4 数列在日常经济生活中的应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 易错警示 　 　 对于通项中含字母的数列求和，忽略对字 母进行分类讨论而致误 ４．求数列１，ａ，ａ２，…的前ｎ项和Ｓｎ． ［错解］　 Ｓｎ ＝ １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ －１ ＝ １ － ａ ｎ １ － ａ ＝ ａ ｎ － １ ａ － １ ． ［误区警示］　 错误的原因在于忽略了对ａ 的取值进行分类讨论． 　 　 ［正解                     ］ 6789%:;< １．等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，前ｎ项和为Ｓｎ，设 甲：ｑ ＞ ０，乙：｛Ｓｎ｝是递增数列，则 （Ｂ ） Ａ．甲是乙的充分条件但不是必要条件 Ｂ．甲是乙的必要条件但不是充分条件 Ｃ．甲是乙的充要条件 Ｄ．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 ２．若等差数列｛ａｎ｝的首项为１，公差为１，等比 数列｛ｂｎ｝的首项为－ １，公比为－ ２，则数列 ｛ａｎ ＋ ｂｎ｝的前８项和为 （Ｃ ） Ａ． － ４９ Ｂ． － ２１９ Ｃ． １２１ Ｄ． ２９１ ３．已知数列｛ａｎ｝为等差数列，且２ａ１，２，２ａ６成等 比数列，则｛ａｎ｝前６项的和为 （Ｃ ） Ａ． １５ Ｂ． ２１２ Ｃ． ６ Ｄ． ３ ４．已知ｆ（ｘ）＝ ｘ ＋ ２ｘ２ ＋ ３ｘ３ ＋…＋ ｎｘｎ，则ｆ １( )２ ＝ 　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［１０                 ］ § ４　 数列在日常经济生活中的应用 !"#$%&'( 学习目标 １．掌握单利、复利的概念． ２．掌握零存整取、定期自动转存、分期付款等三种模型及应用． 核心素养 １．通过对单利、复利、零存整取、定期自动转存、分期付款等概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助数列的应用，培养数学建模素养． )*+,%-.+ 银行存款计息方式 　 　 （１）单利：单利的计算是仅在原有本金　 上 计算利息，对本金所产生的利息不再计算利息， 其公式为 利息＝本金×利率×存期． 以符号Ｐ代表本金，ｎ代表存期，ｒ代表利 率，Ｓ代表本金与利息和（简称本利和），则有 Ｓ ＝ Ｐ（１ ＋ ｎｒ）　        ． !$$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # （２）复利：复利是指一笔资金除本金产生利息 外，在下一个计息周期内，以前各计息周期内　 产生的利息也计算利息的计息方法，复利的计 算公式是Ｓ ＝ Ｐ（１ ＋ ｒ）ｎ　 ． 想一想： 复利与单利的区别是什么？ 练一练： 某工厂生产总值连续两年的年平均增长率 依次为ｐ％，ｑ％，则这两年的平均增长率是 （Ｄ ） Ａ． ｐ％ ＋ ｑ％２ Ｂ． ｐ％·ｑ％ Ｃ． （１ ＋ ｐ％）（１ ＋ ｑ％槡 ） Ｄ． （１ ＋ ｐ％）（１ ＋ ｑ％槡 ） － １ 三种常见的应用模型 　 　 （１）零存整取模型：每月定时存入一笔相同 数目的现金，这是零存；到约定日期，可以取出全 部本利和　 ，这是整取．规定每次存入的钱不计 复利，若每月存入金额为ｘ元，月利率ｒ保持不 变，存期为ｎ个月，那么到期整取时本利和为ｙ ＝ 　 　 　 　 元． （２）定期自动转存模型：储户某日存入一笔 １年期定期存款，１年后，如果储户不取出本利 和，则银行自动办理转存业务，第２年的本金就 是第１年的本利和．