3.1 第1课时等比数列(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # § ３　 等比数列 ３． １　 等比数列的概念及其通项公式 第１课时　 等比数列 !"#$%&'( 学习目标 １．掌握等比数列的概念、判定方法和通项公式． ２．理解等比数列通项公式的推导过程． ３．掌握等比数列通项公式的简单应用． 核心素养 １．通过对等比数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助等比数列通项公式的简单应用，提升数学运算素养． )*+,%-.+ 等比数列 　 　 （１）文字语言：如果一个数列从第２项起， 每一项与它的前一项的比都等于同一个常数　 ， 那么这个数列叫作等比数列，这个常数叫作等 比数列的公比，公比通常用字母ｑ表示（显然 ｑ≠０）． （２）符号语言：在数列｛ａｎ｝中，若ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ 为常数，且ｑ≠０）对任意ｎ∈Ｎ都成立，则数列 ｛ａｎ｝是等比数列． ［提醒］　 “从第２项起”是因为首项没有 “前一项”．“每一项与它的前一项的比等于同一 常数”，即比值相等，同时还要注意公比是每一 项与其前一项之比，防止前后次序颠倒． 想一想： １．为什么等比数列的每一项均不为零？ ２．常数列一定是等比数列吗？ 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）等比数列的任意一项均不为零． （√ ） （２）等比数列｛ａｎ｝的公比ｑ ＝ ａ１ａ２ ． （ × ） （３）三个数ａ，ｂ，ｃ成等比数列的充要条件 是ｂ２ ＝ ａｃ． （ × ） （４）ｎ∈Ｎ，ａｎ ＋１ ＝ ｑａｎ，其中ｑ是常数且 不为零，则｛ａｎ｝是等比数列． （ ×                                   ） !#" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ２．下面四个数列中，一定是等比数列的是 （Ｄ ） Ａ． ｑ，２ｑ，４ｑ，６ｑ Ｂ． ｑ，ｑ２，ｑ３，ｑ４ Ｃ． ｑ，２ｑ，４ｑ，８ｑ Ｄ． １ｑ， １ ｑ２ ，１ ｑ３ ，１ ｑ４ 等比数列的通项公式 　 　 首项为ａ１，公比是ｑ（ｑ≠０）的等比数列的 通项公式为ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１　 ． ［提醒］　 （１）已知首项ａ１和公比ｑ的前提 下，利用通项公式可求出等比数列中的任意 一项． （２）在通项公式中，有ａｎ，ａ１，ｑ，ｎ四个量， 如果已知任意三个，那么可求出第四个量． 想一想： 等比数列的通项公式ａｎ ＝ ａ１ｑｎ －１与指数函 数ｆ（ｘ）＝ ａｘ（ａ ＞ ０，ａ≠１）有什么联系？ 练一练： １．已知等比数列｛ａｎ｝的公比为正数，若 ａ３ａ９ ＝ ２ａ ２ ５，ａ２ ＝ ２，则ａ１ ＝ （Ｃ ） Ａ． １２ Ｂ． 槡２ ２ Ｃ．槡２ Ｄ． ２ ２．已知数列｛ａｎ｝是等比数列，且ａ１ ＝ １８，ａ４ ＝ － １，则数列｛ａｎ｝的公比ｑ为－ ２　 　                         ． /012%345 题型探究 题型一 等比数列通项公式及应用 １．在等比数列｛ａｎ｝中， （１）ａ１ ＝ ３，ａ３ ＝ ２７，求ａｎ； （２）ａ２ ＋ ａ５ ＝ １８，ａ３ ＋ ａ６ ＝ ９，ａｎ ＝ １，求ｎ． ［分析］　 （１）已知等比数列的通项公式ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ －１代入ａ１，ａ３，求出ｑ，最后求出ａｎ． （２）已知项的和，代入等比数列的通项公 式，求出ａ１，ｑ，由ａｎ ＝ １求ｎ． 　 　 ［尝试作答           ］ 　 　 ［规律方法］　 与等比数列通项有关的基本 量计算 （１）常规方法：根据已知条件，建立关于ａ１， ｑ的方程组，求出ａ１，ｑ，再求ａｎ； （２）整体法：利用各项之间的关系，直接求 出ｑ后，再求ａ１，最后求ａｎ，这里体现了整体思 想的应用． 对点训练? 在等比数列｛ａｎ｝中： （１）已知ａ３ ＋ ａ６ ＝ ３６，ａ４ ＋ ａ７ ＝ １８，ａｎ ＝ １２， 求ｎ； （２）已知ａ５ ＝ ８，ａ７ ＝ ２，ａｎ ＞ ０，求ａｎ                                            ． ! # ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 等比数列的判定与证明 　 　 角度１　 等比数列的判定 ２．（１）已知数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ ＝ １２ ａｎ，若ａ４ ＝ ８，则ａ１等于 （Ｃ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ６４ Ｄ． １２８ （２）在数列｛ａｎ｝中，“ａｎ ＝ ２ａｎ －１，ｎ ＝ ２，３，４” 是“｛ａｎ｝是公比为２的等比数列”的 （Ｂ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 　 　 ［规律方法］　 判断一个数列｛ａｎ｝是等比数 列的方法 （１）定义法：若数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋１ａｎ ＝ ｑ（ｑ为 常数且不为零）或ａｎａｎ －１ ＝ ｑ（ｎ≥２，ｑ为常数且不 为零），则数列｛ａｎ｝是等比数列； （２）通项公式法：若数列｛ａｎ｝的通项公式为 ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ －１（ａ１≠０，ｑ≠０），则数列｛ａｎ｝是等比 数列． 　 　 对点训练? （１）数列｛ａｎ｝满足ａ４ ＝ １， ａｎ ＋１ － ２ａｎ ＝ ０（ｎ∈Ｎ），则ａ１等于 （Ｂ ） Ａ． １４ Ｂ． １ ８ Ｃ． １１６ Ｄ． １ ３２ （２）已知数列｛ａｎ｝，则“｛ａｎ｝为等比数列” 是“ａ２ｎ ＝ ａｎ －１·ａｎ ＋１，ｎ ＝ ２，３，４…，”的 （Ｂ ） Ａ．充分必要条件 Ｂ．充分不必要条件 Ｃ．必要不充分条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 　 　 角度２　 等比数列的证明 ３．已知数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＝ １，ａｎ ＋１ ＝ １２ ａｎ ＋ １． （１）证明：数列｛ａｎ － ２｝为等比数列； （２）求数列｛ａｎ｝的通项公式． 　 　 ［尝试作答          ］ 　 　 ［规律方法］　 １．证明一个数列是等比数 列，可考虑用定义证明，即证明ａｎａｎ －１ ＝ ｑ（ｑ为常 数，且ｎ≥２）． ２．说明一个数列不是等比数列，只需说明 存在两个相邻两项的比不等即可． 　 　 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的首项ａ１ ＝ ３ ５，ａｎ ＋１ ＝ ３ａｎ ４ａｎ ＋ １ ，ｎ∈Ｎ ．求证：数列１ａｎ{ }－ ２ 为 等比数列． 易错警示 　 　 忽视等比中项的符号致错 ４．