3 导数的计算(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１５］ 第二章　 导数及其应用 § ３　 导数的计算 Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列结论不正确的是 （Ｄ ） Ａ．若ｙ ＝ ０，则ｙ′ ＝ ０ Ｂ．若ｙ ＝ ５ｘ，则ｙ′ ＝ ５ Ｃ．若ｙ ＝ ｘ －１，则ｙ′ ＝ － ｘ －２ Ｄ．若ｙ ＝ ｘ １２，则ｙ′ ＝ １２ ｘ １ ２ ２．函数ｙ ＝ ｘｅ的导数是 （Ｂ ） Ａ． ｙ′ ＝ ｘｅ Ｂ． ｙ′ ＝ ｅｘｅ － １ Ｃ． ｙ′ ＝ ｅｘｅ Ｄ． ｙ′ ＝ ｌｎ ｘ ３．若指数函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ≠１）满足ｆ ′（１） ＝ ｌｎ ２７，则ｆ ′（－ １）＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ｌｎ ３ Ｃ． ｌｎ ３３ Ｄ． － ｌｎ ３ ４．曲线ｙ ＝槡ｘ在点１４， １( )２ 处的切线方程为 （Ｂ ） Ａ． ４ｘ － ４槡３ｙ ＋ ２槡３ － １ ＝ ０ Ｂ． ４ｘ － ４ｙ ＋ １ ＝ ０ Ｃ． ４槡３ｘ － ４ｙ ＋ ２ －槡３ ＝ ０ Ｄ． ４ｘ ＋ ４ｙ － ３ ＝ ０ ５．（多选）函数ｙ ＝ １ｘ在点Ｐ处的切线斜率为 － ４，则Ｐ的坐标为 （Ａ ） Ａ． １２，( )２ Ｂ． ２，１( )２ Ｃ． － １２，( )－ ２ Ｄ． － ２，－ １( )２ 二、填空题 ６．函数ｆ（ｘ）＝ ５ ｘ槡３，则ｆ ′（ｘ）＝ 　 　 　 　 ， ｆ ′ １( )３２ ＝ 　 　 　 　 ． ７．曲线ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ在ｘ ＝ π２处的切线方程为　 　 　 　 　 　 ． ８．设函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ ＋ ｃｏｓ ｘ，则ｆ π( )[ ]４ ′ ＝ ０　 　 ． 三、解答题 ９．求下列函数的导数： （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ槡３，ｘ ＞ ０； （２）ｙ ＝ １ ｘ４ ； （３）ｙ ＝ －２ｓｉｎ ｘ２ １ －２ｃｏｓ ２ ｘ( )４ ； （４）ｙ ＝ ｌｏｇ２ｘ２ － ｌｏｇ２                                                                ｘ． —１０６— １０．已知点Ｐ π３，( )ａ 在曲线ｙ ＝ ｃｏｓ ｘ上，直线ｌ 是以点Ｐ为切点的切线． （１）求ａ的值； （２）求过点Ｐ与直线ｌ垂直的直线方程． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．直线ｙ ＝ １２ ｘ ＋ ｂ是曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ（ｘ ＞ ０）的一条 切线，则实数ｂ的值为 （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ｌｎ ２ ＋ １ Ｃ． ｌｎ ２ － １ Ｄ． ｌｎ ２ ２．正弦曲线ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ上一点Ｐ，以点Ｐ为切点的 切线为直线ｌ，则直线ｌ的倾斜角的范围是 （Ａ ） Ａ． ０，π[ ]４ ∪ ３π４ ，[ )π Ｂ．［０，π） Ｃ． π４， ３π[ ]４ Ｄ． ０，π[ ]４ ∪ π２，３π[ ]４ ３．（多选）下列曲线的切线中，不存在两条互相 垂直的切线的曲线是 （Ａ ） Ａ． ｆ（ｘ）＝ ｅｘ Ｂ． ｆ（ｘ）＝ ｘ３ Ｃ． ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ Ｄ． ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ 二、填空题 ４．正弦曲线ｙ ＝ ｓｉｎ ｘ（ｘ∈（０，２π））上切线斜率 等于１２的点为　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 ． ５．函数ｙ ＝ ｘ２（ｘ ＞ ０）的图象在点（ａｋ，ａ２ｋ）处的切 线与ｘ轴的交点的横坐标为ａｋ ＋１，其中ｋ∈ Ｎ ＋ ．若ａ１ ＝ １６，则ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５的值是２１　 　 ． 三、解答题 ６．已知点Ａ １２，( )－ １ ，Ｂ（２，１），函数ｆ（ｘ） ＝ ｌｏｇ２ｘ． （１）过坐标原点Ｏ作曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的切线，求 切线的方程； （２）在曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ） １２≤ｘ≤( )２ 上是否存在点 Ｐ，使得过点Ｐ的切线与直线ＡＢ平行？若存 在，求出点Ｐ的横坐标；若不存在，请说明 理由． Ｃ组·创新拓展 “以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思 想方法，如在切点附近，可用曲线在该点处的 切线近似代替曲线．曲线ｙ ＝ ｌｎ ｘ在点（１，０） 处的切线方程为ｙ ＝ ｘ － １　 ，利用上述“切线 近似代替曲线”的思想方法计算２ ０２２槡ｅ所得结 果为　 　 　 　 （结果用分数表示）                                                                       ． —１０７— 所以得=≥+2匹-2.当且仅当a=e b (3)因为y=-2in-2ms） 之时，等号成立 =2sin(2cos)=2sin cos=sin x. 练案[15] 所以y'=(simx)'=cosx,xeR A组·基础自测 (4)因为y=logx-0gx=ogx,x>0, 1D当y=时，y=()'=('= 生D不正 所以y=(ogx)'=n2t>0 确.故应选D 10（a)因为（号）在曲线y=sx上，所以a=m号= 2.By=(x)'=ex-,故选B (2)因为y=-inx, 3.C f'(x)=a'In a,(1)=aln a=In 27, 解得a=3,则f'(x)=3n3,故f'(-1)=3 所以6=y1手-m号=- 2 3 又因为所求直线与直线1垂直， 4.B由于y=在，所以y=,于是y八士=1，所以曲线在点 2x (行，）处的切线的斜率等于1，切线方程为4红-y+1=0 所以所求直线的斜率为一古。 故选B 所以所求直线方程为y宁（：-引， 5ACy==- 1 1 即225+ 9 :曲线=在点P的切线的斜率为-4， B组·能力提升 4分 1C“y=hx的号数了=女令分得=2切点为 “y=±2 (2,血2)，代人直线y=2+6,得b=h2-1. 即点P分，2成(-7-2故选C 2.A因为y'=c0sx,而cosx∈[-1,1].所以直线1的斜率的 范围是[-1,1]，所以直线！倾斜角的范围是 6多子号因为到=汉=是， [o[子 所W)=子 3.ABC若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为-1，或一条 切线的斜率不存在，另一条切线的斜率为0.A中，∫'(x)= )房())号 。>0,B中f"(x)=3≥0，C中"(x)=(x>0),故ABC 中均不存在互相垂直的切线.而D中∫'(x)=cosx,其可正可 7.x+y- 号=0因为s号=0，即求曲线y=mx在点 负，一定存在使cs,·心0s=-1的情形. (三，0处的切线方程， 4(得罗）或（得-y=(ny=s=子 y=一in,当x=受时，y=-1 因为xe(0,2).