4 导数的四则运算法则(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１６］ 第二章　 导数及其应用 § ４　 ［４． １　 导数的加法与减法法则　 ４． ２　 导数的乘法与除法法则］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．函数ｙ ＝ ｃｏｓ ｘｘ 的导数是 （Ｃ ） Ａ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ ｘ２ Ｂ． ｙ′ ＝ － ｓｉｎ ｘ Ｃ． ｙ′ ＝ － ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ Ｄ． ｙ′ ＝ － ｘｃｏｓ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ ｘ２ ２．函数ｙ ＝（ｘ － ａ）（ｘ － ｂ）在ｘ ＝ ａ处的导数为 （Ｄ ） Ａ． ａｂ　 　 　 　 Ｂ． － ａ（ａ － ｂ） Ｃ． ０ Ｄ． ａ － ｂ ３．若过函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ ａｘ上的点Ｐ的切线与 直线２ｘ － ｙ ＝ ０平行，则实数ａ的取值范围是 （Ｂ ） Ａ．（－ ∞，２］ Ｂ．（－ ∞，２） Ｃ．（２，＋ ∞） Ｄ．（０，＋ ∞） ４．函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ ＋ ｘｓｉｎ ｘ － ７ｘ在ｘ ＝ ０处的导数 等于 （Ａ ） Ａ． － ６ Ｂ． ６ Ｃ． － ４ Ｄ． － ５ ５．（多选）若存在过点Ｏ（０，０）的直线ｌ与曲线 ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ ＋ ２ｘ和ｙ ＝ ｘ２ ＋ ａ都相切，则ａ 的值可以是 （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． １６４ Ｃ． １ ３２ Ｄ． － １ ６４ 二、填空题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｆ ′（－ ２）ｅｘ － ｘ２，则ｆ ′（－ ２） ＝ 　 　 　 　 ． ７．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ，则ｆ ′ π( )２ 的值 为０　 　  ８．函数ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ － ｃｏｓ ｘ２ｃｏｓ ｘ 在ｘ ＝ π ３处的导数为２　 　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的导数： （１）ｙ ＝ ｘｅｘ； （２）ｙ ＝ ２ｘ ｘ２ ＋ １ ； （３）ｙ ＝ ｘｓｉｎ ｘ － ２ｃｏｓ ｘ． １０．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅ ｘ ｘ在ｘ ＝ ｃ处的导数值与函数 的值互为相反数，求ｃ的值． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知ｆ（ｘ）＝ １４ ｘ ２ ＋ ｃｏｓ ｘ，ｆ ′（ｘ）为ｆ（ｘ）的导函 数，则ｆ ′（ｘ）的图象是 （Ａ ）                                                                —１０８— ２． （２０２３·全国甲卷）曲线ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １在点 １，ｅ( )２ 处的切线方程为 （Ｃ ） Ａ． ｙ ＝ ｅ４ ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｅ ２ ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｅ４ ｘ ＋ ｅ ４ Ｄ． ｙ ＝ ｅ ２ ｘ ＋ ３ｅ ４ ３．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，ａ４ ＝ ８，函数ｆ（ｘ） ＝ ｘ（ｘ － ａ１）（ｘ － ａ２）…（ｘ － ａ４），则ｆ ′（０）＝ （Ｄ ） Ａ． ０ Ｂ． ２０ Ｃ． ２４ Ｄ． ２８ 二、填空题 ４．