若储户存入定期为１年的Ｐ 元存款，定期年利率为ｒ，连存ｎ年后，那么储户 所得本利和为Ｑ ＝ Ｐ（１ ＋ ｒ）ｎ　 ． （３）分期付款模型：分期付款中，一般规定 每次付款额相同，每期付款的时间间隔相同，每 月利息按复利　 计算，各期所付的款额连同到 最后一次付款时所产生的利息和等于商品售价 及从购买到最后一次付款的利息和． 练一练： 思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）零存整取储蓄的数学模型是等差模型． （√ ） （２）定期自动转存储蓄的数学模型是等比模 型． （√ ） （３）在分期付款中，各期所付款额及各期所 付款额生成的利息之和等于商品的售价． （ × ） （４）复利是指把上期末的本利和作为下一 期的本金． （√                                               ） /012%345 题型探究 题型一 单利与等差数列模型 １．王先生为今年上高中的女儿办理了“教 育储蓄”，已知当年“教育储蓄”存款的月利率是 ０． ３６％ ． （１）若每月存５００元，则３年后，能一次支 取本息多少元？ （２）欲在３年后一次支取本息合计２万元， 王先生每月大约存入多少元？（精确到１元） ［分析］　 “零存整取”是单利计息方式，解答 关键是理解所有的利息和为等差数列求和问题． 　 　 ［尝试作答                             ］ !$% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 １．本题实际上是一个“零存 整取”问题，解答的关键是理解所求的本息为等 差数列的求和问题． ２．等差数列在日常经济生活中的应用最基 本的模型是“零存整取”，即利息按单利计算． 对点训练? 某人从１月起每月第一天 存入１００元，到１２月最后一天取出全部本金和 利息，已知月利率是０． １６５％，按单利计息，那么 实际取出多少钱？ 题型二 复利与等比数列模型 ２．某大学教授年初向银行贷款２０万元用 于购房，银行贷款的年利息为１０％，按复利计算 （即本年的利息计入次年的本金生息）．若这笔 款要分１０次等额还清，每年年初还一次，并且 在贷款后次年年初开始归还，问每年应还多少 万元？（参考数据１． １１０≈２． ５９４） ［分析］　 “定期自动转存”是复利计息方 式，是等比数列模型，在计算本息和时应分清首 项（本金）与公比（１与利率和）． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 复利是指一笔资金除本金产 生利息外，在下一个计息周期内，以前各计息周 期内产生的利息也计算利息的计息方法．复利 的计算公式是Ｓ ＝ Ｐ（１ ＋ ｒ）ｎ ． 对点训练? 一对夫妇为了给他们的独 生孩子储备将来上大学的费用，从孩子一出生 起就在孩子每年生日这一天到银行存ａ元一年 定期，若年利率为ｒ保持不变，且每年到期时存 款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子１８ 岁上大学时（１８岁的生日不再存入）将所有存 款（含利息）全部取出，请你为这对夫妇算一算， 能取回的钱的总数是多少？ 题型三 分期付款模型 ３．小陆向银行贷款买房，他准备向银行贷 款１００万元，２０年还清，偿还贷款的方式为：分 ２０次等额归还，每年还一次，若２０年期贷款的 年利率为６％，且年利息均按复利计算，那么小 陆每年应还多少元？（计算结果精确到１元）． （参考数据：１． ０６１９≈３． ０２５ ６，１． ０６２０≈３． ２０７ １， １． ０６２１≈３． ３９９ ６） 　 　 ［尝试作答                                                                                ］ !$& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 分期付款中的有关计算方法 既是重点，又是难点，突破难点的关键在于： （１）准确计算出在贷款全部付清时，各期所 付款额的增值．（注：最后一次付款没有利息） （２）明确各期所付的款额连同到最后一次 付款时所生的利息之和，等于商品售价及从购 买到最后一次付款时的利息之和． （３）等额本息还款法是每期所付的金额相 同，每期所付金额及产生的利息和成等比数列； 等额本金还款法是每期所付金额为每期应还本 金与所欠款额的利息，每期所付金额成等差 数列． 对点训练? 小王在２０１８年初向建行 贷款５０万元用于购房，银行贷款的年利率为 ４％，按复利计算，要求从贷款开始到２０２７年底 分１０年还清，每年年底等额归还且每年１次， 每年至少要还多少钱（保留两位小数）？（提示： （１ ＋ ４％）１０≈１． ４８） 易错警示 　 　 弄错数列项数致误 ４．根据市场调查结果，预测某种家用商品 从年初开始的几个月内累积的需求量Ｓｎ（万件） 近似地满足Ｓｎ ＝ ｎ９０（２１ｎ － ｎ ２ － ５）（ｎ ＝ １，２，…， １２）．按此预测，在本年度内，需求量超过１． ５万 的月份是 （Ｃ ） Ａ． ５月、６月　 　 　 　 　 Ｂ． ６月、７月 Ｃ． ７月、８月 Ｄ． ８月、９月 ［误区警示］　 将实际问题转化为数列问题 时，极易出现弄错数列的项数，因此一定要仔细 审题，弄清楚数列中的项与实际问题中的时间 （如月份）之间的对应关系，尤其是首项ａ１代表 的实际含义一定要弄清楚． 　 　 ［正解      ］ 　 　 ［点评］　 本题考查了数列前ｎ项和的知 识，二次不等式的知识，解答时充分体会二次不 等式在解答中的作用以及验证法在解答选择题 时的妙用                                               ． 6789%:;< １．现存入银行１０ ０００元钱，年利率是３． ６０％，那 么按照复利，第５年末的本利和是 （Ｃ ） Ａ． １０ ０００ × １． ０３６３ Ｂ． １０ ０００ × １． ０３６４ Ｃ． １０ ０００ × １． ０３６５ Ｄ． １０ ０００ × １． ０３６６ ２．某工厂总产值月平均增长率为ｐ，则年平均增 长率为 （Ｄ ） Ａ． ｐ Ｂ． １２ｐ Ｃ．（１ ＋ ｐ）１２ Ｄ．（１ ＋ ｐ）１２ － １ ３．某地为了保护水土资源实行退耕还林，如果 ２０１８年退耕ａ万亩，以后每年比上一年增加 １０％，那么到２０２５年一共退耕 （Ａ ） Ａ． １０ａ（１． １８ － １）万亩 Ｂ． ａ（１． １８ － １）万亩 Ｃ． １０ａ（１． １７ － １）万亩 Ｄ． ａ（１． １７ － １）万亩 ４．小王每月除去所有日常开支，大约结余ａ元． 小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起 来，每月初存入银行ａ元，存期１年（存１２ 次），到期取出本金和利息．假设一年期零存 整取的月利率为ｒ，每期存款按单利计息．那 么，小王存款到期利息为７８ａｒ　 元． 请同学们认真完成练案［１１                   ］ !$' （２）由（１）得Ｓｎｎ ＝ ２ ｎ － １， 所以Ｓｎ ＝ ｎ·２ｎ － １（ｎ∈Ｎ）． 所以Ｔｎ ＝ １ × ２０ ＋ ２ × ２１ ＋ ３ × ２２ ＋…＋ ｎ·２ｎ － １，① ２Ｔｎ ＝ １ × ２ １ ＋ ２ × ２２ ＋…＋（ｎ － １）·２ｎ － １ ＋ ｎ·２ｎ，② 由② － ①得Ｔｎ ＝ － （１ ＋ ２ ＋ ２２ ＋…＋ ２ｎ － １）＋ ｎ·２ｎ ＝ － １ － ２ ｎ １ － ２ ＋ ｎ·２ ｎ ＝（ｎ － １）·２ｎ ＋ １． 　 　 