6.2 函数的极值(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

由函数ｆ（ｘ）在（－ ２，＋ ∞）内单调递减知，ｆ ′（ｘ）≤０在（－ ２， ＋ ∞）内恒成立，即２ａ － １（ｘ ＋ ２）２≤０在（－ ２，＋ ∞）内恒成立，因此 ａ≤ １２ ． 又当ａ ＝ １２时，ｆ（ｘ）＝ １ ２ ｘ ＋ １ ｘ ＋ ２ ＝ １ ２为常数函数， 所以不符合题意，所以ａ的取值范围是－ ∞，( )１２ ． ６． ２　 函数的极值 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）小于　 （２）大于　 极值点　 极值 想一想： 不一定． 练一练： １． Ｄ　 ｙ′ ＝ ３ － ３ｘ２ ＝ ３（１ ＋ ｘ）（１ － ｘ）． 令ｙ′ ＝ ０得ｘ１ ＝ － １，ｘ２ ＝ １． 当ｘ ＜ － １时，ｙ′ ＜ ０，函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３在（－ ∞，－ １）上单 调递减；当－ １ ＜ ｘ ＜ １时，ｙ′ ＞ ０，函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３ 在（－ １，１） 上单调递增；当ｘ ＞ １时，ｙ′ ＜ ０，函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３ 在（１，＋ ∞） 上单调递减．所以当ｘ ＝ － １时，函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３ 有极小值 － １；当ｘ ＝ １时，函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３有极大值３． ２． Ｄ　 Ａ．因为函数ｙ ＝ ｅｘ是实数集上的增函数，所以函数ｙ ＝ ｅｘ没有极值；Ｂ．因为函数ｙ ＝ ｌｎ ｘ是正实数集上的增函数，所 以函数ｙ ＝ ｌｎ ｘ没有极值；Ｃ．因为函数ｙ ＝ ２ｘ在区间（０，＋ ∞）， （－ ∞，０）上是减函数，所以函数ｙ ＝ ２ｘ没有极值；Ｄ．因为ｙ ＝ ｘ ２ － ２ｘ ＝（ｘ － １）２ － １，所以该函数在（１，＋ ∞）上是增函数，在 （－ ∞，１）上是减函数，因此１是函数的极小值点，符合题意． 知识点２ （３）①左正右负　 ②左负右正　 ③相同 练一练： １．（１）× 　 （２）× 　 （３）× 　 （４）√ ２． ８　 ｙ′ ＝ ３ － ３ｘ２ ＝ ３（１ ＋ ｘ）（１ － ｘ），令ｙ′ ＝ ０得ｘ１ ＝ － １，ｘ２ ＝ １，经判断知ｘ ＝ １是极大值点， 故ｆ（１）＝ ２ ＋ ｍ ＝ １０，ｍ ＝ ８． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 由于ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ － １ ＝ １ － ｘ ｘ （ｘ ＞ ０）， 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，则０ ＜ ｘ ＜ １，所以ｆ（ｘ）在（０，１）上单调递增； 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，则ｘ ＞ １，所以ｆ（ｘ）在（１，＋ ∞）上单调递减；所 以ｆ（ｘ）极大值为ｆ（１）＝ － １，无极小值． （２）ＡＤ　 由题可知ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ２ｘ ＋ ｘ的定义域为（０，＋ ∞）， 对于Ａ，ｆ ′（ｘ）＝ ｌｎ２ｘ ＋ ２ｌｎ ｘ ＋ １，则ｆ ′ １( )ｅ ＝ ｌｎ２ １ｅ ＋ ２ｌｎ １ｅ ＋ １ ＝ １ － ２ ＋ １ ＝ ０，故Ａ正确；对于Ｂ，Ｄ，ｆ ′（ｘ）＝ ｌｎ２ｘ ＋ ２ｌｎ ｘ ＋ １ ＝ （ｌｎ ｘ ＋ １）２≥０，所以函数ｆ（ｘ）单调递增，故无极值点，故Ｂ错误， Ｄ正确；对于Ｃ，ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ２ｘ ＋ ｘ ＝ ｘ（ｌｎ２ｘ ＋ １）＞ ０，故函数ｆ（ｘ）不 存在零点，故Ｃ错误． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 因为三次函数过原点，故可设为ｙ ＝ ｘ３ ＋ ｂｘ２ ＋ ｃｘ，所以ｙ′ ＝ ３ｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋ ｃ． 又ｘ ＝ １，３是ｙ′ ＝ ０的两个根， 所以 １ ＋ ３ ＝ － ２ｂ３ ， １ × ３ ＝ ｃ３ { ， 即ｂ ＝ － ６，ｃ ＝ ９{ ， 所以ｙ ＝ ｘ３ － ６ｘ２ ＋ ９ｘ， 又ｙ′ ＝３ｘ２ －１２ｘ ＋９ ＝３（ｘ －１）（ｘ －３），且当ｘ ＝１时，ｙ极大值＝４， 当ｘ ＝ ３时，ｙ极小值＝ ０，满足条件． （２）２　 由ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｘ ＝ ０， 解得ｘ ＝ ０或ｘ ＝ ２． 列表： ｘ （－ ∞，０） ０ （０，２） ２ （２，＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  　 　 所以当ｘ ＝ ２时，ｆ（ｘ）取得极小值． 　 　 例２：ｆ ′（ｘ）＝［ｘ２ ＋（ａ ＋ ２）ｘ － ２ａ２ ＋ ４ａ］ｅｘ ． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，解得ｘ ＝ － ２ａ或ｘ ＝ ａ － ２， 由ａ≠ ２３知－ ２ａ≠ａ － ２． 分以下两种情况讨论： ①若ａ ＞ ２３ ，则－ ２ａ ＜ ａ － ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ （－ ∞， － ２ａ） － ２ａ （－ ２ａ， ａ － ２） ａ － ２ （ａ － ２， ＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  　 　 所以ｆ（ｘ）在（－ ∞，－ ２ａ），（ａ － ２，＋ ∞）上是增函数，在 （－ ２ａ，ａ － ２）上是减函数，函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２ａ处取得极大值 ｆ（－ ２ａ），且ｆ（－ ２ａ）＝ ３ａｅ －２ａ，函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ａ － ２处取得极小 值ｆ（ａ － ２），且ｆ（ａ － ２）＝（４ － ３ａ）ｅａ － ２ ． ②若ａ ＜ ２３ ，则－ ２ａ ＞ ａ － ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表： ｘ （－ ∞， ａ － ２） ａ － ２ （ａ － ２， － ２ａ） － ２ａ （－ ２ａ， ＋ ∞） ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ）  极大值  极小值  　 　 所以ｆ（ｘ）在（－ ∞，ａ － ２），（－ ２ａ，＋ ∞）上是增函数，在（ａ － ２，－ ２ａ）上是减函数，函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ａ － ２处取得极大值ｆ（ａ － ２），且ｆ（ａ － ２）＝（４ － ３ａ）ｅａ － ２，函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２ａ处取得极 小值ｆ（－ ２ａ），且ｆ（－ ２ａ）＝ ３ａｅ －２ａ ． 　 　 对点训练２：由题意，函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １２ ａｘ ２ ＋（ａ ＋１）ｘ的定 义域为（０，＋∞），且ｆ ′（ｘ）＝ １ｘ ＋ ａｘ ＋ ａ ＋１ ＝ （ａｘ ＋１）（ｘ ＋１） ｘ ， 若ａ≥０，则当ｘ∈（０，＋ ∞）时，ｆ ′（ｘ）＞ ０， 故函数ｆ（ｘ）在（０，＋ ∞）上单调递增，函数ｆ（ｘ）无极值；若ａ ＜ ０，当ｘ∈ ０，－ １( )ａ 时，ｆ ′（ｘ）＞ ０；当ｘ∈ － １ａ ，＋( )∞ 时， ｆ ′（ｘ）＜ ０， 故函数ｆ（ｘ）在０，－ １( )ａ 上单调递增，在－ １ａ ，＋( )∞ 上单 调递减，所以函数ｆ（ｘ）有极大值ｆ － １( )ａ ＝ ｌｎ － １( )ａ － １２ａ － １， 无极小值． 