1 平均变化率与瞬时变化率(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 第二章 　 导数及其应用 § １　 平均变化率与瞬时变化率 １． １　 平均变化率 １． ２　 瞬时变化率 !"#$%&'( 学习目标 １．理解函数的平均变化率和瞬时变化率的概念． ２．会求物体运动的平均速度并估计瞬时速度． ３．会求函数在某点附近的平均变化率． 核心素养 １．通过对函数平均变化率、瞬时变化率等有关概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助求函数平均变化率、瞬时变化率，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 平均变化率 　 　 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）从ｘ１到ｘ２的平均变化率 （１）定义：Δｙ Δｘ ＝ 　 　 　 　 ． （２）实质：函数值的改变量与自变量的改变 量之比　 ． （３）作用：刻画函数值在区间［ｘ１，ｘ２］上变 化的快慢　 ． ［提醒］　 （１）Δｘ的值可正、可负，但不 为０． （２）Δｙ的值可正、可负，也可为０． 想一想： 函数ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上的平均变化率 可以等于０吗？若平均变化率等于０，是否说明 ｆ（ｘ）在［ｘ１，ｘ２］上一定为常数                        ？ !%% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 练一练： １．如图，函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在Ａ，Ｂ两点间的平均 变化率是 （Ｂ ） Ａ． １ Ｂ． － １ Ｃ． ２ Ｄ． － ２ ２．一质点的运动方程是ｓ ＝ ５ － ３ｔ２，则在一 段时间［１，１ ＋ Δｔ］内相应的平均速度为（Ｄ ） Ａ． ３Δｔ ＋ ６ Ｂ． － ３Δｔ ＋ ６ Ｃ． ３Δｔ － ６ Ｄ． － ３Δｔ － ６ 瞬时变化率 　 　 函数ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的瞬时变化率 （１）定义：当Δｘ趋于０时，平均变化率ΔｙΔｘ ＝ 　 　 　 　 趋于某个值，这个值就是ｆ（ｘ）在点 ｘ０的瞬时变化率． （２）实质：瞬时变化率是当自变量的改变量 趋近于０时，平均变化率趋近的值． （３）作用：刻画函数在某一点处变化的快慢　 ． ［提醒］　 （１）函数ｆ（ｘ）在ｘ０，ｘ０ ＋ Δｘ处有 意义，ｘ０ ＋ Δｘ是ｘ０ 附近的任意一点，Δｘ可正、 可负，但不能为０； （２）注意变量的对应，Δｘ ＝（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｘ０， Δｙ ＝ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０），而不是Δｙ ＝ ｆ（ｘ０）－ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）． 想一想： 瞬时速度与平均速度有怎样的区别与 联系？ 练一练： １．若质点Ａ按照规律ｓ ＝ ３ｔ２运动，则在ｔ ＝ ３时的瞬时速度为 （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． １８ Ｃ． ２７ Ｄ． ５４ ２．若一物体的运动方程为ｓ ＝ ７ｔ２ ＋ ８，则其 在ｔ ＝ 　 　 　 　 时的瞬时速度为１                                       ． /012%345 题型探究 题型一 平均变化率的求法 １．