6.3 函数的最值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ４．如图是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象， 对此图象，有如下结论： ①在区间（－２，１）内ｆ（ｘ）是增函数； ②在区间（１，３）内ｆ（ｘ）是减函数； ③ｘ ＝２时，ｆ（ｘ）取到极大值； ④在ｘ ＝３时，ｆ（ｘ）取到极小值． 其中正确的是③　 　 （将你认为正确的序号填在 横线上）． 请同学们认真完成练案［１９             ］ ６． ３　 函数的最值 !"#$%&'( 学习目标 １．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值． ２．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 核心素养 １．结合实例培养学生的直观想象素养． ２．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 最值点 　 　 （１）最大值点：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 内的最大值点ｘ０指的是：函数ｆ（ｘ）在这个区间 内所有点处的函数值都不超过　 ｆ（ｘ０）． （２）最小值点：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 内的最小值点ｘ０指的是：函数ｆ（ｘ）在这个区间 内所有点处的函数值都不小于　 ｆ（ｘ０）． （３）函数的最值　 或在极值点（也是导数的 零点）取得，或者在区间的端点取得． 练一练： 设ｆ（ｘ）是区间［ａ，ｂ］上的连续函数，且在 （ａ，ｂ）内可导，则下列结论中正确的是（Ｃ ） Ａ． ｆ（ｘ）的极值点一定是最值点 Ｂ． ｆ（ｘ）的最值点一定是极值点 Ｃ． ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可能没有极值点 Ｄ． ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可能没有最值点 最值 　 　 函数的最大值　 与最小值　 统称为函数的 最值． 想一想： 函数的极值与最值有何区别？ 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）一般地，连续函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上既有 最大值，又有最小值． （√ ） （２）函数的极值可以有多个，但最大（小） 值最多只能有一个． （√                                 ） !'' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # （３）最大（小）值一定是函数的极大（小） 值． （ × ） （４）极大（小）值一定是函数的最大（小） 值． （ × ） 　 　 ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｘ在区间［－ ３，－ １］上的 最大值为 （Ａ ） Ａ． － ２槡２ Ｂ． － ３ Ｃ． － １１３ Ｄ． －槡           ５ /012%345 题型探究 题型一 求函数的最值 １．求下列各函数的最值． （１）ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ ＋ ６ｘ － ２，ｘ∈［－ １，１］； （２）ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ＋ ｓｉｎ ｘ，ｘ∈［０，２π］． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 求函数最值的四个步骤：第 一步求函数的定义域；第二步求ｆ ′（ｘ），解方程 ｆ ′（ｘ）＝ ０；第三步列出关于ｘ，ｆ（ｘ），ｆ ′（ｘ）的变 化表；第四步求极值、端点值，确定最值． 特别警示：不要忽视将所求极值与区间端 点的函数值比较． 对点训练? 求下列函数的最值： （１）ｆ（ｘ）＝ ２ｘ３ － ６ｘ２ ＋ ３，ｘ∈［－ ２，４］； （２）ｆ（ｘ）＝ ｅ － ｘ － ｅｘ，ｘ∈［０，ａ］，ａ为正实数． 题型二 含参数的函数最值问题 ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ － ａｘ２ ． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）当ａ ＞ ０时，求ｆ（ｘ）在区间１，[ ]２ 上的最 大值． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 １．由于参数的取值范围不同 会导致函数在所给区间上的单调性的变化，从 而导致最值的变化，故含参数时，需注意是否分 类讨论． ２．已知函数最值求参数，可先求出函数在 给定区间上的极值及函数在区间端点处的函数 值，通过比较它们的大小，判断出哪个是最大 值，哪个是最小值，结合已知求出参数，进而使 问题得以解决． 对点训练? 已知函数ｇ（ｘ）＝ ｅｘ － ２ａｘ － ｂ，求ｇ（ｘ）在［０，１］上的最小值                                                          ． !'( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 题型三由函数的最值求参数的值或范围问题 ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ － ６ａｘ２ ＋ ｂ，是否存在 实数ａ，ｂ，使ｆ（ｘ）在［－ １，２］上取得最大值３，最 小值－ ２９？若存在，求出ａ，ｂ的值；若不存在， 请说明理由． ［分析］　 若存在ａ，ｂ满足题设，则可利用 导数求最值，列出关于ａ，ｂ的方程组，从而解出 ａ，ｂ的值．求极值时，要注意对ａ的符号进行分 类讨论，否则容易漏解． 　 　 ［尝试作答        ］ 　 　 ［规律方法］　 由函数的最值来确定参数的 值或取值范围是利用导数求函数最值问题的逆 向运用，这类问题的解题步骤： （１）求导数ｆ ′（ｘ），并求极值． （２）利用单调性，将极值与端点处的函数值 进行比较，确定函数的最值．若参数的变化影响 着函数的单调性，要对参数进行分类讨论． （３）利用最值列关于参数的方程（组），解 方程（组）即可． 对点训练? 已知ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ ａ（１ － ｘ）． （１）讨论ｆ（ｘ）的单调性； （２）当ｆ（ｘ）有最大值，且最大值大于２ａ － ２ 时，求ａ的取值范围． 易错警示 　 　 没有准确把握条件致误 ４．设ｌ为曲线Ｃ：ｙ ＝ ｌｎ ｘｘ 在点（１，０）处的切 线． （１）求ｌ的方程； （２）证明：除切点（１，０）之外，曲线Ｃ在直 线ｌ的下方． ［错解］　 （１）设ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ ，则ｆ ′（ｘ）＝ １ － ｌｎ ｘ ｘ２ ．所以ｆ ′（１）＝ １．所以ｌ的方程为ｙ ＝ ｘ － １． （２）证明：由（１）知ｙ ＝ ｘ － １是曲线ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ｘ 在点（１，０）处的切线，又当ｘ ＝ ２时，有ｆ（２） ＝ ｌｎ ２２ ＜ １，故切线ｌ上的对应点（２，１），在曲线 Ｃ上的点２，ｌｎ ２( )２ 的上方，∴曲线Ｃ上除切点 （１，０）外都在曲线ｌ下方． ［误区警示］　 （１）正确；（２）中错误地认为 直线ｌ与曲线Ｃ相切，则Ｃ上所有点都在直线ｌ 的同侧，从而导致解答错误．错因是受直线与二 次曲线相切的迁移影响，没有准确地理解导数 的几何意义所致． 　 　 ［正解        ］ 　 　 ［点评］　 由直线与曲线相切的定义知，直 线ｌ与曲线Ｃ相切于某点Ｐ是一个局部定义， 当ｌ与Ｃ切于点Ｐ时，不能保证ｌ与Ｃ无其他公 共点，有可能还有其他切点，也有可能还有其他 交点                                                                      ． !') ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６在区间［－ ４，４］ 上的最大值为 （Ａ ） Ａ． １１　 　 Ｂ． － ７０ Ｃ． － １４　 　 Ｄ． ２１ ２．函数ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ的最小值为 （Ａ ） Ａ． － １ｅ Ｂ． － ｅ Ｃ． ｅ２ Ｄ． － １０３ ３．