3.2 第1课时等比数列的前n项和(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ４ ＝ ６，ａ８ ＝ １８，则ａ１２ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２４ Ｂ． ３０ Ｃ． ５４ Ｄ． １０８ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２，ａ１８是方程ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ ４ ＝ ０的两根，则ａ４ａ１６ ＋ ａ１０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． ２ Ｃ． ２或６ Ｄ． － ２ ３．设各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ， 且ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａｎ，则“｛ｂｎ｝为递减数列”是“０ ＜ ｑ ＜ １”的 （Ｃ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配 的意思．今共有粮９８石，甲、乙、丙按序衰分， 乙分得２８石，则衰分比例为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［８                   ］ ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 !"#$%&'( 学习目标 １．探索并掌握等比数列的前ｎ项和公式，理解等比数列的通项公式与前ｎ项和公式的关系． ２．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 核心素养 １．通过等比数列的前ｎ项和公式的应用，培养数学运算素养． ２．能利用等比数列的通项公式、前ｎ项和公式解决实际问题，培养数学建模素养． )*+,%-.+ 等比数列前ｎ项和公式及推导 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ （ｑ≠１） ｎａ１（ｑ ＝ １{ ） Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ （ｑ≠１） ｎａ１（ｑ ＝ １{ ） 　 　 ［提醒］　 若题目中ｑ为字母参数，不确定 具体数值，则求等比数列的前ｎ项和时，应分ｑ ＝ １与ｑ≠１两种情况进行讨论． 想一想： 当ｑ≠１时，等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ是 ｎ的函数，该函数的解析式有什么特点                  ？ !#( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）所有等比数列的前ｎ项和都可以直接 使用公式Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ． （ × ） （２）数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ａｑｎ ＋ ｂ（ｑ≠ １），则数列｛ａｎ｝一定是等比数列． （ × ） （３）等比数列的前ｎ项和不可以为０． （ × ） ２．设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，２ａ１ ＋ ａ２ ＝ ４，则Ｓ６ ＝ （Ｄ ） Ａ． １２８ Ｂ． １２７ Ｃ． ６４ Ｄ． ６３ 　 　 ３．设等比数列｛ａｎ｝中，前ｎ项和为Ｓｎ，已知 Ｓ３ ＝ ８，Ｓ６ ＝ ７，则ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９等于 （Ａ ） Ａ． １８ Ｂ． － １ ８ Ｃ． ５７ ８ Ｄ． ５５ ８ 　 　 ４．在等比数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＝ ８，ｑ ＝ １２，ａｎ ＝ １２，则Ｓｎ的值是　 　 　 　                   ． /012%345 题型探究 题型一与等比数列前ｎ项和有关的基本运算 １．