（１）函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｃ（ｃ∈Ｒ）在区间 ［１，３］上的平均变化率为 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ４ Ｃ． ２ｃ Ｄ． ４ｃ （２）设地铁在某段时间内进行调试，由始点 起经过ｔ秒后的距离为ｓ ＝ １４ ｔ ４ － ４ｔ３ ＋ １６ｔ２（单 位：米），则列车运行１０秒的平均速度为（Ａ ） Ａ． １０米／秒 Ｂ． ８米／秒 Ｃ． ４米／秒 Ｄ． ０米／秒 　 　 ［规律方法］　 求函数平均变化率的步骤 （１）求自变量的改变量Δｘ ＝ ｘ２ － ｘ１ ． （２）求函数值的改变量Δｙ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１）． （３）求平均变化率Δｙ Δｘ ＝ ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１） ｘ２ － ｘ１ ． 对点训练? 球的半径从１增加到２ 时，球的体积平均膨胀率为　 　 　 　 ． 题型二 瞬时变化率（瞬时速度）的求法 ２．以初速度ｖ０（ｖ０ ＞ ０）竖直上抛的物体，ｔ 秒时的高度ｓ与ｔ的函数关系为ｓ ＝ ｖ０ ｔ － １２ ｇｔ ２， 求物体在时刻ｔ０处的瞬时速度． 　 　 ［尝试作答                                   ］ !%& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 求运动物体瞬时速度的三个 步骤： （１）求时间改变量Δｔ和位移改变量Δｓ ＝ ｓ（ｔ０ ＋ Δｔ）－ ｓ（ｔ０）； （２）求平均速度ｖ ＝ Δｓ Δｔ ； （３）求瞬时速度，当Δｔ无限趋近于０时，ΔｓΔｔ 无限趋近于常数ｖ，即为瞬时速度． 对点训练? 一辆汽车按规律ｓ ＝ ２ｔ２ ＋ ３做直线运动，求这辆汽车在ｔ ＝ ２时的瞬时速 度．（时间单位：ｓ，位移单位：ｍ） 易错警示 　 　 不能正确识图致误 ３． Ａ，Ｂ两机关单位开展节能 活动，活动开始后两机关的用电 量Ｗ１（ｔ），Ｗ２（ｔ）与时间ｔ（天）的 关系如图所示，则一定有（Ｂ ） Ａ．两机关单位节能效果一样好 Ｂ． Ａ机关单位比Ｂ机关单位节能效果好 Ｃ． Ａ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平均 变化率比Ｂ机关单位的用电量在［０，ｔ０］上的平 均变化率大 Ｄ． Ａ机关单位与Ｂ机关单位自节能以来用 电量总是一样大 ［错解］　 选Ｃ．因为在（０，ｔ０）上，Ｗ１（ｔ）的 图象比Ｗ２（ｔ）的图象陡峭，∴在（０，ｔ０）上用电量 的平均变化率，Ａ机关单位比Ｂ机关单位大． ［误区警示］　 从图上看，两机关单位在（０， ｔ０）上用电量的平均变化率都取负值． 　 　 ［正解     ］ 　 　 ［点评］　 识图时，一定要结合题意弄清图 象所反映的量之间的关系，特别是单调性，增长 （减少）的快慢等要弄清                                               ． 6789%:;< １．设函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ － １，当自变量ｘ由１变为１． １ 时，函数的平均变化率为 （Ａ ） Ａ． ２． １ Ｂ． １． １ Ｃ． ２ Ｄ． ０ ２．已知函数ｆ（ｘ）＝ ２ｘ２ － ４的图象上一点（１， － ２）及邻近一点（１ ＋ Δｘ，－ ２ ＋ Δｙ），则ΔｙΔｘ等 于 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ４ｘ Ｃ． ４ ＋ ２Δｘ Ｄ． ４ ＋ ２（Δｘ）２ ３．已知函数ｙ ＝ ｘ３ － ２，当ｘ ＝ ２时，Δｙ Δｘ ＝ （Δｘ）２ ＋ ６Δｘ ＋ １２　 ． ４．