2.1 第2课时等差数列的性质及应用(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ［错解］　 ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ － ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０，解得 ｄ ＞ ８３ ．故选Ａ． ［误区警示］　 该等差数列的首项为负数， 从第１０项起开始为正数，说明公差为正数，且 第９项为非正数，第１０项为正数，解决此类问 题时容易忽视第９项的要求． 　 　 ［正解                 ］ 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，则此数列 （Ａ ） Ａ．是公差为２的等差数列 Ｂ．是公差为５的等差数列 Ｃ．是首项为５的等差数列 Ｄ．是公差为ｎ的等差数列 ２．等差数列－ ３，１，５，…的第１５项的值是 （Ｂ ） Ａ． ４０ Ｂ． ５３ Ｃ． ６３ Ｄ． ７６ ３．等差数列１，－ １，－ ３，－ ５，…，－ ８９，它的项数 为 （Ｃ ） Ａ ９２ Ｂ ４７ Ｃ ４６ Ｄ ４５ ４．已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ４，ａ１０ ＝ １１， 则ａ１２ ＝ １３　 ． 请同学们认真完成练案［３                ］ 第２课时　 等差数列的性质及应用 !"#$%&'( 学习目标 １．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差ｄ的几何意义． ２．掌握等差数列的性质及应用． ３．掌握等差中项的概念及应用． 核心素养 １．通过对等差中项概念及公差ｄ的几何意义的学习，培养数学抽象素养． ２．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 等差数列的单调性与图象 　 　 （１）等差数列的图象 由ａｎ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），可知其图象是直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）上的一些等间隔的点　 ，其中 公差ｄ　 是该直线的斜率． （２）从函数角度研究等差数列的性质与 图象 由ａｎ ＝ ｆ（ｎ）＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），可知其图象是直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）         上的一 !"! ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 些等间隔的点　 ，这些点的横坐标是正整数，其 中公差ｄ是该直线的斜率　 ，即自变量每增加 １，函数值增加ｄ． 当ｄ ＞ ０时，｛ａｎ｝为递增数列　 　 ；当ｄ ＜ ０ 时，｛ａｎ｝为递减数列　 　 ；当ｄ ＝ ０时，｛ａｎ｝为 常数列　 ． ［提醒］　 等差数列通项公式的变形及推广 ①ａｎ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ）（ｎ∈Ｎ）， ②ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ － ｍ）ｄ（ｍ，ｎ∈Ｎ）， ③ｄ ＝ ａｎ － ａｍ ｎ － ｍ （ｍ，ｎ∈Ｎ ，且ｍ≠ｎ）． 其中①的几何意义是点（ｎ，ａｎ）均在直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）上． ②可以利用任意项及公差直接得到通项公 式，不必求ａ１ ． ③即斜率公式ｋ ＝ ｙ２ － ｙ１ｘ２ － ｘ１，可用来由等差数 列任两项求公差． 想一想： 已知等差数列｛ａｎ｝的两项ａｍ，ａｎ，如何用 ａｍ，ａｎ表示公差ｄ？并解释公差ｄ的几何意义． 练一练： １．思考辨析（正确的画“√”，错误的画 “×”） （１）若Ａ ＝ ａ ＋ ｂ２ ，则ａ，Ａ，ｂ成等差数列． （√ ） （２）若｛ａｎ｝是等差数列，则ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ － ｍ）ｄ． （√ ） （３）等差数列｛ａｎ｝的单调性是由公差ｄ决 定的． （√ ） ２．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３ ＝ ５，ａ７ ＝ １，则数列 ｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ － １　 ． 等差数列的性质 　 　 （１）等差中项 如果在ａ与ｂ之间插入一个数Ａ，使ａ，Ａ，ｂ 成等差数列　 ，那么Ａ叫作ａ与ｂ的等差中项， Ａ ＝ 　 　 　 　 ． （２）如果｛ａｎ｝是等差数列，正整数ｍ，ｎ，ｐ， ｑ，ｔ满足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ ＝ ２ｔ，则有ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ ＝ ２ａｔ ． ［提醒］　 在一个等差数列中，从第２项起， 每一项ａｎ（有穷数列的末项除外）都是它的前一 项ａｎ －１与后一项ａｎ ＋１的等差中项，即２ａｎ ＝ ａｎ －１ ＋ ａｎ ＋１（ｎ≥２）． 