第1章 数列章末整合提升(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 章末整合提升 + , = > ? @ A B C D E F 要点一 求数列的通项公式 １．（１）已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ ３ａｎ ＋ ４，ａ１ ＝ １，则ａｎ ＝ ３ｎ － ２　 ． （２）已知ａ１ ＋ ２ａ２ ＋ ２２ａ３ ＋…＋ ２ｎ －１ａｎ ＝ ９ － ６ｎ，则数列｛ａｎ｝的通项公式是　 　 　 　 ． （３）已知公差为ｄ的等差数列｛ａｎ｝的前ｎ 项和是Ｓｎ，且ａ２ ＋ ａ５ ＝ １２，Ｓ５ ＝ ２５． ①求数列｛ａｎ｝的通项公式； ②数列｛ｂｎ｝满足：ｂ１ ＝ ２，ｂｎ ＝ ｂｎ －１ ＋ ２ａｎ（ｎ≥ ２），求数列｛ｂｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 数列通项公式的求法 （１）定义法，直接利用等差数列或等比数列 的定义求通项公式的，这种方法适用已知数列 类型的题目． （２）已知Ｓｎ求ａｎ，若已知数列的前ｎ项和 Ｓｎ（或其与ａｎ 的关系），求数列｛ａｎ｝的通项ａｎ 可以用公式ａｎ ＝ Ｓ１，ｎ ＝ １， Ｓｎ － Ｓｎ －１，ｎ≥２{ ． （３）累加或累乘法，形如ａｎ － ａｎ －１ ＝ ｆ（ｎ）（ｎ ≥２）的递推式，可用累加法求通项公式；形如 ａｎ ａｎ －１ ＝ ｆ（ｎ）（ｎ≥２）的递推式，可用累乘法求通 项公式． （４）构造法，形如ａｎ ＋１ ＝ Ａａｎ ＋ ｂ可构造｛ａｎ ＋ ｎ｝为等比数列，再求通项公式． 要点二 等差、等比数列的判断与证明 ２．记Ｓｎ 为数列｛ａｎ｝的前ｎ项和，ｂｎ 为数列 ｛Ｓｎ｝的前ｎ项积，已知２Ｓｎ ＋ １ ｂｎ ＝２． （１）证明：数列｛ｂｎ｝是等差数列； （２）求｛ａｎ｝的通项公式                                      ． !%" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 等差、等比数列的判断与证 明方法 （１）定义法：ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ｄ（常数）｛ａｎ｝是 等差数列；ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ为常数，ｑ≠０）｛ａｎ｝是等 比数列； （２）中项公式法：２ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ＋ ａｎ ＋２｛ａｎ｝是 等差数列；ａ２ｎ ＋１ ＝ ａｎ·ａｎ ＋２（ａｎ≠０）｛ａｎ｝是等 比数列； （３）通项公式法：ａｎ ＝ ｋｎ ＋ ｂ（ｋ，ｂ是常数） ｛ａｎ｝是等差数列；ａｎ ＝ ｃ·ｑｎ（ｃ，ｑ为非零常 数）｛ａｎ｝是等比数列； （４）前ｎ项和公式法：Ｓｎ ＝ Ａｎ２ ＋ Ｂｎ（Ａ，Ｂ为 常数，ｎ∈Ｎ）｛ａｎ｝是等差数列；Ｓｎ ＝ Ａｑｎ － Ａ （Ａ，ｑ为常数，且Ａ≠０，ｑ≠０，ｑ≠１，ｎ∈Ｎ） ｛ａｎ｝是等比数列． ［提醒］　 ①前两种方法是判定等差、等比 数列的常用方法，而后两种方法常用于选择、填 空题中的判定． ②若要判定一个数列不是等差 （比）数列，则只需判定其任意的连续三项不成 等差（比）即可． 要点三 等差、等比数列的运算 ３．（１）（多选）等差数列｛ａｎ｝中，Ｓｎ 为其前ｎ 项和，ａ１ ＝１５，Ｓ５ ＝ Ｓ１１，则以下说法正确的是（Ａ ） Ａ． ｄ ＝ － ２ Ｂ． ａ６ ＝ － ａ１１ Ｃ． Ｓｎ的最大值为Ｓ７ Ｄ．