2.1 第1课时等差数列(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 易错警示 　 　 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ， 若数列｛ａｎ｝为递增数列，则ｔ的取值范围是 （－ ３，＋ ∞）　 ． ［错解］　 ［－ ２，＋ ∞） ［误区警示］　 在错解中，忽略了数列的特 征，即ｎ的取值的离散性，常会得出－ ｔ２≤１，即 ｔ∈［－ ２，＋ ∞）错误结果．事实上，由抛物线的 对称性知，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｔｘ在［１，＋ ∞）上不 单调照样可以使得数列｛ａｎ｝单调，当对称轴位 于区间１，３( )２ 内时，ａ１ ＜ ａ２也成立． 　 　 ［正解                            ］ 6789%:;< １．已知ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ３，则数列｛ａｎ｝是 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．摆动数列 ２．已知数列｛ａｎ｝满足：任意ｍ，ｎ∈Ｎ ＋，都有 ａｎ·ａｍ ＝ ａｎ ＋ ｍ，且ａ１ ＝ １２，那么ａ５ ＝ （Ａ ） Ａ． １３２ Ｂ． １ １６ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ２ ３．已知表示数列｛ａｎ｝的图象的点在函数ｙ ＝ １ｘ 的图象上，则其通项公式为　 　 　 　 　 ． ４．已知数列２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列，则 ａ的取值范围为（－ ２，１）　 ． 请同学们认真完成练案［２               ］ § ２　 等差数列 ２． １　 等差数列的概念及其通项公式 第１课时　 等差数列 !"#$%&'( 学习目标 １．理解等差数列的概念． ２．掌握等差数列的判定方法． ３．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用． 核心素养 １．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养． !!( # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # )*+,%-.+ 等差数列的定义 文字 语言 对于一个数列，如果从第２　 　 项起，每一项 与它的前一项的差　 都是同一个常数　 ，称 这样的数列为等差数列 符号 语言 若ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ（ｎ≥２）　 ，则数列｛ａｎ｝为等差 数列 　 　 ［提醒］　 “每一项与前一项的差”的含义 有两个：其一是强调作差的顺序，即后面的项减 前面的项；其二是强调这两项必须相邻． 想一想： 若把等差数列概念中“同一个”去掉，那么 这个数列还是等差数列吗？ 练一练： （多选）下列数列是等差数列的是（ＡＣ ） Ａ． ０，０，０，０，０，… Ｂ． １，１１，１１１，１１１１，… Ｃ． － ５，－ ３，－ １，１，３，… Ｄ． １，２，３，５，８，… 等差数列的通项公式 　 　 若首项是ａ１，公差是ｄ，则等差数列｛ａｎ｝的 通项公式为ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ　 ． 练一练： １．已知等差数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ ２，ａ３ ＝ ５，则公 差ｄ等于 （Ｂ ） Ａ． ２３ Ｂ． ３ ２ Ｃ． ３ Ｄ． － ３ ２．等差数列｛ａｎ｝中，首项ａ１ ＝ ３，公差ｄ ＝ ４，如果ａｎ ＝ ２ ０２３，则序号ｎ ＝ （Ｄ ）                               Ａ． ５０３ Ｂ． ５０４ Ｃ． ５０５ Ｄ． ５０６ /012%345 题型探究 题型一 等差数列的通项公式 １．（１）已知数列｛ａｎ｝是等差数列，且ａ１ ＝ １， ａ２ ＋ ａ４ ＝ １０．求数列｛ａｎ｝的通项公式． （２）在等差数列｛ａｎ｝中，已知ａ５ ＝ １１，ａ８ ＝ ５，求通项公式ａｎ． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 基本量法求通项公式 （１）根据已知量和未知量之间的关系，列出 方程求解的思想方法，称为方程思想． （２）等差数列｛ａｎ｝中的每一项均可用ａ１和 ｄ表示，这里的ａ１和ｄ就称为基本量． （３）如果条件与结论间的联系不明显，则均 可化成有关ａ１，ｄ的关系列方程组求解，但是要 注意公式的变形及整体计算，以减少计算量． 对点训练? （１）在等差数列｛ａｎ｝中， 已知ａ２ ＝ ２，ａ５ ＝ ８，则ａ９ ＝ （Ｃ ） Ａ． ８ Ｂ． １２ Ｃ． １６ Ｄ． ２４ （２）等差数列｛ａｎ｝中， ①已知ａ３ ＝ － ２，ｄ ＝ ３，求ａｎ的值； ②若ａ５ ＝ １１，ａｎ ＝ １，ｄ ＝ － ２，求ｎ的值                                 ． !!) ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 题型二 等差数列的判断与证明 ２．（１）判断下列数列是否为等差数列？ ①ａｎ ＝ ３ｎ ＋ ２； ②ａｎ ＝ ｎ ２ ＋ ｎ． （２）已知数列｛ａｎ｝满足ａ１ ＝ ２，ａｎ ＋１ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ （ｎ∈Ｎ），ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ）． 