1.2 数列的函数特性(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

［练案部分］ 练案［１］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 数列的通项公式的定义域是正整数集Ｎ ＋或它的有限子 集，选项Ｂ错误；并不是所有数列都有通项公式，选项Ｃ错误； 数列－ １，１，－ １，１，…的通项公式可以写成ａｎ ＝（－ １）ｎ，也可 以写成ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ ２，选项Ｄ错误．故选Ａ． ２． Ｃ　 选项Ａ、Ｂ、Ｄ中，ａ１ ＝ １不满足，排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选Ｃ． ３． Ｃ 　 依题意知，ａ５ － ａ４ ＝ １５ ＋ １ ＋ １ ５ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ５ － １ ４ ＋ １ ＋ １ ４ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ４ ＝ １９ ＋ １１０ － １５ ＝ １９０ ．故选Ｃ． ４． Ｃ 　 数列各项可化为槡３ ×０ ＋１，槡３ ×１ ＋１，槡３ ×２ ＋１， 槡３ × ３ ＋ １，槡３ × ４ ＋ １，…，故ａｎ ＝ ３ｎ槡－ ２（ｎ∈ Ｎ）．由 ３ｎ槡 槡－ ２ ＝ ２ １９可得ｎ ＝ ２６，即槡２ １９是这个数列的第２６项． ５． ＡＢ　 由无穷数列的概念可知，选项Ａ、Ｂ中的数列是无穷数 列，选项Ｃ、Ｄ中的数列是有穷数列．故选ＡＢ． ６． ７５　 因为ａｎ ＝ ｎ２（ｎ － ２），所以ａ５ ＝ ２５ × ３ ＝ ７５． ７． ３　 由数列前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，∴需要 填的数为槡９ ＝ ３． ８． ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ ３ｎ ＋ ２ 　 数列 ３ ５ ， １ ２ ， ５ １１， ３ ７ ， ７ １７，…，即数列 ３ ５ ， ４ ８ ， ５ １１， ６ １４， ７ １７，…，故ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ ３ｎ ＋ ２． ９．（１）符号可通过（－ １）ｎ表示，后面的数的绝对值总比前面的 数的绝对值大６，故通项公式为ａｎ ＝（－ １）ｎ（６ｎ － ５）． （２）将数列变形为８９ （１ － ０． １）， ８ ９ （１ － ０． ０１）， ８ ９ （１ － ０． ００１），…，∴ ａｎ ＝ ８９ １ － １ １０( )ｎ ． （３）各项的分母分别为２１，２２，２３，２４，…，易看出第２，３，４项的 分子分别比分母少３．因此把第１项变为－ ２ － ３２ ． 至此原数列已化为－ ２ １ － ３ ２１ ，２ ２ － ３ ２２ ，－ ２ ３ － ３ ２３ ，２ ４ － ３ ２４ ，…， ∴ ａｎ ＝（－ １）ｎ·２ ｎ － ３ ２ｎ ． １０． ∵ ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ａｎ － １２ ＋ ａｎ － １（ｎ≥２）， ∴ ａ２ ＝ ２ａ１ ２ ＋ ａ１ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ ２ａ２ ２ ＋ ａ２ ＝ ２４ ，ａ４ ＝ ２ａ３ ２ ＋ ａ３ ＝ ２５ ，ａ５ ＝ ２ａ４ ２ ＋ ａ４ ＝ ２６ ，由 ２ ２ ， ２ ３ ， ２ ４ ， ２ ５ ， ２ ６ ，… 可以归纳出ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． Ｂ组·能力提升 １． Ｂ　 令 １ｎ（ｎ ＋ １）＝ １ １１０ ＝ １ １０ × １１，∴ ｎ ＝ １０，故选Ｂ． ２． Ｃ　 由已知ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ２ ＝ － １２，ａ８ ＝ ａ４ ＋ ａ４ ＝ － ２４，ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ａ２ ＝ － ２４ － ６ ＝ － ３０． ３． ＢＤ　 这些三角形数的规律是１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，…， 且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有１５ ＋ ２１ ＝ ３６，２８ ＋ ３６ ＝ ６４，只有ＢＤ是正确的． ４． １９１６ 　 ａ３ ＝ ２ －３ ＝ １８ ，ａ４ ＝ １ １ ＋ ２ －４ ＝ １６１７， ∴ ａ３ ＋ １ ａ４ ＝ １８ ＋ １７ １６ ＝ １９ １６ ． ５． 