4 数列在日常经济生活中的应用(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［１１］ 第一章　 数列 § ４　 数列在日常经济生活中的应用 Ａ组·基础自测 一、选择题 １．某产品计划每年成本降低ｑ％，若三年后成本 为ａ元，则现在的成本是 （Ｃ ） Ａ． ａ（１ ＋ ｑ％）３元 Ｂ． ａ（１ － ｑ％）３元 Ｃ． ａ（１ － ｑ％）３元 Ｄ． ａ （１ ＋ ｑ％）３元 ２．一个屋顶的某一个斜面成等腰梯形，最上面一 层铺了２１块瓦片，往下每一层多铺一块瓦片， 斜面上铺了２０层瓦片，共铺了瓦片 （Ｃ ） Ａ． ４２０块Ｂ． ６３０块Ｃ． ６１０块Ｄ． ６２０块 ３．某储蓄所计划从２０２０年起，力争做到每年的 吸储量比前一年增长８％，则２０２３年底该储蓄 所的吸储量将比２０２０年的吸储量增加（Ｃ ） Ａ． ２４％ Ｂ． ３２％ Ｃ．（１． ０８３ － １）× １００％ Ｄ．（１． ０８４ － １）× １． ０８３ ４．（多选）某纯净水厂在净化过程中，每增加一 次过滤可减少水中杂质的２０％，已知水中杂 质减少到原来的５％以下，则过滤的次数可能 为（ｌｇ ２≈０． ３０１ ０） （Ｃ ） Ａ． ５ Ｂ． １０ Ｃ． １４ Ｄ． １５ ５．（多选）《九章算术》第三章“衰分”介绍了比 例分配问题，“衰分”是按比例递减分配的意 思，通常称递减的比例为“衰分比”．如：已知 Ａ，Ｂ，Ｃ三人分配奖金的“衰分比”为１０％，若 Ａ分得奖金１ ０００元，则Ｂ，Ｃ所分得奖金分别 为９００元和８１０元．甲、乙、丙、丁四人入股某 种理财产品，其中一个月的月度分红为５９ ０４０ 元，若甲、乙、丙、丁按照一定的“衰分比”分 配，且甲与丙共获得３２ ８００元，则下列说法正 确的是 （Ｂ ） Ａ．四人本月分红的“衰分比”为８０％ Ｂ．本月丙所获得的分红为１２ ８００元 Ｃ．四人本月分红的“衰分比”为２０％ Ｄ．本月甲所获得的分红为１９ ６８０元 二、填空题 ６．一种专门侵占内存的计算机病毒的大小为 ２ ＫＢ，它每３ ｓ自身复制一次，复制后所占内 存是原来的两倍，则内存为６４ ＭＢ（１ ＭＢ ＝ ２１０ ＫＢ）的计算机开机后经过４５　 　 ｓ，内存被 占完． ７．有ｎ台型号相同的联合收割机，现收割一片 土地上的小麦，若同时投入工作，则到收割完 毕需要２４小时，现在这些收割机是每隔相同 的时间依次投入工作的，每一台投入工作后 都一直工作到小麦收割完毕．如果第一台收 割机工作的时间是最后一台的５倍，则用这种 方法收割完这片土地上的小麦需要４０ 　 　 小时． ８．某住宅小区计划植树不少于１００棵，若第一 天植２棵，以后每天植树的棵数是前一天的２ 倍，则需要的最少天数ｎ（ｎ∈Ｎ ＋）等于６　 　 ． 三、解答题 ９．为了加强环保建设，提高社会效益和经济效 益，某市计划用若干年时间更换一万辆燃油 型公交车．每更换一辆新车，则淘汰一辆旧 车，更换的新车为电力型车和混合动力型车． 今年初投入了电力型公交车１２８辆，混合动 力型公交车４００辆，计划以后电力型车每年 的投入量比上一年增加５０％，混合动力型车 每年比上一年多投入ａ辆．