求证：数列｛ｂｎ｝是等差数列，并求出首项和 公差． 　 　 ［尝试作答         ］ 　 　 ［规律方法］　 １．用定义证明一个数列是等 差数列，即证明ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ｄ（ｄ为常数）． ２．说明一个数列不是等差数列，只需说明 存在ｐ，ｑ使ａｐ ＋１ － ａｐ≠ ａｑ ＋１ － ａｑ（ｐ，ｑ∈Ｎ ＋） 即可． 对点训练? 已知数列｛ｘｎ｝满足ｘｎ ＝ ３ｘｎ －１ ｘｎ －１ ＋ ３ （ｎ≥２，且ｎ∈Ｎ ＋）． （１）求证：１ｘ{ }ｎ 是等差数列； （２）当ｘ１ ＝ １２时，求ｘ１００ ． 题型三 等差数列的实际应用 ３．某市出租车的计价标准为１． ２元／ ｋｍ，起 步价为１０元，即最初的４ ｋｍ（不含４ ｋｍ）计费 １０元，如果某人乘坐该市的出租车去往１４ ｋｍ 处的目的地，且一路畅通，等候时间为０，那么需 要支付多少车费？ 　 　 ［尝试作答             ］ 　 　 ［规律方法］　 在实际问题中，若一组数依 次成等数额增长或下降，则可考虑利用等差数 列方法解决．在利用数列方法解决实际问题时， 一定要分清首项、项数等关键问题． 对点训练? 高一某班有位学生第１次 考试数学考了６９分，他计划以后每次考试比上 一次提高５分（如第２次计划达到７４分），则按 照他的计划该生数学以后要达到优秀（１２０分 以上，包括１２０分）至少还要经过的数学考试的 次数为１１　 　 ． 易错警示 　 　 求等差数列的公差时因考虑不周致误 ４．首项为－ ２４的等差数列从第１０项起开 始为正数，则公差的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． ｄ ＞ ８３ Ｂ． ｄ ＜ ３ Ｃ． ８３≤ｄ ＜ ３ Ｄ． ８ ３ ＜ ｄ≤                                                                        ３ !!* # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # ［错解］　 ａ１０ ＝ ａ１ ＋ ９ｄ ＝ － ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０，解得 ｄ ＞ ８３ ．故选Ａ． ［误区警示］　 该等差数列的首项为负数， 从第１０项起开始为正数，说明公差为正数，且 第９项为非正数，第１０项为正数，解决此类问 题时容易忽视第９项的要求． 　 　 ［正解                 ］ 6789%:;< １．数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，则此数列 （Ａ ） Ａ．是公差为２的等差数列 Ｂ．是公差为５的等差数列 Ｃ．是首项为５的等差数列 Ｄ．是公差为ｎ的等差数列 ２．等差数列－ ３，１，５，…的第１５项的值是 （Ｂ ） Ａ． ４０ Ｂ． ５３ Ｃ． ６３ Ｄ． ７６ ３．等差数列１，－ １，－ ３，－ ５，…，－ ８９，它的项数 为 （Ｃ ） Ａ ９２ Ｂ ４７ Ｃ ４６ Ｄ ４５ ４．已知等差数列｛ａｎ｝中，ａ１ ＋ ａ２ ＝ ａ４，ａ１０ ＝ １１， 则ａ１２ ＝ １３　 ． 请同学们认真完成练案［３                ］ 第２课时　 等差数列的性质及应用 !"#$%&'( 学习目标 １．了解等差数列通项与一次函数的关系，理解公差ｄ的几何意义． ２．掌握等差数列的性质及应用． ３．掌握等差中项的概念及应用． 核心素养 １．通过对等差中项概念及公差ｄ的几何意义的学习，培养数学抽象素养． ２．借助等差数列性质的应用，培养数学运算素养． )*+,%-.+ 等差数列的单调性与图象 　 　 （１）等差数列的图象 由ａｎ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），可知其图象是直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）上的一些等间隔的点　 ，其中 公差ｄ　 是该直线的斜率． （２）从函数角度研究等差数列的性质与 图象 由ａｎ ＝ ｆ（ｎ）＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ ＝ ｄｎ ＋（ａ１ － ｄ），可知其图象是直线ｙ ＝ ｄｘ ＋（ａ１ － ｄ）         上的一 !"! ２． Ａ　 由题意，得ａ２ ＝ ａ１ａ１ ＝ １４ ，ａ３ ＝ ａ１·ａ２ ＝ １ ８ ，则ａ５ ＝ ａ３·ａ２ ＝ １３２ ． ３． ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）　 数列｛ａｎ｝对应的点列为（ｎ，ａｎ），即有ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）． ４．（－ ２，１）　 ∵数列：２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列， ∴ ２ａ － １ ＞ ａ － ３， ａ － ３ ＞ ３ａ － ５{ ，解得－ ２ ＜ ａ ＜ １． ∴ ａ的取值范围为（－ ２，１）． § ２　 等差数列 ２． １　 等差数列的概念及其通项公式 第１课时　 等差数列 必备知识·探新知 　 　 知识点１ ２　 差　 同一个常数　 ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ（ｎ≥２） 想一想： 一个数列从第２项起，每一项与它前一项的差都等于常数， 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， 则这个数列不是等差数列． 