综上，当ａ≥０时，函数ｆ（ｘ）无极值；当ａ ＜ ０时，函数ｆ（ｘ）有 极大值为ｌｎ － １( )ａ － １２ａ － １，无极小值． 　 　 例３：（１）ｆ ′（ｘ）＝ ３ａｘ２ ＋ ２ｂｘ ＋                                                                       ｃ． —１４６— ∵ ｘ ＝ ± １是函数ｆ（ｘ）的极值点， ∴ ｘ ＝ ±１是方程ｆ ′（ｘ）＝３ａｘ２ ＋２ｂｘ ＋ ｃ ＝０的两根， 由根与系数的关系，得 － ２ｂ３ａ ＝ ０，① ｃ ３ａ ＝ － １，{ ② 又ｆ（１）＝ － １，∴ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ － １．③ 由①②③解得ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ ０，ｃ ＝ － ３ ２ ． （２）ｆ（ｘ）＝ １２ ｘ ３ － ３２ ｘ， ∴ ｆ ′（ｘ）＝ ３２ ｘ ２ － ３２ ＝ ３ ２ （ｘ － １）（ｘ ＋ １）， 当ｘ ＜ － １或ｘ ＞ １时，ｆ ′（ｘ）＞ ０， 当－ １ ＜ ｘ ＜ １时，ｆ ′（ｘ）＜ ０， ∴函数ｆ（ｘ）在（－∞，－１）和（１ ＋∞）上是增函数， 在（－ １，１）上是减函数， ∴当ｘ ＝ － １时，函数取得极大值ｆ（－ １）＝ １， 当ｘ ＝ １时，函数取得极小值ｆ（１）＝ － １． 　 　 对点训练３：（０，１）　 由ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １可得ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ，当ａ≤０时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＞ ０恒成立，所以ｆ（ｘ）在（０，１） 上单调递增，无极值； 当ａ ＞ ０时，令ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＞ ０可得ｘ ＞槡ａ或ｘ ＜ －槡ａ； 令ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ３ａ ＜ ０可得－槡ａ ＜ ｘ ＜槡ａ，所以当ａ ＞ ０时，ｆ（ｘ） ＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １在ｘ ＝槡ａ处取得极小值，若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ａｘ ＋ １ 在区间（０，１）内有极小值，则０ ＜槡ａ ＜ １，解得０ ＜ ａ ＜ １， 综上所述，ａ的取值范围为（０，１）． 　 　 例４：ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｍｘ ＋ ４ｎ， 依题意有ｆ ′（－ ２）＝ ０， ｆ（－ ２）＝ ０{ ， 即１２ － ２４ｍ ＋ ４ｎ ＝ ０， － ８ ＋ ２４ｍ － ８ｎ ＋ ８ｍ２ ＝ ０{ ， 解得ｍ ＝ １， ｎ{ ＝ ３ 或ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９{ ． 当ｍ ＝ １，ｎ ＝ ３时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ １２ｘ ＋ １２ ＝ ３（ｘ ＋ ２）２≥０， 所以ｆ（ｘ）在Ｒ上单调递增，无极值，不符合题意； 当ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９时，ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２４ｘ ＋ ３６ ＝ ３（ｘ ＋ ２）（ｘ ＋ ６），当－ ６ ＜ ｘ ＜ － ２时ｆ ′（ｘ）＜ ０，当ｘ ＞ － ２时ｆ ′（ｘ）＞ ０， 故ｆ（ｘ）在ｘ ＝ － ２处取得极值，符合题意． 综上所述，ｍ ＝ ２，ｎ ＝ ９，所以ｍ ＋ ４ｎ ＝ ３８． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 由图象可知，满足ｆ ′（ｘ）＝ ０且导函数函数值左负右正的 只有一个，故ｆ（ｘ）在（ａ，ｂ）内的极小值点只有一个． ２． ＢＣ　 由题得ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ［（ｘ －１）２（ｘ －２）＋２（ｘ －１）（ｘ －２）＋（ｘ －１）２］＝ ｅｘ（ｘ 槡＋ ３）（ｘ 槡－ ３）（ｘ －１）． 