使函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋槡２ｃｏｓ ｘ在０，π[ ]２ 上取得最 大值的ｘ为 （Ｂ ） Ａ． ０ Ｂ． π４ Ｃ． π ３ Ｄ． π ２ ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｘ － ａ，若ｆ（ｘ）在［０， π］上的最大值为－ １，则实数ａ的值是１　 　 ． 请同学们认真完成练案［２０                ］ § ７　 导数的应用 ７． １　 实际问题中导数的意义 ７． ２　 实际问题中的最值问题 !"#$%&'( 学习目标 １．体会导数在解决实际问题中的作用． ２．能利用导数解决简单的实际问题． 核心素养 通过导数在解决实际问题中的应用，培养数学建模及数学运算素养． )*+,%-.+ 实际问题中导数的意义 　 　 （１）功与功率：在物理学中，通常称力在单 位时间内做的功为功率．它的单位是瓦特． （２）降雨强度：在气象学中，通常把单位时 间内的降雨量称作降雨强度，它是反映一次降 雨大小的重要指标． （３）边际成本：在经济学中，通常把生产成 本ｙ关于产量ｘ的函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数称为 边际成本，边际成本ｆ ′（ｘ０）指的是当产量为ｘ０ 时，生产成本的增加速度也就是当产量为ｘ０时， 每增加一个单位的产量，需增加ｆ ′（ｘ０）个单位 的成本． 练一练： １．一质点的运动方程为ｓ ＝ ５ － ３ｔ２，则该质 点在ｔ ＝ ２时的速度等于 （Ａ ） Ａ． － １２ Ｂ． １２ Ｃ． ２ Ｄ． － ７ ２．一次降雨过程中，降雨量ｙ是时间ｔ（单位： ｈ）的函数，用ｙ ＝ ｆ（ｔ）表示，则ｆ ′（１０）表示（Ａ ） Ａ． ｔ ＝ １０时的降雨强度 Ｂ． ｔ ＝ １０时的降雨量 Ｃ． １０小时的平均降雨量 Ｄ． ｔ ＝ １０                     时的温度 !'* ∵ ｘ ＝ ± １是函数ｆ（ｘ）的极值点， ∴ ｘ ＝ ±１是方程ｆ ′（ｘ）＝３ａｘ２ ＋２ｂｘ ＋ ｃ ＝０的两根， 由根与系数的关系，得 － ２ｂ３ａ ＝ ０，① ｃ ３ａ ＝ － １，{ ② 又ｆ（１）＝ － １，∴ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ － １．③ 由①②③解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ ０，ｃ ＝ － ３ ２ ． （２）ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ３ － ３２ ｘ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ３２ ｘ ２ － ３２ ＝ ３ ２ （ｘ － １）（ｘ ＋ １）， 当ｘ ＜ － １或ｘ ＞ １时，ｆ ′（ｘ）＞ ０， 当－ １ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ ′（ｘ）＜ ０， ∴函数ｆ（ｘ）在（－∞，－１）和（１ ＋∞）上是增函数， 在（－ １，１）上是减函数， ∴当ｘ ＝ － １时，函数取得极大值ｆ（－ １）＝ １， 当ｘ ＝ １时，函数取得极小值ｆ（１）＝ － １． 　 　 对点训练３：（０，１）　 由ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １可得ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ，当ａ≤０时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＞ ０恒成立，所以ｆ（ｘ）在（０，１） 上单调递增，无极值； 当ａ ＞ ０时，令ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＞ ０可得ｘ ＞槡ａ或ｘ ＜ －槡ａ； 令ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＜ ０可得－槡ａ ＜ ｘ ＜槡ａ，所以当ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １在ｘ ＝槡ａ处取得极小值，若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １ 在区间（０，１）内有极小值，则０ ＜槡ａ ＜ １，解得０ ＜ ａ ＜ １， 综上所述，ａ的取值范围为（０，１）． 　 　 