练一练： １．若等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则｛３ａｎ ＋２｝是 （Ｃ ） Ａ．公差为ｄ的等差数列 Ｂ．公差为２ｄ的等差数列 Ｃ．公差为３ｄ的等差数列 Ｄ．非等差数列 ２．在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ３ ＝ ２，ａ５ ＝ ７，则ａ７ ＝ １２　 　 　                                                                 ． !"" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # /012%345 题型探究 题型一等差数列通项公式的推广ａｎ ＝ ａｍ ＋（ｎ －ｍ）ｄ的应用 １．若｛ａｎ｝为等差数列，ａ１５ ＝ ８，ａ６０ ＝ ２０， 求ａ７５ ． 　 　 ［尝试作答       ］ 　 　 ［规律方法］　 若｛ａｎ｝是等差数列，则公差 ｄ ＝ ａｐ － ａｑ ｐ － ｑ ，ｐ，ｑ∈Ｎ ；ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｐ － ａｑｐ － ｑ （ｎ － ｐ），ｐ， ｑ，ｎ∈Ｎ ． 对点训练? 等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＝ ３， ａ８ ＝ ６，则ａ１０ ＝ ７　 　 ． 题型二用性质ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ（ｍ，ｎ，ｐ， ｑ∈Ｎ ＋，且ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ）解题 ２．（１）在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ５ ＝ ３，ａ９ ＝ ６，则ａ１３ ＝ （Ａ ） Ａ． ９ Ｂ． １２ Ｃ． １５ Ｄ． １８ （２）设数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，若ａ１ ＋ ｂ１ ＝ ７，ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ２１，则ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５　 ； （３）在等差数列｛ａｎ｝中，若ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０，则ａ２ ＋ ａ８ ＝ （Ｄ ） Ａ． １５０ Ｂ． １６０ Ｃ． ２００ Ｄ． ３００ ［分析］　 （１）根据等差数列的性质得出 ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３，然后将值代入即可求出结果． （２）方法一：求ａ５ ＋ ｂ５各设出公差利用 通项公式； 方法二：求ａ５ ＋ ｂ５｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数 列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列． （３）求ａ２ ＋ ａ８的值ａ３ ＋ ａ７ ＝ ａ４ ＋ ａ６ ＝ ２ａ５ ａ５ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ． ［规律方法］　 等差数列运算的两条常用 思路 （１）根据已知条件，列出关于ａ１，ｄ的方程 （组），确定ａ１，ｄ，然后求其他量． （２）利用性质巧解，观察等差数列中的项的 序号，若满足ｍ ＋ ｎ ＝ ｐ ＋ ｑ ＝ ２ｒ（ｍ，ｎ，ｐ，ｑ，ｒ∈ Ｎ），则ａｍ ＋ ａｎ ＝ ａｐ ＋ ａｑ ＝ ２ａｒ． 特别提醒：递增等差数列ｄ ＞ ０，递减等差数 列ｄ ＜ ０，解题时要注意数列的单调性对ｄ取值 的限制． 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７ ＝５８，ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８ ＝４４，则ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９的值 为 （Ａ ） Ａ． ３０ Ｂ． ２７ Ｃ． ２４ Ｄ． ２１ （２）已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，则２ａ９ － ａ１０ ＝ ２４　 　 ． 题型三 等差数列中的对称设项 ３．成等差数列的四个数之和为２６，第二个 数和第三个数之积为４０，求这四个数． ［分析］　 已知四个数成等差数列，有多种 设法，但如果四个数的和已知，常常设为ａ － ３ｄ， ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ更简单．