（１）已知正项等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和 为Ｓｎ，ａ１ ＝ ２且Ｓ３ ＝ ２ａ３ － ２，则公比ｑ ＝ （Ｂ ） Ａ． １２ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． １ ３ （２）已知数列｛ａｎ｝为等比数列．若ａ４ － ａ２ ＝ ２４，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６，ａｎ ＝ １２５，求Ｓｎ． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和运算的 技巧 （１）在等比数列的通项公式和前ｎ项和公 式中，共涉及五个量：ａ１，ａｎ，ｎ，ｑ，Ｓｎ，其中首项ａ１ 和公比ｑ为基本量，且“知三求二”，常常列方程 组来解答． （２）对于基本量的计算，列方程组求解是基 本方法，通常用约分或两式相除的方法进行消 元，有时会用到整体代换． 提醒：两式相除是解决等比数列基本量运 算常用的运算技巧． 对点训练? （１）设｛ａｎ｝是正项等比数 列，Ｓｎ为其前ｎ项和，已知ａ１ａ５ ＝ １，Ｓ３ ＝ ７，则Ｓ６ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６１４ Ｂ． ６３ ８ Ｃ． ６３ ４ Ｄ． ６１ ８ （２）在正项等比数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ ４，ａ６ ＝ ６４，Ｓｎ ＝ ５１０，则ｎ ＝ （Ｃ ） Ａ． ６ Ｂ． ７ Ｃ． ８ Ｄ． ９ 题型二等比数列前ｎ项和公式的函数特征 ２．已知数列｛ａｎ｝是等比数列，其前ｎ项和 为Ｓｎ ＝ ３ｎ －１ ＋ ｋ（ｎ∈Ｎ），则常数ｋ ＝ 　 　 　 　 ． ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和公式的 特征 数列｛ａｎ｝是非常数数列的等比数列Ｓｎ ＝ － Ａｑｎ ＋ Ａ（Ａ≠０，ｑ≠０，１，ｎ∈Ｎ）． 即指数式的系数与常数项互为相反数，其中Ａ ＝ ａ１ １ － ｑ． 对点训练? 设等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项 和为Ｓｎ，且Ｓｎ ＝ ｋ·２ｎ － ３，则ａｋ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． １２ Ｄ．                                                 １６ ! ) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型三 等比数列前ｎ项和的性质应用 ３．（１）在等比数列｛ａｎ｝中，已知Ｓｎ ＝ ４８，Ｓ２ｎ ＝ ６０，求Ｓ３ｎ； （２）一个项数为偶数的等比数列，全部项之 和为偶数项之和的４倍，前３项之积为６４，求该 等比数列的通项公式． ［分析］　 运用等比数列的前ｎ项和公式， 要注意公比ｑ ＝ １和ｑ≠１两种情形，在解有关的 方程（组）时，通常用约分或两式相除的方法进 行消元． 　 　 ［尝试作答               ］ 　 　 ［规律方法］　 等比数列前ｎ项和的性质 （１）｛ａｎ｝是公比不为－ １的等比数列，则 Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ仍成等比数列，其公比 为ｑｎ． （２）在等比数列｛ａｎ｝中，当项数为２ｎ（ｎ∈ Ｎ）时，Ｓ偶Ｓ奇＝ ｑ． 对点训练? （１）设等比数列｛ａｎ｝前ｎ 项和为Ｓｎ，若Ｓ３ ＝ ８，Ｓ６ ＝ ２４，则ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２ ＝ （Ｂ ） Ａ． ３２ Ｂ． ６４ Ｃ． ７２ Ｄ． ２１６ （２）一个等比数列的首项是１，项数是偶 数，其奇数项的和为８５，偶数项的和为１７０，求 此数列的公比和项数． 题型四等比数列前ｎ项和公式的实际应用 ４．中国古代数学著作《算法统宗》中有这样 一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难， 次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行 里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人 走了３７８里路，第一天健步行走，从第二天起因 脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了６天 后到达目的地．”