3.1 第2课时等比数列的性质及应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ∵ １ － ｑ３ ＝（１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）， ∴由②除以①，得ｑ（１ － ｑ）＝ １４ ． ∴ ｑ ＝ １２，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － １( )２ ４ ＝ ９６． ∴ ａ６ ＝ ａ１ｑ ５ ＝ ９６ × １( )２ ５ ＝ ３． ∵ ａ５，ａ７的等比中项为ａ６， ∴ ａ５，ａ７的等比中项为３． ［误区警示］　 错误的原因在于认为ａ５，ａ７ 的等比中项是ａ６，忽略了同号两数的等比中项 有两个且互为相反数． 　 　 ［正解                       ］ 6789%:;< １．已知等比数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６，则ａ７等于 （Ａ ） Ａ． ６４　 　 　 Ｂ． ８１　 　 　 Ｃ． １２８　 　 　 Ｄ． ２４３ ２．（多选）若｛ａｎ｝是等比数列，则下列是等比数 列的是 （Ａ ） Ａ．｛－ ２ａｎ｝ Ｂ．｛ａｎ ＋ ａｎ ＋１｝ Ｃ． ３ａ{ }ｎ Ｄ．｛４ａｎａｎ ＋１｝ ３．若等比数列的首项为４，末项为１２８，公比为 ２，则这个数列的项数为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． ６ Ｄ． ３２ ４．等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，则公比ｑ 等于１或－ ２　 ． 请同学们认真完成练案［７              ］ 第２课时　 等比数列的性质及应用 !"#$%&'( 学习目标 １．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质． ２．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项． ３．理解等比数列的单调性与ａ１，ｑ的关系． 核心素养 １．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养． ２．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养． )*+,%-.+ 等比中项 　 　 在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ，使ａ，Ｇ，ｂ成 等比数列　 ，那么称Ｇ为ａ，ｂ的等比中项． ［提醒］　 （１）只有两个正数或两个负数才 有等比中项； （２）注意：若Ｇ２ ＝ ａｂ，Ｇ不一定是ａ与ｂ的等 比中项，例如０２ ＝５ ×０，但０，０，５不是等比数列       ． ! % ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 练一练： １．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ １，ａ４ ＝ ３，则ａ６ 等于 （Ｄ ） Ａ． － ５ Ｂ． ５ Ｃ． － ９ Ｄ． ９ ２． １与９的等比中项为± ３　 　 ． 等比数列的单调性 　 　 已知等比数列｛ａｎ｝的首项为ａ１，公比为ｑ，则 （１）当ａ１ ＞ ０， ｑ{ ＞ １ 或　 　 　 　 时，等比数列 ｛ａｎ｝为递增数列； （２）当ａ１ ＞ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １或　 　 　 　 时，等比数列 ｛ａｎ｝为递减数列； （３）当ｑ ＝ １时，等比数列｛ａｎ｝为常数列　 （这个常数列中各项均不等于０）； （４）当ｑ ＜ ０时，等比数列｛ａｎ｝为摆动数列 （它所有的奇数项同号，所有的偶数项也同号， 但是奇数项与偶数项异号）． 练一练： 在等比数列｛ａｎ｝中，首项ａ１ ＜ ０，要使数列 ｛ａｎ｝对任意正整数ｎ都有ａｎ ＋１ ＞ ａｎ．则公比ｑ应 满足 （Ｂ ） Ａ． ｑ ＞ １ Ｂ． ０ ＜ ｑ ＜ １ Ｃ． １２ ＜ ｑ ＜ １ Ｄ． － １ ＜ ｑ ＜ ０ 等比数列的性质 　 　 １．