使得Ｓｎ≥０成立的最大整数ｎ ＝ １６ （２）在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ ８，则｛ａｎ｝ 的公比为２　 　 ，｛ａｎ｝的前６项和为６３　 　 ． （３）在等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＋ ａ７ ＝ － ２３，Ｓ１０ ＝ －１４５． ①求数列｛ａｎ｝的通项公式； ②若数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝是首项为１，公比为ａ的 等比数列，求｛ｂｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ． 　 　 ［尝试作答            ］ 　 　 ［规律方法］　 等差与等比数列的基本量计 算方法 在等差（或等比）数列中，首项ａ１ 与公差ｄ （或公比ｑ）是两个基本量，一般的等差（或等 比）数列的计算问题，都可以设出这两个量求 解．在等差数列中的五个量ａ１，ｄ，ｎ，ａｎ，Ｓｎ 或等 比数列中的五个量ａ１，ｑ，ｎ，ａｎ，Ｓｎ 中，可通过列 方程组的方法，知三求二．在利用Ｓｎ求ａｎ时，要 注意验证ｎ ＝ １是否成立． 要点四 数列求和 ４．已知数列｛ａｎ｝满足ａ３ ＝ １６，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ ２ａｎ ＋ １ ． （１）求证：数列１ａ{ }ｎ 是等差数列，                                                                        并求数列 !%# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # ｛ａ ｎ｝的通项公式； （２）若　 　 　 　 ，求数列｛ｂｎ｝的前ｎ项 和Ｔｎ． （在①ｂｎ ＝ ａｎａｎ ＋１；②ｂｎ ＝（－ １） ｎ ａｎ ；③ｂｎ ＝ １ａｎ ＋ １( )３ １ ａｎ三个条件中选择一个补充在第（２）问 中，并对其求解） 　 　 ［尝试作答                    ］ ５．已知｛ａｎ｝为等差数列，前ｎ项和为Ｓｎ，数 列｛ｂｎ｝是首项为１的等比数列，４ｂ２ － ｂ３ ＝ ４，ｂ４ ＝ ａ４ ＋ ４ａ１，２Ｓ１５ ＝ １５ｂ５ ． （１）求｛ａｎ｝和｛ｂｎ｝的通项公式； （２）求数列｛ａｎｂ２ｎ ＋１｝的前ｎ项和． 　 　 ［尝试作答                ］ 　 　 ［规律方法］　 数列求和时，根据数列通项 公式特征选择求和法，尤其是涉及等比数列求 和时要注意公比ｑ对Ｓｎ的影响．一般常见的求 和方法有： （１）公式法：利用等差数列或等比数列前ｎ 项和公式； （２）分组求和法：把一个数列分成几个可以 直接求和的数列； （３）裂项相消法：有时把一个数列的通项公 式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只 剩有限项再求和； （４）错位相减法：适用于一个等差数列和一 个等比数列对应项相乘构成的数列求和； （５）并项求和法：一个数列的前ｎ项和中， 可两两结合求解，则称之为并项求和．形如ａｎ ＝ （－ １）ｎ ｆ（ｎ）类型，可采用两项合并求解． 请同学们认真完成考案（一                                                                        ） !%$ 例2:①当a=2时,1+-<--,命题成立 即a =5=1-a ,即aà→=. ②假设n-次时命题成立,即12- 11 1 =-3×4 045 -1-1 _1命题成立。 (2)猜想:a.