设ａｎ，ｂｎ分别为第 ｎ年投入的电力型公交车、混合动力型公交车 的数量，设Ｓｎ，Ｔｎ分别为ｎ年里投入的电力型 公交车、混合动力型公交车的总数量． （１）求Ｓｎ，Ｔｎ，并求ｎ年里投入的所有新公交 车的总数Ｆｎ； （２）该市计划用７年的时间完成全部更换，求 ａ的最小值                                                                ． —０９８— Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．一个卷筒纸，其内圆直径为４ ｃｍ，外圆直径为 １２ ｃｍ，一共卷６０层，若把各层都视为一个同 心圆，π ＝ ３． １４，则这个卷筒纸的长度为（精确 到个位） （Ｂ ） Ａ． １４ ｍ Ｂ． １５ ｍ Ｃ． １６ ｍ Ｄ． １７ ｍ ２．某人从２０１９年１月１日起，且以后每年１月１ 日到银行存入ａ元（一年定期），若年利率ｒ 保持不变，且每年到期后存款均自动转为新 一年定期，到２０２５年１月１日将所有存款及 利息全部取回，他可取回的钱数（单位为元） 为 （Ｂ ） Ａ． ａ（１ ＋ ｒ）７ Ｂ． ａｒ［（１ ＋ ｒ） ７ －（１ ＋ ｒ）］ Ｃ． ａ（１ ＋ ｒ）８ Ｄ． ａｒ［（１ ＋ ｒ） ８ －（１ ＋ ｒ）］ ３．已知甲、乙两工厂的月产值在２０２２年１月份 时相同，甲工厂以后每个月比前一个月增加 相同的产值，乙工厂以后每个月比前一个月 产值增加的百分比相同，到２０２２年１１月份发 现两工厂的月产值又是相同的．现比较甲、乙 两工厂２０２２年６月份的产值，则有（Ｃ ） Ａ．甲的产值小于乙的产值 Ｂ．甲的产值等于乙的产值 Ｃ．甲的产值大于乙的产值 Ｄ．不能确定 二、填空题 ４．某彩电价格在去年６月份降价１０％之后经１０， １１，１２三个月连续三次回升到６月份降价前的水 平，则这三次价格平均回升率是　 　 　 　 ． ５．据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长 率为ｂ，２０２１年产生的垃圾量为ａ吨，由此预 测，该区下一年的垃圾量为ａ（１ ＋ ｂ）　 吨， ２０２６年的垃圾量为ａ（１ ＋ ｂ）５　 吨． 三、解答题 ６．某人为了出行方便，准备购买新能源汽车．假 设购车费用为１４． ４万元，每年应交付保险 费、充电费等其他费用共０． ９万元，汽车的保 养维修费为：第一年０． ２万元，第二年０． ４万 元，第三年０． ６万元，……，等差逐年递增． （１）设使用ｎ年该车的总费用（包括购车费 用）为ｆ（ｎ），试写出ｆ（ｎ）的表达式； （２）问这种新能源汽车使用多少年报废最合 算（即该车使用多少年平均费用最少），年平 均费用的最小值是多少？ Ｃ组·创新拓展 赣南脐橙果大形正，橙红鲜艳，光洁美观，已 被列为全国十一大优势农产品之一，荣获“中 华名果”等称号．某脐橙种植户为成立一个果 园注入了启动资金８００万元，已知每年可获 利２０％，但由于竞争激烈，每年年底需要从利 润中取出１００万元进行技术改造和广告投 入，方能保持原有的利润率，则至少经过　 　 年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番 （即为原来的４倍）的目标？ （Ｄ ） （参考数据：ｌｇ ２≈０． ３，ｌｇ ３≈０． ５，ｌｇ ５≈０． ７）                                                                       Ａ． ７ Ｂ． ８ Ｃ． ９ Ｄ． １０ —０９９— 由ａｎＳｎ ＝ ９得ａｎＳｎ ＝ ａｎ ＋ １ Ｓｎ ＋ １，所以ａｎ ＋ １ａｎ ＝ Ｓｎ Ｓｎ ＋ １ ＜ １，又因为各 项为正数，所以ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ，③正确． 反证法，假设所有项都大于等于１１００，取ｎ ＞ ９０ ０００，则ａｎ≥ １ １００，Ｓｎ ＞ ９０ ０００ × １ １００ ＝ ９００， 所以ａｎＳｎ ＞ ９００ × １１００ ＝ ９，与ａｎＳｎ ＝ ９矛盾，所以假设错误，④ 正确． ６．（１）当ｎ ＝ １时，４Ｓ１ ＝ ４ａ１ ＝ ３ａ１ ＋ ４，解得ａ１ ＝ ４． 当ｎ≥２时，４Ｓｎ － １ ＝ ３ａｎ － １ ＋ ４，所以４Ｓｎ － ４Ｓｎ － １ ＝ ４ａｎ ＝ ３ａｎ － ３ａｎ － １即ａｎ ＝ － ３ａｎ － １， 而ａ１ ＝ ４≠０，故ａｎ≠０，故ａｎａｎ － １ ＝ － ３， ∴数列｛ａｎ｝是以４为首项，－ ３为公比的等比数列，所以ａｎ ＝ ４·（－ ３）ｎ － １ ． （２）ｂｎ ＝（－ １）ｎ － １·ｎ·４·（－ ３）ｎ － １ ＝ ４ｎ·３ｎ － １ ． 所以Ｔｎ ＝ ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ｂ３ ＋…＋ ｂｎ ＝ ４·３０ ＋ ８·３１ ＋ １２·３２ ＋…＋ ４ｎ·３ｎ － １， 故３Ｔｎ ＝ ４·３１ ＋ ８·３２ ＋ １２·３３ ＋…＋ ４ｎ·３ｎ， 所以－ ２Ｔｎ ＝ ４ ＋ ４·３１ ＋ ４·３２ ＋…＋ ４·３ｎ － １ － ４ｎ·３ｎ， ＝４ ＋４·３（１ －３ ｎ －１） １ －３ －４ｎ·３ ｎ ＝４ ＋２·３·（３ｎ －１ －１）－４ｎ·３ｎ， ＝（２ － ４ｎ）·３ｎ － ２，∴ Ｔｎ ＝（２ｎ － １）·３ｎ ＋ １． Ｃ组·创新拓展 ＣＤ　 ｛ａｎ｝各项乘１０再减４得到数列｛ｂｎ｝：０，３，６，１２，２４，４８， ９６，１９２，…，所以该数列从第２项起构成公比为２的等比 数列， 所以ｂｎ ＝ ０，ｎ ＝ １，３ × ２ｎ － ２，ｎ≥２{ ，所以Ａ错误； 从而ａｎ ＝ ｂｎ ＋ ４１０ ＝ ０． ４，ｎ ＝ １， ０． ３ × ２ｎ － ２ ＋ ０． ４，ｎ≥２{ ， 所以ａ２ ０２４ ＝ ０． ３ × ２２ ０２２ ＋ ０． ４，所以Ｂ错误； 当ｎ ＝ １时，Ｓ１ ＝ ａ１ ＝ ０． ４； 当ｎ≥２时， Ｓｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝ ０． ４ ＋ ０． ３ ×（２０ ＋ ２１ ＋…＋ ２ｎ － ２）＋ ０． ４ （ｎ － １）＝ ０． ４ｎ ＋ ０． ３ × １ － ２ ｎ － １ １ － ２ ＝ ０． ４ｎ ＋ ０． ３ × ２ ｎ － １ － ０． ３． 