例４：ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｍｘ ＋ ４ｎ， 依题意有ｆ ′（－ ２）＝ ０， ｆ（－ ２）＝ ０{ ， 即１２ － ２４ｍ ＋ ４ｎ ＝ ０， － ８ ＋ ２４ｍ － ８ｎ ＋ ８ｍ２ ＝ ０{ ， 解得ｍ ＝ １， ｎ{ ＝ ３ 或ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９{ ． 当ｍ ＝ １，ｎ ＝ ３时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｘ ＋ １２ ＝ ３（ｘ ＋ ２）２≥０， 所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，无极值，不符合题意； 当ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２４ｘ ＋ ３６ ＝ ３（ｘ ＋ ２）（ｘ ＋ ６），当－ ６ ＜ ｘ ＜ － ２时ｆ ′（ｘ）＜ ０，当ｘ ＞ － ２时ｆ ′（ｘ）＞ ０， 故ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２处取得极值，符合题意． 综上所述，ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９，所以ｍ ＋ ４ｎ ＝ ３８． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由图象可知，满足ｆ ′（ｘ）＝ ０且导函数函数值左负右正的 只有一个，故ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极小值点只有一个． ２． ＢＣ　 由题得ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ［（ｘ －１）２（ｘ －２）＋２（ｘ －１）（ｘ －２）＋（ｘ －１）２］＝ ｅｘ（ｘ 槡＋ ３）（ｘ 槡－ ３）（ｘ －１）． 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，解得ｘ∈（ 槡－ ３，１）∪（槡３，＋ ∞）； 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，解得ｘ∈（－ ∞，槡－ ３）∪（１，槡３）， 即ｘ∈（ 槡－ ３，１），（槡３，＋ ∞），ｆ（ｘ）单调递增， ｘ∈（－ ∞，槡－ ３），（１，槡３），ｆ（ｘ）单调递减． 于是槡± ３是极小值点，１是极大值点，则ｆ（ｘ）有２个极小值，１ 是极大值点． ３． Ｄ　 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ａ ＋ ６， ∵ ｆ（ｘ）既有极大值又有极小值， ∴方程３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ａ ＋ ６ ＝ ０有两个不相等的实数根，那么Δ ＝ （２ａ）２ － ４ × ３ ×（ａ ＋ ６）＞ ０，解得ａ ＞ ６或ａ ＜ － ３． ４．③　 由ｆ ′（ｘ）的图象可见在－ ∞，－( )３２ 和（２，４）上ｆ ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单调减，在－ ３２ ，( )２ 和（４，＋ ∞）上ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单 调增，∴只有③正确． ６． ３　 函数的最值 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）不超过　 （２）不小于　 （３）最值 练一练： Ｃ　 根据函数的极值与最值的概念知，ｆ（ｘ）的极值点不一定 是最值点，ｆ（ｘ）的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点， 连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项Ａ，Ｂ，Ｄ都不正 确，若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上单调，则函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 上没有极值点，所以Ｃ正确． 知识点２ 最大值　 最小值 想一想： 极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在 定义域上的性质． 练一练： １．