令ｆ ′（ｘ）＞ ０，解得ｘ∈（ 槡－ ３，１）∪（槡３，＋ ∞）； 令ｆ ′（ｘ）＜ ０，解得ｘ∈（－ ∞，槡－ ３）∪（１，槡３）， 即ｘ∈（ 槡－ ３，１），（槡３，＋ ∞），ｆ（ｘ）单调递增， ｘ∈（－ ∞，槡－ ３），（１，槡３），ｆ（ｘ）单调递减． 于是槡± ３是极小值点，１是极大值点，则ｆ（ｘ）有２个极小值，１ 是极大值点． ３． Ｄ　 ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ａ ＋ ６， ∵ ｆ（ｘ）既有极大值又有极小值， ∴方程３ｘ２ ＋ ２ａｘ ＋ ａ ＋ ６ ＝ ０有两个不相等的实数根，那么Δ ＝ （２ａ）２ － ４ × ３ ×（ａ ＋ ６）＞ ０，解得ａ ＞ ６或ａ ＜ － ３． ４．③　 由ｆ ′（ｘ）的图象可见在－ ∞，－( )３２ 和（２，４）上ｆ ′（ｘ）＜ ０，ｆ（ｘ）单调减，在－ ３２ ，( )２ 和（４，＋ ∞）上ｆ ′（ｘ）＞ ０，ｆ（ｘ）单 调增，∴只有③正确． ６． ３　 函数的最值 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）不超过　 （２）不小于　 （３）最值 练一练： Ｃ　 根据函数的极值与最值的概念知，ｆ（ｘ）的极值点不一定 是最值点，ｆ（ｘ）的最值点不一定是极值点，可能是区间的端点， 连续可导函数在闭区间上一定有最值，所以选项Ａ，Ｂ，Ｄ都不正 确，若函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上单调，则函数ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 上没有极值点，所以Ｃ正确． 知识点２ 最大值　 最小值 想一想： 极值是函数在极值点的一个小领域的性质，最值是函数在 定义域上的性质． 练一练： １．（１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）× ２． Ａ　 ｆ ′（ｘ）＝１ － ２ ｘ２ ，令ｆ ′（ｘ）＝０得，ｘ 槡＝ － ２， 当－３≤ｘ≤ 槡－ ２时，ｆ ′（ｘ）≥０，函数ｆ（ｘ）单调递增； 当槡－ ２≤ｘ≤ －１时，ｆ ′（ｘ）≤０，函数ｆ（ｘ）单调递减， 所以，函数ｆ（ｘ）的最大值是ｆ（槡－ ２） 槡＝ －２ ２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）ｆ ′（ｘ）＝ ３ｘ２ － ６ｘ ＋ ６ ＝ ３（ｘ２ － ２ｘ ＋ ２）＝ ３（ｘ － １）２ ＋ ３， ∵ ｆ ′（ｘ）在［－ １，１］内恒大于０，∴ ｆ（ｘ）在［－ １，１］上为增函 数．故当ｘ ＝ － １时，ｆ（ｘ）ｍｉｎ ＝ － １２； 当ｘ ＝ １时，ｆ（ｘ）ｍａｘ ＝ ２． 即ｆ（ｘ）的最小值为－ １２，最大值为２． （２）ｆ ′（ｘ）＝ １２ ＋ ｃｏｓ ｘ，令ｆ ′（ｘ）＝ ０，又ｘ∈［０，２π］，解得ｘ ＝ ２π３或ｘ ＝ ４π ３ ，计算得ｆ（０）＝ ０，ｆ（２π）＝ π，ｆ ２π( )３ ＝ π３ ＋槡３２ ， ｆ ４π( )３ ＝ ２π３ －槡３２ ．所以当ｘ ＝ ０时，ｆ（ｘ）有最小值ｆ（０）＝ ０；当ｘ ＝ ２π时，ｆ（ｘ）有最大值ｆ（２π）＝ π． 　 　 对点训练１：（１）ｆ ′（ｘ）＝ ６ｘ２ － １２ｘ ＝ ６ｘ（ｘ － ２）． 令ｆ ′（ｘ）＝ ０，得ｘ ＝ ０或ｘ ＝ ２． 当ｘ变化时，ｆ ′（ｘ），ｆ（ｘ）的变化情况如下表 ｘ － ２ （－ ２，０） ０ （０，２） ２ （２，４） ４ ｆ ′（ｘ） ＋ ０ － ０ ＋ ｆ（ｘ） － ３７  极大值３  极小值 － ５  ３５ 　 　 ∴当ｘ ＝ ４时，ｆ（ｘ）取最大值３５； 当ｘ ＝ － ２时，ｆ（ｘ）取最小值－ ３７． 即ｆ（ｘ）的最大值为３５，最小值为－ ３７． （２）ｆ ′（ｘ）＝ １ｅ( )ｘ ′ －（ｅｘ）′ ＝ － １ｅｘ － ｅｘ ＝ － １ ＋ ｅ ２ｘ ｅｘ ． 当ｘ∈［０，ａ］时，ｆ ′（ｘ）＜ ０恒成立， 即ｆ（ｘ）在［０，ａ］上是减函数． 