所以x=号或号 所以切线方程为y=-1·（怎-2） 所以正弦曲线y=im(xe(0,2π)上切线斜率等于？的点 即+y-受=0 为号》（得-引 &0方法-=（停n+司 5.21y=x2,y'=2x .函数y=x(x>0)在点(，)处的切线方程为y-= =2sim(x+） 2a,(x-a),令y=0得山1=2 所以母）=2血号=2， 数列{a.是等比数列. 又41=16， 所以[}=(2'=0 4=4=4%=子1， 方法二：因为（牙）为常数，y=c(常数)的导函数为y=0,所 .a1+a+a5=16+4+1=21. 6.(1)设切点为(m,1og2m)(m>0): 以[年川=0 因为fx)=ogx,x>0, 9.(1)因为fx)=F=x,x>0,(x)'=a·x- 所以/'()=n2>0 所以=(y=>0 由超意可得2-冬解得m心 2)y=()=(x)=-4=-4=- 所以切线方程为y-e,e=2-e -169 即y= 1 eln 2. 所以直线！的方程为了=一子 (2)过点4分-，a2.1)的直线的斜*为e=号 1 由 得2+子+a=0 假设存在点P,使得过点P的切线与直线AB平行，设点P(n, ly=x+a. bg,≤n2. 由题意得4=6-4如=0.所以a= 1 则有山2分得n=记 4 综上得a=1或a= 1 又对=ln6<n2<ne=l, 4e2 6f"()=f'(-2e-2 f'(-2)=f'(-2)·e2-2·(-2): 所以在曲线y=(2≤x≤2上存在点P,使得过点P的切线 部(-2)=号 7.0因为/'(x)=sinx+e08x-sinx=xc0塔x, 与直线4B平行，且点P的横坐标为 3 所W(受）=0 C组·创新拓展 y=-10器由y=血得了=士所以在点(1,0)处的 2023 &2国为y-(=（分2 切线斜率k=1,则切线方程为y=x-1: 所以当x=时， =2 由题意知1nxx-1, 2eos'T 3 所以1n29e26-1, 9.(I)y=x'·e+x·(e)'=e'+xe=(1+x)e 即In ee应-l, 所以-h应+1应+18器 er-(4 =(2x)'(x2+1)-2x(x2+1 时-8器 (x2+1)2 -2+1）-4.2-2 练案[16] (x2+1)2 (x2+1) A组·基础自测 (3y=(mr-(品 1c() sin x +xcos x- 2sinx =x(csx'-cmsx·x cos'x * 10.因为)=￡，所以e)= =-asin &=c0sx 又因为'(x)=·-e=(x-1业 =-in米+cmsx x x 所以W'(e)=c-业 2.D f(x)=(x-a)(x-b)=x-(a+b)x+ab, ∴f'(x）=2x-(a+b), 依题意知八c)+f'(c)=0. ∴f'(a)=2a-(a+b)=a-b,故应选D. 所以g+(c-D=0. 3.B设过点P(x,)的切线与直线2x-y=0平行，因为 ')=+a,放'(6)-+a=2.得a=2-名由题意 所以2e-1=0,得c=分 知无>0，所以a=2-上<2 B组·能力提升 1 1.A函数)=年+s 4.Af'(x)=(e)'+(xsin x)'-(7x) =e*sin x +xcos x-7. f'()=受-nxf(-)=-m(-)=-f《)。 所以/'(0)=e°-7=-6. 5.AB因为(0,0)在直线1上，当0(0,0)为(x)的切点时.因 所以F‘(x)为奇函数，排除BD, 为f'(0)=2,所以直线1的方程为y=2x, 当=时/（合）号-子<0，排除c故选入 又直线/与y=x+a相切， 所以x2+a-2x=0满足4=4-4a=0,得a=1: 2C设尚线y=本在点(1，)处的切线方程为y-号=(： 当0(0,0)不是八x)的切点时， -1), 设切点为(n,6-3后+2x)(≠0) e 则/'(xm)=3x-6x+2, 因为y=x+ 所以-36+24=3玩-6，+2. 所以y=(x+)-e xe" (x+1)2 (x+1) 得=所W(）子 所以长==子 -170