2 导数的概念及其几何意义(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１４］ 第二章　 导数及其应用 § ２　 ［２． １　 导数的概念　 ２． ２　 导数的几何意义］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．设ｆ ′（ｘ０）＝ ０，则曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（ｘ０， ｆ（ｘ０））处的切线 （Ｂ ） Ａ．不存在 Ｂ．与ｘ轴平行或重合 Ｃ．与ｘ轴垂直 Ｄ．与ｘ轴斜交 ２．已知曲线ｙ ＝ － １２ ｘ ２ － ２上一点Ｐ １，－ ５( )２ ，则 过点Ｐ的切线的倾斜角为 （Ｃ ） Ａ． ３０° Ｂ． ４５° Ｃ． １３５° Ｄ． １６５° ３．一物体的运动方程为ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ３ｘ，则 ｆ ′（０）＝ （Ｃ ） Ａ． Δｘ － ３ Ｂ．（Δｘ）２ － ３Δｘ Ｃ． － ３ Ｄ． ０ ４．如图，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象在点Ｐ（２，ｙ）处的 切线是ｌ，则ｆ（２）＋ ｆ ′（２）等于 （Ｄ ） Ａ． － ４ Ｂ． ３ Ｃ． － ２ Ｄ． １ ５．（多选）过点（２，０）作曲线ｆ（ｘ）＝ ｘ３的切线ｌ， 则直线ｌ的方程可能为 （Ａ ） Ａ． ｙ ＝ ０ Ｂ． ｘ ＝ ０ Ｃ． １２ｘ － ｙ － ２４ ＝ ０ Ｄ． ２７ｘ － ｙ － ５４ ＝ ０ 二、填空题 ６．设ｆ（ｘ）是偶函数，若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在点（１， ｆ（１））处的切线的斜率为１，则该曲线在（－ １， ｆ（－ １））处的切线的斜率为－ １　 　 ． ７．已知ｆ（ｘ）＝ ｍｘ２ ＋ ｎ，且ｆ（１）＝ － １，ｆ（ｘ）的导 函数ｆ ′（ｘ）＝ ４ｘ，则ｍ ＝ ２　 　 ，ｎ ＝ － ３　 　 ． ８．已知曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２ ＋ ａ在点Ｐ处的切线 方程为８ｘ － ｙ － １５ ＝ ０，则实数ａ的值为　 　 － ７　 　 ． 三、解答题 ９．若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ ｘ３在点（ａ，ａ３）（ａ≠０）处的 切线与ｘ轴、直线ｘ ＝ ａ所围成的三角形的面 积为１６，求ａ的值． １０．已知曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝ １ｔ － ｘ上两点Ｐ（２，－ １）， Ｑ － １，１( )２ ． （１）求曲线在点Ｐ，Ｑ处的切线的斜率； （２）求曲线在Ｐ，Ｑ处的切线方程                                                                ． —１０４— Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．设ｆ（ｘ）满足ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１）－ ｆ（１ － Δｘ） ２Δｘ ＝ － １，则曲 线ｙ ＝ ｆ（ｘ）上点（１，ｆ（１））处的切线斜率为 （Ｄ ） Ａ． ２ Ｂ． － １ Ｃ． １ Ｄ． － ２ ２．曲线ｙ ＝ １ｘ － １在点Ｐ（２，１）处的切线的倾斜角 为 （Ｄ ） Ａ． π６ Ｂ． π ４ Ｃ． π３ Ｄ． ３π ４ ３．已知函数ｆ（ｘ）在Ｒ上可导，其部分图象如图 所示，设ｆ（２）－ ｆ（１）２ － １ ＝ ａ，则下列不等式正确 的是 （Ｂ ） Ａ． ｆ ′（１）＜ ｆ ′（２）＜ ａ Ｂ． ｆ ′（１）＜ ａ ＜ ｆ ′（２） Ｃ． ｆ ′（２）＜ ｆ ′（１）＜ ａ Ｄ． ａ ＜ ｆ ′（１）＜ ｆ ′（２） 二、填空题 ４．