再通过联立方程组 求解． 　 　 ［尝试作答                                                                              ］ !"# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 三个数或四个数成等差数列 时，设未知量的技巧如下： （１）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为奇数时，可 设中间一项为ａ，再用公差为ｄ向两边分别设 项：…，ａ － ２ｄ，ａ － ｄ，ａ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ２ｄ，…． （２）当等差数列｛ａｎ｝的项数ｎ为偶数时，可 设中间两项为ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，再以公差为２ｄ向两 边分别设项：…，ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ，…， 这样可减少计算量． 对点训练? 设三个数成单调递减的等 差数列，三个数的和为１２，三个数的积为４８，求 这三个数． 易错警示 　 　 对等差数列的定义理解不透彻而致误 ４．已知数列｛ａｎ｝是无穷数列，则“２ａ２ ＝ ａ１ ＋ ａ３”是“数列｛ａｎ｝为等差数列”的 （Ｂ ） Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分也不必要条件 ［错解］　 Ｃ ［误区警示］　 应用定义法判断或证明一个 数列是等差数列时，必须要判定或证明ａｎ ＋１ － ａｎ或ａｎ － ａｎ －１（ｎ≥２）等于一个常数，不能只对 数列的部分项进行说明，对部分项说明不能保 证数列中的每一项都满足等差的要求． 　 　 ［正解                                                 ］ 6789%:;< １．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ３，ａ１０是方程ｘ２ － ３ｘ － ５ ＝ ０的两个实根，则ａ５ ＋ ａ８ ＝ （Ａ ） Ａ． ３ Ｂ． ５ Ｃ． － ３ Ｄ． － ５ ２．在等差数列｛ａｎ｝中，ａ２ ＋ ａ３ ＝ ４，ａ５ ＋ ａ６ ＝ ８，则 ａ４ ＝ （Ｃ ） Ａ． ４ Ｂ． ７２ Ｃ． ３ Ｄ． ２ ３．（多选）已知四个数成等差数列，它们的和为 ２８，中间两项的积为４０，则这四个数依次为 （Ａ ） Ａ． － ２，４，１０，１６ Ｂ． １６，１０，４，－ ２ Ｃ． ２，５，８，１１ Ｄ． １１，８，５，２ ４．数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，且ａ１ ＝ １５，ｂ１ ＝ ３５，ａ２ ＋ ｂ２ ＝ ７０，则ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０　 　 ． ５．已知ｂ是ａ，ｃ的等差中项，且ｌｇ（ａ ＋ １），ｌｇ（ｂ － １），ｌｇ（ｃ － １）成等差数列，同时ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １５，求ａ，ｂ，ｃ的值． 请同学们认真完成练案［４                        ］ !"$ ２． Ａ　 由题意，得ａ２ ＝ ａ１ａ１ ＝ １４ ，ａ３ ＝ ａ１·ａ２ ＝ １ ８ ，则ａ５ ＝ ａ３·ａ２ ＝ １３２ ． ３． ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）　 数列｛ａｎ｝对应的点列为（ｎ，ａｎ），即有ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）． ４．（－ ２，１）　 ∵数列：２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列， ∴ ２ａ － １ ＞ ａ － ３， ａ － ３ ＞ ３ａ － ５{ ，解得－ ２ ＜ ａ ＜ １． ∴ ａ的取值范围为（－ ２，１）． § ２　 等差数列 ２． １　 等差数列的概念及其通项公式 第１课时　 等差数列 必备知识·探新知 　 　 知识点１ ２　 差　 同一个常数　 ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ（ｎ≥２） 想一想： 一个数列从第２项起，每一项与它前一项的差都等于常数， 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， 则这个数列不是等差数列． 练一练： ＡＣ　 根据等差数列的定义可知Ａ，Ｃ中的数列是等差数列， 而Ｂ，Ｄ中，从第２项起，后一项与前一项的差不是同一个常数． 