当ｎ ＝ １时，Ｓ１ ＝ ０． ４也符合上式，所以Ｓｎ ＝ ０． ４ｎ ＋ ０． ３ × ２ｎ － １ － ０． ３，所以Ｃ正确； 因为ｎｂｎ ＝ ０，ｎ ＝ １，３ｎ × ２ｎ － ２，ｎ≥２{ ，所以当ｎ ＝ １时，Ｔ１ ＝ ｂ１ ＝ ０， 当ｎ≥２时，Ｔｎ ＝ ｂ１ ＋ ２ｂ２ ＋ ３ｂ３ ＋…＋ ｎｂｎ ＝ ０ ＋ ３（２ × ２０ ＋ ３ × ２１ ＋ ４ × ２２ ＋…＋ ｎ × ２ｎ － ２）， ２Ｔｎ ＝ ３（２ × ２１ ＋ ３ × ２２ ＋ ４ × ２３ ＋…＋ ｎ × ２ｎ － １）， 所以－ Ｔｎ ＝ ０ ＋ ３（２ ＋ ２１ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ － ２ － ｎ × ２ｎ － １） ＝ ３ ２ ＋ ２ － ２ ｎ － １ １ － ２ － ｎ × ２ ｎ( )－ １ ＝ ３（１ － ｎ）× ２ｎ － １， 所以Ｔｎ ＝ ３（ｎ － １）× ２ｎ － １ ． 又当ｎ ＝ １时，Ｔ１也满足上式，所以Ｔｎ ＝ ３（ｎ － １）× ２ｎ － １，所以 Ｄ正确． 练案［１１］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 设现在的成本为ｘ 元，则ｘ（１ － ｑ％）３ ＝ ａ，故ｘ ＝ ａ （１ － ｑ％）３ ．故选Ｃ． ２． Ｃ　 由题意每层所铺瓦片数构成一个以１为公差、以２１为首 项的等差数列，求前２０项的和， 所以共铺了瓦片Ｓ２０ ＝２０ ×２１ ＋２０ ×１９２ ×１ ＝６１０（块）． ３． Ｃ　 设２０２０年吸储量为ａ． 则２０２１年吸储量为ａ（１ ＋ ８％）， ２０２２年吸储量为ａ（１ ＋ ８％）２， ２０２３年吸储量为ａ（１ ＋ ８％）３， ∴ ２０２３年底比２０２０年增加（１． ０８３ － １）× １００％ ． ４． ＣＤ　 设原杂质数为１， 由题意，得每次过滤杂质数成等比数列， 且ａ１ ＝ １，公比ｑ ＝ １ － ２０％， 故ａｎ ＋ １ ＝（１ － ２０％）ｎ ． 由题意可知（１ － ２０％）ｎ ＜ ５％， 即０． ８ｎ ＜ ０． ０５． 两边取对数，得ｎｌｇ ０． ８ ＜ ｌｇ ０． ０５， 因为ｌｇ ０． ８ ＜ ０，所以ｎ ＞ ｌｇ ０． ０５ｌｇ ０． ８ ， 即ｎ ＞ ｌｇ ５ － ２ｌｇ ８ － １ ＝ １ － ｌｇ ２ － ２ ３ｌｇ ２ － １ ＝ － ｌｇ ２ － １ ３ｌｇ ２ － １ ≈ － ０． ３０１ ０ － １３ × ０． ３０１ ０ － １≈１３． ４１， 故取ｎ ＝ １４，１５． ５． ＢＣ　 由题意，可知甲、乙、丙、丁分配的奖金构成等比数列， 设此等比数列为｛ａｎ｝，且公比为ｑ， 设甲、乙、丙、丁按照的“衰分比”的值为ｘ，则ｘ ＝１ － ｑ． 依题意，ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ５９ ０４０，ａ１ ＋ ａ３ ＝ ３２ ８００，则ａ２ ＋ ａ４ ＝ ５９ ０４０ － ３２ ８００ ＝ ２６ ２４０，ｑ ＝ ａ２ ＋ ａ４ａ１ ＋ ａ３ ＝ ０． ８，所以“衰分比” 的值ｘ ＝ １ － ０． ８ ＝ ０． ２ ＝ ２０％，因为ａ１ ＋ ａ３ ＝ ａ１ ＋ ａ１ｑ２ ＝ ａ１（１ ＋ ｑ２）＝ ａ１（１ ＋ ０． ８２）＝ １． ６４ａ１ ＝ ３２ ８００，ａ１ ＝ ３２ ８００１． ６４ ＝ ２０ ０００， 所以ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２０ ０００ × ０． ８２ ＝ １２ ８００， 所以丙所获得的分红为１２ ８００元． ６． ４５　 设计算机病毒每次复制后的大小组成等比数列｛ａｎ｝，且 ａ１ ＝ ２ × ２ ＝ ４，ｑ ＝ ２，则ａｎ ＝ ４·２ｎ － １ ． 