则此人第４天走了 （Ｄ ） Ａ． ６０里Ｂ． ４８里 Ｃ． ３６里 Ｄ． ２４里 　 　 ［规律方法］　 求解数列应用问题应明确以 下几个问题： （１）是哪一类数列模型； （２）是否能直接求出通项公式，否则先建立 递推公式； （３）是求和还是求项； （４）数列的项数． 对点训练? 中国古代数学名著《九章 算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人 苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马 主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何？ 此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾 苗，禾苗主人要求赔偿５斗粟． 羊主人说：“我羊 所吃的禾苗只有马的一半．”马主人说：“我马所 吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例偿还， 他们各偿还多少？该问题中，１斗为１０升，则羊 主人应偿还粟 （Ｃ ） Ａ． ２５３升 Ｂ． ５０ ３升 Ｃ． ５０７升 Ｄ． １００ ７                                                                        升 !#* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 忽略对公比ｑ的讨论致误 ５．已知等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ２，Ｓ３ ＝ ６，求ａ３ 和ｑ． ［错解］　 由等比数列的前ｎ项和公式得Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ２（１ － ｑ３） １ － ｑ ＝ ６， ∴ （１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ ２） １ － ｑ ＝ ３， ∴ １ ＋ ｑ ＋ ｑ２ ＝ ３，∴ ｑ２ ＋ ｑ － ２ ＝ ０． ∴ ｑ ＝ － ２或ｑ ＝ １（舍去）∴ ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２ × （－２）２ ＝８． ［误区警示］　 错解中由于没讨论公比ｑ是 否为１，就直接使用了等比数列的前ｎ项和公式Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ，从而导致漏解． 　 　 ［正解                          ］ 6789%:;< １．在等比数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ １８，则该数 列的前１０项和Ｓ１０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２ － １ ２８ Ｂ． ２ － １ ２９ Ｃ． ２ － １ ２１０ Ｄ． ２ － １ ２１１ ２．已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，等比数 列｛ｂｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，且ａ１ ＝ ｂ１ ＝ １，ｂ４ ＝ ２ａ４ ＝ ８，则Ｓ３ ＋ Ｔ５ ＝ （Ｃ ） Ａ． １３ Ｂ． ２５ Ｃ． ３７ Ｄ． ４１ ３．已知在等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ ３，ａｎ ＝ ９６，Ｓｎ ＝ １８９，则ｎ的值为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ５ Ｃ． ６ Ｄ． ７ ４．等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ ＝ ２ｎ － １，则通项 ａｎ ＝ ２ ｎ －１　 ． 请同学们认真完成练案［９                  ］ 第２课时　 等比数列习题课 !"#$%&'( 学习目标 １．掌握等比数列前ｎ项和的性质的应用． ２．掌握等差数列与等比数列的综合应用． ３．会用错位相减法求数列的和． 核心素养 １．通过学习等比数列的通项公式、前ｎ项和公式、性质及其应用，提升数学运算素养。 ２．借助利用等比数列的前ｎ项和公式解决实际问题，培养数学建模素养． !$! 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例２：（１）∵ ａ２ａ４ ＝ ａ２３，ａ４ａ６ ＝ ａ２５， ∴ ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ａ ２ ３ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ ２ ５ ＝（ａ３ ＋ ａ５）２ ＝ ２５， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ３ ＋ ａ５ ＞ ０， ∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ５． （２）根据等比数列的性质，得 ａ５ａ６ ＝ ａ１ａ１０ ＝ ａ２ａ９ ＝ ａ３ａ８ ＝ ａ４ａ７ ＝ ９， ∴ ａ１ａ２…ａ９ａ１０ ＝（ａ５ａ６）５ ＝ ９５， ∴ ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋…＋ ｌｏｇ３ａ１０ ＝ ｌｏｇ３（ａ１ａ２·…·ａ９ａ１０） ＝ ｌｏｇ３（ａ５ａ６）５ ＝ ｌｏｇ３３１０ ＝ １０． 　 　 对点训练２：（１）２５　 方法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 方法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ１ ４·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４ ａ７{ ＝ １６或 ａ３ ＝ １６ ａ７{ ＝ ４ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０）＝ ２０ｌｎ（ａ１０ａ１１） ＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００，所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例３：Ｃ　 单位时间内的进光量形成公比为１２的等比数列 ｛ａｎ｝，则Ｆ４对应单位时间内的进光量为ａ５，Ｆ１． ４对应单位时间 内的进光量为ａ２，从Ｆ４调整到Ｆ１． ４，则单位时间内的进光量为 原来的ａ２ａ５ ＝ ８倍． 　 　 对点训练３：（１）Ｃ 　 第一年价格为：８ １００ × １ －( )１３ ＝ ５ ４００； 第二年价格为：５ ４００ × １ －( )１３ ＝ ３ ６００； 第三年价格为：３ ６００ × １ －( )１３ ＝ ２ ４００． （２）Ｄ　 能量流动法则表明能量的效率大约是１０％，如果要 使Ｈ３获得１０ ｋＪ能量，则Ｈ１ ×（１０％）２ ＝ Ｈ３，解得Ｈ１ ＝ １０３ ｋＪ． 　 　 例４：Ａ　 因为｛ａｎ｝为等比数列，所以ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９ ． 所以（ａ１ａ９）２ ＝ ８１，即ａ１ａ９ ＝ ± ９． 因为在等比数列｛ａｎ｝中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以ａ１，ａ９同号，所以ａ１ａ９ ＝ ９． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 ∵ ａ８ ＝ ａ４ｑ ４，∴ ｑ４ ＝ ａ８ａ４ ＝ １８ ６ ＝３，∴ ａ１２ ＝ ａ８·ｑ ４ ＝ １８ × ３ ＝ ５４． ２． Ｂ　 由题意知，ａ２ ＋ ａ１８ ＝ － ６，ａ２ａ１８ ＝ ４，∴ ａ２ ＜ ０，ａ１８ ＜ ０， ∴ ａ１０ ＜ ０，又∵ ａ２１０ ＝ ａ２·ａ１８ ＝ ４，∴ ａ１０ ＝ － ２．又ａ４ａ１６ ＝ ａ２·ａ１８ ＝ ４，∴ ａ４ａ１６ ＋ ａ１０ ＝ ４ － ２ ＝ ２．故选Ｂ． ３． Ｃ　 由题设ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＞ ０且ｑ ＞ ０， 则ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａ１ ＋（ｎ － １）ｌｏｇ２ｑ ＝ ｎｌｏｇ２ｑ ＋ ｌｏｇ２ ａ１ｑ ， 若｛ｂｎ｝为递减数列，故ｌｏｇ２ｑ ＜ ０，则０ ＜ ｑ ＜ １，充分性成立； 若０ ＜ ｑ ＜１，则ｌｏｇ２ｑ ＜０，易知｛ｂｎ｝为递减数列，必要性也成立； 所以“｛ｂｎ｝为递减数列”是“０ ＜ ｑ ＜１”的充分必要条件．