曲线ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ ｘ在点（１，ｆ（１））处的切线方 程为ｘ － ｙ － １ ＝ ０　 ． ５．设函数ｆ（ｘ）＝ １３ ｘ ３ － ａ２ ｘ ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ，其中ａ ＞ ０， 曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点Ｐ（０，ｆ（０））处的切线方程 为ｙ ＝ １，则ｂ ＝ ０　 　 ，ｃ ＝ １　 　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）是关于ｘ的二次函数，ｆ ′（ｘ）是 ｆ（ｘ）的导函数，对一切ｘ∈Ｒ，都有ｘ２ ｆ ′（ｘ）－ （２ｘ － １）·ｆ（ｘ）＝ １成立，求函数ｆ（ｘ）的解 析式． Ｃ组·创新拓展 已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ － ２ｘ，ｇ（ｘ）＝ ａ（２ － ｌｎ ｘ）． （１）若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）与曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）在ｘ ＝ １ 处的切线的斜率相同，求ａ的值； （２）若存在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）与曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）在同 一点处的切线的斜率相同，求实数ａ的取值 范围                                                                       ． —１０９— 即y= 1 eln 2. 所以直线！的方程为了=一子 (2)过点4分-，a2.1)的直线的斜*为e=号 1 由 得2+子+a=0 假设存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行，设点P(n, ly=x+a. bg,≤n2. 由题意得4=6-4如=0.所以a= 1 则有山2分得n=记 4 综上得a=1或a= 1 又对=ln6<n2<ne=l, 4e2 6f"()=f'(-2e-2 f'(-2)=f'(-2)·e2-2·(-2): 所以在曲线y=(2≤x≤2上存在点P,使得过点P的切线 部(-2)=号 7.0因为/'(x)=sinx+e08x-sinx=xc0塔x, 与直线4B平行，且点P的横坐标为 3 所W(受）=0 C组·创新拓展 y=-10器由y=血得了=士所以在点(1,0)处的 2023 &2国为y-(=（分2 切线斜率k=1,则切线方程为y=x-1: 所以当x=时， =2 由题意知1nxx-1, 2eos'T 3 所以1n29e26-1, 9.(I)y=x'·e+x·(e)'=e'+xe=(1+x)e 即In ee应-l, 所以-h应+1应+18器 er-(4 =(2x)'(x2+1)-2x(x2+1 时-8器 (x2+1)2 -2+1）-4.2-2 练案[16] (x2+1)2 (x2+1) A组·基础自测 (3y=(mr-(品 1c() sin x +xcos x- 2sinx =x(csx'-cmsx·x cos'x * 10.因为)=￡，所以e)= =-asin &=c0sx 又因为'(x)=·-e=(x-1业 =-in米+cmsx x x 所以W'(e)=c-业 2.D f(x)=(x-a)(x-b)=x-(a+b)x+ab, ∴f'(x）=2x-(a+b), 依题意知八c)+f'(c)=0. ∴f'(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D. 所以g+(c-D=0. 3.B设过点P(x,)的切线与直线2x-y=0平行，因为 ')=+a,放'(6)-+a=2.得a=2-名由题意 所以2e-1=0,得c=分 知无>0，所以a=2-上<2 B组·能力提升 1 1.A函数)=年+s 4.Af'(x)=(e)'+(xsin x)'-(7x) =e*sin x +xcos x-7. f'()=受-nxf(-)=-m(-)=-f《)。 所以/'(0)=e°-7=-6. 5.AB因为(0,0)在直线1上，当0(0,0)为(x)的切点时.