等比数列的项之间的关系 　 　 （１）两项关系 通项公式的推广： ａｎ ＝ ａｍ·ｑｎ －ｍ 　 　 （ｍ，ｎ∈Ｎ）． （２）多项关系 项的运算性质 若ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ ａｐ·ａｑ　 ． 特别地，若ｍ ＋ ｎ ＝ ２ｐ（ｍ，ｎ，ｐ∈Ｎ）， 则ａｍ·ａｎ ＝ ａ２ｐ　 ． ２．等比数列的项的对称性 有穷等比数列中，与首末两项“等距离”的 两项之积等于首末两项的积（若有中间项则等于 中间项的平方），即ａ１·ａｎ ＝ ａ２·ａｎ －１　 ＝ ａｋ· ａｎ － ｋ ＋１　 ＝ ａ ２ ｎ ＋ １ ２ （ｎ为正奇数）． 练一练： １．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ５ａ１４ ＝ ５，则ａ８·ａ９· ａ１０·ａ１１ ＝ （Ｂ ） Ａ． １０ Ｂ． ２５ Ｃ． ５０ Ｄ． ７５ ２．在由正数组成的等比数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ２ ＝ １，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，则ａ５ ＋ ａ６ ＝ １６　                                               ． /012%345 题型探究 题型一 等比数列的单调性 １．在等比数列｛ａｎ｝中，已知ａ１ ＞ ０，８ａ２ － ａ５ ＝ ０，则数列｛ａｎ｝为 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 　 　 ［规律方法］　 由等比数列的通项公式可 知，公比影响数列各项的符号：一般地，ｑ ＞ ０时， 等比数列各项的符号相同；ｑ ＜ ０时，等比数列各 项的符号正负交替． 对点训练? 在等比数列｛ａｎ｝中，如果 公比为ｑ，且ｑ ＜ １，那么等比数列｛ａｎ｝是（Ｄ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．无法确定单调性 题型二 等比数列性质的应用 ２．已知｛ａｎ｝为等比数列． （１）若ａｎ ＞ ０，ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ２５，求ａ３ ＋ ａ５； （２）若ａｎ ＞ ０，ａ５ａ６ ＝ ９，求ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋ …＋ ｌｏｇ３ａ１０的值． ［分析］　 观察已知条件与所求式子的特征→ 利用等比数列                     的性质求解 !#& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 等比数列性质的作用 １．利用等比数列的性质解题，会起到化繁 为简的效果． ２．等比数列中的项的序号若成等差数列， 则对应的项依次成等比数列，有关等比数列的 计算问题，应充分发挥“下标”的“指引”作用． 对点训练? （１）在等比数列｛ａｎ｝中， 已知ａ７ａ１２ ＝ ５，则ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ２５　 　 ； （２）数列｛ａｎ｝为等比数列，且ａ１ａ９ ＝ ６４，ａ３ ＋ ａ７ ＝ ２０，则ａ１１ ＝ １或６４　 ； （３）若等比数列｛ａｎ｝的各项均为正数，且 ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ ５，则ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０ ＝ ５０　 　 ． 题型三 等比数列的实际应用 ３．光圈是一个用来控制光线透过镜头，进 入机身内感光面的光量的装置．表达光圈的大 小我们可以用光圈的Ｆ值表示，光圈的Ｆ值系 列如下：Ｆ１，Ｆ１． ４，Ｆ２，Ｆ２． ８，Ｆ４，Ｆ５． ６，Ｆ８，……， Ｆ６４．光圈的Ｆ值越小，表示在同一单位时间内 进光量越多，而且上一级的进光量是下一级的２ 倍，如光圈从Ｆ８调整到Ｆ５． ６，进光量是原来的 ２倍．