故当ｘ ＝ ａ时，ｆ（ｘ）有最小值ｆ（ａ）＝ ｅ － ａ － ｅａ                                                                      ； —１４７— ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ６． ２　 函数的极值 !"#$%&'( 学习目标 １．通过实例了解极值的概念． ２．了解函数在某点取得极值的必要条件与充分条件． ３．会利用导数求函数的极大值、极小值． 核心素养 １．借助函数的导数与极值关系的探究，培养数学抽象与逻辑推理素养． ２．通过利用导数求函数的极大值、极小值，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 极值点与极值的概念 　 　 极值是函数的一种局部性质 （１）极大值：在包含ｘ０ 的一个区间（ａ，ｂ） 内，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在任何不为ｘ０ 的一点处的函 数值都小于　 点ｘ０处的函数值，称ｘ０为函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极大值点，其函数值ｆ（ｘ０）为函数的极 大值． （２）极小值：在包含ｘ０ 的一个区间（ａ，ｂ） 内，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在任何不为ｘ０ 的一点处的函 数值都大于　 　 　 ｘ０处的函数值．称点ｘ０为函 数ｙ ＝ ｆ（ｘ０）的极小值点，其函数值ｆ（ｘ０）为函数 的极小值．函数的极大值点与极小值点统称为 极值点　 ，极大值与极小值统称为极值　 ． ［提醒］　 （１）极值点是指自变量ｘ的值，即 横坐标，极值是指函数值ｙ，即纵坐标． （２）极值点一定在区间的内部，端点不可能 为极值点． 想一想： 函数的极大值一定比极小值大吗？ 练一练： １．函数ｙ ＝ １ ＋ ３ｘ － ｘ３有 （Ｄ ） Ａ．极小值－ ２，极大值２ Ｂ．极小值－ ２，极大值３ Ｃ．极小值－ １，极大值１ Ｄ．极小值－ １，极大值３ ２．下列函数中，存在极值的函数为（Ｄ ） Ａ． ｙ ＝ ｅｘ Ｂ． ｙ ＝ ｌｎ ｘ Ｃ． ｙ ＝ ２ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｘ ２ － ２ｘ 求函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）极值点的步骤 　 　 一般情况下，在极值点ｘ０处，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的导函数ｆ ′（ｘ０）＝ ０，因此可以通过如下步骤求 出函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极值点． （１）求出导数ｆ ′（ｘ）． （２）解方程ｆ ′（ｘ）＝ ０． （３）对于方程ｆ ′（ｘ）＝ ０的每一个实数根 ｘ０分析ｆ ′（ｘ）在ｘ０附近的符号（即ｆ（ｘ）的单调 性）确定极值点． ①若ｆ ′（ｘ）在ｘ０附近的符号“左正右负　 ”， 则ｘ０为极大值点； ②若ｆ ′（ｘ）在ｘ０附近的符号“左负右正　 ”， 则ｘ０为极小值点； ③若ｆ ′（ｘ）在ｘ０附近的符号“相同　 ”，则 ｘ０不是极值点．设ｘ０ 是ｆ（ｘ）的一个极值点，                                             并 !'$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 求出了ｆ（ｘ）的导数ｆ ′（ｘ），则ｆ ′（ｘ０）＝ ０，反之 不一定成立． 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）ｘ ＝ ０是函数ｙ ＝ ｘ３的极值点． （ × ） （２）可导函数一定存在极值． （ × ） （３）若ｆ ′（ｘ０）＝ ０，则ｘ ＝ ｘ０是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ） 的极值点． （ × ） （４）若ｘ ＝ ｘ０ 是可导函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的极值 点，则ｆ ′（ｘ０）＝ ０． （√ ） ２．