2.1 第2课时等差数列的性质及应用(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

练案［４］ 第一章　 数列 § ２　 ［２． １　 第２课时　 等差数列的性质及应用］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．等差数列｛ａｎ｝中，ａ６ ＋ ａ９ ＝１６，ａ４ ＝１，则ａ１１ ＝ （Ｄ ） Ａ． ６４ Ｂ． ３０ Ｃ． ３１ Ｄ． １５ ２．设｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，且ａ１ ＝ ２５，ｂ１ ＝ ７５，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １００，则ａ３７ ＋ ｂ３７ ＝ （Ｃ ） Ａ． ０ Ｂ． ３７ Ｃ． １００ Ｄ． － ３７ ３．已知等差数列｛ａｎ｝单调递增且满足ａ１ ＋ ａ８ ＝ ６，则ａ６的取值范围是 （Ｃ ） Ａ．（－ ∞，３） Ｂ．（３，６） Ｃ．（３，＋ ∞） Ｄ．（６，＋ ∞） ４．设｛ａｎ｝是公差为正数的等差数列，若ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ １５，ａ１ａ２ａ３ ＝ ８０，则ａ１１ ＋ ａ１２ ＋ ａ１３等于 （Ｂ ） Ａ． １２０ Ｂ． １０５ Ｃ． ９０ Ｄ． ７５ ５．（多选）若｛ａｎ｝是等差数列，则下列数列为等 差数列的有 （Ａ ） Ａ．｛ａｎ ＋ ３｝ Ｂ．｛ａ２ｎ｝ Ｃ．｛ａｎ ＋１ ＋ ａｎ｝ Ｄ．｛２ａｎ ＋ ｎ｝ 二、填空题 ６．等差数列｛ａｎ｝中，ａ５ ＝ ８，ａ１０ ＝ １４，则ａ１５ ＝ ２０　 ． ７．等差数列｛ａｎ｝是递增数列，若ａ２ ＋ ａ４ ＝ １６， ａ１·ａ５ ＝ ２８，则通项ａｎ ＝ ３ｎ － １　 ． ８．已知在△ＡＢＣ中，三内角Ａ，Ｂ，Ｃ成等差数列， 则（１）∠Ｂ等于　 　 　 　 ；（２）ａｃ与ｂ２的大小 关系是ｂ２≥ａｃ　 ． 三、解答题 ９．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ － １２，且 ａ１·ａ３·ａ５ ＝ ８０，求通项ａｎ． １０．已知数列｛ａｎ｝，ａｎ ＝ ２ｎ － １，ｂｎ ＝ ａ２ｎ －１ ． （１）求｛ｂｎ｝的通项公式； （２）数列｛ｂｎ｝是否为等差数列？说明理由                                                                ． —０８３— Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知数列ａｎ{ }ｎ 是等差数列，且ａ３ ＝ ２，ａ９ ＝ １２， 则ａ１５ ＝ （Ｂ ） Ａ． １０ Ｂ． ３０ Ｃ． ４０ Ｄ． ２０ ２．已知数列｛ａｎ｝的首项为ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ａ，且ａｎ ＋１ ＋ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １（ｎ≥２，ｎ∈Ｎ ＋），若数列｛ａｎ｝单 调递增，则ａ的取值范围为 （Ｃ ） Ａ．｛ａ ｜１ ＜ ａ ＜ ２｝ Ｂ．｛ａ ｜２ ＜ ａ ＜ ３｝ Ｃ． ａ ３２ ＜ ａ ＜ ５{ }２ Ｄ． ａ １２ ＜ ａ ＜ ３{ }２ ３．（多选）已知方程（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ）（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ） ＝ ０的四个根组成一个首项为１４的等差数列， 则ｍ － ｎ的值等于 （Ｂ ） Ａ． － ３４ Ｂ． － １ ２ Ｃ． ３４ Ｄ． １ ２ 二、填空题 ４．