槡３ － ２ ２　 ９　 ａ８ ＝ １槡槡８ ＋ ９ 槡槡 槡 ＝ ９ － ８ ＝ ３ － ２ ２． 槡 槡 槡∵ １０ － ３ ＝ １０ － ９ ＝ １槡 槡１０ ＋ ９ ，∴ ｎ ＝ ９． ６．（１）ａ７ ＝ ７ ２ ７２ ＋ １ ＝ ４９５０ ． （２）证明：∵ ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ １ － １ ｎ２ ＋ １ ， ∴ ０ ＜ ａｎ ＜ １，故数列的各项都在区间（０，１）内． （３）∵ １３ ＜ ｎ２ ｎ２ ＋ １ ＜ ２３ ，∴ １ ２ ＜ ｎ ２ ＜ ２． 又ｎ∈Ｎ，∴ ｎ ＝ １，即在区间１３ ，( )２３ 内有且只有一项ａ１ ． Ｃ组·创新拓展 ∵ ａ１ ＝ ３，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １，∴ ａ２ ＝ ７ ＝ ２３ － １， ａ３ ＝ １５ ＝ ２ ４ － １，ａ４ ＝ ３１ ＝ ２５ － １， ａ５ ＝ ６３ ＝ ２ ６ － １， ∴猜得ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ － １． 练案［２］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 由于函数ｙ ＝ ｃｏｓ πｘ ，在ｘ∈［１，＋ ∞）上单调递增，所以数 列ｃｏｓ π{ }ｎ 是递增数列． ２． Ａ　 ａｎ ＝ ａ ｂ ＋ ｃｎ ，∵ ａ，ｂ，ｃ均为正数，∴ ａｎ 随ｎ的增大而增大， 故选Ａ． ３． Ｃ　 函数ｙ ＝ ｘ ＋１５６ｘ在（０，槡１５６）上单调递减，在［槡１５６，＋∞）上 单调递增，又 槡１２ ＜ １５６ ＜ １３．且ａ１２ ＝ ａ１３ ＝ ２５，故选Ｃ． ４． Ａ　 因为ａｎ ＋ １ ＝ ｆ（ａｎ），ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，所以ｆ（ａｎ）＞ ａｎ，即ｆ（ｘ）＞ ｘ． ５． ＡＤ　 Ａ是ｎ的一次函数，一次项系数为２，所以为递增数列； Ｂ是ｎ的二次函数，二次项系数为－ １，且对称轴为ｎ ＝ － ３２ ， 所以为递减数列； Ｃ是ｎ的指数函数，且底数为１２ ，是递减数列； Ｄ是ｎ的对数型函数，且底数为２，是递增数列． ６． １３ 　 ∵ ａ１ ＝ ２，由ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ａｎ １ － ａｎ 得ａ２ ＝ － ３，ａ３ ＝ － １２ ，ａ４ ＝ １ ３ ， ａ５ ＝ ２，…，∴ ｛ａｎ｝是周期为４的数列， ∴ ａ１６ ＝ ａ４ × ４ ＝ ａ４ ＝ １ ３ ． ７．递减　 由已知ａ１ ＜ ０，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ（ｎ∈Ｎ），得ａｎ ＜ ０（ｎ∈Ｎ）． 又ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ２ａｎ － ａｎ ＝ ａｎ ＜ ０，所以｛ａｎ｝是递减数列． ８． ９　 因为ａｎ ＝ ４２９ － ３ｎ，所以ｎ≤９时，ａｎ ＞ ０，ｎ≥１０时，ａｎ ＜ ０， 因为｛ａｎ｝在［１，９］（ｎ∈Ｎ）上递增， 所以（ａｎ）ｍａｘ ＝ ａ９， 又因为对任意正整数ｎ都有ａｎ≤ａｋ， 所以ｋ ＝ ９． ９．（１）ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ １，ａ４ ＝ ３，ａ５ ＝ １．图象如图１． （２）ａ１ ＝ ２，ａ２ ＝ ３２ ，ａ３ ＝ ４ ３ ，ａ４ ＝ ５ ４ ，ａ５ ＝ ６ ５ ．图象如图２                                                                   ． —１５３— １０．