等比数列｛ａｎ｝的前三项的和为１６８，ａ２ － ａ５ ＝ ４２，求ａ５，ａ７的等比中项． ［错解］　 设该等比数列的公比为ｑ，首项 为ａ１， ∵ ａ２ － ａ５ ＝ ４２， ∴ ｑ≠１，由已知，得ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ １６８， ａ１ｑ － ａ１ｑ ４ ＝ ４２{ ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ １６８　 ① ａ１ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２　{                                                                        ② !#$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ∵ １ － ｑ３ ＝（１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）， ∴由②除以①，得ｑ（１ － ｑ）＝ １４ ． ∴ ｑ ＝ １２，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － １( )２ ４ ＝ ９６． ∴ ａ６ ＝ ａ１ｑ ５ ＝ ９６ × １( )２ ５ ＝ ３． ∵ ａ５，ａ７的等比中项为ａ６， ∴ ａ５，ａ７的等比中项为３． ［误区警示］　 错误的原因在于认为ａ５，ａ７ 的等比中项是ａ６，忽略了同号两数的等比中项 有两个且互为相反数． 　 　 ［正解                       ］ 6789%:;< １．已知等比数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ６，则ａ７等于 （Ａ ） Ａ． ６４　 　 　 Ｂ． ８１　 　 　 Ｃ． １２８　 　 　 Ｄ． ２４３ ２．（多选）若｛ａｎ｝是等比数列，则下列是等比数 列的是 （Ａ ） Ａ．｛－ ２ａｎ｝ Ｂ．｛ａｎ ＋ ａｎ ＋１｝ Ｃ． ３ａ{ }ｎ Ｄ．｛４ａｎａｎ ＋１｝ ３．若等比数列的首项为４，末项为１２８，公比为 ２，则这个数列的项数为 （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ８ Ｃ． ６ Ｄ． ３２ ４．等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，则公比ｑ 等于１或－ ２　 ． 请同学们认真完成练案［７              ］ 第２课时　 等比数列的性质及应用 !"#$%&'( 学习目标 １．结合等差数列的性质，理解等比数列的性质． ２．掌握等比中项的概念，会求同号两数的等比中项． ３．理解等比数列的单调性与ａ１，ｑ的关系． 核心素养 １．通过等比数列的性质的应用，培养数学运算素养． ２．借助等比数列的判定，培养逻辑推理素养． )*+,%-.+ 等比中项 　 　 在ａ与ｂ中间插入一个数Ｇ，使ａ，Ｇ，ｂ成 等比数列　 ，那么称Ｇ为ａ，ｂ的等比中项． ［提醒］　 （１）只有两个正数或两个负数才 有等比中项； （２）注意：若Ｇ２ ＝ ａｂ，Ｇ不一定是ａ与ｂ的等 比中项，例如０２ ＝５ ×０，但０，０，５不是等比数列       ． ! % ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ －１）ｄ ＝２ｎ ＋１，Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ －１）２ ｄ ＝ ｎ ２ ＋２ｎ． ②由题意可得ｂｎ ＝ １ａ２ｎ －１ ＝ １ （ａｎ ＋１）（ａｎ －１）＝ １ （２ｎ ＋２）·２ｎ ＝ １４ｎ（ｎ ＋ １）＝ １ ４ １ ｎ － １ ｎ( )＋ １ ， ∴ Ｔｎ ＝ ｂ１ ＋ ｂ２ ＋ ｂ３ ＋…＋ ｂｎ ＝ １４ １ －( )１２ ＋ １４ １２ －( )１３ ＋ １４ １３ －( )１４ ＋ … ＋ １４ １ ｎ － １ ｎ( )＋ １ ＝ １４ １ － １ ｎ( )＋ １ ＝ ｎ４（ｎ ＋ １）． 　 　 