-n(n+1) 1 由①②知原不等式在n2时均成立. 证明如下:①当n=1时,猜想显然成立 对点训练2:①当n=1时,左边=1.右边=2.左边<右边; ②假设当n=k(&eN)时,猜想成立, 不等式成立. 即a=(h+1) ②假设当n=k(b>1且rsN*)时,不等式成立,即11 当n-k+1时,S.=1-(k+1)a.. 5 -.2 即s+a.=1-(+1)a. +V 则当n=+1时。 从面aì(k+1)(k+2) ,1 1 1 211()(+1)1 -(+1)[(*+1)+1] +1 +1 即n=k+1时,猜想也成立,由①②可知,猜想成立. -2(1)-2+. $$例$:①当$=3时,左边=2+2^=6. 边=$ ($^-11 =6 V+1 等式成立; 所以当n=k+1时,不等式成立 ②假设n-k时,结论成立,即2+2^}+..+2-1 由①②可知,原不等式对任意neN都成立. -2(2-1-1). 例3:证明:①当n=1时.n+5n=6.显然能够被6整除,命 那么n=k+1时,2+2+..+2+2=2(2-1)+2= 题成立。 2.2-2-2(2-1)=2[2(1)1-1]. ②假设当n=k时,命题成立,即+5n=k+5能够被6 $ 所以当n=k+1时,等式也成立。 整除, 由①②可知,等式对任意n>2.neN都成立. 当=k 1时,+5n=(k+1)+5(k+1)=k+3k+3课堂检测·固双基 +1+5k+5=(+5)+3k(k+1)+6. 1.C 根据凸n边形至少有3条边,知n3,故n。的值应为3. 由假设知:k+5能够被6整除。 2.B 本题证明了当n=1,3.5.7....时,命题成立,即命题对一 而(5+1)为偶数,故3(5+1)能够被6整除 切正奇数成立. 故($+1)+5(k+1)=(k+5\k) +3k(k+1)+6能够被6 整除, 即当n=k+1时,命题成立, 当n=k+1时,左边-3. 由①②可知,命题对一切正整数成立, 即n+5n(neN.)能够被6整除. 对点训练3:证明:①当n=1时./f1)=3 -8-9=64能被 ($+1) (k-1) (k+1)+ (k+1) (k+1),故不等式 64整除. 64整除,则当=+1时(+1)-3-8(^+1)-9-9 4./(2”)2 ②假设当$n=kk>1.ke N.)时$(k)=32}-8k-9能被$$$ 自变量的取值依次为2.4=2,8=2$16=2*$ $3*-8-17=9t(3*-8k-9)+64k+6 4$$ 故/f(k+1)也能被64整除. 32=2^..,故为2”.右边分母全为2.分子依次为3,4,5.6.7 综合①②.知当n=N.时f(n)=3-8n-9能被64整除 ..,故右边为“2,即(2”)> -.由s.可求得a 章末整合提升 =2.a=6.a;=10.由此猜想la. 的通项公式a.=4n-2. 要点专项突破 neN'. 例1:(1)3*-2 根据题意,知数列la.满足a..=3a。+4. (2)①当n=1时,a.=2,等式成立; 变形可得。.1+2=3a 6-=3(a.2),即2 ②假设当n=k(keN*)时,等式成立,即a.=4-2 .2=3.又 .=8.-8(a+2)(2) a =1.则a.+2=3.故a.+2是首项为3.公比为3的等比数 8. 列,则有a.+2=3x3”=3”,故a.=3”-2. .(a.:+a)(a-a.-4)=0. 3.n=1. 3 又a:+a*0a:--4=0. (2).= 1-232 令S.=a.+2a+2a..+2“-.. '=a+4-4-2+4-4(+1)-2. 4.当n=k+1时,等式也成立. 则$$=9-6n.当n=1时,a.=$.=3;当n→2时,2.$$ 由①②可知,a.=4n-2对任何neN都成立. -s.