故选Ｃ． ４． １２ 　 设衰分比例为ｑ，则甲、乙、丙各分得 ２８ ｑ ，２８，２８ｑ石， ∴ ２８ｑ ＋ ２８ ＋ ２８ｑ ＝ ９８，∴ ｑ ＝ ２或 １ ２ ． ∵ ０ ＜ ｑ ＜ １，∴ ｑ ＝ １２ ． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点 想一想： Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ＝ － ａ１ １ － ｑｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ，Ｓｎ是关于ｎ的指数型函 数，其中指数式的系数与常数互为相反数． 练一练： １．（１）× 　 当ｑ ＝ １时，Ｓｎ ＝ ｎａ１ ． （２）× 　 只有当ａ与ｂ互为相反数时，数列｛ａｎ｝才是等比数 列． （３）× 　 例如１，－ １，１，－ １，…． ２． Ｄ　 由ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３， ２ａ１ ＋ ａ２ ＝ ４{ ， 解得ａ１ ＝ １， ａ２ ＝ ２{ ，所以公比ｑ ＝ ２， 所以Ｓ６ ＝ １ － ２ ６ １ － ２ ＝ ６３． ３． Ａ　 因为ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ Ｓ９ － Ｓ６，且Ｓ３，Ｓ６ － Ｓ３，Ｓ９ － Ｓ６ 也成 等比数列， 因为Ｓ３ ＝ ８，Ｓ６ ＝ ７，所以Ｓ６ － Ｓ３ ＝ － １，所以８，－ １，Ｓ９ － Ｓ６成 等比数列， 则８（Ｓ９ － Ｓ６）＝ １，即Ｓ９ － Ｓ６ ＝ １８ ， 所以ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ １８ ． ４． ３１２ 　 在等比数列｛ａｎ｝中，因为ａ１ ＝ ８，ｑ ＝ １ ２ ，ａｎ ＝ １ ２ ，所 以ａｎ ＝ ａ１·ｑｎ － １ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － １ ＝ ( )１２ ｎ － ４ ＝ １２ ，所以ｎ － ４ ＝ １，ｎ ＝ ５， 所以Ｓｎ ＝ Ｓ５ ＝ ８ １ － ( )１２[ ] ５ １ － １２ ＝ ３１２ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 由Ｓ３ ＝ ２ａ３ － ２得ａ３ － ａ２ － ａ１ － ２ ＝ ０， 又ａ１ ＝ ２，所以ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０， 即（ｑ － ２）（ｑ ＋ １）＝ ０， 所以ｑ ＝ ２或ｑ ＝ － １（舍去）． （２）设该等比数列的公比为ｑ， 由ａ４ － ａ２ ＝ ２４，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６， 得ａ２ｑ２ － ａ２ ＝ ２４，ａ２ ＋ ａ２ｑ ＝ ６， 解得ａ２ ＝ １，ｑ ＝ ５， 所以ａ１ ＝ ａ２ｑ ＝ １ ５ ， 所以ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＝ ５ｎ － ２， 令ａｎ ＝ １２５，解得ｎ ＝ ５                                                                      ， —１３３— 所以Ｓ５ ＝ ａ１（１ － ｑ ５） １ － ｑ ＝ ７８１ ５ ． 　 　 对点训练１：（１）Ｂ　 因为｛ａｎ｝是正项等比数列， 所以ａｎ ＞ ０，ｑ ＞ ０， 由等比中项得ａ１ａ５ ＝ ａ２３ ＝ １，解得ａ３ ＝ １， 所以Ｓ３ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＝ １ｑ２ ＋ １ ｑ ＋ １ ＝ ７， 解得ｑ ＝ １２或ｑ ＝ － １ ３ （舍去），ａ１ ＝ ａ３ ｑ２ ＝ ４， 所以Ｓ６ ＝ ａ１（１ － ｑ ６） １ － ｑ ＝ ６３ ８ ． （２）Ｃ　 由题意知ｑ４ ＝ ａ６ａ２ ＝ １６且ｑ ＞ ０，则ｑ ＝ ２，ａ１ ＝ ２，所以 Ｓｎ ＝ ２（１ － ２ｎ） １ － ２ ＝ ５１０，解得ｎ ＝ ８． 　 　 例２：－ １３ 　 方法一：由已知得，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ １ ＋ ｋ，ａ２ ＝ Ｓ２ － Ｓ１ ＝ ２，ａ３ ＝ Ｓ３ － Ｓ２ ＝ ６． 