已知ｆ（ｘ ＋ １）－ ｆ（１）＝ ２ｘ２ ＋ ｘ，则ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ １处的瞬时变化率为１　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１３               ］ !%' （２）设数列｛ａｎｂ２ｎ ＋ １｝的前ｎ项和为Ｔｎ， 由ａｎｂ２ｎ ＋ １ ＝ ｎ × ４ｎ，得 Ｔｎ ＝ １ × ４ ＋ ２ × ４ ２ ＋ ３ × ４３ ＋…＋ ｎ × ４ｎ， ４Ｔｎ ＝ １ × ４ ２ ＋ ２ × ４３ ＋ ３ × ４４ ＋…＋ ｎ × ４ｎ ＋ １， 所以－ ３Ｔｎ ＝ １ × ４ ＋ １ × ４２ ＋ １ × ４３ ＋…＋ １ × ４ｎ － ｎ × ４ｎ ＋ １ ＝ ４ ×（１ － ４ｎ） １ － ４ － ｎ × ４ ｎ ＋ １，则Ｔｎ ＝（３ｎ － １）４ ｎ ＋ １ ＋ ４ ９ ． 第二章　 导数及其应用 § １　 平均变化率与瞬时变化率 １． １　 平均变化率 １． ２　 瞬时变化率 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）ｆ（ｘ２）－ ｆ（ｘ１）ｘ２ － ｘ１ 　 （２）之比　 （３）快慢 想一想： 函数ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上的平均变化率可以等于０，这时 ｆ（ｘ１）＝ ｆ（ｘ２）；平均变化率等于０，不能说ｆ（ｘ）在区间［ｘ１，ｘ２］上 一定为常数，例如ｆ（ｘ）＝ ｘ２在区间［－ １，１］上． 练一练： １． Ｂ　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（３）－ ｆ（１）３ － １ ＝ １ － ３ ２ ＝ － １． ２． Ｄ　 平均速度为ｓ（１ ＋ Δｔ）－ ｓ（１）（１ ＋ Δｔ）－ １ ＝ ５ － ３（１ ＋ Δｔ）２ － ２ Δｔ ＝ － ３Δｔ － ６． 知识点２ （１）ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 　 （３）快慢 想一想： 平均速度Δｓ Δｔ 与路程和时间都有关系，它反映的是物体在一 段时间内的平均运动状态；瞬时速度是物体在某一时刻的速度， 是在这一时刻附近时间差Δｔ趋于０时平均速度的极限值． 练一练： １． Ｂ　 因为Δｓ Δｔ ＝３（３ ＋Δｔ） ２ －３ ×３２ Δｔ ＝１８Δｔ ＋３（Δｔ） ２ Δｔ ＝１８ ＋３Δｔ， 所以当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ趋于１８． ２． １１４ 　 Δｓ Δｔ ＝ ７（ｔ ＋ Δｔ） ２ ＋ ８ －（７ｔ２ ＋ ８） Δｔ ＝ ７Δｔ ＋ １４ｔ，Δｔ趋于０ 时，Δｓ Δｔ 趋于１４ｔ，即１４ｔ ＝ １，ｔ ＝ １１４ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 ∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｃ，∴该函数在区间［１，３］上的 平均变化率为Δｙ Δｘ ＝ ｆ（３）－ ｆ（１）３ － １ ＝ （３２ ＋ ２ｃ）－（１２ ＋ ２ｃ） ２ ＝ ４，故 选Ｂ． （２）Ａ　 列车从开始运行到１０秒时，列车距离的增加量为 ｓ（１０）－ ｓ（０）＝ １００ － ０ ＝ １００（米），则列车运行１０秒的平均速度 为ｓ（１０）－ ｓ（０）１０ － ０ ＝ １０（米／秒）． 　 　 对点训练１：２８π３ 　 因为Δｙ ＝ ４ ３ π × ２ ３ － ４３ π × １ ３ ＝ ２８π３ ， 所以Δｙ Δｘ ＝ ２８π ３ ２ － １ ＝ ２８π ３ ． 　 　 例２：因为Δｓ ＝ ｖ０ （ｔ０ ＋ Δｔ）－ １２ ｇ （ｔ０ ＋ Δｔ） ２ － ｖ０ ｔ０ － １ ２ ｇｔ( )２０ ＝（ｖ０ － ｇｔ０）Δｔ － １２ ｇ（Δｔ）２， 所以Δｓ Δｔ ＝ ｖ０ － ｇｔ０ － １ ２ ｇΔｔ． 