4 导数的四则运算法则(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # § ４　 导数的四则运算法则 ４． １　 导数的加法与减法法则 ４． ２　 导数的乘法与除法法则 !"#$%&'( 学习目标 １．掌握导数的四则运算法则． ２．能利用导数的四则运算法则求导函数． 核心素养 通过利用导数的四则运算法则求导函数，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 导数的四则运算法则 　 　 若两个函数ｆ（ｘ）和ｇ（ｘ）的导数分别是 ｆ ′（ｘ）和ｇ′（ｘ），则 两个函数的 和的导数 ［ｆ（ｘ）＋ ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ）＋ ｇ′（ｘ）　 两个函数的 差的导数 ［ｆ（ｘ）－ ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ）－ ｇ′（ｘ）　 两个函数的 积的导数 ［ｆ（ｘ）·ｇ（ｘ）］′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ（ｘ）＋ ｆ（ｘ）ｇ′（ｘ） 特别地，［ｋｆ（ｘ）］′ ＝ ｋｆ ′（ｘ），ｋ∈Ｒ 两个函数的 商的导数 ｆ（ｘ） ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ 　 　 　 　 （ｇ（ｘ）≠０） 　 　 ［提醒］　 注意区分两个函数积与商的求导 公式中符号的异同，积的导数公式中是“＋”，而 商的导数公式中分子上是“－”． 想一想： 若两个函数的导数存在，那么这两个函数 的和、差、积、商（商分母不为零）的导数是否 存在？ 练一练： １．已知函数ｆ（ｘ）＝ ｌｎ ｘ － ｆ ′（１）ｘ２ ＋ ２ｘ － １， 则ｆ（１）的值为 （Ｂ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． １ Ｄ． ２ ２．函数ｆ（ｘ）＝（ｘ ＋ １）２（ｘ － １）在ｘ ＝ １处的 导数等于 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ４ ３．若函数ｆ（ｘ）＝（２πｘ）２，则ｆ ′（－ １）＝ （Ｂ ） Ａ．８π２ Ｂ． －８π２ Ｃ． ４π２ Ｄ． －４π                            ２ /012%345 题型探究 题型一利用导数的运算法则求函数的导数 １．求下列函数的导数． （１）ｙ ＝（２ｘ２ － １）（３ｘ ＋ １）； （２）ｙ ＝ ｘ ２ － ｘ ＋ １ ｘ２ ＋ ｘ ＋ １ ； （３）ｙ ＝ ３ｘｅｘ － ２ｘ ＋ ｅ； （４）ｙ ＝ ｌｎ ｘ ｘ２ ＋ １         ． !&% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ［分析］　 若所给函数解析式较为复杂，可 先对函数解析式进行适当的变化与化简，再用 相关公式和法则求导． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 应用导数的四则运算法则的 思路方法及注意事项 （１）熟记导数的四则运算法则，尤其是积、 商的求导法则． （２）应用和、差、积、商的求导法则求导数 时，在可能的情况下，应尽量少用甚至不用积或 商的求导法则，应在求导之前，先利用代数、三 角恒等变形等知识对函数进行化简，然后再求 导，这样可以减少运算量，提高运算速度，避免 出错． （３）对于三个以上函数的积、商的导数，依 次转化为“两个”函数的积、商的导数计算． 对点训练? 求下列函数的导数： （１）ｙ ＝（ｘ２ ＋ １）（ｘ － １）； （２）ｙ ＝ ３ｘ ＋ ｌｇ ｘ； （３）ｙ ＝ ｅ ｘ ｘ ＋ １． 题型二 求导法则的综合应用 ２．已知曲线ｆ（ｘ）＝ ｘ３ ＋ ａｘ ＋ ｂ在点Ｐ（２， － ６）处的切线方程是１３ｘ － ｙ － ３２ ＝ ０． （１）求ａ，ｂ的值； （２）如果曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的某一切线与直线ｌ： ｙ ＝ － １４ ｘ ＋ ３垂直，求切点坐标与切线的方程． ［分析］　 （１）由ｆ（ｘ）在点Ｐ处的切线方程 可知ｆ ′（２），及ｆ（２）＝ － ６，得到ａ，ｂ的方程组， 解方程组可求出ａ，ｂ； （２）由曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）的切线与ｌ垂直，可得 切线斜率ｋ ＝ ｆ ′（ｘ０），从而解出ｘ０，求得切点坐 标和ｋ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．