（１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ２． Ａ　 ｆ ′（ｘ）＝１ － ２ ｘ２ ，令ｆ ′（ｘ）＝０得，ｘ 槡＝ － ２， 当－３≤ｘ≤ 槡－ ２时，ｆ ′（ｘ）≥０，函数ｆ（ｘ）单调递增； 当槡－ ２≤ｘ≤ －１时，ｆ ′（ｘ）≤０，函数ｆ（ｘ）单调递减， 所以，函数ｆ（ｘ）的最大值是ｆ（槡－ ２） 槡＝ －２ ２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｘ ＋ ６ ＝ ３（ｘ２ － ２ｘ ＋ ２）＝ ３（ｘ － １）２ ＋ ３， ∵ ｆ ′（ｘ）在［－ １，１］内恒大于０，∴ ｆ（ｘ）在［－ １，１］上为增函 数．故当ｘ ＝ － １时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － １２； 当ｘ ＝ １时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ２． 即ｆ（ｘ）的最小值为－ １２，最大值为２． （２）ｆ ′（ｘ）＝ １２ ＋ ｃｏｓ ｘ，令ｆ ′（ｘ）＝ ０，又ｘ∈［０，２π］，解得ｘ ＝ ２π３或ｘ ＝ ４π ３ ，计算得ｆ（０）＝ ０，ｆ（２π）＝ π，ｆ ２π( )３ ＝ π３ ＋槡３２ ， ｆ ４π( )３ ＝ ２π３ －槡３２ ．所以当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）有最小值ｆ（０）＝ ０；当ｘ ＝ ２π时，ｆ（ｘ）有最大值ｆ（２π）＝ π． 　 　 对点训练１：（１）ｆ ′（ｘ）＝ ６ｘ２ － １２ｘ ＝ ６ｘ（ｘ － ２）． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ ０或ｘ ＝ ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表 ｘ － ２ （－ ２，０） ０ （０，２） ２ （２，４） ４ ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ） － ３７  极大值３  极小值 － ５  ３５ 　 　 ∴当ｘ ＝ ４时，ｆ（ｘ）取最大值３５； 当ｘ ＝ － ２时，ｆ（ｘ）取最小值－ ３７． 即ｆ（ｘ）的最大值为３５，最小值为－ ３７． （２）ｆ ′（ｘ）＝ １ｅ( )ｘ ′ －（ｅｘ）′ ＝ － １ｅｘ － ｅｘ ＝ － １ ＋ ｅ ２ｘ ｅｘ ． 当ｘ∈［０，ａ］时，ｆ ′（ｘ）＜ ０恒成立， 即ｆ（ｘ）在［０，ａ］上是减函数． 故当ｘ ＝ ａ时，ｆ（ｘ）有最小值ｆ（ａ）＝ ｅ － ａ － ｅａ                                                                      ； —１４７— 当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）有最大值ｆ（０）＝ ｅ －０ － ｅ０ ＝ ０． 即ｆ（ｘ）的最小值为ｅ － ａ － ｅａ，最大值为０． 　 　 例２：（１）由题意得：ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋∞）， ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ － ２ａｘ ＝ １ － ２ａｘ２ ｘ ， ①当ａ≤０时，ｆ ′（ｘ）＞ ０，所以ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调 递增； ②当ａ ＞ ０时，令ｆ ′（ｘ）＝ ０得：ｘ ＝ １２槡ａ， 列表如下： ｘ ０， １２槡( )ａ １２槡ａ １２槡ａ，＋( )∞ ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ｆ（ｘ）  极大值  　 　 所以ｆ（ｘ）在０， １２槡( )ａ 上单调递增， (在 １２槡ａ，＋ )∞ 上单 调递减；综上所述：当ａ≤０时，ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递增；当 ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ）在０， １２槡( )ａ 上单调递增，在 １２槡ａ，＋( )∞ 上单调 递减． （２）当ａ ＞ ０时，由（１）知：①当 １２槡ａ≤１，即ａ≥ １２时，ｆ（ｘ） 在１，[ ]２ 