知识点２ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 练一练： １． Ｂ　 由已知等差数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ ２，ａ３ ＝ ５可得等差数列 ｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ ａ３ － ａ１３ － １ ＝ ５ － ２ ２ ＝ ３ ２ ． ２． Ｄ　 由ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ得２ ０２３ ＝ ３ ＋ ４（ｎ － １），解得ｎ ＝ ５０６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则２ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １０，即２ ＋ ４ｄ ＝ １０，解得ｄ ＝ ２，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １． （２）设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａ５ ＝ １１，ａ８ ＝ ５，得ａ１ ＋（５ － １）ｄ ＝ １１，ａ１ ＋（８ － １）ｄ ＝ ５{ ， 即ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １１， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ５{ ，解得ａ１ ＝ １９，ｄ ＝ － ２， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２）＝ ２１ － ２ｎ． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ ０， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：（１）①ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ 为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２ （不是常数），所以此数列不是等差数列． （２）证明：方法一：因为１ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ ＝ １ ａｎ ＋ ３，所以１ａｎ ＋ １ － １ ａｎ ＝ ３， 又因为ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），且ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １２ ．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为 １ ２ ，公差为３． 方法二：因为ｂｎ ＝ １ａｎ，且ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ ， 所以ｂｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ＝ １ａｎ ＋ ３ ＝ ｂｎ ＋ ３， 所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １ ２ ． 所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为１２ ，公差为３． 　 　 对点训练２：（１）证明：当ｎ≥２时，１ｘｎ ＝ ｘｎ － １ ＋ ３ ３ｘｎ － １ ＝ １３ ＋ １ ｘｎ － １ ， ∴ １ｘｎ － １ｘｎ － １ ＝ １３ ， ∴ １ｘ{ }ｎ 是等差数列，公差为１３ ． （２）由（１）知，１ｘｎ ＝ ２ ＋ １ ３ （ｎ － １）， ∴ １ｘ１００ ＝ ２ ＋ １３ ×（１００ － １）＝ ３５， ∴ ｘ１００ ＝ １ ３５ ． 　 　 例３：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于４ ｋｍ时， 每增加１ ｋｍ，乘客需要支付１． ２元． 所以，可以建立一个等差数列｛ａｎ｝来计算车费． 令ａ１ ＝ １１． ２，表示４ ｋｍ处的车费，公差ｄ ＝ １． ２， 那么当出租车行至１４ ｋｍ处时，ｎ ＝ １１， 此时需要支付车费ａ１１ ＝ １１． ２ ＋（１１ － １）× １． ２ ＝ ２３． ２（元）． 即需要支付车费２３． ２元． 　 　 对点训练３：１１　 设经过ｎ次考试后该学生的成绩为ａｎ， 则ａｎ ＝ ５ｎ ＋ ６９，由５ｎ ＋ ６９≥１２０，得ｎ≥５１５ ＝ １０ １ ５ ，所以至 少要经过１１次考试． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． １３　 设公差为ｄ，由题意得２ａ１ ＋ ｄ ＝ ａ１ ＋３ｄ， ａ１ ＋９ｄ ＝１１{ ， 解得ａ１ ＝ ２， ｄ ＝ １{ ． ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，∴ ａ１２ ＝ ２ ＋ １１ ＝ １３． 