（１）∵ ａｎ ＝ ｐｎ ＋ ｑ，又ａ１ ＝ － １２ ，ａ２ ＝ － ３ ４ ， ∴ ｐ ＋ ｑ ＝ － １２ ， ｐ２ ＋ ｑ ＝ － ３４ { ，解得ｐ ＝ １２ ，ｑ ＝ － １{ ． ∴ ｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ( )１２ ｎ － １． （２）令ａｎ ＝ － ２５５２５６，即( )１２ ｎ － １ ＝ － ２５５２５６， ∴ ( )１２ ｎ ＝ １２５６，即ｎ ＝ ８． ∴ － ２５５２５６是｛ａｎ｝中的第８项． （３）∵ ａｎ ＝ ( )１２ ｎ － １，且ｙ ＝ ( )１２ ｎ 随ｎ增大而减小， ∴ ａｎ的值随ｎ增大而减小， ∴ ｛ａｎ｝是递减数列． Ｂ组·能力提升 １． Ｃ　 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ ２）·０． ９ｎ ＋ １ －（ｎ ＋ １）·０．９ｎ ＝ ０． ９ｎ［０． ９（ｎ ＋ ２）－（ｎ ＋ １）］＝ ０． ９ｎ（０． ８ － ０． １ｎ）， 当ｎ ＝ ８时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ０，当ｎ ＜ ８时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０，当ｎ ＞ ８时， ａｎ ＋ １ － ａｎ ＜ ０． 所以当ｎ ＜ ８时，ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，数列｛ａｎ｝单调递增； 当ｎ ＞ ８时，ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ，数列｛ａｎ｝单调递减，所以当ｎ ＝ ８时，ａ９ ＝ ａ８为数列的最大项． ２． Ａ　 若“函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［１，＋ ∞）上递增”，则“数列｛ａｎ｝是递 增数列”一定成立；若“数列｛ａｎ｝是递增数列”，则“函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在［１，＋ ∞）上递增”不一定成立，比如函数在［１，２］上先 减后增，且在１处比在２处的函数值小．综上，“函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 在［１，＋ ∞）上递增”是“数列｛ａｎ｝是递增数列”的充分而不必 要条件． ３． ＢＣＤ　 由于数列为递增数列， 所以 λ － １ ＞ ０， ３ － λ ＞ １， ４（λ － １）＋ ５ ＜（３ － λ）＋ ５{ ，解得λ∈ １，( )７５ ． ４．递减　 ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｋ ３ｎ ＋ １ ·３ ｎ ｋ ＝ １ ３ ＜ １． ∵ ｋ ＞ ０，∴ ａｎ ＞ ０， ∴ ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ，∴ ｛ａｎ｝是递减数列． ５．（５，７）　 因为ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － ｔｘ ＋ ２ ０２０的图象开口向上，对称轴 为直线ｘ ＝ ｔ２ ，则由题意知 ５ ２ ＜ ｔ ２ ＜ ７ ２ ，所以ｔ∈（５，７）． ６．（１）因为ａｎ ＝ ｎ（ｎ － ８）－ ２０ ＝（ｎ ＋ ２）（ｎ － １０），所以当ａｎ ＜ ０ 时，０ ＜ ｎ ＜ １０， 所以数列｛ａｎ｝共有９项为负． （２）因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ２ｎ － ７，所以当ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０时，即２ｎ － ７ ＞ ０，解得ｎ ＞ ７２ ，故从第４项开始数列｛ａｎ｝递增． （３）ａｎ ＝ ｎ（ｎ － ８）－ ２０ ＝（ｎ － ４）２ － ３６，根据二次函数的性质 知，当ｎ ＝ ４时，ａｎ取得最小值－ ３６，即数列中有最小值，最小 值为－ ３６． Ｃ组·创新拓展 ∵ ａｎ ＝ ｎ 槡－ ９９ ＋（槡 槡９９ － ９８） ｎ 槡－ ９９ ＝槡 槡９９ － ９８ｎ － ９９ ＋ １， ∴点（ｎ，ａｎ）在函数ｙ ＝槡 槡９９ － ９８ｘ 槡－ ９９ ＋ １的图象上， 在平面直角坐标系中作出函数ｙ ＝槡 槡９９ － ９８ ｘ 槡－ ９９ ＋ １的图象， 由图象易知，当ｘ∈（０，槡９９）时，函数单调递减． ∴ ａ９ ＜ ａ８ ＜ ａ７ ＜…＜ ａ１ ＜ １， 当ｘ∈（槡９９，＋ ∞）时，函数单调递减， ∴ ａ１０ ＞ ａ１１ ＞…＞ ａ３０ ＞ １． 所以，数列｛ａｎ｝的前３０项中最大的项是ａ１０，最小的项是ａ９ ． 