已知函数ｙ ＝ ３ｘ － ｘ３ ＋ ｍ的极大值为１０， 则ｍ的值为８　 　            ． /012%345 题型探究 题型一 求函数的极值（点） １．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ － ｘ有 （Ｂ ） Ａ．极小值为０，极大值为－ １ Ｂ．极大值为－ １，无极小值 Ｃ．极小值为－ １，极大值为０ Ｄ．极小值为－ １，无极大值 （２）（多选）设函数ｆ（ｘ）＝ ｘｌｎ２ｘ ＋ ｘ的导函 数为ｆ ′（ｘ），则 （Ｄ ） Ａ． ｆ ′ １( )ｅ ＝ ０ Ｂ． １ｅ是ｆ（ｘ）的极值点 Ｃ． ｆ（ｘ）存在零点 Ｄ． ｆ（ｘ）在１ｅ，＋( )∞ 上单调递增 ［规律方法］　 利用导数求函数极值的 步骤： （１）确定函数的定义域． （２）求导数ｆ ′（ｘ）． （３）解方程ｆ ′（ｘ）＝ ０得方程的根． （４）利用方程ｆ ′（ｘ）＝０的根将定义域分成若 干个小开区间，列表，判定导函数在各个小开区间 的符号． （５）确定函数的极值，如果ｆ ′（ｘ）的符号在ｘ０ 处由正（负）变负（正），则ｆ（ｘ）在ｘ０ 处取得极大 （小）值． 对点训练? （１）当ｘ ＝１时，三次函数有 极大值４，当ｘ ＝３时有极小值０，且函数过原点，则 此函数是 （Ｂ ） Ａ． ｙ ＝ ｘ３ ＋６ｘ２ ＋９ｘ Ｂ． ｙ ＝ ｘ３ －６ｘ２ ＋９ｘ Ｃ． ｙ ＝ ｘ３ －６ｘ２ －９ｘ Ｄ． ｙ ＝ ｘ３ ＋６ｘ２ －９ｘ （２）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ － ３ｘ２ ＋ １的极小值点为 ２　 　 　 ． 题型二 求含参数函数的极值 ２．已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ２ ＋ ａｘ －２ａ２ ＋３ａ）ｅｘ（ｘ∈ Ｒ），当实数ａ≠ ２３时，求函数ｆ（ｘ）的单调区间与 极值． 　 　 ［尝试作答              ］ 　 　 ［规律方法］　 求解析式中含有参数的函数极 值时，有时需要用分类与整合的思想才能解决问 题．讨论的依据有两种：一是看某数是否对ｆ ′（ｘ）的 零点有影响，若有影响，则需要分类讨论；二是看 ｆ ′（ｘ）在其零点附近的符号的确定是否与参数有 关，若有关，则需要分类讨论                                                        ． !'% ! 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" # . # # # # # # # 对点训练?已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ ＋ １２ ａｘ ２ ＋（ａ ＋１）ｘ．讨论函数ｆ（ｘ）的极值． 题型三 利用函数极值求参数的值 ３．已知函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ３ ＋ ｂｘ２ ＋ ｃｘ（ａ≠０）在ｘ ＝ ±１处取得极值，且ｆ（１）＝ －１． （１）求常数ａ，ｂ，ｃ的值； （２）判断ｘ ＝ ±１是函数的极大值点还是极小 值点，试说明理由，并求出极值． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 已知函数极值，确定函数解析 式中的参数时，注意以下两点： （１）根据极值点的导数为０和极值这两个条 件列方程组，利用待定系数法求解． （２）因为导数值等于零不是此点为极值点的 充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证充 分性． 对点训练?若函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ －３ａｘ ＋１在 区间（０，１）内有极小值，则ａ的取值范围为（０，１） 　 　 　 　 　 ． 易错警示 　 　 忽视极值存在的条件致误 ４．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ６ｍｘ２ ＋ ４ｎｘ ＋８ｍ２在ｘ ＝ －２处取得极值，且极值为０，求ｍ ＋４ｎ的值． ［误区警示］　 可导函数的极值点一定是导数 为零的点．