例３：（１）设等差数列的公差为ｄ， 由题意可得 ａ２ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＝ １１， Ｓ１０ ＝ １０ａ１ ＋ １０ × ９ ２ ｄ ＝ ４０{ ， 即ａ１ ＋ ｄ ＝ １１， ２ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ １３， ｄ ＝ － ２{ ， 所以ａｎ ＝ １３ － ２（ｎ － １）＝ １５ － ２ｎ． （２）因为Ｓｎ ＝ ｎ（１３ ＋ １５ － ２ｎ）２ ＝ １４ｎ － ｎ ２， 令ａｎ ＝ １５ － ２ｎ ＞ ０，解得ｎ ＜ １５２ ，且ｎ∈Ｎ ， 当ｎ≤７时，则ａｎ ＞ ０，可得Ｔｎ ＝ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａｎ ｜ ＝ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ ＝ Ｓｎ ＝ １４ｎ － ｎ２； 当ｎ≥８时，则ａｎ ＜ ０，可得Ｔｎ ＝ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａｎ ｜ ＝ （ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ７）－（ａ８ ＋…＋ ａｎ） ＝ Ｓ７ －（Ｓｎ － Ｓ７）＝ ２Ｓ７ － Ｓｎ ＝ ２（１４ × ７ － ７２）－（１４ｎ － ｎ２）＝ ｎ２ － １４ｎ ＋ ９８； 综上所述：Ｔｎ ＝ １４ｎ － ｎ ２，ｎ≤７， ｎ２ － １４ｎ ＋ ９８，ｎ≥８{ ． 　 　 对点训练３：（１）①当ｎ ＝ １时，ａ１ ＝ Ｓ１ ＝ － ９； ②当ｎ≥２时，ａｎ ＝ Ｓｎ － Ｓｎ － １ ＝ ｎ２ － １０ｎ －（ｎ － １）２ ＋ １０ｎ － １０ ＝ ２ｎ － １１， 对ｎ ＝ １也成立，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １１（ｎ∈Ｎ）； （２）当１≤ｎ≤５时，ａｎ ＜ ０，即Ｔｎ ＝ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａｎ ｜ ＝ －（ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａｎ）＝ － Ｓｎ ＝ １０ｎ － ｎ２ ． 当ｎ≥６时，ａｎ ＞ ０，Ｔｎ ＝ －（ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ５）＋（ａ６ ＋…＋ ａｎ）＝ － Ｓ５ ＋ Ｓｎ － Ｓ５ ＝ ｎ２ － １０ｎ ＋ ５０， 综上，Ｔｎ ＝ １０ｎ － ｎ ２，１≤ｎ≤５（ｎ∈Ｎ）， ｎ２ － １０ｎ ＋ ５０，ｎ≥６（ｎ∈Ｎ）{ ． 　 　 例４：∵ １ｎ（ｎ ＋ ２）＝ １ ２ １ ｎ － １ ｎ( )＋ ２ ， ∴数列 １ｎ（ｎ ＋ ２{ }）的前ｎ项和Ｓｎ ＝ (１２ １ － １３ ＋ １２ － １４ ＋ １ ３ － １ ５ ＋ …＋ １ ｎ － １ － １ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ － １ ｎ )＋ ２ ＝ １ ２ １ ＋ １ ２ － １ ｎ ＋ １ － １ ｎ( )＋ ２ ＝ ３４ － ２ｎ ＋ ３２（ｎ ＋ １）（ｎ ＋ ２）． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ａ８ ＋ ａ９ ＋ ａ１０ ＋ ａ１１ ＋ ａ１２ ＝ Ｓ１２ － Ｓ７ ＝ １２２ ＋ １２ ＋ １ － ７２ － ７ － １ ＝ １００． ２． Ｃ　 ａｎ ＝ １２０ ＋ ５（ｎ － １）＝ ５ｎ ＋ １１５， 由ａｎ ＜ １８０得ｎ ＜ １３且ｎ∈Ｎ， 由ｎ边形内角和定理得， （ｎ － ２）× １８０ ＝ ｎ × １２０ ＋ ｎ（ｎ － １）２ × ５． 解得ｎ ＝ １６或ｎ ＝ ９， ∵ ｎ ＜ １３，∴ ｎ ＝ ９． ３． Ｄ　 ∵ Ｓ２０ ＝ ａ１ ＋ ａ２０ ２ × ２０ ＝ １０（ａ１ ＋ ａ２０）， ∴ Ｍ ＝ ａ１ ＋ ａ２０ ＝ ａ１２ ＋ ａ９ ．故选Ｄ． ４． １９０　 令ａｎ ＝ ２ｎ － ３０≥０，即ｎ≥１５，故前１４项都是负数， 所以Ｓ１０ ＝ －（ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ１０） ＝ －（－ ２８ － １０）× １０２ ＝ １９０． § ３　 等比数列 ３． １　 等比数列的概念及其通项公式 第１课时　 等比数列 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）同一个常数 想一想： １．若存在一项为零，设这一项为ａｋ，则 （１）若ａｋ不是最后一项，它将不能与ａｋ ＋ １作比； （２）若ａｋ是最后一项，可推知公比ｑ等于零，从而ａ２ ＝ ０，它 将不能与ａ３作比． 故等比数列的每一项均不能为零． ２．不一定，当常数列各项均为零时，该常数列不是等比数 列；当常数列各项均不为零时，该常数列是等比数列． 练一练： １．（１）√　 （２）× 　 （３）× 　 （４）× ２． Ｄ　 对于Ａ，Ｂ，Ｃ：当ｑ ＝ ０时不是等比数列，故Ａ，Ｂ，Ｃ错 误；对于Ｄ：由已知可得ｑ≠０，且符合等比数列的定义，公比是 １ ｑ ，故Ｄ正确． 知识点２ ａｎ ＝ ａ１ｑ ｎ － １ 想一想： ａｎ ＝ ａ１·ｑｎ － １ ＝ ａ１ｑ·ｑ ｎ，当ｑ ＞ ０且ｑ≠１时，等比数列｛ａｎ｝ 的第ｎ项ａｎ是指数型函数ｆ（ｘ）＝ ａ１ｑ·ｑ ｘ（ｘ∈Ｒ）在ｘ ＝ ｎ时的 值，即ａｎ ＝ ｆ（ｎ）．数列｛ａｎ｝图象上的点（ｎ，ａｎ）都在指数函数 ｆ（ｘ）的图象上．反之指数函数ｆ（ｘ）＝ ａｘ ＝ ａ·ａｘ － １（ａ ＞ ０，ａ≠１） 可以构成一个首项为ａ，公比为ａ的等比数列｛ａ·ａｎ － １｝． 练一练： １． Ｃ　 设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，ｑ ＞ ０， ａ３ａ９ ＝ ２ａ ２ ５ａ２·ｑ·ａ２·ｑ７ ＝ ２（ａ２ｑ３）２ｑ２ ＝ ２， 因为ｑ ＞ ０，所以ｑ 槡＝ ２，而ａ２ ＝ ２， 所以ａ１ ＝ ａ２ｑ ＝ ２ 槡２ 槡 ＝ ２． ２． － ２　 ｑ３ ＝ ａ４ ａ１ ＝ － ８，所以ｑ ＝ － ２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）设公比为ｑ，则ａ３ ＝ ａ１·ｑ２， 所以２７ ＝ ３ｑ２，所以ｑ ＝ ± ３， ａｎ ＝ ３ ｎ或ａｎ ＝ －（－ ３）ｎ ． （２）设公比为ｑ，由题意，得 ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ４ ＝ １８ ａ１ｑ ２ ＋ ａ１ｑ ５{ ＝ ９ ①② 由② ① 得ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ３２． 