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ２２ ＋ ２ａ２ａ８ ＋ ａ６ａ１０ ＝ １６，则ａ４ａ６ ＝ ４　 　 　 ． ５．已知实数矩阵 ａ１１　 ａ１２　 ａ１３　 ａ１４ ａ２１　 ａ２２　 ａ２３　 ａ２４ ａ３１　 ａ３２　 ａ３３　 ａ３４ ａ４１　 ａ４２　 ａ４３　 ａ                ４４ 中，每行、每 列的四个数均成等差数列，如果矩阵中ａ１２ ＝ ２， ａ３１ ＝１，ａ３４ ＝７，那么ａ３２ ＝ ３　 ，ａ２２ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ６．已知在递增的等差数列｛ａｎ｝中，ａ３ａ６ ＝ ５５，ａ４ ＋ ａ５ ＝ １６． （１）求ａ３和ａ６； （２）求｛ａｎ｝的通项公式． Ｃ组·创新拓展 设数列｛ａｎ｝是等差数列，ｂｎ ＝ １( )２ ａｎ，又ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ｂ３ ＝ ２１ ８ ，ｂ１ｂ２ｂ３ ＝ １ ８，求通项ａｎ                                                                      ． —０８４— 所以数列１ａ{ }ｎ 是以１为首项，３为公差的等差数列． （２）由（１）可得１ａｎ ＝ １ ＋ ３（ｎ － １）＝ ３ｎ － ２， 所以ａｎ ＝ １３ｎ － ２． Ｂ组·能力提升 １． Ａ　 由已知｛ａｎ｝满足２ａｎ ＋ １ － ２ａｎ ＝ １，即ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ １２ ，又由 ａ１ ＝ ２，所以数列｛ａｎ｝是首项为２，公差为１２的等差数列，所以 ａ１０１ ＝ ａ１ ＋ １００ｄ ＝ ２ ＋ １００ × １ ２ ＝ ５２． ２． Ｂ　 依题意，金瞂由粗到细各尺质量依次构成一个等差数列， 设首项为ａ１ ＝ ４，则ａ５ ＝ ２，设公差为ｄ，则２ ＝ ４ ＋ ４ｄ，解得ｄ ＝ － １２ ，所以ａ２ ＝ ４ － １ ２ ＝ ７ ２ ． ３． ＡＢＤ　 设数列 １ａｎ{ }＋ １ 的公差为ｄ，则１ａ６ ＋ １ － １ ａ２ ＋ １ ＝ ４ｄ， 代入数据可得ｄ ＝ １６ ．因此 １ ａ４ ＋ １ ＝ １ａ２ ＋ １ ＋ ２ｄ ＝ ２３ ， 故ａ４ ＝ １２ ， １ ａ３ ＋ １ ＝ １ａ２ ＋ １ ＋ １６ ＝ １ ２ ＋ １ ＋ １ ６ ＝ １ ２ ，解得ａ３ ＝ １． ４． ｎ ＋ １ｍ ＋ １　 设这两个等差数列公差分别是ｄ１，ｄ２，则ａ２ － ａ１ ＝ ｄ１， ｂ２ － ｂ１ ＝ ｄ２ ．第一个数列共（ｍ ＋ ２）项，∴ ｄ１ ＝ ｙ － ｘｍ ＋ １；第二个数 列共（ｎ ＋ ２）项，∴ ｄ２ ＝ ｙ － ｘｎ ＋ １，∴ ａ２ － ａ１ ｂ２ － ｂ１ ＝ ｄ１ ｄ２ ＝ ｎ ＋ １ｍ ＋ １． ５． ａｎ ＝ ２ｎ － １　 由ａｎ －１ ＋ａｎ ＋１ ＝２ａｎ，得ａｎ ＋１ －ａｎ ＝ａｎ －ａｎ －１（ｎ≥２）． ∴数列｛ａｎ｝是等差数列． 又ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，∴ ｄ ＝ ２，ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ｎ － １． ６．因为当ｎ≥２时，ｘｎ ＝ ｆ（ｘｎ － １）， 所以ｘｎ ＝ ２ｘｎ － １ｘｎ － １ ＋ ２（ｎ≥２），即ｘｎｘｎ － １ ＋ ２ｘｎ ＝ ２ｘｎ － １（ｎ≥２）， 得２ｘｎ － １ － ２ｘｎｘｎｘｎ － １ ＝ １（ｎ≥２），即 １ ｘｎ － １ｘｎ － １ ＝ １２ （ｎ≥２）． 