令４·２ｎ － １ ＝ ６４ × ２１０，得ｎ ＝ １５，即复制１５次，共用４５ ｓ． ７． ４０　 设这ｎ台收割机工作的时间（单位：小时）依次为ａ１，ａ２， …，ａｎ，依题意，｛ａｎ｝是一个等差数列，且 ａ１ ＝ ５ａｎ，① ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝ ２４ｎ，{ ② 由②得ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ＝ ２４ｎ，所以ａ１ ＋ ａｎ ＝ ４８．③ 将①③联立，解得ａ１ ＝ ４０．故用这种方法收割完这片土地上的 小麦需要４０小时． ８． ６　 设每天植树的棵数组成的数列为｛ａｎ｝， 由题意可知它是等比数列，且首项为２，公比为２，所以由题意 可得２（１ － ２ ｎ） １ － ２ ≥１００，即２ ｎ≥５１，而２５ ＝ ３２，２６ ＝ ６４，ｎ∈Ｎ ＋，所 以ｎ≥６． ９．（１）ａｎ，ｂｎ分别为第ｎ年投入的电力型公交车、混合动力型公 交车的数量， 依题意知，数列｛ａｎ｝是首项为１２８，公比为１ ＋ ５０％ ＝ ３２的等 比数列；数列｛ｂｎ｝是首项为４００，公差为ａ的等差数列，所以数 列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ １２８ １ － ( )３２[ ] ｎ １ － ３２ ＝ ２５６ ( )３２ ｎ[ ]－ １ ， 数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｔｎ ＝ ４００ｎ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ａ                                                                       ， —１６４— 所以经过ｎ年，该市更换的公交车总数 Ｆｎ ＝ Ｓｎ ＋ Ｔｎ ＝ ２５６ ( )３２ ｎ[ ]－ １ ＋ ４００ｎ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ａ． （２）因为２５６ ( )３２ ｎ[ ]－ １ ，４００ｎ ＋ ｎ（ｎ － １）２ ａ（ａ ＞ ０）是关于ｎ 的单调递增函数，因此Ｆｎ 是关于ｎ的单调递增函数，所以满 足ａ的最小值应该是Ｆ７≥１０ ０００，即２５６ ( )３２ ７[ ]－ １ ＋ ４００ × ７ ＋ ７ × ６２ ａ≥１０ ０００， 解得ａ≥３ ０８２２１ ，又因为ａ为正整数， 所以ａ的最小值为１４７． Ｂ组·能力提升 １． Ｂ　 纸的厚度相同，且各层同心圆直径成等差数列，则ｌ ＝ πｄ１ ＋ πｄ２ ＋…＋ πｄ６０ ＝ ６０π × ４ ＋ １２２ ＝ ４８０ × ３． １４ ＝ １ ５０７． ２（ｃｍ） ≈１５ ｍ，故选Ｂ． ２． Ｂ　 ２０２４年１月１日，２０２３年１月１日，……２０１９年１月１日 存入钱的本息分别为ａ（１ ＋ ｒ），ａ（１ ＋ ｒ）２，…，ａ（１ ＋ ｒ）６，求和 可得ａ（１ ＋ ｒ）［１ －（１ ＋ ｒ） ６］ １ －（１ ＋ ｒ） ＝ ａ ｒ ［（１ ＋ ｒ） ７ －（１ ＋ ｒ）］． ３． Ｃ　 不妨设２０２２年１月份甲、乙两工厂的产值均为ａ，甲工厂 以后每个月比前一个月增加的产值为ｄ（ｄ ＞ ０），乙工厂以后 每个月比前一个月产值增加的百分比为ｑ（ｑ ＞ ０），则由题意 得ａ ＋ １０ｄ ＝ ａ（１ ＋ ｑ）１０ ．易知甲、乙两工厂２０２２年６月份的产 值分别为ａ ＋ ５ｄ，ａ（１ ＋ ｑ）５ ＝ ａ· ａ ＋ １０ｄ槡ａ ＝ ａ２ ＋ １０槡 ａｄ．又 ａ２ ＋ １０槡 ａｄ ＜ ａ ＋ ５ｄ，所以２０２２年６月甲工厂的产值大于乙 工厂的产值． ４． ３槡３０ ３ － １　 设６月份降价前的价格为ａ，三次价格平均回升率 为ｘ，则ａ × ９０％ ×（１ ＋ ｘ）３ ＝ ａ， ∴ １ ＋ ｘ ＝ ３ １０槡９ ，ｘ ＝ ３ １０槡９ － １ ＝ ３槡３０３ － １． ５． ａ（１ ＋ ｂ）　 ａ（１ ＋ ｂ）５ 　 ２０２１年产生的垃圾量为ａ吨，下一年 的垃圾量在２０２１年的垃圾量的基础之上增长了ａｂ吨，所以 下一年的垃圾量为ａ（１ ＋ ｂ）吨；２０２６年是从２０２１年起再过５ 年，所以２０２６年的垃圾量是ａ（１ ＋ ｂ）５吨． ６．（１）由题意得ｆ（ｎ）＝ １４． ４ ＋（０． ２ ＋ ０． ４ ＋ ０． ６ ＋…＋ ０． ２ｎ）＋ ０． ９ｎ ＝ １４． ４ ＋ ０． ２ｎ（ｎ ＋ １）２ ＋ ０． ９ｎ ＝ ０． １ｎ ２ ＋ ｎ ＋ １４． ４． （２）设该车的年平均费用为Ｓ万元，则有 Ｓ ＝ １ｎ ｆ（ｎ）＝ １ ｎ （０． １ｎ ２ ＋ ｎ ＋ １４． ４）＝ ｎ１０ ＋ １４． ４ ｎ ＋ １≥２ １．槡４４ ＋ １ ＝ ３． ４， 当且仅当ｎ１０ ＝ １４． ４ ｎ ，即ｎ ＝ １２时，等号成立，即Ｓ取最小值 ３． ４． ∴这种新能源汽车使用１２年报废最合算，年平均费用的最小 值是３． ４万元． Ｃ组·创新拓展 Ｄ　 设经过ｎ年之后，该果园的资金为ａｎ万元，由题意知ａ１ ＝ ８００ ×（１ ＋ ２０％）－ １００ ＝ ８６０，ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ×（１ ＋ ２０％）－ １００ ＝ ６ ５ ａｎ － １００， 又∵ ａｎ ＋ １ － ５００ ＝ ６５ ａｎ( )－ ５００ ，ａ１ － ５００ ＝ ３６０≠０， ∴可知ａｎ － ５００≠０，∴数列｛ａｎ － ５００｝为首项为３６０，公比为 ６ ５的等比数列， ａｎ － ５００ ＝（ａ１ － ５００）× ( )６５ ｎ － １ ＝ ３６０ × ( )６５ ｎ － １ ， 即ａｎ ＝ ３６０ × ( )６５ ｎ － １ ＋ ５００， 令ａｎ≥３ ２００，可得( )６５ ｎ － １ ≥１５２ ， ∴ （ｎ － １）ｌｇ ６５ ≥ｌｇ １５ ２ ， ∴ ｎ － １≥ ｌｇ １５２ ｌｇ ６５ ＝ ｌｇ １５ － ｌｇ ２ｌｇ ６ － ｌｇ ５ ＝ ｌｇ ３ ＋ ｌｇ ５ － ｌｇ ２ ｌｇ ２ ＋ ｌｇ ３ － ｌｇ ５≈９， ∴ ｎ≥１０．