上单调递减，则ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｆ（１）＝ － ａ； ②当１ ＜ １２槡ａ ＜ ２，即１８ ＜ ａ ＜ １２时，ｆ（ｘ） [在１， １２槡]ａ 上 单调递增，在 １ ２槡ａ，( ]２ 上单调递减， 所以ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｆ １２槡( )ａ ＝ － １２ ｌｎ（２ａ）－ １２ ； ③当 １２槡ａ≥２，即０ ＜ ａ≤ １８时，ｆ（ｘ）在１，[ ]２ 上单调递增， 则ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｆ（２）＝ ｌｎ ２ － ４ａ； 综上所述：ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ｌｎ ２ － ４ａ，０ ＜ ａ≤ １８ ， － １２ ｌｎ（２ａ）－ １ ２ ， １ ８ ＜ ａ ＜ １ ２ ， － ａ，ａ≥ １２      ． 　 　 对点训练２：因为ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ２ａ，ｘ∈［０，１］，ｅｘ∈［１，ｅ］， 所以 ①若ａ≤ １２ ，则２ａ≤１，ｇ′（ｘ）＝ ｅ ｘ － ２ａ≥０， 所以函数ｇ（ｘ）在区间［０，１］上单调递增，ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（０） ＝ １ － ｂ． ②若１２ ＜ ａ ＜ ｅ ２ ，则１ ＜ ２ａ ＜ ｅ， 于是当０ ＜ ｘ ＜ ｌｎ（２ａ）时，ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ２ａ ＜ ０， 当ｌｎ（２ａ）＜ ｘ ＜ １时，ｇ′（ｘ）＝ ｅｘ － ２ａ ＞ ０， 所以函数ｇ（ｘ）在区间［０，ｌｎ（２ａ）］上单调递减，在区间 ［ｌｎ（２ａ），１］上单调递增， ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（ｌｎ（２ａ））＝ ２ａ － ２ａｌｎ（２ａ）－ ｂ． ③若ａ≥ ｅ２ ，则２ａ≥ｅ，ｇ′（ｘ）＝ ｅ ｘ － ２ａ≤０， 所以函数ｇ（ｘ）在区间［０，１］上单调递减， ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（１）＝ ｅ － ２ａ － ｂ． 综上所述，当ａ≤ １２时，ｇ（ｘ）在区间［０，１］上的最小值为 ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（０）＝ １ － ｂ； 当１２ ＜ ａ ＜ ｅ ２时，ｇ（ｘ）在区间［０，１］上的最小值为ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（ｌｎ（２ａ））＝ ２ａ － ２ａｌｎ（２ａ）－ ｂ； 当ａ≥ ｅ２ 时，ｇ（ｘ）在区间［０，１］上的最小值为ｇ（ｘ）ｍｉｎ ＝ ｇ（１）＝ ｅ － ２ａ － ｂ． 　 　 例３：存在．依题意，显然ａ≠０，ｆ ′（ｘ）＝ ３ａｘ２ － １２ａｘ ＝ ３ａｘ（ｘ － ４）． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，解得ｘ１ ＝ ０，ｘ２ ＝ ４（舍去）． ①若ａ ＞ ０，当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ － １ （－ １，０） ０ （０，２） ２ ｆ ′（ｘ） ＋ ＋ ０ － － ｆ（ｘ） － ７ａ ＋ ｂ  极大值  － １６ａ ＋ ｂ 　 　 所以当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取得最大值， 所以ｆ（０）＝ ｂ ＝ ３． 因为ｆ（２）＝ － １６ａ ＋ ３，ｆ（－ １）＝ － ７ａ ＋ ３， 所以ｆ（－ １）＞ ｆ（２）， 所以当ｘ ＝ ２时，ｆ（ｘ）取得最小值， 即－ １６ａ ＋ ３ ＝ － ２９，解得ａ ＝ ２． ②若ａ ＜ ０，当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ － １ （－ １，０） ０ （０，２） ２ ｆ ′（ｘ） － － ０ ＋ ＋ ｆ（ｘ） － ７ａ ＋ ｂ  极小值  － １６ａ ＋ ｂ 　 　 所以当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）取得最小值， 所以ｆ（０）＝ ｂ ＝ － ２９． 