若光圈从Ｆ４调整到Ｆ１． ４，则单位时间内 的进光量为原来的 （Ｃ ） Ａ． ２倍Ｂ． ４倍 Ｃ． ８倍 Ｄ． １６倍 ［规律方法］　 关于等比数列在应用问题中 的应用 首先根据题意判断是否是等比数列模型， 其次分析等比数列的首项、公比、项数，最后利 用等比数列的通项公式计算解题． 对点训练? （１）计算机的价格不断降 低，若每台计算机的价格每年降低１３，现在价格 为８ １００元的计算机３年后的价格可降低为 （Ｃ ） Ａ． ３００元　 　 Ｂ． ９００元 Ｃ． ２ ４００元　 　 Ｄ． ３ ６００元 （２）生物学指出：生态系统中，在输入一个 营养级的能量中，大约１０％的能量能够流到下 一个营养级，在Ｈ１→Ｈ２→Ｈ３ 这个生物链中，若 能使Ｈ３获得１０ ｋＪ的能量，则需Ｈ１提供的能量 为 （Ｄ ） Ａ． １０ －２ ｋＪ Ｂ． １０ －１ ｋＪ Ｃ． １０２ ｋＪ Ｄ． １０３ ｋＪ 易错警示 　 　 忽略等比数列中的项的符号致错 ４．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ａ４ａ６ａ７ ＝ ８１，则 ａ１ａ９的值为 （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． － ９ Ｃ． ± ９ Ｄ． １８ ［错解］　 ∵ ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９， ∴ （ａ１ａ９）２ ＝ ８１，∴ ａ１ａ９ ＝ ± ９，故选Ｃ． ［误区警示］　 本题易忽略在等比数列中， 奇数项（或偶数项）符号相同这一条件，而得到 ａ１ａ９ ＝ ± ９． 　 　 ［正解                                                                              ］ ! ' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 6789%:;< １．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ４ ＝ ６，ａ８ ＝ １８，则ａ１２ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２４ Ｂ． ３０ Ｃ． ５４ Ｄ． １０８ ２．在等比数列｛ａｎ｝中，ａ２，ａ１８是方程ｘ２ ＋ ６ｘ ＋ ４ ＝ ０的两根，则ａ４ａ１６ ＋ ａ１０ ＝ （Ｂ ） Ａ． ６ Ｂ． ２ Ｃ． ２或６ Ｄ． － ２ ３．设各项均为正数的等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ， 且ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａｎ，则“｛ｂｎ｝为递减数列”是“０ ＜ ｑ ＜ １”的 （Ｃ ） Ａ．充分而不必要条件 Ｂ．必要而不充分条件 Ｃ．充分必要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ４．在《九章算术》中“衰分”是按比例递减分配 的意思．今共有粮９８石，甲、乙、丙按序衰分， 乙分得２８石，则衰分比例为　 　 　 　 ． 请同学们认真完成练案［８                   ］ ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 !"#$%&'( 学习目标 １．探索并掌握等比数列的前ｎ项和公式，理解等比数列的通项公式与前ｎ项和公式的关系． ２．能在具体的问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 核心素养 １．通过等比数列的前ｎ项和公式的应用，培养数学运算素养． ２．能利用等比数列的通项公式、前ｎ项和公式解决实际问题，培养数学建模素养． )*+,%-.+ 等比数列前ｎ项和公式及推导 已知量 首项、公比与项数 首项、公比与末项 求和 公式 Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ （ｑ≠１） ｎａ１（ｑ ＝ １{ ） Ｓｎ ＝ ａ１ － ａｎｑ １ － ｑ （ｑ≠１） ｎａ１（ｑ ＝ １{ ） 　 　 ［提醒］　 若题目中ｑ为字母参数，不确定 具体数值，则求等比数列的前ｎ项和时，应分ｑ ＝ １与ｑ≠１两种情况进行讨论． 