如图，函数ｆ（ｘ）的图象是折线段ＡＢＣ，其中Ａ， Ｂ，Ｃ的坐标分别为（０，４），（２，０），（６，４），则 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ － ２　 　 ． ５．已知曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）＝槡ｘ，ｙ ＝ ｇ（ｘ）＝ １ｘ，它们的 交点坐标为（１，１）　 ，过两曲线的交点作曲线 ｆ（ｘ）的切线，则该切线方程为ｘ －２ｙ ＋１ ＝０　 ． 三、解答题 ６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ １（ａ ＞ ０），ｇ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ｂｘ，若曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）与曲线ｙ ＝ ｇ（ｘ）在它们的 交点（１，ｃ）处具有公共切线，求ａ，ｂ的值． Ｃ组·创新拓展 已知二次函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ的导数为 ｆ ′（ｘ），ｆ ′（０）＞ ０，对于任意实数ｘ，有ｆ（ｘ）≥ ０，则ｆ（１）ｆ ′（０）的最小值为２　 　                                                                       ． —１０５— 练案[14] ()曲线在点P处的切线斜*为y1:=0-2了=： A组·基础自测 1.B由导数的几何意义知B正确，故应选B. 曲线在点Q处的切线斜率为了儿1=子 2.C抛物线与其切线只有一个公共点，故点P为切点设y=fx),过 (2)曲线在点P处的切线方程为y-(-1)=x-2, 1+a-2-( 即x-y-3=0. 点P的切线斜率为f(1)=lm 曲线在点0处的切线方程为了-方=[x-(-)小， =-1.所以过点P的切线的倾斜角为135 3Cf'(0)=lm0+4'-30+4)-G+3x0 即x-4y+3=0 Ax B组·能力提升 a3y(d-3=-3 1.D根据题意得f"(1)=im)-1-4 Ar 4D直线1的方程为号+片=1，即x+y-4=0 因为是a如号×女0-出= 又由题意可知f2)=2f'(2)=-1, =-1,所以f'(1)=-2 所以f2)+f'(2)=2-1=1. 1 5.AD因为f八x)=x3,设切点(，后).则 2.D4y2+d21+41 k=im名+4)-f) 一-吗1-1.斜率为-1，领斜角为程 -1 =1im[3x%+3x(△x)+(4x)2门=3， 3.B由图象可知，函数的增长越来越快，故函数在区间[1,2] 所以在x=。处的切线方程为y-号=3(x-x), 的斜率越来越大.2)=山=a六”(1)<a<”(2),故 2-1 把点(2,0)代人并解得=0或x。=3. 选B. 当=0时，切线方程为y=0:当x=3时，切点为(3,27)，斜4.-2由导数的概念和几何意义知， 半=27，放切线方程为y-27=27(x-3),整理为27x-y- 54=0. 0+4-①=f0)=w=0=-2 0-4 △x 6.-1因为函数代x)是偶函数，其图象关于y轴对称，所以函 [y=. 数f代x)在点(1f1))处的切线斜率与在点(-1.f八-1)处5.(1,1)x-2y+1=0 由 的切线斜率相反，故曲线在点（一1，(-1）)处的切线斜率为 得/1， y=1 y=1. -1 所以两曲线的交点坐标为(1,1). 2-3-+-国 △x 由)=，得f”(1)=m+- -m(x+As)tn-(mx tn)=mAx+2mx. 1 △r =画+x+1 放了")=一-(ma+2m)=2m=4 所以y=)在点(1,1)处的切线方程为y-1=子(x-), 所以m=2.又f1)=-1,即2+n=-1, 所以n=-3,故m=2,n=-3. 即x-2y+1=0 &-7设点代气，2+a.由导数的几何意义可得"()=6f"()=四 lim Ay lim 2(0+42+a-(26+a2=4k=8=2 30△r3rt =l2a+4a+山=2a. Ar ,P(2,8+a).