对点训练３：（１）由Ｓ７ ＝ ７ ×（ａ１ ＋ ａ７）２ ＝ ７ａ４ ＝ ４９，得ａ４ ＝ ７， 因为ａ３ ＝ ６，所以ｄ ＝ １，所以ａ１ ＝ ４，ａｎ ＝ ｎ ＋ ３． （２）ｂｎ ＝（ａｎ － ３）·３ｎ ＝ ｎ·３ｎ， 所以Ｔｎ ＝ １ × ３１ ＋ ２ × ３２ ＋ ３ × ３３ ＋…＋ ｎ × ３ｎ…① ３Ｔｎ ＝ １ × ３ ２ ＋ ２ × ３３ ＋ ３ × ３４ ＋…＋ ｎ × ３ｎ ＋ １…② 由① － ②得：－ ２Ｔｎ ＝ ３ ＋ ３２ ＋ ３３ ＋…＋ ３ｎ － ｎ × ３ｎ ＋ １ ＝ ３ － ３ｎ ＋ １ １ － ３ － ｎ × ３ ｎ ＋ １， 所以Ｔｎ ＝（２ｎ － １）× ３ ｎ ＋ １ ＋ ３ ４ ． 　 　 例４：Ｓｎ ＝ １ ＋ ａ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ － １， 当ａ ＝ １时，Ｓｎ ＝ １ ＋ １ ＋…＋ １ ＝ ｎ；当ａ≠１且ａ≠０时，Ｓｎ ＝ １ － ａｎ １ － ａ ＝ ａｎ － １ ａ － １ ． 当ａ ＝ ０时满足上式． ∴ Ｓｎ ＝ ｎ　 （ａ ＝ １）， ａｎ － １ ａ － １（ａ≠１）{ ． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 由题，当数列为－ ２，－ ４，－ ８，…时，满足ｑ ＞ ０，但是｛Ｓｎ｝ 不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件． 若｛Ｓｎ｝是递增数列，则必有ａｎ ＞ ０成立，若ｑ ＞ ０不成立，则会 出现一正一负的情况，是矛盾的，则ｑ ＞ ０成立，所以甲是乙的 必要条件．故选Ｂ． ２． Ｃ　 因为等差数列｛ａｎ｝的首项为１，公差为１，等比数列｛ｂｎ｝的 首项为－ １，公比为－ ２，记等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等 比数列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，则数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝的前８项和为 Ｓ８ ＋ Ｔ８ ＝ ８ × １ ＋ ８ ×（８ － １） ２ × １ ＋ － １ ×［１ －（－ ２）８］ １ ＋ ２ ＝ １２１． ３． Ｃ　 设数列｛ａｎ｝为公差为ｄ的等差数列， 且２ａ１，２，２ａ６成等比数列， 可得４ ＝ ２ａ１·２ａ６ ＝ ２ａ１ ＋ ａ６，可得ａ１ ＋ ａ６ ＝ ２， 即有｛ａｎ｝前６项的和为１２ × ６（ａ１ ＋ ａ６）＝ ６． ４． ２ － ｎ ＋ ２ ２ｎ 　 因为ｆ( )１２ ＝ １２ ＋ ２ × １２２ ＋ ３ × １２３ ＋…＋ ｎ × １２ｎ，① 所以１２ ｆ( )１２ ＝ １２２ ＋ ２ × １２３ ＋ ３ × １２４ ＋…＋ ｎ × １２ｎ ＋ １，② 由① －②得， １ ２ ｆ( )１２ ＝ １２ ＋ １２２ ＋ １２３ ＋…＋ １２ｎ － ｎ２ｎ ＋ １ ＝ １ － １ ２ｎ － ｎ ２ｎ ＋ １ ， 所以ｆ( )１２ ＝ ２ － １２ｎ － １ － ｎ２ｎ ＝ ２ － ｎ ＋ ２２ｎ ． § ４　 数列在日常经济生活中的应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）原有本金　 Ｐ（１ ＋ ｎｒ）　 （２）各计息周期内　 Ｓ ＝Ｐ（１ ＋ ｒ）ｎ 想一想： （１）复利在第二次以后计算时，将上一次得到的利息也作为了 本金，而单利每一次的计算都是将开始的本金作为本金计息． （２）单利和复利分别以等差数列和等比数列作为模型，即 单利的实质是等差数列，复利的实质是等比数列． 