又ａｎ ＝ １，∴ ３２ × ( )１２ ｎ － １ ＝ １， 即２６ － ｎ ＝ ２０，∴ ｎ ＝ ６                                                                      ． —１３１— 　 　 对点训练１：（１）设等比数列｛ａｎ｝的公比为ｑ，由题意得 ａ４ ＋ ａ７ ＝（ａ３ ＋ ａ６）ｑ ＝ １８， ａ３ ＋ ａ６ ＝ ３６{ ， 解得ｑ ＝ １２ ． ∴ ａ３ ＋ ａ６ ＝ ａ３ ＋ ａ３ｑ ３ ＝ ａ３（１ ＋ ｑ３）＝ ３６， ∴ ａ３ ＝ ３２． ∴ ａｎ ＝ ａ３·ｑｎ － ３ ＝ ３２ × ( )１２ ｎ － ３ ＝ ( )１２ ｎ － ８ ＝ １２ ， ∴ ｎ － ８ ＝ １，∴ ｎ ＝ ９． （２）∵ ａ７ ＝ ａ５ｑ２，∴ ｑ２ ＝ １４ ， ∵ ａｎ ＞ ０，∴ ｑ ＝ １２ ． ∴ ａｎ ＝ ａ５·ｑｎ － ５ ＝ ８ × ( )１２ ｎ － ５ ＝ ( )１２ ｎ － ８ ． 　 　 例２：（１）Ｃ　 因为数列｛ａｎ｝满足ａｎ ＋ １ ＝ １２ ａｎ， 所以该数列是以１２为公比的等比数列， 又ａ４ ＝ ８，所以ａ１８ ＝ ８，即ａ１ ＝ ６４． （２）Ｂ　 ａｎ ＝ ２ａｎ － １，ｎ ＝ ２，３，４，有可能数列每一项都是零，此 时数列不是等比数列，反过来｛ａｎ｝是公比为２的等比数列，则一 定满足ａｎ ＝ ２ａｎ － １ ．故为必要不充分条件． 　 　 对点训练２：（１）Ｂ　 由ａｎ ＋ １ － ２ａｎ ＝ ０，得数列｛ａｎ｝为等比数 列，且公比为２， 又ａ４ ＝ １，则８ａ１ ＝ １，即ａ１ ＝ １８ ． （２）Ｂ　 若｛ａｎ｝成等比数列，则ａ２ｎ ＝ ａｎ － １·ａｎ ＋ １成立，当ａｎ － １ ＝ ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ ＝ ０时，满足ａ２ｎ ＝ ａｎ － １·ａｎ ＋ １成立，但｛ａｎ｝成等比数列 不成立，故“｛ａｎ｝为等比数列”是“ａ２ｎ ＝ ａｎ －１·ａｎ ＋１，ｎ ＝ ２，３，４，…” 的充分不必要条件． 　 　 例３：（１）证明：因为ａｎ ＋ １ ＝ １２ ａｎ ＋ １， 所以ａｎ ＋ １ － ２ ＝ １２ （ａｎ － ２）， 又ａ１ － ２ ＝ － １≠０，所以ａｎ ＋ １ － ２ａｎ － ２ ＝ １ ２ ， 所以｛ａｎ － ２｝是首项为－ １，公比为１２的等比数列． （２）由（１）得ａｎ － ２ ＝ － １ × ( )１２ ｎ － １ ＝ － １ ２ｎ － １ ， 所以ａｎ ＝ ２ － １２ｎ － １ ． 　 　 对点训练３：证明：因为１ａｎ ＋ １ ＝ ４ ３ ＋ １ ３ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ － ２ ＝ １ ３ａｎ － ２３ ＝ １ ３ １ ａｎ( )－ ２ ， 又因为１ａ１ － ２ ＝ － １ ３ ≠０， 所以１ａｎ{ }－２ 是首项为－ １３ ，公比为１３的等比数列． 　 　 例４：设该等比数列的公比为ｑ，首项为ａ１， ∵ ａ２ － ａ５ ＝ ４２，∴ ｑ≠１， 由已知，得ａ１ ＋ ａ１ｑ ＋ ａ１ｑ ２ ＝ １６８ ａ１ｑ － ａ１ｑ ４{ ＝ ４２ ， ∴ ａ１（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）＝ １６８　 ① ａ１ｑ（１ － ｑ３）＝ ４２　{ ② ∵ １ － ｑ３ ＝（１ － ｑ）（１ ＋ ｑ ＋ ｑ２）， ∴由② ① 得ｑ（１ － ｑ）＝ １４ ， ∴ ｑ ＝ １２ ，∴ ａ１ ＝ ４２ １ ２ － ( )１２ ４ ＝ ９６． 令Ｇ是ａ５，ａ７的等比中项，则应有Ｇ２ ＝ ａ５ａ７ ＝ ａ１ｑ４·ａ１ｑ６ ＝ ａ２１ｑ １０ ＝ ９６２ × ( )１２ １０ ＝ ９， ∴ ａ５，ａ７的等比中项是± ３． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 设等比数列的公比为ｑ， ∵ ａ１ ＋ ａ２ ＝ ３，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ｑ（ａ１ ＋ ａ２）＝ ６，∴ ｑ ＝ ２． 又ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ１ｑ ＝ ３，∴ ３ａ１ ＝ ３． ∴ ａ１ ＝ １，∴ ａ７ ＝ ２６ ＝ ６４． ２． ＡＣＤ　 设｛ａｎ｝的公比为ｑ，则ａｎ ＋ １ａｎ ＝ ｑ， － ２ａｎ ＋ １ － ２ａｎ ＝ ａｎ ＋ １ ａｎ ＝ ｑ（常 数），故Ａ正确；若ｑ ＝ － １，则ａｎ ＋ １ ＋ ａｎ ＝ ０．（等比数列的各项 不能为０），故Ｂ错误； ３ ａｎ ＋ １ ３ ａｎ ＝ ａｎ ａｎ ＋ １ ＝ １ｑ （常数），故Ｃ正确； ４ａｎ ＋ １ａｎ ＋ ２ ４ａｎａｎ ＋ １ ＝ ａｎ ＋ １ ａｎ ·ａｎ ＋ ２ａｎ ＋ １ ＝ ｑ ２（常数），故Ｄ正确． ３． Ｃ　 设这个数列有ｎ项，则１２８ ＝ ４ × ２ｎ － １，∴ ２ｎ － １ ＝ ３２，∴ ｎ ＝ ６． ４． １或－ ２　 ∵在等比数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＋ ａ４ ＝ ４，ａ２ ＝ ２，∴ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ａ２ｑ ＋ ａ２ｑ ２ ＝２ｑ ＋２ｑ２ ＝４，即ｑ２ ＋ ｑ －２ ＝０．解得ｑ ＝１或ｑ ＝ －２． 第２课时　 等比数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 等比数列 练一练： １． Ｄ　 方法一：由题设，ｑ２ ＝ ａ４ａ２ ＝ ３， 所以ａ６ ＝ ａ４ｑ２ ＝ ９． 方法二：由等比数列性质，ａ２ａ６ ＝ ａ２４， 所以１ × ａ６ ＝ ３２，即ａ６ ＝ ９． ２． ± ３　 １与９的等比中项为槡± １ × ９ ＝ ± ３． 知识点２ （１） ａ１ ＜ ０， ０ ＜ ｑ{ ＜ １　 （２） ａ１ ＜ ０，ｑ{ ＞ １ 　 （３）常数列 练一练： Ｂ　 在等比数列｛ａｎ｝中，首项ａ１ ＜ ０， 若ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，即ａ１ｑｎ ＞ ａ１ｑｎ － １， 因为ａ１ ＜ ０，所以ｑｎ ＜ ｑｎ － １，即ｑｎ － １ ｑ( )－ １ ＜ ０． 因为数列｛ａｎ｝对任意正整数ｎ都有ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ，所以ｑ ＞ ０， 所以ｑ － １ ＜ ０，解得０ ＜ ｑ ＜ １．故选Ｂ． 知识点３ １．（１）ｑｎ － ｍ 　 （２）ａｐ·ａｑ 　 ａ２ｐ 　 ２． ａｎ － １ 　 ａｎ － ｋ ＋ １ 练一练： １． Ｂ　 ａ８·ａ１１ ＝ ａ９·ａ１０ ＝ ａ５·ａ１４，∴ ａ８·ａ９·ａ１０·ａ１１ ＝（ａ５ ·ａ１４）２ ＝ ２５． ２． １６　 ∵ ｛ａｎ｝成等比数列， ∴ ａ１ ＋ ａ２，ａ３ ＋ ａ４，ａ５ ＋ ａ６也成等比数列， ∴ （ａ３ ＋ ａ４）２ ＝（ａ１ ＋ ａ２）（ａ５ ＋ ａ６）， ∴ ａ５ ＋ ａ６ ＝ ４２ １ ＝ １６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：Ａ　 由８ａ２ － ａ５ ＝０，可知ａ５ａ２ ＝ ｑ ３ ＝８，解得ｑ ＝２． 又ａ１ ＞ ０，所以数列｛ａｎ｝为递增数列． 　 　 对点训练１：Ｄ　 如等比数列｛（－ １）ｎ｝的公比为－ １，                                                                      为摆动 —１３２—