又１ｘ１ ＝ ３，所以数列 １ ｘ{ }ｎ 是以３为首项，１２为公差的等差数 列，所以１ｘｎ ＝ ３ ＋（ｎ － １）× １ ２ ＝ ｎ ＋ ５ ２ ， 所以ｘｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，所以ｘ９５ ＝ ２ ９５ ＋ ５ ＝ １ ５０ ． Ｃ组·创新拓展 ＢＣＤ　 ａｎ ＝槡ｎ，则ａ２ｎ ＝ ｎ，｛ａｎ｝是等方差数列，但｛ａｎ｝不是等差 数列，Ａ错误； 若ａｎ ＝ ａ，则ａ２ｎ － ａ２ｎ － １ ＝ ０，｛ａｎ｝是等方差数列，｛ａｎ｝也是等差 数列，Ｂ正确； ａｎ ＝（－ １）ｎ，则ａ２ｎ ＝ １，ａ２ｎ － ａ２ｎ － １ ＝ ０，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ０，所以｛ａｎ｝为 等方差数列，Ｃ正确； 若｛ａｎ｝是等方差数列，则ａ２ｎ ＋ １ － ａ２ｎ ＝ ｐ是常数，因此ａ２２（ｎ ＋ １）－ ａ２２ｎ ＝ ａ ２ ２（ｎ ＋ １） － ａ ２ ２ｎ ＋ １ ＋ ａ ２ ２ｎ ＋ １ － ａ ２ ２ｎ ＝ ｐ ＋ ｐ ＝ ２ｐ是常数，所以 ｛ａ２ｎ｝也是等方差数列，Ｄ正确． 练案［４］ Ａ组·基础自测 １． Ｄ　 方法一：∵ ａ６ ＋ ａ９ ＝ １６ ａ４{ ＝ １ ， ∴ ２ａ１ ＋ １３ｄ ＝ １６ ａ１ ＋ ３ｄ{ ＝ １ ， ∴ ａ１ ＝ － ５ ｄ{ ＝ ２ ，∴ ａ１１ ＝ ａ１ ＋ １０ｄ ＝ １５． 方法二：∵ ａ４ ＋ ａ１１ ＝ ａ６ ＋ ａ９ ＝ １６，又∵ ａ４ ＝ １，∴ ａ１１ ＝ １５． ２． Ｃ　 因为｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，所以｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也是等差数 列，因为ａ１ ＋ ｂ１ ＝ １００，又ａ２ ＋ ｂ２ ＝ １００，所以ａ３７ ＋ ｂ３７ ＝ １００．故 选Ｃ． ３． Ｃ　 因为｛ａｎ｝为等差数列，设公差为ｄ， 因为数列｛ａｎ｝单调递增，所以ｄ ＞ ０， 因为ａ１ ＋ ａ８ ＝ ６，则ａ１ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ６，所以ａ１ ＝ ６ － ７ｄ２ ，ａ６ ＝ ａ１ ＋ ５ｄ ＝ ３ ＋ ３２ ｄ ＞ ３，所以ａ６的取值范围为（３，＋ ∞）． ４． Ｂ　 ∵ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ３ａ２ ＝ １５，∴ ａ２ ＝ ５， 又∵ ａ１ａ２ａ３ ＝ ８０，∴ ａ１ａ３ ＝ １６， 即（ａ２ － ｄ）（ａ２ ＋ ｄ）＝ １６， ∵ ｄ ＞ ０，∴ ｄ ＝ ３． 则ａ１１ ＋ ａ１２ ＋ ａ１３ ＝ ３ａ１２ ＝ ３（ａ２ ＋ １０ｄ）＝ １０５． ５． ＡＣＤ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，当ｎ≥２时，ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ． 对于Ａ，ａｎ ＋ １ ＋ ３ －（ａｎ ＋ ３）＝ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ｄ，为常数，因此｛ａｎ ＋ ３｝是等差数列，故Ａ正确；对于Ｂ，ａ２ｎ ＋ １ － ａ２ｎ ＝ ｄ（ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ）＝ ｄ［２ａ１ ＋（２ｎ － １）ｄ］，不为常数，因此｛ａ２ｎ｝不是等差数列，故Ｂ 错误；对于Ｃ，（ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ ＋ １）－（ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ）＝ ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＝ ２ｄ，为 