1.2 数列的函数特性(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

# # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 忽略数列有序性致误 ４．写出由集合｛ｘ ｜ ｘ∈Ｎ ＋且ｘ≤４｝中的所有 元素构成的所有数列（要求首项为１，且集合的 元素只出现一次）． ［误区警示］　 数列的记法｛ａｎ｝只是“借 用”集合的符号｛　 ｝表示数列，它们之间有本质 上的区别：（１）集合中的元素是互异的，而数列 中的项可以是相同的．（２）集合中的元素是无序 的，而数列中的项必须按一定顺序排列． 　 　 ［尝试作答                          ］ 6789%:;< １．数列１，３，６，１０，ｘ，２１，２８，…中，由给出的数之 间的关系可知ｘ的值是 （Ｂ ） Ａ． １２ Ｂ． １５ Ｃ． １７ Ｄ． １８ ２．有下列命题： ①数列２３， ３ ４， ４ ５， ５ ６，…的一个通项公式是ａｎ ＝ ｎｎ ＋ １； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列１，－１，１，－１，…与数列－１，１，－１，１，… 是同一数列． 其中正确命题的个数为 （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ０ ３．把１，３，６，１０，１５，２１这些数叫作三角形数，这 是因为这些数目的点可以排成正三角形（如 图所示），则第七个三角形数是 （Ｂ ） Ａ． ２７ Ｂ． ２８ Ｃ． ２９ Ｄ． ３０ ４． ３２３是数列｛ｎ（ｎ ＋２）｝（ｎ∈Ｎ ＋）的第１７　 项． 请同学们认真完成练案［１                       ］ １． ２　 数列的函数特性 !"#$%&'( 学习目标 １．了解数列的几种简单表示方法． ２．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． ３．掌握判断数列的增减性的方法． 核心素养 １．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养． !!% ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # )*+,%-.+ 数列与函数的关系 　 　 数列可以看作是定义域为正整数集Ｎ ＋　 （或它的有限子集｛１，２，…，ｎ｝）的函数，当自变量 从小到大　 依次取值时，该函数对应的一列函 数值就是这个数列． ［提醒］　 数列是一种特殊的函数，特殊在 它的定义域是离散型的，所以图象是一些分散 的点．并且数列有序，函数值域是集合，具有无 序性． 想一想： 在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ １ｎ，请说出数列｛ａｎ｝与 函数ｆ（ｘ）＝ １ｘ（ｘ ＞ ０）的图象的区别与联系？ 练一练： 在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｎ２ － ９ｎ（ｎ∈Ｎ ＋），则此 数列最小项的值是－ ２０　 ． 数列的三种表示法 　 　 （１）列表法．（２）图象法．（３）通项公式法　 ． 练一练： 对于数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ ４，ａｎ ＋１ ＝ ｆ（ａｎ），ｎ∈ Ｎ ＋，依照下表，则ａ２ ０２３ ＝ ５　 　 　 ． ｘ １ ２ ３ ４ ５ ｆ（ｘ） ５ ４ ３ １ ２ 递增数列、递减数列、常数列、 摆动数列 名称 定义 表达式 图象特点 递增 数列 从第２项起，每 一项都大于　 它的前一项 ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ （ｎ ∈ Ｎ ＋） 上升　 递减 数列 从第２项起，每 一项都小于　 它的前一项 ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ （ｎ ∈ Ｎ ＋） 下降　 常数列各项都相等　 ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ （ｎ ∈ Ｎ ＋） 不升不降 摆动 数列 从第２项起，有些 项大于它的前一 项，有些项小于 它的前一项 ａｎ 与ａｎ ＋ １（ｎ∈ Ｎ ＋）大小不确定 上下摆动 练一练： 已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ｎ ＋ １，则 这个数列是 （Ｂ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．                                                  