因为数列｛ａｎ｝是等比数列，故ａ２２ ＝ ａ１ａ３， 即２２ ＝ ６（１ ＋ ｋ），解得ｋ ＝ － １３ ． 方法二：因为数列｛ａｎ｝是等比数列， 故Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ＝ － ａ１ １ － ｑｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ． 又因为Ｓｎ ＝ ３ｎ － １ ＋ ｋ ＝ ３ｎ × １３ ＋ ｋ， 故可得ｋ ＝ － １３ ． 　 　 对点训练２：Ｃ　 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｋ·２ｎ － １； 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ｋ － ３ ＝ ｋ·２１ －１， 解得ｋ ＝ ３，∴ ａｋ ＝ ａ３ ＝ ３·２３ －１ ＝ １２．故选Ｃ． 　 　 例３：（１）方法一：∵ Ｓ２ｎ≠２Ｓｎ，∴ ｑ≠１． 由题意得 ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ＝ ４８　 ① ａ１（１ － ｑ２ｎ） １ － ｑ ＝ ６０　 { ②， ② ÷①得１ ＋ ｑｎ ＝ ５４ ， ∴ ｑｎ ＝ １４ ，把ｑ ｎ ＝ １４代入①得 ａ１ １ － ｑ ＝ ６４， ∴ Ｓ３ｎ ＝ ａ１（１ － ｑ３ｎ） １ － ｑ ＝ ６４ １ － １ ４( )３ ＝ ６３． 方法二：由题意知，公比ｑ≠ － １， ∴ Ｓｎ，Ｓ２ｎ － Ｓｎ，Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ也成等比数列， ∴ （Ｓ２ｎ － Ｓｎ）２ ＝ Ｓｎ（Ｓ３ｎ － Ｓ２ｎ）， ∴ Ｓ３ｎ ＝ （Ｓ２ｎ － Ｓｎ）２ Ｓｎ ＋ Ｓ２ｎ ＝ （６０ － ４８）２ ４８ ＋ ６０ ＝ ６３． （２）设数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，奇数项的和为Ｓ奇， 偶数项的和为Ｓ偶， 由题意得Ｓ奇＋ Ｓ偶＝ ４Ｓ偶， 即Ｓ奇＝ ３Ｓ偶． ∵数列｛ａｎ｝的项数为偶数， ∴ ｑ ＝ Ｓ偶 Ｓ奇 ＝ １３ ． 又∵ ａ１ａ２ａ３ ＝ ａ３１ｑ３ ＝ ６４， ∴ ａ１ ＝ １２， ∴ ａｎ ＝ ａ１·ｑｎ － １ ＝ １２ × ( )１３ ｎ － １ ． 　 　 对点训练３：（１）Ｂ　 由于Ｓ３，Ｓ６ － Ｓ３，Ｓ９ － Ｓ６，Ｓ１２ － Ｓ９ 成等比 数列，Ｓ３ ＝ ８，Ｓ６ － Ｓ３ ＝ １６，故其公比为２，所以Ｓ９ － Ｓ６ ＝ ３２，Ｓ１２ － Ｓ９ ＝ ６４，即ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２ ＝ Ｓ１２ － Ｓ９ ＝ ６４． （２）方法一：设原等比数列的公比为ｑ，项数为２ｎ（ｎ∈Ｎ ＋）． 由已知ａ１ ＝ １，ｑ≠１，有 １ － ｑ２ｎ １ － ｑ２ ＝ ８５，① ｑ（１ － ｑ２ｎ） １ － ｑ２ ＝ １７０．{ ② 由② ÷①，得ｑ ＝ ２， ∴ １ － ４ ｎ １ － ４ ＝ ８５，４ ｎ ＝ ２５６，∴ ｎ ＝ ４． 故公比为２，项数为８． 方法二：∵ Ｓ偶＝ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ ａ１ｑ ＋ ａ３ｑ ＋…＋ ａ２ｎ － １ ｑ ＝ （ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ２ｎ － １）ｑ ＝ Ｓ奇·ｑ， ∴ ｑ ＝ Ｓ偶 Ｓ奇 ＝ １７０８５ ＝ ２． 又Ｓｎ ＝ ８５ ＋ １７０ ＝ ２５５，据Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑ ｎ） １ － ｑ ，得 １ － ２ｎ １ － ２ ＝ ２５５， ∴ ２ｎ ＝ ２５６，∴ ｎ ＝ ８．即公比ｑ ＝ ２，项数ｎ ＝ ８． 　 　 例４：Ｄ　 记每天走的路程里数为｛ａｎ｝，可知 ｛ａｎ｝是公比为ｑ ＝ １２的等比数列， 因为Ｓ６ ＝ ３７８，所以 ａ１ １ － １ ２( )６ １ － １２ ＝ ３７８， 解得ａ１ ＝ １９２， 所以ａ４ ＝ １９２ × １２３ ＝ ２４． 　 　 对点训练４：Ｃ　 设牛、马、羊所吃禾苗分别为ａ１，ａ２，ａ３，则 ｛ａｎ｝是公比为１２的等比数列， 所以Ｓ３ ＝ ａ１ １ － １ ２( )３ １ － １２ ＝ ５０， 解得ａ１ ＝ ２００７ ，所以羊主人应偿还： ａ３ ＝ ２００ ７ × １ ４ ＝ ５０ ７升粟． 　 　 