常数，因此｛ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ｝是等差数列，故Ｃ正确；对于Ｄ，２ａｎ ＋ １ ＋ （ｎ ＋ １）－（２ａｎ ＋ ｎ）＝ ２（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＋ １ ＝ ２ｄ ＋ １，为常数，因此 ｛２ａｎ ＋ ｎ｝是等差数列，故Ｄ正确． ６． ２０　 ∵ ａ５ ＝ ８，ａ１０ ＝ １４，∴ ａ１０ － ａ５ ＝ ５ｄ ＝ ６，∴ ａ１５ ＝ ａ１０ ＋ ５ｄ ＝ １４ ＋ ６ ＝ ２０． ７． ３ｎ － １　 设公差为ｄ， ∵ ａ２ ＋ ａ４ ＝ ａ１ ＋ ａ５ ＝ １６， ∴由ａ１ ＋ ａ５ ＝ １６， ａ１·ａ５ ＝ ２８{ ，解得 ａ１ ＝ ２， ａ５{ ＝ １４或 ａ１ ＝ １４， ａ５ ＝ ２{ ． ∵等差数列｛ａｎ｝是递增数列， ∴ ａ１ ＝ ２，ａ５ ＝ １４． ∴ ｄ ＝ ａ５ － ａ１ ５ － １ ＝ １２ ４ ＝ ３， ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ ＋ ３（ｎ － １）＝ ３ｎ － １． ８．（１）π３ 　 由已知得Ｂ ＝ Ａ ＋Ｃ ２ ＝ π －Ｂ ２ ，解得Ｂ ＝ π ３ ． （２）ｂ２≥ａｃ　 在△ＡＢＣ中，ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ２ａｃｃｏｓ π３ ＝ ａ ２ ＋ ｃ２ － ａｃ，所以ｂ２ ＝ ａ２ ＋ ｃ２ － ａｃ≥２ａｃ － ａｃ ＝ ａｃ． ９．因为ａ１ ＋ ａ５ ＝ ２ａ３，所以 ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ － １２，所以３ａ３ ＝ － １２，所以ａ３ ＝ － ４， 又因为ａ１·ａ３·ａ５ ＝ ８０， 所以ａ１ａ５ ＝ － ２０， ａ１ ＋ ａ５ ＝ － ８{ ， 解得ａ１ ＝ － １０，ａ５ ＝ ２或ａ１ ＝ ２，ａ５ ＝ － １０，因为ｄ ＝ ａ５ － ａ１５ － １ ，所 以ｄ ＝ ３或－ ３， 所以ａｎ ＝ － １０ ＋ ３（ｎ － １）＝ ３ｎ － １３， 或ａｎ ＝ ２ － ３（ｎ － １）＝ － ３ｎ ＋ ５． １０．（１）∵ ａｎ ＝ ２ｎ － １，ｂｎ ＝ ａ２ｎ － １， ∴ ｂｎ ＝ ａ２ｎ － １ ＝ ２（２ｎ － １）－ １ ＝ ４ｎ － ３． （２）由ｂｎ ＝ ４ｎ － ３，知ｂｎ － １ ＝ ４（ｎ － １）－ ３ ＝ ４ｎ － ７（ｎ≥２）， ∵ ｂｎ － ｂｎ － １ ＝（４ｎ － ３）－（４ｎ － ７）＝ ４（ｎ≥２）， ∴ ｛ｂｎ｝是首项ｂ１ ＝ １，公差为４的等差数列． Ｂ组·能力提升 １． Ｂ　 方法一：设数列ａｎ{ }ｎ 的公差为ｄ． ∵ ａ３ ＝ ２，ａ９ ＝ １２，∴ ６ｄ ＝ ａ９９ － ａ３ ３ ＝ １２ ９ － ２ ３ ＝ ２ ３                                                                       ， —１５５— ∴ ｄ ＝ １９ ， ａ１５ １５ ＝ ａ３ ３ ＋ １２ｄ ＝ ２．故ａ１５ ＝ ３０． 方法二：由于数列ａｎ{ }ｎ 是等差数列，故２ × ａ９９ ＝ ａ３３ ＋ ａ１５１５， 即ａ１５１５ ＝ ２ × １２ ９ － ２ ３ ＝ ２，故ａ１５ ＝ ３０． ２． Ｃ　 当ｎ≥２时，ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １①， 则ａｎ ＋ ２ ＋ ａｎ ＋ １ ＝ ２ｎ ＋ ３②， ② －①得：ａｎ ＋ ２ － ａｎ ＝ ２，所以该数列从第２项起，偶数项和奇 数项都成等差数列，且它们的公差都是２，由ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ 可得ａ３ ＝ ５ － ａ，ａ４ ＝ ａ ＋ ２， 因为数列｛ａｎ｝单调递增，所以有ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４， 即１ ＜ ａ ＜ ５ － ａ ＜ ａ ＋ ２，解得３２ ＜ ａ ＜ ５ ２ ． 