摆动数列 /012%345 题型探究 题型一 数列的表示方法 １．在数列｛ａｎ｝中，ａｎ ＝ ｎ２ － ８ｎ． （１）画出数列｛ａｎ｝的图象； （２）根据图象判定数列｛ａｎ｝的增减性． 　 　 ［尝试作答                     ］ !!& # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 　 　 ［规律方法］　 画数列的图象的方法 数列是一个特殊的函数，因此也可以用图 象来表示，以位置序号ｎ为横坐标，相应的项为 纵坐标，即坐标为（ｎ，ａｎ）描点画图，就可以得到 数列的图象．因为它的定义域是正整数集Ｎ ＋ （或它的有限子集｛１，２，３，…，ｎ｝），所以其图象 是一群孤立的点，这些点的个数可以是有限的， 也可以是无限的． 对点训练? 若数列｛ａｎ｝的通项公式为 ａｎ ＝ － ｎ ２ ＋ ７ｎ（ｎ∈Ｎ ＋），求ａｎ的最大值，并与函 数ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ ７ｘ（ｘ∈Ｒ）的最大值作比较． 题型二根据数列的单调性求参数的取值范围 ２． 已知数列｛ａｎ ｝满足： ａｎ ＝ （３ － ａ）ｎ － ３，ｎ≤７， ａｎ －６，ｎ{ ＞ ７ （ｎ∈Ｎ ＋），且数列｛ａｎ｝是 递增数列，则实数ａ的取值范围是 （Ｄ ） Ａ． ９４，( )３ Ｂ． ９４，[ )３ Ｃ．（１，３） Ｄ．（２，３） 　 　 ［规律方法］　 利用数列的单调性确定变量 的取值范围，解决此类问题常用以下等价关系 数列｛ａｎ｝递增ａｎ ＋１ ＞ ａｎ（ｎ∈Ｎ ＋），数列 ｛ａｎ｝递减ａｎ ＋１ ＜ ａｎ（ｎ∈Ｎ ＋），进而转化为不等 式恒成立问题，通过分离变量转化为求代数式 的最值问题来解决，或由数列的函数特征，通过 构建变量的不等关系，解不等式（组）来确定变 量的取值范围．另外，在解决问题时，勿忘ｎ∈ Ｎ ＋这个条件，即ｎ∈Ｚ且ｎ≥１． 对点训练? 通项公式为ａｎ ＝ λｎ２ ＋ ｎ 的数列｛ａｎ｝，若满足ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４ ＜ ａ５，且ａｎ ＞ ａｎ ＋１对ｎ≥８恒成立，则实数λ的取值范围是 （Ａ ） Ａ． － １９，－ １( )１７ Ｂ． － １９，－ １( )１６ Ｃ． － １１０，－ １( )１６ Ｄ． － １１０，－ １( )１７ 题型三 求数列的最大项与最小项 ３．已知数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝（ｎ ＋ ２） × ７( )８ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋），数列｛ａｎ｝是否有最大项？若 有，求出最大项；若没有，说明理由． 　 　 ［尝试作答             ］ 　 　 ［规律方法］　 求数列中的最大（最小）项 问题的两种方法 （１）构造函数，确定出函数的单调性，进一 步求出数列的最大项或最小项． （２）利用ａｎ≥ａｎ ＋１， ａｎ≥ａｎ{ －１ （ｎ≥２），求数列中的最 大项ａｎ，利用 ａｎ≤ａｎ ＋１， ａｎ≤ａｎ{ －１ （ｎ≥２），求数列中的最 小项ａｎ．当解不唯一时，比较各解大小即可 确定． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的通项公式 为ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ ２１ｎ，则该数列中的数值最大的 项是 （Ａ ） Ａ．第５项 Ｂ．第６项 Ｃ．第４项或第５项Ｄ．第５项或第６                                                                        项 !!' ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 易错警示 　 　 用函数思想解题时忽略数列的特征而致错 ４．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ， 若数列｛ａｎ｝为递增数列，则ｔ的取值范围是 （－ ３，＋ ∞）　 ． ［错解］　 ［－ ２，＋ ∞） ［误区警示］　 在错解中，忽略了数列的特 征，即ｎ的取值的离散性，常会得出－ ｔ２≤１，即 ｔ∈［－ ２，＋ ∞）错误结果．事实上，由抛物线的 对称性知，函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ｔｘ在［１，＋ ∞）上不 单调照样可以使得数列｛ａｎ｝单调，当对称轴位 于区间１，３( )２ 内时，ａ１ ＜ ａ２也成立． 　 　 ［正解                            ］ 6789%:;< １．已知ａｎ ＋１ － ａｎ ＝ ３，则数列｛ａｎ｝是 （Ａ ） Ａ．递增数列 Ｂ．递减数列 Ｃ．常数列 Ｄ．摆动数列 ２．已知数列｛ａｎ｝满足：任意ｍ，ｎ∈Ｎ ＋，都有 ａｎ·ａｍ ＝ ａｎ ＋ ｍ，且ａ１ ＝ １２，那么ａ５ ＝ （Ａ ） Ａ． １３２ Ｂ． １ １６ Ｃ． １ ４ Ｄ． １ ２ ３．已知表示数列｛ａｎ｝的图象的点在函数ｙ ＝ １ｘ 的图象上，则其通项公式为　 　 　 　 　 ． ４．已知数列２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列，则 ａ的取值范围为（－ ２，１）　 ． 请同学们认真完成练案［２               ］ § ２　 等差数列 ２． １　 等差数列的概念及其通项公式 第１课时　 等差数列 !"#$%&'( 学习目标 １．理解等差数列的概念． ２．掌握等差数列的判定方法． ３．掌握等差数列的通项公式及通项公式的应用． 核心素养 １．通过对等差数列的有关概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助等差数列通项公式的应用，培养数学运算素养． !!( 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第一章　 数列 § １　 数列的概念及其函数特性 １． １　 数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１ １．次序　 ２．每一个数　 ３．｛ａｎ｝　 首项　 通项 想一想： 数列１，２，３，４，５和数列５，４，３，２，１不是同一个数列，因为 二者的项的排列次序不同． 练一练： （１）× 　 ｛１，３，５，７｝不表示数列． （２）× 　 数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列． （３）√　 数列中的各项数可能相等． 知识点２ １．有限　 ２．无限 练一练： ＡＣ　 Ｂ、Ｄ是有穷数列，Ａ、Ｃ是无穷数列． 知识点３ 一个式子 练一练： １． Ｂ　 这个数列的前４项都比序号大１，所以它的一个通项 公式为ａｎ ＝ ｎ ＋ １． ２．槡２　 因为ａｎ ＝ ｎ１６ － ２槡 ｎ ， 所以ａ４ ＝ ４槡１６ － ８ 槡 ＝ ２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：ＡＣ　 根据数列的相关概念，可知数列４，７，３，４的第１ 项就是首项，即４，故Ａ正确；同一个数在一个数列中可以重复 出现，故Ｂ错误；由无穷数列的概念可知Ｃ正确；当ａ，ｂ都代表 数时，能构成数列，当ａ，ｂ中至少有一个不代表数时，不能构成 数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故Ｄ错误． 　 　 对点训练１：Ｃ　 Ａ中，１，４，２，１３ ，槡５是数列；Ｂ中，数列的第 ｋ项为１ ＋ １ｋ ；Ｄ中，数列应记为｛２ｎ － ２｝，所以Ｄ不正确；很明 显Ｃ正确． 　 　 例２：（１）各项加１后，变为１０，１００，１ ０００，１０ ０００，…，新数 列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ １０ｎ，可得原数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ １０ｎ － １． （２）数列各项的绝对值为１，３，５，７，９，…，是连续的正奇数， 新数列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ ２ｎ － １，考虑到（－ １）ｎ ＋ １具有转换 正负号的作用，所以原数列｛ａｎ｝的一个通项公式为ａｎ ＝ （－ １）ｎ ＋ １（２ｎ － １）． （３）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 数再观察，各项变为１２ ， ４ ２ ， ９ ２ ， １６ ２ ， ２５ ２ ，…，所以数列｛ａｎ｝的一 个通项公式为ａｎ ＝ ｎ ２ ２ ． （４）３可看作２１ ＋ １，５可看作２２ ＋ １，９可看作２３ ＋ １，１７可 看作２４ ＋ １，３３可看作２５ ＋ １，…，所以数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． 　 　 对点训练２：（１）分子均为偶数，分母分别为１ × ３，３ × ５，５ × ７，７ × ９，…是两个相邻奇数的乘积． 