2)=12a2-8a+1=5,a>0,解得a=1. y=In- =-n/1-x, 4B=-m(2x+君）(2+君) 1-x -2sm2x+） 六y2B不符合： y=ln(1-x)可以看作y=hu和u=1-x的复合函数 171 .=.=h01-r=（-)=c不符合： 成立，即k≥-2x2在(1，+0)上恒成立，所以k∈[-2. +3), y=h点=-h(x-1)y=点D不将合 3.B由f八x)的图象可得，在y轴的左侧，图象下降八x)递减， 即有导数小于0，可排除C,D: 2D方法一：依题意有f'(x)= 再由y轴的右侧，图象先下降再上升，最后下降， a-2分2)t 函数f八x)递减，再递增，后递减， 即有导数先小于0，再大于0，最后小于0， 2x 可排除A:则B正确， 上2-(2x)寺·hx 故选B 2x 故（告）242=2+h2 4C因为在区间0,4上)左士<0，所以在 (0,4)上是减函数。 感=爱号学号 所以有f2)>fe)>f3) 5.AB设g(x)=e'·fx), ()=心2=（分）在定义城R上是增函数，故A正确： g(x)=(x2+2)e,g'(x)=(x2+2x+2)e=[(x+1)2+1]e >0,所以g(x)在定义域R上是增函数，故B正确： () 2x号宁×xh =2+n2. g()=心·3=（行）在定义域R上是诚函数，C不正确： 2 g)=e·m,则g(x)=Eeco(x+年）g(x)>0在定 3Cf'(x)= 1 =·(+I) + 义域R上不恒成立，D不正确 √R+I2R+ ·(x2+1) 6(-,-）1,+）由y=-2-fP(到=32- 2 2x 2-1=3(x+写x-0. f'2)=号 ()>0,解得>1或x<-行 435)=f'(号）m3x+cos3x, 两数)的单调递增区间是(-云，一），（山，+。 f'(x)=f'(号）·3cos3x-3sm3x. 7(活裙）两数y=+2my=1-2.血x<0, 令=号可得f'(得）=f(号）×3号-3如号 inx>交 又xe[0,2m】, 多（号）-3×号解得（号）-3a x(无)，故答案为) 5n2y'=e"·(ax)'=ae", 8.[e,+)由题意知，f'(x)=e-a≤0在(-2,3)上回 ∴曲线y=e“在点(0,1)处的切线的斜率k=a,由题意得a× 成立。 (-）=-1a=2 .a≥e'在x∈(-2,3)上恒成立 -2<x<3,.e2<e<e3,只需a≥e2 6.y'=(e"cos 3x)'=(e2 )'cos 3x+e"(cos 3x)' 当a=e3时f'(x)=e-e2在xe(-2,3)上f'(x)<0, =2ecos3x+e(-3sim3x）=e(2cos3x-3sin3x）, 即x)在(-2,3)上为减函数， 得y1,0=2,则切线方程为y-1=2(x-0),即2x-y+1=0. .a≥e. 若直线1与切线平行，可设直线1的方程为2x-y+c=0, 9.(1)函数的定义域为D=(0,+e) 两平行线间的离d=lc-=5,得c=6或c=-4 5 f(到=6x-2,令f'=0,得，=号 故直线1的方程为2x-y+6=0或2x-y-4=0. 用x分制定义域D,得下表： C组·创新拓展 2由题可得 x 3 (e+e-2)y o 停+ f'(x) 0 代-2 f(x) 练案[18] A组·基础自测 “函数()的单调递诚区间为(0得) 单调递增区间 1.B对于B,y=xc2,则y'=e,y=xe2在R上为增函数，在 (0,+)上也为增函数，选B. 为停+ 2A根据条件得'(x)=2+专.22+5≥0在(1，+0)上恒 (2)函数的定义域为D=(-,+). 2 f'(x)=(x2)'e+x2(er)'=2xe-x2e3 172