所以ａ的取值范围为３２ ，( )５２ ． ３． ＢＤ　 设方程（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ）（ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ）＝ ０的四个根分别为 ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，则数列ａ１，ａ２，ａ３，ａ４是首项为１４的等差数列，设 其公差为ｄ， 由等差数列的性质可得ａ１ ＋ ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ３， ①若ａ１，ａ４为方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ ＝ ０的两个根，则ａ２，ａ３ 为方程 ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ ＝ ０的两个根， 由根与系数的关系可得ａ１ ＋ ａ４ ＝ １４ ＋ ａ４ ＝ ２，可得ａ４ ＝ ７ ４ ，ｄ ＝ ａ４ － ａ１ ３ ＝ １ ２ ，则ａ２ ＝ ３ ４ ，ａ３ ＝ ５ ４ ， 此时ｍ ＝ ａ１ａ４ ＝ ７１６，ｎ ＝ ａ２ａ３ ＝ １５ １６， 则ｍ － ｎ ＝ － １２ ； ②若ａ１，ａ４为ｘ２ － ２ｘ ＋ ｎ ＝ ０的两个根，ａ２，ａ３为方程ｘ２ － ２ｘ ＋ ｍ ＝ ０的两个根， 同理可得ｍ ＝ １５１６，ｎ ＝ ７ １６，则ｍ － ｎ ＝ １ ２ ． 综上所述，ｍ － ｎ ＝ ± １２ ． ４． ４　 ∵等差数列｛ａｎ｝中，ａ２２ ＋ ２ａ２ａ８ ＋ ａ６ａ１０ ＝ １６， ∴ ａ２２ ＋ ａ２（ａ６ ＋ ａ１０）＋ ａ６ａ１０ ＝ １６， ∴ （ａ２ ＋ ａ６）（ａ２ ＋ ａ１０）＝ １６，∴ ２ａ４·２ａ６ ＝ １６， ∴ ａ４ａ６ ＝ ４． ５． ３　 ５２ 　 设第三行的四个数的公差为ｄ３，由ａ３１ ＝ １，ａ３４ ＝ ７，得 ｄ３ ＝ ７ － １ ４ － １ ＝ ２， 所以ａ３２ ＝ １ ＋ ２ ＝ ３． 因为第二列的四个数成等差数列， 所以ａ２２是ａ１２，ａ３２的等差中项， 所以ａ２２ ＝ ａ１２ ＋ ａ３２２ ＝ ２ ＋ ３ ２ ＝ ５ ２ ． ６．（１）因为ａ４ ＋ ａ５ ＝ ａ３ ＋ ａ６ ＝ １６， 所以ａ３ａ６ ＝ ５５， ａ３ ＋ ａ６ ＝ １６{ ， 又因为｛ａｎ｝递增，所以ａ３ ＝ ５，ａ６ ＝ １１． （２）设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 所以ａ１ ＋ ２ｄ ＝ ５， ａ１ ＋ ５ｄ ＝ １１{ ，解得ａ１ ＝ １，ｄ ＝ ２， 所以ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ２ｎ － １（ｎ∈Ｎ）． Ｃ组·创新拓展 ∵ ｂ１ｂ２ｂ３ ＝ １ ８ ，又ｂｎ ＝ ( )１２ ａｎ，∴ ( )１２ ａ１·( )１２ ａ２·( )１２ ａ３ ＝ １８ ． ∴ ( )１２ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ １８ ，∴ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ ３， 又｛ａｎ｝成等差数列∴ ａ２ ＝ １，ａ１ ＋ ａ３ ＝ ２， ∴ ｂ１ｂ３ ＝ １ ４ ，ｂ１ ＋ ｂ３ ＝ １７ ８ ， ∴ ｂ１ ＝ ２， ｂ３ ＝{ １８或ｂ１ ＝ １ ８ ， ｂ３ ＝ ２ { ，即ａ１ ＝ － １，ａ３{ ＝ ３ 或ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ － １{ ， ∴ ａｎ ＝ ２ｎ － ３或ａｎ ＝ － ２ｎ ＋ ５． 