1.1 数列的概念(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

［练案部分］ 练案［１］ Ａ组·基础自测 １． Ａ　 数列的通项公式的定义域是正整数集Ｎ ＋或它的有限子 集，选项Ｂ错误；并不是所有数列都有通项公式，选项Ｃ错误； 数列－ １，１，－ １，１，…的通项公式可以写成ａｎ ＝（－ １）ｎ，也可 以写成ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋ ２，选项Ｄ错误．故选Ａ． ２． Ｃ　 选项Ａ、Ｂ、Ｄ中，ａ１ ＝ １不满足，排除Ａ、Ｂ、Ｄ，故选Ｃ． ３． Ｃ 　 依题意知，ａ５ － ａ４ ＝ １５ ＋ １ ＋ １ ５ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ５ － １ ４ ＋ １ ＋ １ ４ ＋ ２ ＋…＋ １( )２ × ４ ＝ １９ ＋ １１０ － １５ ＝ １９０ ．故选Ｃ． ４． Ｃ 　 数列各项可化为槡３ ×０ ＋１，槡３ ×１ ＋１，槡３ ×２ ＋１， 槡３ × ３ ＋ １，槡３ × ４ ＋ １，…，故ａｎ ＝ ３ｎ槡－ ２（ｎ∈ Ｎ）．由 ３ｎ槡 槡－ ２ ＝ ２ １９可得ｎ ＝ ２６，即槡２ １９是这个数列的第２６项． ５． ＡＢ　 由无穷数列的概念可知，选项Ａ、Ｂ中的数列是无穷数 列，选项Ｃ、Ｄ中的数列是有穷数列．故选ＡＢ． ６． ７５　 因为ａｎ ＝ ｎ２（ｎ － ２），所以ａ５ ＝ ２５ × ３ ＝ ７５． ７． ３　 由数列前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，∴需要 填的数为槡９ ＝ ３． ８． ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ ３ｎ ＋ ２ 　 数列 ３ ５ ， １ ２ ， ５ １１， ３ ７ ， ７ １７，…，即数列 ３ ５ ， ４ ８ ， ５ １１， ６ １４， ７ １７，…，故ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ ３ｎ ＋ ２． ９．（１）符号可通过（－ １）ｎ表示，后面的数的绝对值总比前面的 数的绝对值大６，故通项公式为ａｎ ＝（－ １）ｎ（６ｎ － ５）． （２）将数列变形为８９ （１ － ０． １）， ８ ９ （１ － ０． ０１）， ８ ９ （１ － ０． ００１），…，∴ ａｎ ＝ ８９ １ － １ １０( )ｎ ． （３）各项的分母分别为２１，２２，２３，２４，…，易看出第２，３，４项的 分子分别比分母少３．因此把第１项变为－ ２ － ３２ ． 至此原数列已化为－ ２ １ － ３ ２１ ，２ ２ － ３ ２２ ，－ ２ ３ － ３ ２３ ，２ ４ － ３ ２４ ，…， ∴ ａｎ ＝（－ １）ｎ·２ ｎ － ３ ２ｎ ． １０． ∵ ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ａｎ － １２ ＋ ａｎ － １（ｎ≥２）， ∴ ａ２ ＝ ２ａ１ ２ ＋ ａ１ ＝ ２３ ，ａ３ ＝ ２ａ２ ２ ＋ ａ２ ＝ ２４ ，ａ４ ＝ ２ａ３ ２ ＋ ａ３ ＝ ２５ ，ａ５ ＝ ２ａ４ ２ ＋ ａ４ ＝ ２６ ，由 ２ ２ ， ２ ３ ， ２ ４ ， ２ ５ ， ２ ６ ，… 可以归纳出ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． Ｂ组·能力提升 １． Ｂ　 令 １ｎ（ｎ ＋ １）＝ １ １１０ ＝ １ １０ × １１，∴ ｎ ＝ １０，故选Ｂ． ２． Ｃ　 由已知ａ４ ＝ ａ２ ＋ ａ２ ＝ － １２，ａ８ ＝ ａ４ ＋ ａ４ ＝ － ２４，ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ａ２ ＝ － ２４ － ６ ＝ － ３０． ３． ＢＤ　 这些三角形数的规律是１，３，６，１０，１５，２１，２８，３６，４５，…， 且正方形数是这串数中相邻两数之和，很容易看到：恰有１５ ＋ ２１ ＝ ３６，２８ ＋ ３６ ＝ ６４，只有ＢＤ是正确的． ４． １９１６ 　 ａ３ ＝ ２ －３ ＝ １８ ，ａ４ ＝ １ １ ＋ ２ －４ ＝ １６１７， ∴ ａ３ ＋ １ ａ４ ＝ １８ ＋ １７ １６ ＝ １９ １６ ． ５． 