第２课时　 等差数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）等间隔的点　 公差ｄ　 （２）等间隔的点　 斜率　 递增数 列　 递减数列　                                                                       常数列 —１２７— 想一想： ｄ ＝ ａｍ － ａｎ ｍ － ｎ ． ｄ是直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）的斜率． 练一练： １．（１）√　 （２）√　 （３）√ ２． － １　 因为ａ３ ＝ ５，ａ７ ＝ １，故ｄ ＝ ａ７ － ａ３７ － ３ ＝ － １． 知识点２ （１）等差数列　 ａ ＋ ｂ２ 练一练： １． Ｃ　 设ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ ２，则ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３ａｎ ＋ １ ＋ ２ － ３ａｎ － ２ ＝ ３（ａｎ ＋ １ － ａｎ）＝ ３ｄ． ２． １２　 由等差数列的性质得ａ７ ＋ ａ３ ＝ ２ａ５，则ａ７ ＋ ２ ＝ ２ × ７， 得ａ７ ＝ １２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∵ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ，ａ６０ ＝ ａ１ ＋ ５９ｄ， ∴ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ ８， ａ１ ＋ ５９ｄ ＝ ２０{ ，解得 ａ１ ＝ ６４ １５， ｄ ＝ ４１５ { ． ∴ ａ７５ ＝ ａ１ ＋ ７４ｄ ＝ ６４ １５ ＋ ７４ × ４ １５ ＝ ２４． 方法二：∵ ｛ａｎ｝为等差数列， ∴ ａ１５，ａ３０，ａ４５，ａ６０，ａ７５也为等差数列． 设其公差为ｄ，则ａ１５为首项，ａ６０为第４项， ∴ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋ ３ｄ，即２０ ＝ ８ ＋ ３ｄ，解得ｄ ＝ ４． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋ ｄ ＝ ２０ ＋ ４ ＝ ２４． 方法三：∵ ａ６０ ＝ ａ１５ ＋（６０ － １５）ｄ， ∴ ｄ ＝ ａ６０ － ａ１５ ６０ － １５ ＝ ４ １５ ． ∴ ａ７５ ＝ ａ６０ ＋（７５ － ６０）ｄ ＝ ２０ ＋ １５ × ４１５ ＝ ２４． 　 　 对点训练１：７　 方法一：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由题意，得ａ１ ＋ ｄ ＝ ３， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ６{ ． ∴ ａ１ ＝ ５ ２ ， ｄ ＝ １２ { ． ∴ ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ ５ ２ ＋ ９ ２ ＝ ７． 方法二：设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， ∴ ａ８ － ａ２ ＝ ６ｄ ＝ ３，∴ ｄ ＝ １２ ． ∴ ａ１０ ＝ ａ８ ＋ ２ｄ ＝ ６ ＋ ２ × １ ２ ＝ ７． 　 　 例２：（１）Ａ　 ∵ ｛ａｎ｝是等差数列，∴ ２ａ９ ＝ ａ５ ＋ ａ１３，故ａ１３ ＝ ２ × ６ － ３ ＝ ９． （２）３５　 方法一：设数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝的公差分别为ｄ１，ｄ２，因 为ａ３ ＋ ｂ３ ＝（ａ１ ＋ ２ｄ１）＋（ｂ１ ＋ ２ｄ２）＝（ａ１ ＋ ｂ１）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ７ ＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１， 所以ｄ１ ＋ ｄ２ ＝ ７，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝（ａ３ ＋ ｂ３）＋ ２（ｄ１ ＋ ｄ２）＝ ２１ ＋ ２ × ７ ＝ ３５． 方法二：因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列． 所以数列｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成等差数列，所以２（ａ３ ＋ ｂ３）＝（ａ１ ＋ ｂ１）＋（ａ５ ＋ ｂ５），所以２ × ２１ ＝ ７ ＋ ａ５ ＋ ｂ５，所以ａ５ ＋ ｂ５ ＝ ３５． （３）Ｄ　 方法一：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ５ａ５ ＝ ７５０， ∴ ａ５ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ２ａ５ ＝ ３００． 