导数的应用中，求导数是 一个基本解题环节，应仔细分析函数解析式的 结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不 具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形， 然后分析题目特点，探寻条件与结论的联系，选 择解题途径． ２．求参数的问题一般依据条件建立参数的 方程求解． 对点训练? 已知ａ∈Ｒ，设函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ － ｌｎ ｘ的图象在点（１，ｆ（１））处的切线为ｌ，则ｌ 在ｙ轴上的截距为１　 　 ． 易错警示 　 　 不能正确应用导数的运算法则而致误 ３．求函数ｙ ＝ ３ｘ ２ － ｘ槡ｘ ＋ ５槡ｘ － ９ 槡ｘ 的导数． ［错解］　 ｙ′ ＝ ３ｘ ２ － ｘ槡ｘ ＋ ５槡ｘ － ９ 槡      ｘ                                                                        ′ !&& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ＝（３ｘ ２ － ｘ槡ｘ ＋ ５槡ｘ － ９）′ （槡ｘ）′ ＝（３ｘ ２）′ －（ｘ槡ｘ）′ ＋（５槡ｘ）′ （槡ｘ）′ ＝ ６ｘ － ３２ ｘ １ ２ ＋ ５ × １２ ｘ － １２ １ ２ ｘ － １２ ＝ ６ｘ － ３２槡ｘ ＋ ５ ２槡ｘ １ ２槡ｘ ＝ １２ｘ槡ｘ － ３ｘ ＋ ５． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 本题错解中，将商的导数公式误 记为ｆ（ｘ）ｇ（ｘ[ ]）′ ＝ ｆ ′（ｘ）ｇ′（ｘ）致误                ． 6789%:;< １．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ １ｘ的导数ｆ ′（ｘ）＝ （Ａ ） Ａ． １ － １ ｘ２ Ｂ． １ － １ｘ Ｃ． １ ＋ １ ｘ２ Ｄ． １ ＋ １ｘ ２．函数ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ｅｘ的导数是 （Ｄ ） Ａ． ｆ ′（ｘ）＝ ｅｘ Ｂ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ １ｘ Ｃ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ ｘｅｘ －１ Ｄ． ｆ ′（ｘ）＝ １ ＋ ｅｘ ３．若函数ｆ（ｘ）＝ ｅｘｃｏｓ ｘ，则此函数图象在点（１， ｆ（１））处的切线的倾斜角为 （Ｄ ） Ａ． ０ Ｂ．锐角 Ｃ．直角 Ｄ．钝角 ４．若曲线ｙ ＝ ｘｌｎ ｘ上点Ｐ处的切线平行于直线 ２ｘ － ｙ ＋ １ ＝ ０，则点Ｐ的坐标为（ｅ，ｅ）　 ． 请同学们认真完成练案［１６                ］ § ５　 简单复合函数的求导法则 !"#$%&'( 学习目标 １．了解复合函数的求导法则． ２．能求简单复合函数的导数． 核心素养 通过求简单复合函数的导数，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 复合函数的概念 　 　 对于两个函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）和ｕ ＝ φ（ｘ），给定ｘ 的一个值，就得到了ｕ的值，进而确定了ｙ的 值，那么ｙ可以表示成ｘ的函数，称这个函数为 函数ｙ ＝ ｆ（ｕ）　 和ｕ ＝ φ（ｘ）　 的复合函数，记作 ｙ ＝ ｆ（φ（ｘ））　 ，其中ｕ为中间变量． ［提醒］　 讨论复合函数的构成时，“内层” “外层”函数一般应是基本初等函数，如一次函 数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数 等．然后从外向内逐层求导          ． !