练一练： Ｄ　 设该工厂最初的产值为１，这两年的平均增长率为ｒ，则 （１ ＋ ｐ％）（１ ＋ ｑ％）＝（１ ＋ ｒ）２ ． 于是ｒ ＝ （１ ＋ ｐ％）（１ ＋ ｑ％槡 ）－ １． 知识点２ （１）本利和　 ｎｘ ＋ ｎ（ｎ ＋ １）ｒ２ ｘ　 （２）Ｐ（１ ＋ ｒ） ｎ 　 （３）复利 练一练： （１）√　 （２）√　 （３）× 　 （４）√ 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）每月存５００元，３年后的利息为５００（３６ × ０． ３６％ ＋ ３５ × ０． ３６％ ＋…＋ ２ × ０． ３６％ ＋ １ × ０． ３６％ ）＝ １ １９８． ８≈１ １９９ 元，所以３年后的本息和为５００ × ３６ ＋ １ １９９ ＝ １９ １９９元． （２）设王先生每月存入ｘ元，则有 ｘ ３６ ＋ ３６ × ３７２ × ０． ３６( )％ ＝ ２０ ０００， ｘ≈５２１元， 故王先生每月大约存５２１元． 　 　 对点训练１：实际取出的钱等于：本金＋利息． 到１２月最后一天取款时： 第１个月存款利息：１００ × １２ × ０． １６５％， 第２个月存款利息：１００ × １１ × ０． １６５％， … 第１１个月存款利息：１００ × ２ × ０． １６５％， 第１２个月存款利息：１００ × １ × ０． １６５％， 所以Ｓ１２ ＝ １００ × １２ × ０． １６５％ ＋ １００ × １１ × ０． １６５％ ＋…＋ １００ × ２ × ０． １６５％ ＋ １００ × １ × ０． １６５％ ＝ １００ × ０． １６５％（１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ １２） ＝ １００ × ０． １６５％ × １２ × １３２ ＝ １２． ８７． 所以实际取出１００ × １２ ＋ １２． ８７ ＝ １ ２１２． ８７（元）． 　 　 例２：方法一：设每年还款ｘ万元，需１０年还清，那么每年还 款情况如下： 第１０年还款ｘ万元，这次还款后欠款全部还清； 第９年还款ｘ万元，过一年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为ｘ（１ ＋ １０％）万元； 第８年还款ｘ万元，过２年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为ｘ（１ ＋ １０％）２万元； …… 第１年还款ｘ万元，过９年欠款全部还清时，所付款连同利 息之和为ｘ（１ ＋ １０％）９万元． 依题意得： ｘ ＋ ｘ（１ ＋ １０％）＋ ｘ（１ ＋ １０％）２ ＋…＋ ｘ（１ ＋ １０％）９ ＝ ２０（１ ＋ １０％）１０， 解得ｘ ＝ ２０ × １． １ １０ × ０． １ １． １１０ － １ ≈３． ２５５（万元）． 即每年应还３． ２５５万元． 方法二：第１次还款ｘ万元之后还欠银行 ２０（１ ＋ １０％）－ ｘ ＝ ２０ × １． １ － ｘ． 第２次还款ｘ万元后还欠银行［２０（１ ＋ １０％）－ ｘ］（１ ＋ １０％）－ ｘ ＝ ２０ × １． １２ － １． １ｘ － ｘ． …… 第１０次还款ｘ万元后，还欠银行 ２０ × １． １１０ － １． １９ｘ － １． １８ｘ －…－ ｘ， 依题意得，第１０次还款后，欠款全部还清，故可得 ２０ × １． １１０ －（１． １９ ＋ １． １８ ＋ １…＋ １）ｘ ＝ ０， 解得ｘ ＝ ２０ × １． １ １０ × ０． １ １． １１０ － １ ≈３． ２５５（万元）， 即每年应还３． ２５５万元                                                                      ． —１３６— 　 　 对点训练２：出生时的ａ元到１８岁本利和为ａ（１ ＋ ｒ）１８元；１ 岁生日时的ａ元到１８岁本利和为ａ（１ ＋ ｒ）１７元，……，１７岁生日 时的ａ元到１８岁本利和为ａ（１ ＋ ｒ）元，由此可知存款到１８岁时 取回的钱的总数为 ａ（１ ＋ ｒ）１８ ＋ ａ（１ ＋ ｒ）１７ ＋…＋ ａ（１ ＋ ｒ）＝ ａｒ ［（１ ＋ ｒ） １９ －（１ ＋ ｒ）］（元）． 