练案［５］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 设｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由 ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ５ａ１ ＋ ５ × ４ ２ ｄ ＝ ２， ７ａ１ ＋ ７ × ６ ２ ｄ ＝ １４ { ， 可得６ａ１ ＋ １３ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ２{ ， 解得ａ１ ＝ － ４， ｄ ＝ ２{ ， 所以ａ１０ ＝ － ４ ＋ ９ × ２ ＝ １４． ２． Ａ　 ∵ ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ３ａ３ ＝ ３，∴ ａ３ ＝ １， ∴ Ｓ５ ＝ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ５ × ２ａ３ ２ ＝ ５ａ３ ＝ ５．故选Ａ． ３． Ｄ　 Ｓ９ Ｓ５ ＝ ９（ａ１ ＋ ａ９） ２ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ９（ａ１ ＋ ａ９） ５（ａ１ ＋ ａ５）＝ ９ａ５ ５ａ３ ＝ ９５ × ３ ＝ ２７ ５ ． ４． Ｂ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，项数为ｎ，前ｎ项和为Ｓｎ，因 为ｄ ＝ ４，Ｓ奇＝ １５，Ｓ偶＝ ５５，所以Ｓ偶－ Ｓ奇＝ ｎ２ ｄ ＝ ２ｎ ＝ ４０，所以 ｎ ＝ ２０，即这个数列的项数为２０． ５． ＡＢＤ　 ∵ Ｓ５ ＜ Ｓ４，∴ ａ５ ＜ ０，∵ Ｓ５ ＝ Ｓ６，∴ ａ６ ＝ ０，∵ Ｓ７ ＞ Ｓ６，∴ ａ７ ＞ ０，由以上结论知Ａ，Ｂ正确，Ｃ错误；对于Ｄ，Ｓ８ － Ｓ４ ＝ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＋ ａ８ ＝ ２（ａ６ ＋ ａ７）＞ ０，∴ Ｓ８ ＞ Ｓ４，Ｄ正确． ６． － ３ 　 已知等差数列｛ａｎ｝的前５项和Ｓ５ ＝ ２５，所以Ｓ５ ＝ ５（ａ１ ＋ ａ５） ２ ＝ ５ａ３ ＝ ２５，解得ａ３ ＝ ５．已知ａ４ ＝ ３，则公差ｄ ＝ ａ４ － ａ３ ＝ － ２．所以ａ７ ＝ ａ３ ＋ ４ｄ ＝ ５ － ８ ＝ － ３． ７． １８０　 因为ａ１ ＋ ａ１８ ＝ ａ２ ＋ ａ１７ ＝ ２０， 所以Ｓ１８ ＝ １８ ×（ａ１ ＋ ａ１８）２ ＝ １８ ×（ａ２ ＋ ａ１７） ２ ＝ １８０． ８． ８３ 　 ２ 　 由等差数列的性质可得 ａ２ ＋ ａ２０ ｂ７ ＋ ｂ１５ ＝ ａ１ ＋ ａ２１ ｂ１ ＋ ｂ２１ ＝ ２１（ａ１ ＋ ａ２１） ２１（ｂ１ ＋ ｂ２１）＝ ２Ｓ２１ ２Ｔ２１ ＝ ３ × ２１ ＋ １２１ ＋ ３ ＝ ８ ３ ， ａｎ ｂｎ ＝ ２ａｎ ２ｂｎ ＝ ａ１ ＋ ａ２ｎ － １ ｂ１ ＋ ｂ２ｎ － １ ＝ （２ｎ － １）（ａ１ ＋ ａ２ｎ － １） （２ｎ － １）（ｂ１ ＋ ｂ２ｎ － １） ＝ Ｓ２ｎ － １ Ｔ２ｎ － １ ＝ ３（２ｎ － １）＋ １ ２ｎ ＋ ２ ＝ ６ｎ － ２ ２ｎ ＋ ２ ＝ ３ｎ － １ｎ ＋ １ ＝ ３（ｎ ＋ １）－ ４ ｎ ＋ １ ＝ ３ － ４ ｎ ＋ １， 若ａｎｂｎ为整数，且ｎ ＋ １≥２，故４能被ｎ ＋ １整除，故ｎ ＋ １ ＝ ２或 ４，解得ｎ ＝ １或３， 所以，使得ａｎｂｎ为整数的ｎ值的个数为２． ９．（１）根据题意，                                                                       得 —１５６—