在某点导数为零仅是该点为极值点的必 要条件，其充要条件是该点两侧的导数异号． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 由于“ｆ ′（ｘ０）＝０”是“ｆ（ｘ０）为极值” 的必要不充分条件，因此由ｆ ′（ｘ０）＝０求得ｍ，ｎ的 值后，要验证在ｘ ＝ ｘ０左、右两侧导数值的符号是 否相反，才能确定是否真正在点ｘ０处取得极值，忽 视了这一检验过程，就会导致错解                                                     ． 6789%:;< １．函数ｆ（ｘ）的定义域为开区间（ａ，ｂ），其导函数 ｆ ′（ｘ）在（ａ，ｂ）内的图象如图所示，则函数ｆ（ｘ）在 开区间（ａ，ｂ）内极小值点的个数为 （Ａ ） Ａ．１ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ２．（多选）对于函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘ（ｘ －１）２（ｘ －２），以下 选项正确的是 （ＢＣ ） Ａ．有２个极大值 Ｂ．有２个极小值 Ｃ．１是极大值点 Ｄ．１是极小值点 ３．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ２ ＋（ａ ＋６）ｘ ＋１有极大值和极 小值，则ａ的取值范围为 （Ｄ ） Ａ．（－１，２） Ｂ．（－３，６） Ｃ．（－∞，－１）∪（２，＋∞） Ｄ．（－∞，－３）∪（６，＋∞               ） !'& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ４．如图是函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）的导函数ｙ ＝ ｆ ′（ｘ）的图象， 对此图象，有如下结论： ①在区间（－２，１）内ｆ（ｘ）是增函数； ②在区间（１，３）内ｆ（ｘ）是减函数； ③ｘ ＝２时，ｆ（ｘ）取到极大值； ④在ｘ ＝３时，ｆ（ｘ）取到极小值． 其中正确的是③　 　 （将你认为正确的序号填在 横线上）． 请同学们认真完成练案［１９             ］ ６． ３　 函数的最值 !"#$%&'( 学习目标 １．能够通过函数的图象区分函数的极值与最值． ２．会求闭区间上函数的最大值、最小值． 核心素养 １．结合实例培养学生的直观想象素养． ２．通过求闭区间上函数的最大值、最小值，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 最值点 　 　 （１）最大值点：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 内的最大值点ｘ０指的是：函数ｆ（ｘ）在这个区间 内所有点处的函数值都不超过　 ｆ（ｘ０）． （２）最小值点：函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］ 内的最小值点ｘ０指的是：函数ｆ（ｘ）在这个区间 内所有点处的函数值都不小于　 ｆ（ｘ０）． （３）函数的最值　 或在极值点（也是导数的 零点）取得，或者在区间的端点取得． 练一练： 设ｆ（ｘ）是区间［ａ，ｂ］上的连续函数，且在 （ａ，ｂ）内可导，则下列结论中正确的是（Ｃ ） Ａ． ｆ（ｘ）的极值点一定是最值点 Ｂ． ｆ（ｘ）的最值点一定是极值点 Ｃ． ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可能没有极值点 Ｄ． ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上可能没有最值点 最值 　 　 函数的最大值　 与最小值　 统称为函数的 最值． 想一想： 函数的极值与最值有何区别？ 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）一般地，连续函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上既有 最大值，又有最小值． （√ ） （２）函数的极值可以有多个，但最大（小） 值最多只能有一个． （√                                 ） !''