即能取回的钱的总数是ａｒ ［（１ ＋ ｒ） １９ －（１ ＋ ｒ）］元． 　 　 例３：设每年还款ｘ元，则第１次偿还的ｘ元，在贷款全部付 清时的价值为ｘ（１ ＋ ６％）１９；第２次偿还的ｘ元，在贷款全部付 清时的价值为ｘ（１ ＋ ６％）１８；……；第１９次偿还的ｘ元，在贷款 全部付清时的价值为ｘ（１ ＋ ６％），第２０次偿还的ｘ元，在贷款全 部付清时的价值为ｘ元，于是还款的本利和为 ｘ（１ ＋ ６％）１９ ＋ ｘ（１ ＋ ６％）１８ ＋…＋ ｘ（１ ＋ ６％）＋ ｘ ＝ １ － １． ０６２０ １ － １． ０６ ｘ≈ ２． ２０７ １ ０． ０６ ｘ． 又银行贷款２０年的本利和为１０６（１ ＋ ６％）２０≈３． ２０７ １ × １０６元， 所以２． ２０７ １０． ０６ ｘ ＝ ３． ２０７ １ × １０ ６， 解得ｘ ＝ ０． ０６ × ３． ２０７ １ × １０ ６ ２． ２０７ １ ≈８７ １８５（元）． 答：每年需还款８７ １８５元． 　 　 对点训练３：方法一：设每年还ｘ万元， 第ｎ年年底欠款为ａｎ，则 ２０１８年底：ａ１ ＝ ５０（１ ＋ ４％）－ ｘ， ２０１９年底：ａ２ ＝ ａ１（１ ＋ ４％）－ ｘ ＝ ５０（１ ＋ ４％）２ －（１ ＋ ４％）·ｘ － ｘ， …… ２０２７年底：ａ１０ ＝ ａ９（１ ＋ ４％）－ ｘ ＝ ５０ ×（１ ＋ ４％）１０ －（１ ＋ ４％）９·ｘ －…－（１ ＋ ４％）·ｘ － ｘ ＝ ５０ ×（１ ＋ ４％）１０ － １ －（１ ＋ ４％） １０ １ －（１ ＋ ４％）·ｘ ＝ ０． 解得ｘ ＝ ５０ ×（１ ＋ ４％） １０［１ －（１ ＋ ４％）］ １ －（１ ＋ ４％）１０ ≈６． １７． 即每年至少要还６． １７万元． 方法二：５０万元１０年产生本息和与每年存入ｘ万元的本息 和相等， 故有购房款５０万元１０年的本息和：５０（１ ＋ ４％）１０， 每年存入ｘ万元的本息和：ｘ·（１ ＋ ４％）９ ＋ ｘ（１ ＋ ４％）８ ＋…＋ ｘ ＝ １ －（１ ＋ ４％） １０ １ －（１ ＋ ４％）·ｘ 从而有５０（１ ＋ ４％）１０ ＝ １ －（１ ＋ ４％） １０ １ －（１ ＋ ４％）·ｘ 解得ｘ≈６． １７，即每年至少要还６． １７万元． 　 　 例４：Ｃ　 ∵ Ｓｎ ＝ ｎ９０（２１ｎ － ｎ ２ － ５）， ∴ Ｓｎ － １ ＝ ｎ － １ ９０ ［２１（ｎ － １）－（ｎ － １） ２ － ５］ ＝ ｎ － １９０ （－ ｎ ２ ＋ ２３ｎ － ２７）， ∴ ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｎ ９０（２１ｎ － ｎ ２ － ５）－ ｎ － １９０ （－ ｎ ２ ＋ ２３ｎ － ２７） ＝ １３０（－ ｎ ２ ＋ １５ｎ － ９）， 由１３０（－ ｎ ２ ＋ １５ｎ － ９）＞ １． ５， 解得６ ＜ ｎ ＜ ９，故选Ｃ． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 按复利计息，第５年末的本利和是１０ ０００ （１ ＋３． ６０％）５ ＝ １０ ０００ × １． ０３６５，故选Ｃ． ２． Ｄ　 设原有总产值为ａ，年平均增长率为ｒ， 则ａ（１ ＋ ｐ）１２ ＝ ａ（１ ＋ ｒ）， 解得ｒ ＝（１ ＋ ｐ）１２ － １． ３． Ａ　 记２０１８年为第一年，第ｎ年退耕ａｎ万亩，则数列｛ａｎ｝为 等比数列，且ａ１ ＝ ａ，公比ｑ ＝ １ ＋ １０％，则问题转化为求数列 ｛ａｎ｝的前８项和，所以数列｛ａｎ｝的前８项和为ａ１（１ － ｑ ８） １ － ｑ ＝ ａ（１ － １． １８） １ － １． １ ＝ １０ａ（１． １ ８ － １）． 