例５：若ｑ ＝ １，则Ｓ３ ＝ ３ａ１ ＝ ６，符合题意．此时，ｑ ＝ １，ａ３ ＝ ａ１ ＝ ２． 若ｑ≠１，则由等比数列的前ｎ项和公式，得Ｓ３ ＝ ａ１（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ ２（１ － ｑ ３） １ － ｑ ＝ ６， 解得ｑ ＝ １（舍去）或ｑ ＝ － ２． 此时，ａ３ ＝ ａ１ｑ２ ＝ ２ ×（－ ２）２ ＝ ８． 综上所述，ｑ ＝ １，ａ３ ＝ ２或ｑ ＝ － ２，ａ３ ＝ ８． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 ∵ ａ１ ＝ １，ａ４ ＝ １８ ，∴ ｑ ３ ＝ １８ ，∴ ｑ ＝ １ ２ ． ∴ Ｓ１０ ＝ １ － １ ２１０ １ － １２ ＝ ２ － １ ２９ ．故选Ｂ． ２． Ｃ　 设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，等比数列｛ｂｎ｝的公比为ｑ，因 为ａ１ ＝ ｂ１ ＝ １，ｂ４ ＝ ２ａ４ ＝ ８， 所以ｑ ３ ＝ ｂ４ ｂ１ ＝ ８， ２ａ４ ＝ ２（ａ１ ＋ ３ｄ）＝ ８{ ， 解得ｄ ＝ １， ｑ ＝ ２{                                                                       ， —１３４— 所以Ｓ３ ＋Ｔ５ ＝３ａ１ ＋３ｄ ＋ ｂ１（１ － ｑ ５） １ － ｑ ＝３ ＋３ ＋ １ －２５ １ －２ ＝３７． ３． Ｃ　 由ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １，得９６ ＝ ３ｑｎ － １，∴ ｑｎ － １ ＝ ３２ ＝ ２５ ． 令ｎ ＝ ６，ｑ ＝ ２，这时Ｓ６ ＝ ３（１ － ２ ６） １ － ２ ＝ １８９，符合题意，故选Ｃ． ４． ２ｎ － １ 　 当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ １， 当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝（２ｎ － １）－（２ｎ － １ － １）＝ ２ｎ － １， 又ａ１ ＝ １也适合上式， 所以ａｎ ＝ ２ｎ － １ ． 第２课时　 等比数列习题课 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 练一练： Ｄ　 分析：利用ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １算出通项，再结合该数列为等 比数列可求ｍ． 解：因为Ｓｎ ＝ ３ｎ ＋ １ ＋ ３ － ｍ， 故ａｎ ＝ １２ － ｍ，ｎ ＝ １２·３ｎ，ｎ≥{ ２ ， 因为｛ａｎ｝为等比数列，故ａ３ａ２ ＝ ａ２ ａ１ 即２·３ ３ ２·３２ ＝ ２·３２ １２ － ｍ，故ｍ ＝ ６， 此时ａｎ ＝ ６，ｎ ＝ １２·３ｎ，ｎ≥{ ２即ａｎ ＝ ２·３ｎ，ａｎａｎ － １ ＝ ３即｛ａｎ｝为等 比数列． 故选Ｄ． 知识点２ 练一练： Ｄ　 分析：由数列的递推关系知奇数项构成等差数列，偶数 项构成等比数列，由此可分组求和． 解：因为ｎ≥３且ｎ为奇数时ａｎ ＝ ２ ＋ ａｎ － ２， 所以所有奇数项构成ａ１ ＝ ０为首项，２为公差的等差数列， 又因为ｎ≥４且ｎ为偶数时，ａｎ ＝ ２ａｎ － ２，即所有偶数项构成 ａ２ ＝ １为首项，２为公比的等比数列， 所以ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ２０ ＝（ａ１ ＋ ａ３ ＋ ． ． ． ＋ ａ１９）＋（ａ２ ＋ ａ４ ＋ ． ． ． ＋ ａ２０） ＝（０ ＋ １８）× １０２ ＋ １ － ２１０ １ － ２ ＝ ９０ ＋ １ ０２３ ＝ １ １１３． 故选Ｄ． 知识点３ 练一练： 分析：利用乘公比错位相减法，求数列ｎ × １２{ }ｎ 的前９项和 即可． 