想一想： 当ｑ≠１时，等比数列｛ａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ是 ｎ的函数，该函数的解析式有什么特点                  ？ !#( 　 　 对点训练１：（１）设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，由题意得 ａ４ ＋ ａ７ ＝（ａ３ ＋ ａ６）ｑ ＝ １８， ａ３ ＋ ａ６ ＝ ３６{ ， 解得ｑ ＝ １２ ． ∴ ａ３ ＋ ａ６ ＝ ａ３ ＋ ａ３ｑ ３ ＝ ａ３（１ ＋ ｑ３）＝ ３６， ∴ ａ３ ＝ ３２． ∴ ａｎ ＝ ａ３·ｑｎ － ３ ＝ ３２ × ( )１２ ｎ － ３ ＝ ( )１２ ｎ － ８ ＝ １２ ， ∴ ｎ － ８ ＝ １，∴ ｎ ＝ ９． （２）∵ ａ７ ＝ ａ５ｑ２，∴ ｑ２ ＝ １４ ， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ｑ ＝ １２ ． ∴ ａｎ ＝ ａ５·ｑｎ － ５ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － ５ ＝ ( )１２ ｎ － ８ ． 　 　 例２：（１）Ｃ　 因为数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋ １ ＝ １２ ａｎ， 所以该数列是以１２为公比的等比数列， 又ａ４ ＝ ８，所以ａ１８ ＝ ８，即ａ１ ＝ ６４． （２）Ｂ　 ａｎ ＝ ２ａｎ － １，ｎ ＝ ２，３，４，有可能数列每一项都是零，此 时数列不是等比数列，反过来｛ａｎ｝是公比为２的等比数列，则一 定满足ａｎ ＝ ２ａｎ － １ ．故为必要不充分条件． 　 　 对点训练２：（１）Ｂ　 由ａｎ ＋ １ － ２ａｎ ＝ ０，得数列｛ａｎ｝为等比数 列，且公比为２， 又ａ４ ＝ １，则８ａ１ ＝ １，即ａ１ ＝ １８ ． （２）Ｂ　 若｛ａｎ｝成等比数列，则ａ２ｎ ＝ ａｎ － １·ａｎ ＋ １成立，当ａｎ － １ ＝ ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ ＝ ０时，满足ａ２ｎ ＝ ａｎ － １·ａｎ ＋ １成立，但｛ａｎ｝成等比数列 不成立，故“｛ａｎ｝为等比数列”是“ａ２ｎ ＝ ａｎ －１·ａｎ ＋１，ｎ ＝ ２，３，４，…” 的充分不必要条件． 　 　 例３：（１）证明：因为ａｎ ＋ １ ＝ １２ ａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ １ － ２ ＝ １２ （ａｎ － ２）， 又ａ１ － ２ ＝ － １≠０，所以ａｎ ＋ １ － ２ａｎ － ２ ＝ １ ２ ， 所以｛ａｎ － ２｝是首项为－ １，公比为１２的等比数列． （２）由（１）得ａｎ － ２ ＝ － １ × ( )１２ ｎ － １ ＝ － １ ２ｎ － １ ， 所以ａｎ ＝ ２ － １２ｎ － １ ． 　 　 对点训练３：证明：因为１ａｎ ＋ １ ＝ ４ ３ ＋ １ ３ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ － ２ ＝ １ ３ａｎ － ２３ ＝ １ ３ １ ａｎ( )－ ２ ， 又因为１ａ１ － ２ ＝ － １ ３ ≠０， 所以１ａｎ{ }－２ 是首项为－ １３ ，公比为１３的等比数列． 　 　 例４：设该等比数列的公比为ｑ，首项为ａ１， ∵ ａ２ － ａ５ ＝ ４２，∴ ｑ≠１， 由已知，得ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ １６８ ａ１ｑ － ａ１ｑ ４{ ＝ ４２ ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ １６８　 ① ａ１ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２　{ ② ∵ １ － ｑ３ ＝（１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）， ∴由② ① 得ｑ（１ － ｑ）＝ １４ ， ∴ ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － ( )１２ ４ ＝ ９６． 