因为ｆ（２）＝ － １６ａ － ２９，ｆ（－ １）＝ － ７ａ － ２９， 所以ｆ（２）＞ ｆ（－ １）， 所以当ｘ ＝ ２时，ｆ（ｘ）取得最大值， 即－ １６ａ － ２９ ＝ ３，解得ａ ＝ － ２． 综上所述，存在符合条件的ａ，ｂ，且ａ ＝ ２，ｂ ＝ ３或ａ ＝ － ２，ｂ ＝ － ２９． 　 　 对点训练３：（１）ｆ（ｘ）的定义域为（０，＋ ∞），ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ － ａ， 若ａ≤０，则ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递增；若ａ ＞ ０，则 当ｘ∈ ０，１( )ａ 时ｆ ′（ｘ）＞ ０，当ｘ∈ １ａ ，＋( )∞ 时ｆ ′（ｘ）＜ ０， 所以ｆ（ｘ）在０，１( )ａ 上单调递增，在１ａ ，＋( )∞ 上单调 递减． （２）由（１）知当ａ≤０时，ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上无最大值；当 ａ ＞ ０时ｆ（ｘ）在ｘ ＝ １ａ取得最大值，最大值为ｆ １( )ａ ＝ ｌｎ １( )ａ ＋ ａ １ － １( )ａ ＝ － ｌｎ ａ ＋ ａ － １．因此ｆ １( )ａ ＞ ２ａ － ２ｌｎ ａ ＋ ａ － １ ＜ ０．令ｇ（ａ）＝ ｌｎ ａ ＋ ａ － １，则ｇ（ａ）在（０，＋ ∞）上单调递增，ｇ（１） ＝ ０，于是，当０ ＜ ａ ＜ １时，ｇ（ａ）＜ ０，当ａ ＞ １时，ｇ（ａ）＞ ０，因此ａ 的取值范围是（０，１）． 　 　 例４：（１）设ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘｘ ，则ｆ ′（ｘ）＝ １ － ｌｎ ｘ ｘ２ ． 所以ｆ ′（１）＝ １．所以ｌ的方程为ｙ ＝ ｘ － １． （２）证明：令ｇ（ｘ）＝ ｘ － １ － ｆ（ｘ），则除切点之外，曲线Ｃ在 直线ｌ的下方等价于ｇ（ｘ）＞ ０（ｘ ＞ ０，ｘ≠１）． ｇ（ｘ）满足ｇ（１）＝０，且ｇ′（ｘ）＝１ － ｆ ′（ｘ）＝ ｘ ２ －１ ＋ ｌｎ ｘ ｘ２ ． 当０ ＜ ｘ ＜ １时，ｘ２ － １ ＜ ０，ｌｎ ｘ ＜ ０，所以ｇ′（ｘ）＜ ０，故ｇ（ｘ）                                                                       单 —１４８— 调递减； 当ｘ ＞ １时，ｘ２ － １ ＞ ０，ｌｎ ｘ ＞ ０，所以ｇ′（ｘ）＞ ０，故ｇ（ｘ）单调 递增． 所以，ｇ（ｘ）＞ ｇ（１）＝ ０（ｘ ＞ ０，ｘ≠１）．所以除切点之外，曲 线Ｃ在直线ｌ的下方． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６的导数为ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｘ － ９， 令ｆ ′（ｘ）＝ ０得ｘ ＝ － １或ｘ ＝ ３， 由ｆ（－ ４）＝ － ７０；ｆ（－ １）＝ １１； ｆ（３）＝ － ２１；ｆ（４）＝ － １４； 所以函数ｙ ＝ ｘ３ － ３ｘ２ － ９ｘ ＋ ６在区间［－ ４，４］上的最大值 为１１． ２． Ａ　 因为ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ，定义域是（０，＋ ∞）， 所以ｙ′ ＝ １ ＋ ｌｎ ｘ，令ｙ′ ＞ ０，解得：ｘ ＞ １ｅ ， 令ｙ′ ＜ ０，解得：０ ＜ ｘ ＜ １ｅ ， 所以函数在０，１( )ｅ 上递减，在１ｅ ，＋( )∞ 上递增， 故ｘ ＝ １ｅ时，函数取最小值－ １ ｅ ． ３． Ｂ　 因为ｆ（ｘ）＝ ｘ 槡＋ ２ｃｏｓ ｘ， 所以ｆ ′（ｘ） 槡＝ １ － ２ｓｉｎ ｘ． 因为ｘ∈ ０，π[ ]２ ， 由ｆ ′（ｘ）＞０得ｘ∈ ０，π[ )４ ，由ｆ ′（ｘ）＜０得ｘ∈ π４ ，π( ]２ ， 所以ｆ（ｘ）在０，π[ )４ 上单调递增，ｆ（ｘ）在π４ ，π( ]２ 上单调递 减，所以ｆ（ｘ）在０，π[ ]２ 上取得最大值的ｘ为π４ ，故Ａ，Ｃ，Ｄ错 误，Ｂ正确． ４． １　 由ｆ（ｘ）＝ ｓｉｎ ｘ － ２ｘ － ａ， 得ｆ ′（ｘ）＝ ｃｏｓ ｘ － ２ ＜ ０， 所以函数ｆ（ｘ）在［０，π］上单调递减， 所以ｆ（ｘ）的最大值是ｆ（０）＝ － ａ ＝ － １，故ａ ＝ １． § ７　 导数的应用 ７． １　 实际问题中导数的意义 ７． ２　 实际问题中的最值问题 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 练一练： １． Ａ　 因为ｓ′ ＝ － ６ｔ，所以ｓ′（２）＝ － １２． ２． Ａ　 ｆ ′（ｔ）表示ｔ时刻的降雨强度． 