将x=2.y=8+a代人8x-y-15=0.得a= ∴.f'(1)=2a,即切线斜率k1=2a. -7. 9因为f'(u)=ma+△'-@=30，所以曲线在(a,d)处 g(=一 △r 的切线方程为y-d=3a(x-a),切线与x轴的交点 =画+4P+9-2+m=3r+6. △r 为（子a.0 ∴g(1)=3+b,即切线斜率k=3+b. 在交点(1，c)处有公共切线，∴.2a=3+b 所以三角形的面积为宁一子11=合得a= 又a+11+6,即a=6,放可得化 a将点P2,-代人y,得1=山 :C组·创新拓展 2由导数的定义，得 所以y=一 f'o)=a0=42+E △x y=+a-= 1-(x+4x)1-x =im(a·△x+b)=b. Ar △￥ 因为对于任意实数x,有f八x)≥0， △x =1-(x+4x)](1-△ 期A=-4ae≤0， la>0. =1-x-4r)(1-)"(1-x) 所以ac≥ ,所以c>0, 一168- 所以=“+h+“≥6+2应≥2边=2，当且仅当a=6= f'(0)b b b (3)因为y=-2血-2a) 之时，等号成立 =2sin(2cos-1)=2sin 2 cos=sin x. 练案[15] 所以y'=(sinx)'=心osx,xeR A组·基础自测 (4)因为y=1ogx2-logx=logx,x>0 2专D不正 LD当y=时y=(x)'=('= 所以y=(ogx)'=n2>0 确.故应选D, 10.（1)因为P(号a在曲线y=asx上，所以a=m号=7 2By=(x)'=ex-,故选B. (2)因为y'=-sinx, 3.C f'(x)=a'In a.f(1)=aln a=In 27, 解得a=3,则f"()=3n3,故f(-)= 所以，=y1寺=-血号=-号 又因为所求直线与直线1垂直， B由于=压所以2后于是时山，所以曲线 （仔，)处的切线的斜*等于1，切线方程为红-女+1=0 所以所求直线的斜率为-古 故选B, 所以所求直线方程为y-子-气：-哥引 5.AC y= my22+7 9 “曲线)y=在点P的切线的斜率为-4， :B组·能力提升 1Cyh的导数=女令宁得x=2切点为 y=±2 (2,血2)，代人直线y=2x+6,得6=血2-1 即点分2或（分，-2放选AC 2.A因为y'=cosx,而cos &E[-1,1].所以直线1的斜*的 范围是〔一1,1]，所以直线！倾斜角的范围是 6子号 因为fx)=F=x子 [o子 所以W)=子子 3.AC若存在互相垂直的切线，则其斜率之积为-1，或一条 切线的斜*不存在，另一条切线的斜率为Q.A中，f'(x)= f()子×（易）=号×（分）号 e>0,B中∫()=3x≥0，C中∫'(x)=(x>0),故AC 中均不存在互相垂直的切线.面D中f'(x)=cosx,其可正可 7.r+y-号=0因为s号=0，即求曲线y=c0sx在点 负，一定存在使cosx·cs名2=一I的情形， (受，0处的切线方程， 4(得（得-y=(如=m=宁 y=-inx,当x=受时y=-1 因为xe(0,2).所以x=号我号 所以切线方程为y=-1·(x-受）) 所以正弦曲线y=im(xe(0,2)上切线斜率等于？的点 即x+y-受=0 为号戌（學- &0方法一)=（mx+号 5.21y=x2y'=2 函数y=x2(x>0)在点(a,a)处的切线方程为y-a= =万im(x+妥）H 2a(x-4),令y=0得41= 所以(）=m受=E, 数列引a{是等比数列. 又a1=16, 所以[=('=0 4=40=4ay=0=l, 方法二：因为升于)为常数，y=c(常数)的导函数为y=0,所 .a1+43+a5=16+4+1=21. 6.(1)设切点为(m,logm)(m>0) 以川=0 因为fx)=lg2xx>0, 9.(1)因为fx)==行，x>0,()‘=a·x 所以f'(x)=n2x>0 所以fw=(y=+:3华>0 由题意可得，解得m=心， min 2=- m 2y=()=(x=-4=-4=- 所以切线方程为y-log:e=。n2x-e), 169