8.3 实数及其简单运算（第1课时实数的概念）（教学课件）-2024-2025学年七年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版2024）

人教版（2024）七年级数学下册 第八章 实数 8.3 实数及其简单运算 第1课时 实数的概念 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 经历无理数的探究过程，了解无理数和实数的概念，会把实数进行分类. 2.了解实数与数轴上的点一一对应，能用数轴上的点表示实数，能比较实数的大小. 3. 通过实数的分类感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 情景导入 ________和________统称为有理数. 整数 分数 有理数 整数 分数 正整数 0 负整数 正分数 负分数 本章我们认识了像 ，这样的无限不循环小数，它们是有理数吗？ 新知探究 问题1 把下列有理数写成小数的形式，你发现了什么？ 整数可以写成小数点后为0的小数。 它们都可以化成有限小数或无限循环小数的形式. 发 现 事实上，任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。反过来任何有限小数或无限循环小数也都是有理数。 有理数 整数 分数 有限小数或无限循环小数 问题2 观察下列各数，你发现了什么？ 它们都是无限不循环小数 无理数 无理数 正无理数 负无理数 无限不循环小数 无理数是不能写成两个整数之比(分数)的数，它和有理数一样。都是现实世界中客观存在的量的反映 溯源 我国古人对无理数已经有了很多认识。《九章算术》中用“面”来表示开平方开不尽的数。 刘徽在其著作《九章算术注》中，不仅记录了包含无理数运算的问题，而且给了用有限小数无线逼近无理数的算法“求微数法”。 探究 实数 有理数(可以写成有限小数或无限循环小数) 无理数(无限不循环小数) 整数 分数 类比有理数的分类，你能给实数分类吗? 负实数 正实数 数实 正有理数 负有理数 0 正无理数 负无理数 因为非零有理数和无理数都有正负之分，那么你能类比有理数的分类方法，按大小对实数分类吗？ 思考 与有理数可以用数轴上的点表示类似，无理数也可以用数轴上的点表示。 你能在数轴上画出 吗？ 0 2 1 3 -1 -2 正无理数a a个单位长度 负无理数 - b(b>0) b个单位长度 以单位长度为直径画一个圆，它的周长等于π。如图，从原点开始，将这个圆沿数轴向右滚动一周，圆上的点由原点O到达点O`点O`对应的数是多少？ 1 3 2 4 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● O` O 从图中我们可以看出OO`的长就是这个圆的周长π，所以对应点O`对应的数就是π，数轴上的点O`就表示无理数π。 几何画板 以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线为半径画弧，与正半轴的交点就表示 ，与负半轴的交点就表示 。(为什么？) -1 -2 0 2 1 3 当数的范围从有理数扩充到实数后，每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个_______．因此实数与数轴上的点是___________的， 一一对应 实数 实数 数轴上的点 一一对应 -1 -2 0 2 1 3 4 补充例题 例 如图 -2 -3 -1 1 0 2 -4 (1) 在数轴上标出-π， ， 所对应点的大致位置。 (2) 根据数轴比较 -π， ， 的大小。 右边的点表示的实数总比左边的点表示的实数大。 概念归纳 1. 无理数的概念 定义 特征 常见形式 无限不循环小数叫作无理数 ①小数 ②位数无限 ③形式为 不循环 1. 含有根号，且被开方数开方开不尽，如： ，3等； 2. 含有 π 的一类数，如： π ， π ，1+π 等；3. 以无限不循环小数的形式出现的具有特定结构的数，如：0.121 121 112… （每相邻两个 2 之间依次多一个 1）等 2. 无理数与有理数的区别 有理数 无理数 本质 可以化为分数形式 不能化为分数形式 表现形式 有限小数或无限循环小数 无限不循环小数 3. 定义： 有理数和无理数统称实数 . 4. 分类： (1)按定义分类： 有限小数或 无限循环小数 无限不循环小数 (2)按性质分类： 5. 实数与数轴间的关系： 实数与数轴上的点是一一对应的 . (1) “一一对应”包含着两层含义 ①每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示； ②数轴上的每一个点都表示一个实数 . (2)数轴上两点间的距离可用两点所表示的实数来表示 . 