当Δｔ趋于０时，ΔｓΔｔ趋于ｖ０ － ｇｔ０， 故物体在时刻ｔ０处的瞬时速度为ｖ０ － ｇｔ０ ． 　 　 对点训练２：设这辆汽车在ｔ ＝ ２附近的时间改变量为Δｔ，则 位移的改变量Δｓ ＝ ［２（２ ＋ Δｔ）２ ＋ ３］－ （２ × ２２ ＋ ３）＝ ８Δｔ ＋ ２（Δｔ）２，则ΔｓΔｔ ＝ ８ ＋ ２Δｔ．当Δｔ趋于０时，平均变化率 Δｓ Δｔ 趋于８． 所以，这辆汽车在ｔ ＝ ２时的瞬时速度为８ ｍ ／ ｓ． 　 　 例３：Ｂ　 由题可知，Ａ机关单位所对应的图象比较陡峭，Ｂ 机关单位所对应的图象比较平缓，且用电量在［０，ｔ０］上的平均 变化率都小于０，故一定有Ａ机关单位比Ｂ机关单位节能效果 好．故选Ｂ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（１． １）－ ｆ（１）１． １ － １ ＝ ０． ２１ ０． １ ＝ ２． １． ２． Ｃ 　 Δｙ Δｘ ＝ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ ２（１ ＋ Δｘ） ２ － ４ ＋ ２ Δｘ ＝ ２（Δｘ）２ ＋ ４Δｘ Δｘ ＝ ２Δｘ ＋ ４． ３．（Δｘ）２ ＋ ６Δｘ ＋ １２ 　 因为Δｙ ＝（２ ＋ Δｘ）３ － ２ － ６ ＝（Δｘ）３ ＋ ６（Δｘ）２ ＋ １２Δｘ，所以ΔｙΔｘ ＝（Δｘ） ２ ＋ ６Δｘ ＋ １２． ４． １　 ∵ ｆ（ｘ ＋ １）－ ｆ（１）ｘ ＝ ２ｘ２ ＋ ｘ ｘ ＝ ２ｘ ＋ １， ∴当ｘ趋近于０时，２ｘ ＋ １趋近于１， ∴ ｙ ＝ ｆ（ｘ）在ｘ ＝ １处的瞬时变化率为１． § ２　 导数的概念及其几何意义 ２． １　 导数的概念 ２． ２　 导数的几何意义 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （２）固定的值　 （３）瞬时变化率　 ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（ｘ０ ＋ Δｘ）－ ｆ（ｘ０） Δｘ 想一想： ｆ ′（ｘ）与ｆ ′（ｘ０）不相同． ｆ ′（ｘ）是函数ｆ（ｘ）的导函数， ｆ ′（ｘ０）是函数ｆ（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０处的导数值，是函数ｆ ′（ｘ）在ｘ ＝ ｘ０ 时的函数值． 练一练： １． Ｃ　 ｙ ＝ ｘ２在ｘ ＝ １处的导数为 ｆ ′（１）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ （１ ＋ Δｘ）２ － １ Δｘ ＝ ２． ２． ４　 函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ在ｘ ＝ １处的导数为 ｆ ′（１）＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ｆ（１ ＋ Δｘ）－ ｆ（１） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ［ａ（１ ＋ Δｘ）＋ ｂ］－（ａ ＋ ｂ） Δｘ ＝ ｌｉｍ Δｘ→０ ａΔｘ Δｘ ＝ ａ， 又ｆ ′（１）＝ ２，得ａ ＝ ２，而ｆ（１）＝ ２，有ａ ＋ ｂ ＝ ２，于是ｂ ＝ ０， 所以ｆ（ｘ）＝ ２ｘ，所以ｆ（２）＝ ４． 知识点２ （２）相切　 （３）斜率 想一想： 不相同．曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在某点处的切线只是在切点Ｐ０ 附近 区域上只有一个公共点，但该切线与这条曲线公共点可能不止 一个，因此，直线ｌ是曲线ｙ ＝ ｆ（ｘ）在切点Ｐ０处的切线，但在点Ａ 处不是曲线的切线                                                                       ． —１４０—