&' 所以，所围三角形的面积为分x1×心： (2)y=(3)y'+(g)'=3n3+n10 3.C由y=e-x,得y'=e-1,设切点为(，en-),则 (3)y=c)'x+)-(x+)'e y'l.=ev-1. (x+1) 切线方程为y-e0+=(e-1)(x- =(x+D)-&=xe ,切线过点(e,-e), (x+1)2 (x+1)月 ,(e+1)e=x。e0,解得o=e+1, 例2：(1)，·fx)=x+x+b的导数'(x)=3x2+4. 切线方程为y-e'+e+1=(e1-1)(x-e-1),整理得 由题意可得/"(2)=12+a=13,八2)=8+2a+6=-6 y=(e1-1)x-e2 解得a=1,b=-16. 4.3x2-1 xln 3 f)=380=3 (2)切线与直线y=-4+3垂直， '(x)-g(x)=3-n3 ∴切线的斜率k=4. 设切点的坐标为(。)，则f'(）=3x话+1=4。 §4导数的四则运算法则 ∴=±1 由/代x)=x2+x-16,可得%=1+1-16=-14，或6=-1-1 4.1导数的加法与减法法则 -16=-18.即切点坐标为(1，-14)或(-1，-18). 则切线方程为y=4(x-1)-14或y=4(x+1)-18。 4.2导数的乘法与除法法则 即y=4x-18或y=4x-14. 必备知识·探新知 对点训练21f'《)=4-f0)=a-1 知识点 又f代1)=a. f()+g()f(x)-()(g(a)-R( ∴切线I的斜率为a-1,且过点(1.a), g (x) ∴.切线（的方程为y-a=(a-1)(x-1). 想一想： 令x=0,得y=1,故1在y轴上的截距为1 两个函数的导数存在，则它们的和，差、积，商（商分母不为 零)必存在：若两个函数的导数不存在，则它们的和、差，积，商不 例3：y'= /3x2-xR+5x-9 一定不存在 练一练： LB求导得/"()=-21)+2. =(3x立)'-(x)'+(5)'-(9x÷) 所以f'(1)=1-2f(1)+2,解得f'(1)=1 则fx)=lnx-x2+2x-1. 2r 所以1)=1n1-1+2-1=0. 2.Df八x)=(x+1)2(x-1)=x2+x2-x-1f'(x)=3x =99 +2x-1∫'(1)=3+2-1=4. 3.Bfx)=(2mx)2=4m2x2 课堂检测·固双基 所以'(x)=8πxf'(-1)=8π2×(-1)=-8m2 关键能力·攻重难 1.A)=(+扩=+()=- 例1：(1)方法一：可以先展开后再求导： 2.D函数的导数为'(x)=1+e,故选D y=(2x2-1)(3x+1)=6r3+2x2-3x-1. i3.D由已知得f'(x)=e'cosx-e'sin x 六y‘=(6r3+2x2-3x-1)'=18x2+4x-3. ! =e(cos x sin x). 方法二：可以利用乘法的求导法则进行求导： ∴f'(1)=e(c0%1-sin1). y'=(2x-1)"(3x+1)+(2x-1)(3x+1)'=4x(3x+1) +3(2x2-1)=12x2+4x+6x2-3=18x2+4x-3. ~>1> (2)把函数的解析式整理变形可得： 而由正，余弦函数性质可得cs1<sn1. y=4出=++1-2红=1- 2x ∴f'(1)<0.即f(x)在(1，(1))处的切线的斜率k<0.切 x+x+1x+x+1 2+x+1 线倾斜角是纯角： y=2r+x+1)-2x(2x+1)。22-2 4.(e,e)设P(),则y=xnx在x=处的导数为lna+ (2+x+1) (x2+x+1) 1=2,所以=c,则a=e,则P点坐标为(e,c. (3)根据求导法则进行求导可得： §5简单复合函数的求导法则 y'=(3e)'-(2)'=(3)'e+3(e*)'-(2)‘=3ln3· e+3'e-2n2 必备知识·探新知 =(3e)'ln(3e）-2ln2. 知识点1 (4)利用除法的求导法则.进行求导可得： y=f(u)u=o(x)y=fo(x)) y=血'(x2+)-nx·(+ 想一想： (x2+1)月 由内函数u=p(x)的值域包含于外函数y=()的定义域 1(+10-nx2x 所求得的x的取值集合就是复合函数y=爪P(x)的定义域 x2(1-21nx)+1 练一练： (x2+1) (x2+1)3 (1)×(2)×(3)×(4)V 对点训练1：(1)：y=(x2+1)(x-1)=x3-x2+x-1, 知识点2 y'=3x2-2x+1. [fp(x))]'f'(u)p'(x),其中u=(x) -143