即若点 A，点 B 在数轴上表示的数为 x 1， x 2，则 AB=|x1-x2|. 课堂练习 1.判断题。 (1) 无限小数都是无理数； (2) 无理数都是无限小数； (3) 用根号表示的数都是无理数； (4) 所有有理数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示有理数； (5)所有实数都可以用数轴上的点表示，反过来，数轴上的所有点都表示实数。 × 无限循环小数是有理数 √ × 是有理数 × 数轴上的点表示有理数或无理数。 √ 2.在0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的平方根与立方根中，哪些是有理数？哪些是无理数？ 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 平方根 立方根 0 ±1 0 1 有理数 有理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 无理数 有理数 有理数 有理数 有理数 有理数 3.把下列实数表示在数轴上，并比较它们的大小(用“<”连接)： -2 -3 -1 1 0 2 -4 < < < 分层练习 基础题 1.[2024· 泸州] 下列各数中，无理数是( ) D A. B.3.14 C.0 D. 2.（新考向数学文化）《九章算术》是中国传统数学中最早记载无理数 的著作，书中指出：“若开之不尽者为不可开，当以面命之”，作者给这 种开方开不尽的数起了一个专门名词——“面”.请问下列各数符合“面”的 描述的是( ) C A. B. C. D. 3.下列说法正确的是( ) D A.正实数和负实数统称实数 B.正数、0和负数统称有理数 C.带根号的数和分数统称实数 D.无理数和有理数统称实数 4.与数轴上的点是一一对应关系的是( ) D A.自然数 B.有理数 C.无理数 D.实数 5.[.2024· 南充] 如图，数轴上表示 的点是( ) C A.点 B.点 C.点 D.点 25 6.[2024· 自贡] 在0，，， 四个数中，最大的数是( ) C A. B.0 C. D. 7.在如图所示的数轴上表示下列各数：，，， .并 把它们按从小到大的顺序排列. 【解】如图所示. . 26 8.把下列实数表示在数轴上，并将它们用“ ”连接起来： ，，，0， . 解：如图. 用“ ”连接为 . 综合应用题 9.（易错题）下列说法正确的是( ) D A.是分数 B. 是无理数 C.是有理数 D. 是有理数 [解析] 点拨：虽然中带有根号，但是，因此 ， 是分数.本题易错之处在于学生误认为具有“分数”形式的数就是分数. 10.如图，在数轴上点和点 之间的整数是( ) B A.1和2 B.2和3 C.3和4 D.4和5 11.（新考法）一个数值转换器如图所示. （1）当输入的为81时，输出的 值是__________； 29 （2）若输入有效的值后，始终输不出 值，请写出所有满 足要求的 的值，并说明你的理由； 【解】输入的 的值为1或0.理由：因为1的算术平方根是1， 0的算术平方根是0， 所以无论经过多少次运算，其算术平方根还是有理数. 30 （3）若输出的是，请写出两个满足要求的 的值：_____ _______________. 2或4（答案不唯一） 【点拨】经过1次运算就得到输出的是，则输入的 的值 为2； 经过2次运算得到输出的是，则输入的的值为 ； 经过3次运算得到输出的是，则输入的的值为 ； …… 故答案为2或4（答案不唯一）. 31 12.（新考法情境信息题）如图所示的是某数学兴趣小组的一次探 究性活动.请你根据该小组的探究方法，探究下列问题： 已知 的整数部分为,的小数部分为，求 的值. 32 【解】 , 的整数部分是28,即 . , ,即 . 的整数部分是3. 的小数部分是,即 . . 33 创新拓展题 13.[2024烟台牟平区期末] 如图，一个直径为2的圆从原点处沿数轴向 左滚动一周，无滑动，圆上与原点重合的点 到达点，设点表示的 数为 . （1）求 的值； 【解】 直径为2的圆从原点处沿数轴向左滚动一周， 之间的距离为圆的周长，即 ，点 在原点的左边. 点对应的数是 ，即 . 35 （2）求 的算术平方根. . 的算术平方根为2， 的算术平方根为2. 36 课堂小结 实数 概念 分类 实数的大小比较 实数与数轴上的点一一对应 无限不循环小数又叫做无理数.有理数和无理数统称实数 有理数 无理数 正有理数 负有理数 正无理数 负无理数 有限小数或无线循环小数 无限不循环小数 0 开方开不尽的数 π 有规律不循环的数 $$