令Ｇ是ａ５，ａ７的等比中项，则应有Ｇ２ ＝ ａ５ａ７ ＝ ａ１ｑ４·ａ１ｑ６ ＝ ａ２１ｑ １０ ＝ ９６２ × ( )１２ １０ ＝ ９， ∴ ａ５，ａ７的等比中项是± ３． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 设等比数列的公比为ｑ， ∵ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ｑ（ａ１ ＋ ａ２）＝ ６，∴ ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ１ｑ ＝ ３，∴ ３ａ１ ＝ ３． ∴ ａ１ ＝ １，∴ ａ７ ＝ ２６ ＝ ６４． ２． ＡＣＤ　 设｛ａｎ｝的公比为ｑ，则ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｑ， － ２ａｎ ＋ １ － ２ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ ａｎ ＝ ｑ（常 数），故Ａ正确；若ｑ ＝ － １，则ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ０．（等比数列的各项 不能为０），故Ｂ错误； ３ ａｎ ＋ １ ３ ａｎ ＝ ａｎ ａｎ ＋ １ ＝ １ｑ （常数），故Ｃ正确； ４ａｎ ＋ １ａｎ ＋ ２ ４ａｎａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １ ａｎ ·ａｎ ＋ ２ａｎ ＋ １ ＝ ｑ ２（常数），故Ｄ正确． ３． Ｃ　 设这个数列有ｎ项，则１２８ ＝ ４ × ２ｎ － １，∴ ２ｎ － １ ＝ ３２，∴ ｎ ＝ ６． ４． １或－ ２　 ∵在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，∴ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ａ２ｑ ＋ ａ２ｑ ２ ＝２ｑ ＋２ｑ２ ＝４，即ｑ２ ＋ ｑ －２ ＝０．解得ｑ ＝１或ｑ ＝ －２． 第２课时　 等比数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 等比数列 练一练： １． Ｄ　 方法一：由题设，ｑ２ ＝ ａ４ａ２ ＝ ３， 所以ａ６ ＝ ａ４ｑ２ ＝ ９． 方法二：由等比数列性质，ａ２ａ６ ＝ ａ２４， 所以１ × ａ６ ＝ ３２，即ａ６ ＝ ９． ２． ± ３　 １与９的等比中项为槡± １ × ９ ＝ ± ３． 知识点２ （１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列 练一练： Ｂ　 在等比数列｛ａｎ｝中，首项ａ１ ＜ ０， 若ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即ａ１ｑｎ ＞ ａ１ｑｎ － １， 因为ａ１ ＜ ０，所以ｑｎ ＜ ｑｎ － １，即ｑｎ － １ ｑ( )－ １ ＜ ０． 因为数列｛ａｎ｝对任意正整数ｎ都有ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，所以ｑ ＞ ０， 所以ｑ － １ ＜ ０，解得０ ＜ ｑ ＜ １．故选Ｂ． 知识点３ １．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ 　 ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 练一练： １． Ｂ　 ａ８·ａ１１ ＝ ａ９·ａ１０ ＝ ａ５·ａ１４，∴ ａ８·ａ９·ａ１０·ａ１１ ＝（ａ５ ·ａ１４）２ ＝ ２５． ２． １６　 ∵ ｛ａｎ｝成等比数列， ∴ ａ１ ＋ ａ２，ａ３ ＋ ａ４，ａ５ ＋ ａ６也成等比数列， ∴ （ａ３ ＋ ａ４）２ ＝（ａ１ ＋ ａ２）（ａ５ ＋ ａ６）， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ ４２ １ ＝ １６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝８，解得ｑ ＝２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 　 　 对点训练１：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，                                                                      为摆动 —１３２— 数列，不具有单调性；等比数列( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递减数 列；等比数列－ ( )１２{ } ｎ 的公比为１２ ，是递增数列． 　 　 例２：（１）∵ ａ２ａ４ ＝ ａ２３，ａ４ａ６ ＝ ａ２５， ∴ ａ２ａ４ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ４ａ６ ＝ ａ ２ ３ ＋ ２ａ３ａ５ ＋ ａ ２ ５ ＝（ａ３ ＋ ａ５）２ ＝ ２５， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ａ３ ＋ ａ５ ＞ ０， ∴ ａ３ ＋ ａ５ ＝ ５． （２）根据等比数列的性质，得 ａ５ａ６ ＝ ａ１ａ１０ ＝ ａ２ａ９ ＝ ａ３ａ８ ＝ ａ４ａ７ ＝ ９， ∴ ａ１ａ２…ａ９ａ１０ ＝（ａ５ａ６）５ ＝ ９５， ∴ ｌｏｇ３ａ１ ＋ ｌｏｇ３ａ２ ＋…＋ ｌｏｇ３ａ１０ ＝ ｌｏｇ３（ａ１ａ２·…·ａ９ａ１０） ＝ ｌｏｇ３（ａ５ａ６）５ ＝ ｌｏｇ３３１０ ＝ １０． 　 　 对点训练２：（１）２５　 方法一：∵ ａ７ａ１２ ＝ ａ８ａ１１ ＝ ａ９ａ１０ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ５ ２ ＝ ２５． 方法二：由已知得ａ１ｑ６·ａ１ｑ１１ ＝ ａ２１ｑ１７ ＝ ５， ∴ ａ８ａ９ａ１０ａ１１ ＝ ａ１ｑ ７·ａ１ｑ８·ａ１ｑ９·ａ１ｑ１０ ＝ ａ１ ４·ｑ３４ ＝（ａ２１· ｑ１７）２ ＝ ２５． （２）１或６４　 ∵ ａ１ａ９ ＝ ａ３ａ７ ＝ ６４，∴ ａ３，ａ７ 是方程ｘ２ － ２０ｘ ＋ ６４ ＝ ０的两根． 解得ａ３ ＝ ４ ａ７{ ＝ １６或 ａ３ ＝ １６ ａ７{ ＝ ４ ． ①若ａ３ ＝ ４，ａ７ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ ４， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ １６ × ４ ＝ ６４． ②若ａ７ ＝ ４，ａ３ ＝ １６，则由ａ７ ＝ ａ３ｑ４得，ｑ４ ＝ １４ ， ∴ ａ１１ ＝ ａ７ｑ ４ ＝ ４ × １４ ＝ １．故ａ１１ ＝ ６４，或ａ１１ ＝ １． （３）５０　 由ａ１０ａ１１ ＋ ａ９ａ１２ ＝ ２ｅ５，可得ａ１０ａ１１ ＝ ｅ５ ． 令Ｓ ＝ ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２ ＋…＋ ｌｎ ａ２０，则２Ｓ ＝（ｌｎ ａ１ ＋ ｌｎ ａ２０）＋ （ｌｎ ａ２ ＋ ｌｎ ａ１９）＋…＋（ｌｎ ａ２０ ＋ ｌｎ ａ１）＝ ２０ｌｎ（ａ１ａ２０）＝ ２０ｌｎ（ａ１０ａ１１） ＝ ２０ｌｎ ｅ５ ＝ １００，所以Ｓ ＝ ５０． 　 　 例３：Ｃ　 单位时间内的进光量形成公比为１２的等比数列 ｛ａｎ｝，则Ｆ４对应单位时间内的进光量为ａ５，Ｆ１． ４对应单位时间 内的进光量为ａ２，从Ｆ４调整到Ｆ１． ４，则单位时间内的进光量为 原来的ａ２ａ５ ＝ ８倍． 　 　 对点训练３：（１）Ｃ 　 第一年价格为：８ １００ × １ －( )１３ ＝ ５ ４００； 第二年价格为：５ ４００ × １ －( )１３ ＝ ３ ６００； 第三年价格为：３ ６００ × １ －( )１３ ＝ ２ ４００． （２）Ｄ　 能量流动法则表明能量的效率大约是１０％，如果要 使Ｈ３获得１０ ｋＪ能量，则Ｈ１ ×（１０％）２ ＝ Ｈ３，解得Ｈ１ ＝ １０３ ｋＪ． 　 　 例４：Ａ　 因为｛ａｎ｝为等比数列，所以ａ３ａ７ ＝ ａ４ａ６ ＝ ａ１ａ９ ． 所以（ａ１ａ９）２ ＝ ８１，即ａ１ａ９ ＝ ± ９． 