槡３ － ２ ２　 ９　 ａ８ ＝ １槡槡８ ＋ ９ 槡槡 槡 ＝ ９ － ８ ＝ ３ － ２ ２． 槡 槡 槡∵ １０ － ３ ＝ １０ － ９ ＝ １槡 槡１０ ＋ ９ ，∴ ｎ ＝ ９． ６．（１）ａ７ ＝ ７ ２ ７２ ＋ １ ＝ ４９５０ ． （２）证明：∵ ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ １ － １ ｎ２ ＋ １ ， ∴ ０ ＜ ａｎ ＜ １，故数列的各项都在区间（０，１）内． （３）∵ １３ ＜ ｎ２ ｎ２ ＋ １ ＜ ２３ ，∴ １ ２ ＜ ｎ ２ ＜ ２． 又ｎ∈Ｎ，∴ ｎ ＝ １，即在区间１３ ，( )２３ 内有且只有一项ａ１ ． Ｃ组·创新拓展 ∵ ａ１ ＝ ３，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ ＋ １，∴ ａ２ ＝ ７ ＝ ２３ － １， ａ３ ＝ １５ ＝ ２ ４ － １，ａ４ ＝ ３１ ＝ ２５ － １， ａ５ ＝ ６３ ＝ ２ ６ － １， ∴猜得ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １ － １． 练案［２］ Ａ组·基础自测 １． Ｃ　 由于函数ｙ ＝ ｃｏｓ πｘ ，在ｘ∈［１，＋ ∞）上单调递增，所以数 列ｃｏｓ π{ }ｎ 是递增数列． ２． Ａ　 ａｎ ＝ ａ ｂ ＋ ｃｎ ，∵ ａ，ｂ，ｃ均为正数，∴ ａｎ 随ｎ的增大而增大， 故选Ａ． ３． Ｃ　 函数ｙ ＝ ｘ ＋１５６ｘ在（０，槡１５６）上单调递减，在［槡１５６，＋∞）上 单调递增，又 槡１２ ＜ １５６ ＜ １３．且ａ１２ ＝ ａ１３ ＝ ２５，故选Ｃ． ４． Ａ　 因为ａｎ ＋ １ ＝ ｆ（ａｎ），ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，所以ｆ（ａｎ）＞ ａｎ，即ｆ（ｘ）＞ ｘ． ５． ＡＤ　 Ａ是ｎ的一次函数，一次项系数为２，所以为递增数列； Ｂ是ｎ的二次函数，二次项系数为－ １，且对称轴为ｎ ＝ － ３２ ， 所以为递减数列； Ｃ是ｎ的指数函数，且底数为１２ ，是递减数列； Ｄ是ｎ的对数型函数，且底数为２，是递增数列． ６． １３ 　 ∵ ａ１ ＝ ２，由ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ａｎ １ － ａｎ 得ａ２ ＝ － ３，ａ３ ＝ － １２ ，ａ４ ＝ １ ３ ， ａ５ ＝ ２，…，∴ ｛ａｎ｝是周期为４的数列， ∴ ａ１６ ＝ ａ４ × ４ ＝ ａ４ ＝ １ ３ ． ７．递减　 由已知ａ１ ＜ ０，ａｎ ＋ １ ＝ ２ａｎ（ｎ∈Ｎ），得ａｎ ＜ ０（ｎ∈Ｎ）． 又ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ２ａｎ － ａｎ ＝ ａｎ ＜ ０，所以｛ａｎ｝是递减数列． ８． ９　 因为ａｎ ＝ ４２９ － ３ｎ，所以ｎ≤９时，ａｎ ＞ ０，ｎ≥１０时，ａｎ ＜ ０， 因为｛ａｎ｝在［１，９］（ｎ∈Ｎ）上递增， 所以（ａｎ）ｍａｘ ＝ ａ９， 又因为对任意正整数ｎ都有ａｎ≤ａｋ， 所以ｋ ＝ ９． ９．（１）ａ１ ＝ １，ａ２ ＝ ３，ａ３ ＝ １，ａ４ ＝ ３，ａ５ ＝ １．图象如图１． （２）ａ１ ＝ ２，ａ２ ＝ ３２ ，ａ３ ＝ ４ ３ ，ａ４ ＝ ５ ４ ，ａ５ ＝ ６ ５ ．图象如图２                                                                   ． —１５３— 书 练案［１］ 第一章　 数列 § １　 ［１． １　 数列的概念］ Ａ组·基础自测 一、选择题 １．下列叙述正确的是 （Ａ ） Ａ 同一个数在数列中可能重复出现 Ｂ 数列的通项公式是定义域为正整数集Ｎ ＋ 的函数 Ｃ 任何数列的通项公式都存在 Ｄ 数列的通项公式是唯一的 ２．数列－ １，３，－ ５，７，－ ９，…的一个通项公式为 （Ｃ ） Ａ． ａｎ ＝ ２ｎ － １ Ｂ． ａｎ ＝（－ １）ｎ（１ － ２ｎ） Ｃ． ａｎ ＝（－ １）ｎ（２ｎ － １） Ｄ． ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋１（２ｎ － １） ３．若数列ａｎ ＝ １ｎ ＋１ ＋ １ ｎ ＋２ ＋…＋ １ ２ｎ，则ａ５ － ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． １１０ Ｂ． － １ １０ Ｃ． １９０ Ｄ． １９ ９０ ４．在数列１，２，槡７，槡１０，槡１３，…中，２槡１９是这个 数列的 （Ｃ ） Ａ．第１６项 Ｂ．第２４项 Ｃ．第２６项 Ｄ．第２８项 ５．（多选）下列数列中，是无穷数列的是（　 ） Ａ． １，１３， １ ３２ ，１ ３３ ，… Ｂ． ｓｉｎ π１３，ｓｉｎ ２π １３，ｓｉｎ ３π １３，ｓｉｎ ４π １３，… Ｃ． － １，－ １２，－ １ ３，－ １ ４ Ｄ． １，２，３，…，３０ 二、填空题 ６．若数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２（ｎ － ２），其 中ｎ∈Ｎ，则ａ５ ＝ ７５　 ． ７．观察数列的特点，用一个适当的数填空：１， 槡３，槡５，槡７，３　 ，槡１１，…． ８．数列３５， １ ２， ５ １１， ３ ７， ７ １７，…的一个通项公式是 　 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个 通项公式． （１）－ １，７，－ １３，１９，…； （２）０． ８，０． ８８，０． ８８８，…； （３）１２， １ ４，－ ５ ８， １３ １６，－ ２９ ３２， ６１ ６４，…                                                                ． —０７７— １０．在数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＝ ２ａｎ －１２ ＋ ａｎ －１（ｎ≥２）， 求ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，并归纳出ａｎ． Ｂ组·能力提升 一、选择题 １．已知数列｛ａｎ｝，且ａｎ ＝ １ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ∈Ｎ ＋），那 么１１１０是这个数列的 （Ｂ ） Ａ．第９项 Ｂ．第１０项 Ｃ．第１１项 Ｄ．第１２项 ２．已知数列｛ａｎ｝对任意的ｐ，ｑ∈Ｎ满足ａｐ ＋ ｑ ＝ ａｐ ＋ ａｑ，且ａ２ ＝ － ６，那么ａ１０等于 （Ｃ ） Ａ． － １６５ Ｂ． － ３３ Ｃ． － ３０ Ｄ． － ２１ ３．（多选）古希腊著名的毕达哥拉斯学派把１， ３，６，１０…这样的数称为“三角形数”，而把１， ４，９，１６…这样的数称为“正方形数”．如图中 可以发现，任何一个大于１的“正方形数”都 可以看作两个相邻“三角形数”之和，下列等 式中，符合这一规律的表达式为 （Ｂ ） Ａ． ２５ ＝ ９ ＋ １６ Ｂ． ３６ ＝ １５ ＋ ２１ Ｃ． ４９ ＝ １８ ＋ ３１ Ｄ． ６４ ＝ ２８ ＋ ３６ 二、填空题 ４． 已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ２ － ｎ，ｎ是奇数， １ １ ＋２ － ｎ ，ｎ是偶数{ ，则ａ３ ＋ １ａ４ ＝ 　 　 　 　 ． ５．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ １槡ｎ ＋ ｎ槡＋ １ ，则ａ８ ＝ 　 　 　 　 ，槡１０ － ３是此数列的第９　 项． 三、解答题 ６．数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ． （１）求数列的第７项； （２）求证：此数列的各项都在区间（０，１）内； （３）区间１３， ２( )３ 内有无数列的项？若有，有 几项？ Ｃ组·创新拓展 已知｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ３，ａｎ ＋１ ＝ ２ａｎ ＋ １，试写出该 数列的前５项，并写出这个数列的一个通项 公式                                                                      ． —０７８—