解析：Ｓ ＝ １ × １２ ＋ ２ × １ ２２ ＋ ３ × １ ２３ ＋…＋ ９ × １ ２９ ①， １ ２ Ｓ ＝ １ × １ ２２ ＋ ２ × １ ２３ ＋ ３ × １ ２４ ＋…＋ ９ × １ ２１０ ②， ① －②得：１２ Ｓ ＝ １ ２ ＋ １ ２２ ＋ １ ２３ ＋…＋ １ ２９ － ９ × １ ２１０ ＝ １ ２ １ － １ ２( )９ １ － １２ － ９ × １ ２１０ ＝ １ － １ ２９ － ９ × １ ２１０ ＝ １ － １１ ２１０ ＝ １ ０１３１ ０２４， 所以Ｓ ＝ １ ０１３５１２ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ａ　 设等比数列的公比为ｑ（ｑ ＞ ０）， 由ａ１ ＝ １，且－ ａ３，ａ２，ａ４成等差数列， 得２ａ２ ＝ ａ４ － ａ３，即２ｑ ＝ ｑ３ － ｑ２，得ｑ ＝ ２． 所以Ｓｎ ＝ １ － ａｎ × ２１ － ２ ，则Ｓｎ ＝ ２ａｎ － １． （２）Ｂ　 ａｎ ＋ １ ＝ ３Ｓｎ，ａｎ ＝ ３Ｓｎ － １，故ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３ａｎ，即ａｎ ＋ １ ＝ ４ａｎ（ｎ≥２），而ｎ ＝ １时，ａ２ ＝ ３Ｓ１ ＝ ３ａ１，可知该数列不是等比数 列．当ａｎ ＝ ０时，数列｛ａｎ｝为等差数列．故本题正确答案为Ｂ． 　 　 对点训练１：∵ Ｓｎ ＝ ２ａｎ ＋ １① ∴ Ｓｎ － １ ＝ ２ａｎ － １ ＋ １（ｎ≥２）② ① －②得ａｎ ＝ ２ａｎ － ２ａｎ － １， ∴ ａｎ ＝ ２ａｎ － １， ∴ ａｎ ａｎ － １ ＝ ２（ｎ≥２） 又ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２ａ１ ＋ １， ∴ ａ１ ＝ － １， ∴数列｛ａｎ｝是首项为－ １，公比为２的等比数列， ∴ Ｓｎ ＝ －（１ － ２ｎ） １ － ２ ＝ １ － ２ ｎ ． 　 　 例２：（１）因为Ｓｎ ＋ １ － Ｓｎ ＝ ａｎ ＋ １， 所以，由题意得ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １，即ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ １，所以数列 ｛ａｎ｝是等差数列，公差为１． 选①，ａ４ ＋ ａ７ ＝ １３，则ａ１ ＋ ３ ＋ ａ１ ＋ ６ ＝ １３，解得ａ１ ＝ ２，所以 ａｎ ＝ ２ ＋（ｎ － １）＝ ｎ ＋ １； 选②，ａ１，ａ３，ａ７成等比数列， 则ａ２３ ＝ ａ１ａ７，所以（ａ１ ＋ ２）２ ＝ ａ１（ａ１ ＋ ６），解得ａ１ ＝ ２，所以 ａｎ ＝ ２ ＋（ｎ － １）＝ ｎ ＋ １； 选③，Ｓ１０ ＝ １０ａ１ ＋ １０ × ９２ × １ ＝ ６５，解得ａ１ ＝ ２， 所以ａｎ ＝ ２ ＋（ｎ － １）＝ ｎ ＋ １； （２）由题意得ｂ１ － ａ１ ＝ １，ｂｎ － ａｎ ＝ ２ｎ － １， 任选①②③：ａｎ ＝ ｎ ＋ １， 所以ｂｎ ＝ ２ｎ － １ ＋ ｎ ＋ １，Ｔｎ ＝（１ ＋ ２）＋（２ ＋ ３）＋（２２ ＋ ４）＋… ＋（２ｎ － １ ＋ ｎ ＋ １） ＝（１ ＋ ２ ＋…＋ ２ｎ － １）＋［２ ＋ ３ ＋…＋（ｎ ＋ １）］＝ １ － ２ ｎ １ － ２ ＋ ｎ（２ ＋ ｎ ＋ １） ２ ＝ ２ ｎ ＋ ｎ ２ ＋ ３ｎ － ２ ２ ． 　 　 对点训练２：（１）设公比为ｑ，∵ ａ１ ＝ １，ａ２ａ４ ＝ １６， ∴ ｑ４ ＝ １６，∵ ｑ ＞ ０，∴ ｑ ＝ ２． ∴ ａｎ ＝ ２ ｎ － １ ． ∵ Ｓｎ ＝ ３ｎ２ ＋ ｎ ２ ， ∴当ｎ≥２时，ｂｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ３ｎ ２ ＋ ｎ ２ － ３（ｎ － １）２ ＋（ｎ － １） ２ ＝ ３ｎ － １． 当ｎ ＝ １时，ｂ１ ＝ Ｓ１ ＝ ２满足上式，∴ ｂｎ ＝ ３ｎ － １． （２）ｃｎ ＝ ａｎ ＋ ｂｎ ＝ ２ｎ － １ ＋ ３ｎ － １． ∴ Ｔｎ ＝ ｃ１ ＋ ｃ２ ＋…＋ ｃｎ ＝（２０ ＋ ２１ ＋…＋ ２ｎ － １）＋［２ ＋ ５ ＋…＋（３ｎ － １）］ ＝ １ － ２ ｎ １ － ２ ＋ ［２ ＋（３ｎ － １）］ｎ ２ ＝ ２ ｎ － １ ＋ ｎ（３ｎ ＋ １）２ ． 　 　 例３：（１）证明：由ａｎ ＋ １ ＝ ｎ ＋ ２ｎ Ｓｎ，ａｎ ＋ １ ＝ Ｓｎ ＋ １ － Ｓｎ，得Ｓｎ ＋ １ － Ｓｎ ＝ ｎ ＋ ２ ｎ Ｓｎ， 整理得ｎＳｎ ＋ １ ＝ ２（ｎ ＋ １）Ｓｎ， 所以Ｓｎ ＋ １ｎ ＋ １ ＝ ２· Ｓｎ ｎ ，又 Ｓ１ １ ＝ １， 所以Ｓｎ{ }ｎ 是首项为１，公比为２的等比数列                                                                       ． —１３５—