练一练： ＡＣ　 根据等差数列的定义可知Ａ，Ｃ中的数列是等差数列， 而Ｂ，Ｄ中，从第２项起，后一项与前一项的差不是同一个常数． 知识点２ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 练一练： １． Ｂ　 由已知等差数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ ２，ａ３ ＝ ５可得等差数列 ｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ ａ３ － ａ１３ － １ ＝ ５ － ２ ２ ＝ ３ ２ ． ２． Ｄ　 由ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ得２ ０２３ ＝ ３ ＋ ４（ｎ － １），解得ｎ ＝ ５０６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则２ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １０，即２ ＋ ４ｄ ＝ １０，解得ｄ ＝ ２，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １． （２）设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａ５ ＝ １１，ａ８ ＝ ５，得ａ１ ＋（５ － １）ｄ ＝ １１，ａ１ ＋（８ － １）ｄ ＝ ５{ ， 即ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １１， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ５{ ，解得ａ１ ＝ １９，ｄ ＝ － ２， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２）＝ ２１ － ２ｎ． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ ０， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：（１）①ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ 为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２ （不是常数），所以此数列不是等差数列． （２）证明：方法一：因为１ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ ＝ １ ａｎ ＋ ３，所以１ａｎ ＋ １ － １ ａｎ ＝ ３， 又因为ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），且ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １２ ．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为 １ ２ ，公差为３． 方法二：因为ｂｎ ＝ １ａｎ，且ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ ， 所以ｂｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ＝ １ａｎ ＋ ３ ＝ ｂｎ ＋ ３， 所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １ ２ ． 所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为１２ ，公差为３． 　 　 对点训练２：（１）证明：当ｎ≥２时，１ｘｎ ＝ ｘｎ － １ ＋ ３ ３ｘｎ － １ ＝ １３ ＋ １ ｘｎ － １ ， ∴ １ｘｎ － １ｘｎ － １ ＝ １３ ， ∴ １ｘ{ }ｎ 是等差数列，公差为１３ ． （２）由（１）知，１ｘｎ ＝ ２ ＋ １ ３ （ｎ － １）， ∴ １ｘ１００ ＝ ２ ＋ １３ ×（１００ － １）＝ ３５， ∴ ｘ１００ ＝ １ ３５ ． 　 　 例３：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于４ ｋｍ时， 每增加１ ｋｍ，乘客需要支付１． ２元． 所以，可以建立一个等差数列｛ａｎ｝来计算车费． 令ａ１ ＝ １１． ２，表示４ ｋｍ处的车费，公差ｄ ＝ １． ２， 那么当出租车行至１４ ｋｍ处时，ｎ ＝ １１， 此时需要支付车费ａ１１ ＝ １１． ２ ＋（１１ － １）× １． ２ ＝ ２３． ２（元）． 即需要支付车费２３． ２元． 　 　 对点训练３：１１　 设经过ｎ次考试后该学生的成绩为ａｎ， 则ａｎ ＝ ５ｎ ＋ ６９，由５ｎ ＋ ６９≥１２０，得ｎ≥５１５ ＝ １０ １ ５ ，所以至 少要经过１１次考试． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． １３　 设公差为ｄ，由题意得２ａ１ ＋ ｄ ＝ ａ１ ＋３ｄ， ａ１ ＋９ｄ ＝１１{ ， 解得ａ１ ＝ ２， ｄ ＝ １{ ． ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，∴ ａ１２ ＝ ２ ＋ １１ ＝ １３． 第２课时　 等差数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）等间隔的点　 公差ｄ　 （２）等间隔的点　 斜率　 递增数 列　 递减数列　                                                                       常数列 —１２７—