练案［３］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 设等差数列的公差为ｄ，则１０ － ２ ＝ ４ｄ，解得ｄ ＝ ２，所以 ｃ － ａ ＝ ２ｄ ＝ ４，故选Ｃ． ２． Ｃ　 由等差数列的通项公式得ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ４ ＋（ｎ － １） ×（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ６． ３． Ｃ　 ∵ ａ － １，ａ ＋ １，２ａ ＋ １是等差数列｛ａｎ｝的前三项，∴ ａ ＋ １ － （ａ － １）＝ ２ａ ＋ １ －（ａ ＋ １），∴ ａ ＝ ２，∴ ｛ａｎ｝的首项ａ１ ＝ １，公差 ｄ ＝ ２，∴通项公式ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）× ２ ＝ ２ｎ － １． ４． Ｂ　 设｛ａｎ｝的首项为ａ１，公差为ｄ， ∴ （ａ１ ＋ ２ｄ）＋（ａ１ ＋ １０ｄ）＝ ２４， ａ１ ＋ ３ｄ ＝ ３{ ， 解得ｄ ＝ ３． ５． ＢＣＤ　 对于Ａ，令ａ ＝ １，ｂ ＝ ２，ｃ ＝ ３，则ａ２ ＝ １，ｂ２ ＝ ４，ｃ２ ＝ ９，Ａ 错；对于Ｂ，取ａ ＝ ｂ ＝ ｃ２ａ ＝ ２ｂ ＝ ２ ｃ，Ｂ正确，对于Ｃ，因为ａ， ｂ，ｃ成等差，所以ａ ＋ ｃ ＝ ２ｂ，所以（ｋａ ＋ ２）＋（ｋｃ ＋ ２）＝ ｋ（ａ ＋ ｃ）＋ ４ ＝ ２（ｋｂ ＋ ２），Ｃ正确．对于Ｄ，取ａ ＝ ｂ ＝ ｃ≠０，则１ａ ＝ １ ｂ ＝ １ｃ ，Ｄ正确． ６． － ２ｎ ＋ ３　 设公差为ｄ，由题意，得 ａ３ ＝ ａ１ ＋ ２ｄ，∴ －３ ＝ １ ＋ ２ｄ，∴ ｄ ＝ － ２． ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ １ － ２（ｎ － １）＝ － ２ｎ ＋ ３． ７． ３ｎ２ 　 ∵点（ ａ槡ｎ， ａｎ槡－ １）在直线ｘ － ｙ 槡－ ３ ＝ ０上， ∴ ａ槡ｎ － ａｎ槡－ １ 槡－ ３ ＝ ０，即ａ槡ｎ － ａｎ槡－ １ 槡＝ ３（ｎ≥２）． 则数列｛ ａ槡ｎ｝是以槡３为首项，槡３为公差的等差数列， ∴ ａ槡ｎ 槡槡＝ ３ ＋ ３（ｎ － １） 槡＝ ３ｎ， ∴数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ３ｎ２ ． ８． ６７６６ 　 设此等差数列为｛ａｎ｝，公差为ｄ，则 ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ３， ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ ４{ ， ∴ ４ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ３， ３ａ１ ＋ ２１ｄ ＝ ４{ ，解得 ａ１ ＝ １３ ２２， ｄ ＝ ７６６ { ． ∴ ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １３ ２２ ＋ ４ × ７ ６６ ＝ ６７ ６６ ． ９．（１）证明：因为３ａｎａｎ － １ ＋ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ０（ｎ≥２），整理得１ａｎ － １ ａｎ － １ ＝ ３（ｎ≥２                                                                       ）， —１５４— 练案［２］ 第一章　 数列 § １　 ［１． ２　 数列的函数特性］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列四个数列中，是递增数列的是 （Ｃ ） Ａ． ｎ ＋ １{ }ｎ Ｂ． （－ １） ｎ{ }ｎ Ｃ． ｃｏｓ π{ }ｎ Ｄ． ｓｉｎ π{ }ｎ ２．已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＝ ｎａｎｂ ＋ ｃ，其中ａ，ｂ，ｃ均 为正数，则此数列 （Ａ ） Ａ．递增 Ｂ．递减 Ｃ．先增后减 Ｄ．先减后增 ３．已知数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ｎ ＋ １５６ｎ （ｎ∈ Ｎ ＋），则数列｛ａｎ｝的最小项是 （Ｃ ） Ａ． ａ１２ Ｂ． ａ１３ Ｃ． ａ１２或ａ１３ Ｄ．