所以到２０２５年一共退耕１０ａ（１． １８ － １）万亩． ４． ７８ａｒ　 由题意知，小王存款到期利息为１２ａｒ ＋ １１ａｒ ＋ １０ａｒ ＋… ＋ ２ａｒ ＋ ａｒ ＝ １２（１２ ＋ １）２ ａｒ ＝ ７８ａｒ．  § ５　 数学归纳法 必备知识·探新知 　 　 知识点 （１）ｎ０ 　 （２）ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ ＋，ｋ≥ｎ０）　 ｎ ＝ ｋ ＋ １ 想一想： １．不一定，如证明“凸ｎ 边形对角线的条数ｆ（ｎ）＝ ｎ（ｎ － ３） ２ ”时，第一步应验证ｎ ＝ ３是否成立． ２．不是，在归纳递推中，可以应用综合法、分析法、反证法、 放缩法等各种证明方法． 练一练： １． Ｄ　 显然当ｎ ＝ １时，２１ ＞ １２，而当ｎ ＝ ２时，２２ ＝ ２２，Ａ错 误；当ｎ ＝ ３时，２３ ＜ ３２，Ｂ错误；当ｎ ＝ ４时，２４ ＝ ４２，Ｃ错误；当ｎ ＝ ５时，２５ ＞ ５２，符合要求，Ｄ正确． ２．（２ｋ ＋ １）＋（２ｋ ＋ ２）　 假设当ｎ ＝ ｋ时，１ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ２ｋ ＝ ２ｋ（１ ＋ ２ｋ）２ ，当ｎ ＝ ｋ ＋ １时，左边＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋…＋ ２ｋ ＋ ２ｋ ＋ １ ＋ ２ｋ ＋ ２，显然是在ｎ ＝ ｋ的基础上加上（２ｋ ＋ １）＋（２ｋ ＋ ２）． 关键能力·攻重难 　 　 例１：证明：①当ｎ ＝ １时，左边＝ １ × ４ ＝ ４，右边＝ １ × ２２ ＝ ４， 左边＝右边，等式成立． ②假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ ＋）时等式成立，即１ × ４ ＋ ２ × ７ ＋ ３ × １０ ＋…＋ ｋ（３ｋ ＋ １）＝ ｋ（ｋ ＋ １）２， 那么当ｎ ＝ ｋ ＋ １时， １ ×４ ＋２ ×７ ＋３ ×１０ ＋…＋ ｋ（３ｋ ＋１）＋（ｋ ＋１）［３（ｋ ＋ １）＋ １］ ＝ ｋ（ｋ ＋ １）２ ＋（ｋ ＋ １）［３（ｋ ＋ １）＋ １］ ＝（ｋ ＋ １）（ｋ２ ＋ ４ｋ ＋ ４）＝（ｋ ＋ １）［（ｋ ＋ １）＋ １］２， 即当ｎ ＝ ｋ ＋ １时等式也成立． 根据①和②可知等式对任何ｎ∈Ｎ ＋都成立． 　 　 对点训练１：证明：①当ｎ ＝ １时，左边＝ １ ２ １ × ３ ＝ １ ３ ，右边＝ １ × ２ ２ × ３ ＝ １ ３ ，左边＝右边，等式成立． ②假设当ｎ ＝ ｋ（ｋ∈Ｎ）时等式成立，即有１ ２ １ × ３ ＋ ２２ ３ × ５ ＋… ＋ ｋ ２ （２ｋ － １）（２ｋ ＋ １）＝ ｋ（ｋ ＋ １） ２（２ｋ ＋ １）， 则当ｎ ＝ ｋ ＋ １时， １２ １ × ３ ＋ ２２ ３ × ５ ＋…＋ ｋ２ （２ｋ － １）（２ｋ ＋ １）＋ （ｋ ＋ １）２ （２ｋ ＋ １）（２ｋ ＋ ３）＝ ｋ（ｋ ＋ １） ２（２ｋ ＋ １）＋ （ｋ ＋ １）２ （２ｋ ＋ １）（２ｋ ＋ ３）＝ （ｋ ＋ １）（ｋ ＋ ２） ２（２ｋ ＋ ３） ， 即当ｎ ＝ ｋ ＋ １时等式成立． 由①②可得，对于任意的ｎ∈Ｎ等式都成立                                                                       ． —１３７—