故选Ｄ． 练案［１２］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 由ａ２ｎ ＋ １知，当ｎ ＝ １时，等式的左边是１ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ． ２． Ｂ　 由数学归纳法的证明步骤可知，假设ｎ ＝ ｋ（ｋ≥２）为偶数 时命题为真， 则还需要用归纳假设再证ｎ ＝ ｋ ＋ ２， 不是ｎ ＝ ｋ ＋ １，因为ｎ是偶数，ｋ ＋ １是奇数， 故选Ｂ． ３． Ｃ　 因为ｆ（ｋ）＝ ｋ ＋（ｋ ＋ １）＋（ｋ ＋ ２）＋…＋（３ｋ － ２），ｆ（ｋ ＋ １） ＝（ｋ ＋ １）＋（ｋ ＋ ２）＋…＋（３ｋ － ２）＋（３ｋ － １）＋ ３ｋ ＋（３ｋ ＋ １），则ｆ（ｋ ＋ １）－ ｆ（ｋ）＝ ３ｋ － １ ＋ ３ｋ ＋ ３ｋ ＋ １ － ｋ ＝ ８ｋ． ４． Ｄ　 当ｎ ＝ ｋ时，左端＝ １ｋ ＋ １ ＋ １ ｋ ＋ ２ ＋…＋ １ ｋ ＋ ｋ，① 当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，左端＝ １ｋ ＋ ２ ＋ １ ｋ ＋ ３ ＋…＋ １ ｋ ＋ ｋ ＋ １ ２ｋ ＋ １ ＋ １ ２ｋ ＋ ２，② ② －①得１２ｋ ＋ １ － １ ２ｋ ＋ ２． ５． ＢＤ　 易知当ｎ ＝ １时，该同学的证法正确．从ｎ ＝ ｋ到ｎ ＝ ｋ ＋ １ 的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法 的证题要求，故推理不正确． ６． １ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １ ｋ２ ＋ １（ｋ ＋ １）２ ＋ １ （ｋ ＋ ２）２ ＞ １ ２ － １ ｋ ＋ ３　 观察不 等式中各项的分母变化，知ｎ ＝ ｋ ＋ １时，１ ２２ ＋ １ ３２ ＋…＋ １ ｋ２ ＋ １ （ｋ ＋ １）２ ＋ １ （ｋ ＋ ２）２ ＞ １ ２ － １ ｋ ＋ ３． ７． ２ｋ 　 当ｎ ＝ ｋ时成立， 即ｆ（ｋ）＝ １ ＋ １２ ＋ １ ３…＋ １ ２ｋ － １ ， 则ｎ ＝ ｋ ＋ １成立时，有ｆ（ｋ ＋ １）＝ １ ＋ １２ ＋ １ ３ ＋…＋ １ ２ｋ － １ ＋ １ ２ｋ ＋…＋ １ ２ｋ ＋ ２ｋ － １ ， 所以增加的项数是（２ｋ ＋ ２ｋ － １）－（２ｋ － １）＝ ２ｋ ． ８． － ｎ ＋ １ｎ ＋ ２　 因为当ｎ≥２时，有ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １，因此由Ｓｎ ＋ １ Ｓｎ ＋ ２ ＝ ａｎ，可得Ｓｎ ＋ １Ｓｎ ＋ ２ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １，化简得Ｓｎ ＝ － １ ２ ＋ Ｓｎ － １ ，因 为Ｓ１ ＝ ａ１ ＝ － ２３ ， 所以Ｓ２ ＝ － １２ ＋ Ｓ１ ＝ － １ ２ ＋ －( )２３ ＝ － ３４                                                                      ， —１６５—