不存在 ４．一给定函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的图象在下列图中，并且 对任意ａ１∈（０，１），由关系式ａｎ ＋１ ＝ ｆ（ａｎ）得 到的数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＞ ａｎ，则该函数的图 象是 （Ａ ） ５．（多选）如果｛ａｎ｝为递增数列，则｛ａｎ｝的通项 公式可以为 （Ａ ） Ａ． ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ３ Ｂ． ａｎ ＝ － ｎ ２ － ３ｎ ＋ １ Ｃ． ａｎ ＝ １( )２ ｎ Ｄ． ａｎ ＝ １ ＋ ｌｏｇ２ｎ 二、填空题 ６．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋１ ＝ １ ＋ ａｎ１ － ａｎ（ｎ∈ Ｎ ＋），则ａ１６ ＝ 　 　 　 　 ． ７．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＜ ０，ａｎ ＋１ａｎ ＝２（ｎ∈Ｎ ），则 数列｛ａｎ｝是递减　 数列（填“递增”或“递减”）． ８．已知数列ａｎ ＝ ４２９ － ３ｎ，若对任意正整数ｎ都 有ａｎ≤ａｋ，则正整数ｋ ＝ ９　 　 ． 三、解答题 ９．根据数列的通项公式，写出数列的前５项，并 用图象表示出来． （１）ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ ２（ｎ∈Ｎ ＋）； （２）ａｎ ＝ ｎ ＋ １ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）                                                               ． —０７９— １０．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｐｎ ＋ ｑ（ｐ， ｑ∈Ｒ，ｎ∈Ｎ ＋），且ａ１ ＝ － １２，ａ２ ＝ － ３ ４ ． （１）求ａｎ的通项公式； （２）－ ２５５２５６是｛ａｎ｝中的第几项？ （３）该数列是递增数列还是递减数列？ Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．若数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ （ｎ ＋ １）· ０． ９ｎ，对于任意的正整数ｎ都有ａｎ≤ａＮ成立， 则Ｎ为 （Ｃ ） Ａ． ６或７ Ｂ． ７或８ Ｃ． ８或９ Ｄ． ９或１０ ２．已知函数ｙ ＝ ｆ（ｘ），ｘ∈Ｒ，数列｛ａｎ｝的通项公 式是ａｎ ＝ ｆ（ｎ），ｎ∈Ｎ ＋，那么“函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在 ［１，＋ ∞）上递增”是“数列｛ａｎ｝是递增数列” 的 （Ａ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ３．（多选）已知数列｛ａｎ｝是递增数列，且ａｎ ＝ （λ － １）ｎ ＋ ５，ｎ≤４， （３ － λ）ｎ －４ ＋ ５，ｎ{ ＞ ４ｎ∈Ｎ ＋，则λ的值可能 为 （　 ） Ａ． １ Ｂ． １． １ Ｃ． １． ２ Ｄ． １． ３ 二、填空题 ４．若数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｋ３ｎ（ｋ ＞ ０，且ｋ 为常数），则该数列是递减　 （填“递增”“递 减”）数列． ５．已知ａｎ ＝ ｎ２ － ｔｎ ＋ ２ ０２０（ｎ∈Ｎ ＋，ｔ∈Ｒ），若数 列｛ａｎ｝中最小项为第３项，则ｔ∈ （５，７）　 ． 三、解答题 ６．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｎ（ｎ － ８）－ ２０，请回答下 列问题： （１）这个数列共有几项为负？ （２）这个数列从第几项开始递增？ （３）这个数列中有无最小值？若有，求出最小 值；若无，请说明理由． Ｃ组·创新拓展 已知数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ｎ －槡９８ ｎ －槡９９ （ｎ∈ Ｎ ＋），求这个数列的前３０项中最大项和最 小项                                                                      ． —０８０—