方法二：∵ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＋ ａ６ ＋ ａ７ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ２ｄ ＋ ａ１ ＋ ３ｄ ＋ ａ１ ＋ ４ｄ ＋ ａ１ ＋ ５ｄ ＋ ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ７５０， ∴ ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １５０，∴ ａ２ ＋ ａ８ ＝ ａ１ ＋ ｄ ＋ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２（ａ１ ＋ ４ｄ） ＝ ３００． 　 　 对点训练２：（１）Ａ 　 （ａ１ ＋ ａ４ ＋ ａ７）＋ （ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９）＝ ２（ａ２ ＋ ａ５ ＋ ａ８）， 即５８ ＋（ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９）＝ ８８， 所以ａ３ ＋ ａ６ ＋ ａ９ ＝ ３０． （２）２４　 方法一：∵ ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，∴ ５ａ８ ＝ １２０， ∴ ａ８ ＝ ２４，∴ ２ａ９ － ａ１０ ＝（ａ８ ＋ ａ１０）－ ａ１０ ＝ ａ８ ＝ ２４． 方法二：∵ ａ１ ＋ ３ａ８ ＋ ａ１５ ＝ １２０，∴ ａ１ ＋ ３（ａ１ ＋ ７ｄ）＋（ａ１ ＋ １４ｄ）＝ １２０， ∴ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２４， ∴ ２ａ９ － ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ２４． 　 　 例３：设四个数分别为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ， 则：（ａ －３ｄ）＋（ａ － ｄ）＋（ａ ＋ ｄ）＋（ａ ＋３ｄ）＝２６　 ①（ａ － ｄ）（ａ ＋ ｄ）＝４０{ ② 由①，得ａ ＝ １３２ ．代入②，得ｄ ＝ ± ３ ２ ． ∴四个数为２，５，８，１１ 或１１，８，５，２． 　 　 对点训练３：设这三个数为ａ ＋ ｄ，ａ，ａ － ｄ（ｄ ＞ ０）， 则３ａ ＝ １２，（ａ ＋ ｄ）·ａ·（ａ － ｄ）＝ ４８{ ，解得ａ ＝ ４，ｄ ＝ ２{ ．所以这三个数 是６，４，２． 　 　 例４：Ｂ 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ａ５ ＋ ａ８ ＝ ａ３ ＋ ａ１０ ＝ ３． ２． Ｃ　 因为（ａ２ ＋ ａ３）＋（ａ５ ＋ ａ６）＝（ａ２ ＋ ａ６）＋（ａ３ ＋ ａ５）＝ ４ａ４ ＝ １２，所以ａ４ ＝ ３． ３． ＡＢ　 设这四个数分别为ａ － ３ｄ，ａ － ｄ，ａ ＋ ｄ，ａ ＋ ３ｄ，则 ａ － ３ｄ ＋ ａ － ｄ ＋ ａ ＋ ｄ ＋ ａ ＋ ３ｄ ＝ ２８， （ａ － ｄ）（ａ ＋ ｄ）＝ ４０{ ， 解得ａ ＝ ７，ｄ{ ＝ ３ 或ａ ＝ ７，ｄ ＝ － ３{ ， 所以这四个数依次为－ ２，４，１０，１６或１６，１０，４，－ ２． ４． ９０　 因为数列｛ａｎ｝，｛ｂｎ｝都是等差数列，所以｛ａｎ ＋ ｂｎ｝也构成 了等差数列，所以（ａ２ ＋ ｂ２）－（ａ１ ＋ ｂ１）＝（ａ３ ＋ ｂ３）－（ａ２ ＋ ｂ２），所以ａ３ ＋ ｂ３ ＝ ９０． ５．因为２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ，ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １５，所以３ｂ ＝ １５，ｂ ＝ ５．设等差数列 ａ，ｂ，ｃ的公差为ｄ，则ａ ＝ ５ － ｄ，ｃ ＝ ５ ＋ ｄ．由２ｌｇ（ｂ － １）＝ ｌｇ（ａ ＋ １）＋ ｌｇ（ｃ － １）知： ２ｌｇ ４ ＝ ｌｇ（６ －ｄ）＋ ｌｇ（４ ＋ｄ）． 从而１６ ＝（６ － ｄ）（４ ＋ ｄ），即ｄ２ － ２ｄ － ８ ＝ ０． 所以ｄ ＝ ４或ｄ ＝ － ２． 所以ａ，ｂ，ｃ三个数分别为１，５，９或７，５，３． ２． ２　 等差数列的前ｎ项和 第１课时　 等差数列的前ｎ项和 必备知识·探新知 　 　 知识点 ｎ（ａ１ ＋ ａｎ） ２ 　 ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ 想一想： 求等差数列的前ｎ项和时，若已知首项、末项和项数，则选 用公式Ｓｎ ＝ ｎ（ａ１ ＋ ａｎ）２ ；若已知首项、公差和项数，则选用公式 Ｓｎ ＝ ｎａ１ ＋ ｎ（ｎ － １） ２ ｄ． 练一练： １． Ｄ　 设公差为ｄ，由ａ１ ＋ ２ｄ ＝ １５， ａ１ ＋ ６ｄ ＝ ３５{ ，解得ａ１ ＝ ｄ ＝ ５                                                                      ， —１２８—