-8.-6,所以a.--2. 3 对点训练4:(1)依题设可得,当n=1时,S.=a. -138- [3.n=1. (3)①设等差数列la.的首项为a,公差为d.由a。+a= 所以通项公式a.= -23.$.=-145. 2a.+7d=-23. 5.0. 得 (3)①由a.+a.=12.S.=25.得 .10x9d-145. r2a.+5d=12. 10.+ 解得[=1. 2 15a.+10d=25. =2, 所以a.=-1-3(n-1)=-3n+2. 所以a.=1+2x(n-1)=2n-1. ②因为数列a.+b. 是首项为1.公比为a的等比数列,所 ②当n2时,b.=b.+2**. 以a。+b=a”,则b=a -+3n-2. 则$ -b-2-(n>2),又b=2. 所以5.=b +b+...+b. 所以b.=b +(b-b )+(b -b).+(b.-b) =(*+a+.+a*)+3(1+2+...+n)-2n 若a=1,则a*+a'+.+a”=n; 若a*1,则a}a++a--- 1-a 又3(1 2++n)-2n-3. (n+1)-n-3^-n 2。 2 .1. 2 .号.取n=1.由5.,θ得.# 所以s.- 1_3n-*1. 1- 由于b,为数列S.的前n项积, 2 所以1 21 2b. .。 26.2 所以22-1 2:-1 .... ,0 2. 则数列[一]是首项和公差都为2的等差数列, 所以=2+2(n-1)=2n. 由于bz0 2 2 所以数列lb.是以b=3为首项,以d=2为公差的等差 (2)选①$6-98_()则一 数列. (2)由(1)可得,数列 b.{是以b-为首项,以d-为 (1-----)-(1-) 公差的等差数列. - #.#4(n-1)#=1+# 选②.-(-1)'-(-1)2n. 22+ $.-26.-11+n 当n为偶数时T.=(-2+4)+(-6+8)+.+(-2n+2 当n=1时,a:=5.- 3。 +2n)-2·吾=n; 听以下一_ 当a→2时,a.-5.-$.1-1+nn 2+n1n. 当n为奇数时,T.=T+b.=a-1-2n=-n-1. 1. -(n+1),然对于a=1不成立, 选③,6-()-2n()。 1_1. 则.-(24++2)+(+) .= (n1),“=2 #(1-)# 例3:(1)ABD 设等差数列la. 的公差为d.由S.=S,得 -un(22n), $$ $ +l10d=1la +55d,即6 +45d=,又a=15,所以d=-2. 1-# 选$A正确;所以a.=15-2(n-1)=-2n+17,则a=5,a= -22+17=-5.满足a=-,选项B正确;令a.>0.得-2 =n+n,1 +170.又neN..解得n8,故S.的最大值为S..选项C错 误:$=15n+(n-1)x(-2)=-n*+16n,令50.得-a(n 比为. 例5:(1)设等差数列a.的公差为d.等比数列)b.的公 -16)>0,解得1<n16(neN.),所以使得S.>0的最大整数 由已知4b.-b;=4,得b (4q-})=4,而b.=1,则q-4 n=16.选项D正确. +4=0,解得-2. (2)2 63 因为在等比数列a.中,a.=1.a.=8. 所以b.=2-; 所以-△-8,解得公比。-2. 由b=a.+4a.,得5a.+3d-8. , 由2S.=15b,得a.+7d=8. 所以]a.的前6项和s.-1x(1-2)-63. 联立以上两式解得a=d=1,则a.=1+1x(n-1)= 1-2 所以a.和/b.的通项公式分别为a.=n.b.=2. -139- (2)设数列la.b.的前a项和为T。 (woo-)=(no-g%)△-(A)”, 由a.b..=nx4',得 T.=1×4+2×4+3×4+...