知识点２ 想一想： （１）在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题 的意义，不符合实际意义的值应舍去． （２）在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的 变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的 定义区间． （３）在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点 使ｆ ′（ｘ）＝ ０的情形，如果函数在这点有极大（小）值，那么不与 端点值比较，也可以知道这就是最大（小）值． 练一练： Ｄ　 设箱底一边的长度为ｘ ｍ，箱子的总造价为ｙ元，根据 题意，得ｙ ＝ １５ × ４８３ ＋ １２ × ２ ３ｘ ＋ ４８( )ｘ ＝ ２４０ ＋ ７２ ｘ ＋ １６( )ｘ （ｘ ＞ ０），ｙ′ ＝ ７２ １ － １６ｘ( )２ ，令ｙ′ ＝ ０解得ｘ ＝ ４或ｘ ＝ － ４（舍去），当０ ＜ ｘ ＜ ４时，ｙ′ ＜ ０；当ｘ ＞ ４时，ｙ′ ＞ ０． 故当ｘ ＝ ４时，ｙ取得最小值为８１６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）当ｔ从０ ｓ变到１ ｓ时，Δｖ Δｔ ＝ ９ － ０１ － ０ ＝ ９ ｍ ／ ｓ ２，所以速 度ｖ关于时间ｔ的平均变化率为９ ｍ ／ ｓ２ ． 当ｔ从３ ｓ变到５ ｓ时，Δｖ Δｔ ＝ ２５ － ２１５ － ３ ＝ ２ ｍ ／ ｓ ２，所以速度ｖ关 于时间ｔ的平均变化率为２ ｍ ／ ｓ２ ． 它们分别表示在相应的时间内，每经过１ ｓ速度增加９ ｍ／ ｓ和２ ｍ／ ｓ也就是加速度分别为９ ｍ／ ｓ２和２ ｍ／ ｓ２ ． （２）∵ ｆ（ｔ）＝ － ｔ２ ＋ １０ｔ，∴ ｆ ′（ｔ）＝ － ２ｔ ＋ １０， ∴ ｆ ′（１）＝ ８ ｍ ／ ｓ２，其实际意义是在ｔ ＝ １ ｓ这一时刻每经过 １ ｓ汽车的速度增加８ ｍ ／ ｓ．即这一时刻汽车的加速度为８ ｍ ／ ｓ２ ． 　 　 对点训练１：（１）当ｘ从１变到８时，ｙ关于ｘ的平均变化率 为ｆ（８）－ ｆ（１）８ － １ ＝ ２ － １ ７ ＝ １ ７ （ｍ ３ ／ ｍｉｎ）． （２）ｆ ′（ｘ）＝ １３ ｘ － ２３，于是ｆ ′（２７）＝ １３ ×２７ － ２３ ＝ １２７（ｍ ３ ／ ｍｉｎ）， 实际意义为当时间为２７ ｍｉｎ时，水流量增加的瞬时速度为 １ ２７ ｍ ３ ／ ｍｉｎ，也就是当时间为２７ ｍｉｎ时，每增加１ ｍｉｎ，水流量增 加１２７ ｍ ３ ． 　 　 例２：（１）由题意，得ｆ（ｘ）＝ １ ０００ｘ ＋ ５ ＋ ５ｘ ＋ １ ２ （ｘ ２ ＋ ２５）， 整理，得ｆ（ｘ）＝ １２ （ｘ ＋ ５） ２ ＋ １ ０００ｘ ＋ ５（２≤ｘ≤８）． （２）ｆ ′（ｘ）＝（ｘ ＋５）－ １ ０００（ｘ ＋５）２ ＝ （ｘ ＋５）３ －１ ０００ （ｘ ＋５）２ ． 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，得ｘ ＞ ５，令ｆ ′（ｘ）＜ ０，得ｘ ＜ ５， 所以ｆ（ｘ）在［２，５）上单调递减，在（５，８］上单调递增． 故当ｘ ＝ ５时，ｆ（ｘ）取得最小值，为１５０． 答：宿舍应建在离工厂５ ｋｍ处，可使总费用ｆ（ｘ）最小，最小 值为１５０万元． 　 　 对点训练２：（１）Ｑ ＝ Ｐ·４００ｖ ＝ １１９ ２００ｖ ４ － １１６０ｖ ３ ＋ １５( )ｖ ·４００ｖ ＝ １１９ ２００ｖ ３ － １１６０ｖ ２( )＋ １５ ·４００ ＝ ｖ ３ ４８ － ５ ２ ｖ ２ ＋ ６ ０００（０ ＜ ｖ≤１００）． （２）Ｑ′ ＝ ｖ ２ １６ － ５ｖ， 令Ｑ′ ＝ ０，则ｖ ＝ ０（舍去）或ｖ ＝ ８０， 当０ ＜ ｖ ＜ ８０时，Ｑ′ ＜ ０； 当８０ ＜ ｖ≤１００时，Ｑ′ ＞ ０， 所以ｖ ＝ ８０千米／时时，全程运输成本取得极小值，即最小 值，且Ｑｍｉｎ ＝ Ｑ（８０）＝ ２ ０００３ （元）． 综上，汽车以８０千米／时速度行驶，可使全程运输成本最 少，运输成本最小值为２ ０００３ 元． 　 　 例３：（１）当ｘ ＝ １时，ｆ（１）＝ ｐ（１）＝ ３７                                                                      ， —１４９—