因 所以F‘(x)为奇函数，排除BD, 为f'(0)=2,所以直线1的方程为y=2x, 当=时/（合）号-子<0，排除c故选入 又直线/与y=x+a相切， 所以x2+a-2x=0满足4=4-4a=0,得a=1: 2C设尚线y=本在点(1，)处的切线方程为y-号=(： 当0(0,0)不是八x)的切点时， -1), 设切点为(n,6-3后+2x)(≠0) e 则/'(xm)=3x-6x+2, 因为y=x+ 所以-36+24=3玩-6，+2. 所以y=(x+)-e xe" (x+1)2 (x+1) 得=所W(）子 所以长==子 -170 所以y-受=x- 在x=石处切线的斜率k=-2sm(2×石+）=-2 所以曲线)=本在点，受)处的切线方程为y=云+号 e 5.ACD对于A,=m则y=子m故错误： 故选C 对于B,y=sinx2,则y=2 xcos x2,故正确： 3.D在等比数列a.中，a1=2,4=8,所以a14=a4=16 对于C,y=c0s5x,则y'=-5sin5x,故错误： 函数八x)展开式是一个关于x的多项式，x的幂指数最高为 1 5,x的幂指数最低为1，且含x的系数为a2a, 对于D,y=2sin2x,则了=2sin2x+0o2x,故错误 故f"(0)=4a2a2=(a1·4）2=163=2. 6.y=2xy'= 2 2 4.x-y-1=0f1)=0. =x中=0中=2，所以切线方程为y-0= f'(x)=(xln x)'=x'Inx+x(In x)' 2(x-0),y=2x =Inx+l, 7.3由/x)=e”+ln(x+1), ÷切线的斜率=∫'(1)=1， ·切线方程为y=x-1,即x-y-1=0. 得f'(x)=ae+x+ 5.01由题意得∫'(x)=x2-r+b, .f"(0)=4,.f'(0)=1+1=4, 由切点P(00)既在函数)=了-受+c+e上又 a=3 8.2设切点为(xo,。),则n=o+1,且%=ln(+a), 在切我y=1上得化00 所以n+1=ln(+a.① r0-a…0+b=0, 对=hs+a求学得=a则。， 即1 号×0-号x0+0+e=l, 即0+a=1.② ②代人①可得x。=-1, 解得b=0.c=I. 所以a=2. 6.设f代x)=ar2+br+r(a≠0)， 9.(1)设y=,u=1+2x2, 则f'(x)=2ar+6. .y=()'(1+2x2)=8u2.4x 所以x2f'(x)-(2x-1)x)=x2(2x+b)-(2x-1)·(ax2 =8(1+2x2)7·4r=32x(1+22) +bx+c) (2)设y=,u=1-x2 =(a-b)x+(b-2e）x+e=1. ra-6=0. ra=2, 则y,=(u)'(1-x2) 所以b-2c=0.解得{b=2, =(-2)(-2)=1-是 Lc=1, 所以f代x)=2x2+2x+1. (3)y,'=(sin 2x-cos 2x)' C组·创新拓展 =(sin 2x)'-(cos 2x)' （()=1+子g)=-是，所以曲线y=)在= =2us2x+2sin2x=22i(2x+4） 处的切线的斜率为f‘(1)=3,曲线y=g(x)在x=1处的切线 (4)设y=c0su,4=x2, 的斜率为g'(1)=-a, 则y'.=(cosn)’·(x2) 由已知，得f'(1)=g'(1),得a=-3. =(-sinn)·2x=(-5inx2)·2x (2)由题意，得1+号=-(x>0), =-2xsin a'. 10.fx)=ar2-2x+1+ln(x+1),J0)=1 则a=-x-2≤-22，当且仅当*=2时，等号成立，放实数 f=2m-2+ n的取值范围为(-第，-22]. 2ar2+(2a-2)x-1 x+1 练案[17] .f"(0)=-1, A组·基础自测 切点P的坐标为(0,1)，1的斜率为-1， 1.AA中的函数是一个多项式函数，B中的函数可看作函数山 切线1的方程为x+y-1=0. =+子，=m“的复合函数，C中的函数可看作函数u=h,B组~能力提升 1.A函数y=ln个-x可以看作y=l血，n=vF和n=1-x的复 y=的复合函数，D中的函数可看作函数u=2x+3,y= 合函数， 的复合函数，故选A '='·%,·,'=(m)()'…(1-x)'=1。 2.C f(x)=(x-D)In 3(-1)'=(x-1)In 3 (分)(-) f'(2)=n3 3.Af'(x)=(1-x)2-2ax(1-x), '2个=（-)2为2-4符合： -1 ∫'(2)=12a2-8a+1=5,a>0解得a=1. y=In- ==-n/1-x, 4By=-m(2+)(2x+} 个- -1 =-2im(2x+石）月 六少=2x-B不符合： y=ln(1-x)可以看作y=ln4和u=1-x的复合函数， -171