+nx4. 所以△4-ro-go-)-At. 4T=1×4 +2x4+3×4 .-+ax4*. A 所以-37.=1×4+1x4+1×4+.+1×4-n×4*= 4×(1-4)-n x4,则7.-(3n-1)4.1 4 1-4 故物体在时刻4。处的瞬时速度为%-gh. 对点训练2:设这辆汽车在1=2附近的时间改变量为At,则 第二章 导数及其应用 位移的改变量A=[2(2+At)+3]-(2×2+3)=8 + s1 平均变化率与瞬时变化率 1.1 平均变化率 所以,这辆汽车在1=2时的瞬时速度为8m/s. 例3:B 由题可知,A机关单位所对应的图象比较陆峭,B 机关单位所对应的图象比较平缓,且用电量在[0,4]上的平均 1.2 瞬时变化率 变化率都小于0,故一定有A机关单位比B机关单位节能效果 必备知识·探新知 好。故选B 知识点1 课堂检测·固双基 △f1.1)-f(1)0.21-2.1. (1{)-/() (2)之比 (3)快慢 1.A △ 1.1-1 一: 0.1 f1+△)-f1) 想一想: :2. C 2(1+△)-4+2 △x 函数f(x)在区问[x,]上的平均变化率可以等于0,这时 2(△x)*+44-2Ax+4. △r fx)=f(x);平均变化率等于0.不能说/(x)在区间[x,]上 △t 一定为常数,例如/(x)=x*在区间[-1.1]上. 练一练: 3.(Ax)+6△x+12 因为Ay=(2+A)-2-6=(A) + (3)-1(1)-1-3--1. 6(Ax)*+12Ar.所以Ay-(Ax)+6Ax+12. 1.B 4.1.x+1)-(1)2x-2x+1. 3-1 △ 2 2.D 平均速度为(1+A)-s(1)5-3(1+A)*-2 Af (1+A)-1 -3△t-6. .当x趋近于0时,2x+1趋近于1. 知识点2 '.y=/(x)在x=1处的瞬时变化率为1 (1 {x。+A)-f(x) s2 导数的概念及其几何意义 △x (3)快慢 想一想: 2.1 导数的概念 平均速度与路程和时问都有关系,它反映的是物体在一 A 2.2 导数的几何意义 段时间内的平均运动状态;瞬时速度是物体在某一时刻的速度,必备知识·探新知 是在这一时刻附近时间差△趋于0时平均速度的极限值 练一练: 知识点1 lim f(xo+Ax)-f(xo) (2)固定的值 (3)瞬时变化率 Ar A △ 想一想: f'(x)与f'(x)不相同.f'(x)是函数f(x)的导函数 A&7(A)}+8-(7}+8)-7At+141.At:趋于0{时的函数值. 2 if'(x)是函数/f(x)在x=x。处的导数值,是函数f'(x)在x=x。 △ 练一练: 1.Cy=x在x=1处的导数为 关键能力·攻重难 /'(1)-lin(1+A)-1-2 例1:(1)B/f(x)=x+2c..该函数在区间[1.3]上的 平均变化为A(3)-(1)(3+20)-(1+20)-4.故 2.4 函数/f(x)=ax+b在x=1处的导数为 △ 3-1 ) 选B. △x (2)A 列车从开始运行到10秒时,列车距离的增加量为 △ s(10)-s(0)=100-0=100(米),则列车运行10秒的平均速度 。△ 为(1)-(0)-10(米/秒). 又f'(1)=2,得a=2,而f(1)=2,有a+b=2,于是b=0 10-0 所以fx)-2x.所以f(2)=4. 知识点2 对点训练1.28 (2)相切(3)斜率 想一想: 不相同.曲线y=/(x)在某点处的切线只是在切点P附近 区域上只有一个公共点,但该切线与这条曲线公共点可能不止 28(。A)}- 例2:因为As=r。(t。+Ar)- 一个,因此,直线7是曲线y=fx)在切点P。处的切线,但在点A 处不是曲线的切线. -140-