因为在等比数列｛ａｎ｝中，奇数项（或偶数项）的符号相同， 所以ａ１，ａ９同号，所以ａ１ａ９ ＝ ９． 课堂检测·固双基 １． Ｃ　 ∵ ａ８ ＝ ａ４ｑ ４，∴ ｑ４ ＝ ａ８ａ４ ＝ １８ ６ ＝３，∴ ａ１２ ＝ ａ８·ｑ ４ ＝ １８ × ３ ＝ ５４． ２． Ｂ　 由题意知，ａ２ ＋ ａ１８ ＝ － ６，ａ２ａ１８ ＝ ４，∴ ａ２ ＜ ０，ａ１８ ＜ ０， ∴ ａ１０ ＜ ０，又∵ ａ２１０ ＝ ａ２·ａ１８ ＝ ４，∴ ａ１０ ＝ － ２．又ａ４ａ１６ ＝ ａ２·ａ１８ ＝ ４，∴ ａ４ａ１６ ＋ ａ１０ ＝ ４ － ２ ＝ ２．故选Ｂ． ３． Ｃ　 由题设ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＞ ０且ｑ ＞ ０， 则ｂｎ ＝ ｌｏｇ２ａ１ ＋（ｎ － １）ｌｏｇ２ｑ ＝ ｎｌｏｇ２ｑ ＋ ｌｏｇ２ ａ１ｑ ， 若｛ｂｎ｝为递减数列，故ｌｏｇ２ｑ ＜ ０，则０ ＜ ｑ ＜ １，充分性成立； 若０ ＜ ｑ ＜１，则ｌｏｇ２ｑ ＜０，易知｛ｂｎ｝为递减数列，必要性也成立； 所以“｛ｂｎ｝为递减数列”是“０ ＜ ｑ ＜１”的充分必要条件．故选Ｃ． ４． １２ 　 设衰分比例为ｑ，则甲、乙、丙各分得 ２８ ｑ ，２８，２８ｑ石， ∴ ２８ｑ ＋ ２８ ＋ ２８ｑ ＝ ９８，∴ ｑ ＝ ２或 １ ２ ． ∵ ０ ＜ ｑ ＜ １，∴ ｑ ＝ １２ ． ３． ２　 等比数列的前ｎ项和 第１课时　 等比数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点 想一想： Ｓｎ ＝ ａ１（１ － ｑｎ） １ － ｑ ＝ － ａ１ １ － ｑｑ ｎ ＋ ａ１ １ － ｑ，Ｓｎ是关于ｎ的指数型函 数，其中指数式的系数与常数互为相反数． 练一练： １．（１）× 　 当ｑ ＝ １时，Ｓｎ ＝ ｎａ１ ． （２）× 　 只有当ａ与ｂ互为相反数时，数列｛ａｎ｝才是等比数 列． （３）× 　 例如１，－ １，１，－ １，…． ２． Ｄ　 由ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３， ２ａ１ ＋ ａ２ ＝ ４{ ， 解得ａ１ ＝ １， ａ２ ＝ ２{ ，所以公比ｑ ＝ ２， 所以Ｓ６ ＝ １ － ２ ６ １ － ２ ＝ ６３． ３． Ａ　 因为ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ Ｓ９ － Ｓ６，且Ｓ３，Ｓ６ － Ｓ３，Ｓ９ － Ｓ６ 也成 等比数列， 因为Ｓ３ ＝ ８，Ｓ６ ＝ ７，所以Ｓ６ － Ｓ３ ＝ － １，所以８，－ １，Ｓ９ － Ｓ６成 等比数列， 则８（Ｓ９ － Ｓ６）＝ １，即Ｓ９ － Ｓ６ ＝ １８ ， 所以ａ７ ＋ ａ８ ＋ ａ９ ＝ １８ ． ４． ３１２ 　 在等比数列｛ａｎ｝中，因为ａ１ ＝ ８，ｑ ＝ １ ２ ，ａｎ ＝ １ ２ ，所 以ａｎ ＝ ａ１·ｑｎ － １ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － １ ＝ ( )１２ ｎ － ４ ＝ １２ ，所以ｎ － ４ ＝ １，ｎ ＝ ５， 所以Ｓｎ ＝ Ｓ５ ＝ ８ １ － ( )１２[ ] ５ １ － １２ ＝ ３１２ ． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）Ｂ　 由Ｓ３ ＝ ２ａ３ － ２得ａ３ － ａ２ － ａ１ － ２ ＝ ０， 又ａ１ ＝ ２，所以ｑ２ － ｑ － ２ ＝ ０， 即（ｑ － ２）（ｑ ＋ １）＝ ０， 所以ｑ ＝ ２或ｑ ＝ － １（舍去）． （２）设该等比数列的公比为ｑ， 由ａ４ － ａ２ ＝ ２４，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６， 得ａ２ｑ２ － ａ２ ＝ ２４，ａ２ ＋ ａ２ｑ ＝ ６， 解得ａ２ ＝ １，ｑ ＝ ５， 所以ａ１ ＝ ａ２ｑ ＝ １ ５ ， 所以ａｎ ＝ ａ１ｑｎ － １ ＝ ５ｎ － ２， 令ａｎ ＝ １２５，解得ｎ ＝ ５                                                                      ， —１３３—