故ａｎ ＝ ２ｎ（２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）． （２）奇数项为１，偶数项为０， 故ａｎ ＝ １，ｎ为奇数０，ｎ{ 为偶数． （３）该数列的前４项的绝对值与序号相同，且奇数项为负， 偶数项为正，故ａｎ ＝（－ １）ｎ·ｎ． （４）数列各项可化为２９ × ９， ２ ９ × ９９， ２ ９ × ９９９，…，所以通项 公式为ａｎ ＝ ２９ （１０ ｎ － １）． 　 　 例３：（１）ａ４ ＝３ ×１６ －２８ ×４ ＝ －６４，ａ６ ＝３ ×３６ －２８ ×６ ＝ －６０． （２）令３ｎ２ －２８ｎ ＝ －４９， 解得ｎ ＝７或ｎ ＝ ７３ （舍去）， 所以ｎ ＝ ７，即－ ４９是该数列的第７项． 令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ ６８，解得ｎ ＝ ３４３或ｎ ＝ － ２． 因为３４３ Ｎ ，－ ２Ｎ，所以６８不是该数列的项． （３）ａｎ ＝ ｎ（３ｎ － ２８），令ａｎ ＜ ０， 又ｎ∈Ｎ，解得ｎ ＝ １，２，３，４，５，６，７，８，９， 即数列｛ａｎ｝中有９个负数项． 　 　 对点训练３：令ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ ９１０，得ｎ ２ ＝ ９， 所以ｎ ＝ ３（ｎ ＝ － ３舍去）， 故９１０是该数列中的项，并且是第３项； 令ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ １１０，得ｎ ２ ＝ １９ ，所以ｎ ＝ ± １ ３ ， 由于１３与－ １ ３都不是正整数， 因此１１０不是数列中的项． 　 　 例４：集合可表示为｛１，２，３，４｝，由集合中的元素组成的数 列要求首项为１，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有６ 个：１，２，３，４；１，２，４，３；１，３，２，４；１，３，４，２；１，４，２，３；１，４，３，２． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 各项乘２，变为１ × ２，２ × ３，３ × ４，…，可得原数列的通项公 式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）２ ， 故ｘ ＝ ａ５ ＝ ５ ×（５ ＋ １）２ ＝ １５． ２． Ａ　 ②正确，其余均不对． ３． Ｂ　 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项 多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根 据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＝ ２８． ４． １７　 令ｎ（ｎ ＋ ２）＝ ３２３，∴ ｎ２ ＋ ２ｎ － ３２３ ＝ ０， ∴ （ｎ ＋ １９）（ｎ － １７）＝ ０，∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ １７． １． ２　 数列的函数特性 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 正整数集Ｎ ＋ 　                                                                从小到大 —１２５— 想一想： 数列｛ａｎ｝的图象是一群孤立的点，而函数ｆ（ｘ）的图象是一 条光滑的曲线，表示数列图象的点分布在函数图象上． 练一练： － ２０　 ａｎ ＝ ｎ ２ － ９ｎ ＝ ｎ －( )９２ ２ － ８１４ ， ∵ ｎ∈Ｎ ＋， ∴当ｎ ＝ ４或ｎ ＝ ５时，ａｎ取最小值－ ２０． 知识点２ 通项公式法 练一练： ５　 ａ１ ＝ ４，ａ２ ＝ ｆ（４）＝ １，ａ３ ＝ ｆ（１）＝ ５，ａ４ ＝ ｆ（５）＝ ２，ａ５ ＝ ｆ（２）＝ ４，…， 该数列是周期为４的周期数列， 所以ａ２ ０２３ ＝ ａ３ ＝ ５． 知识点３ 大于　 上升　 小于　 下降　 相等 练一练： Ｂ　 数列｛ａｎ｝的通项公式是ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ｎ ＋ １ ＝ ｎ ＋ １ ＋ １ ｎ ＋ １ ＝ １ ＋ １ ｎ ＋ １，则当ｎ∈Ｎ ＋时为递减数列． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）列表 ｎ １ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ … ａｎ － ７ － １２ － １５ － １６ － １５ － １２ － ７ ０ ９ … 　 　 描点：在平面直角坐标系中描出下列各点即得数列｛ａｎ｝的 图象：（１，－ ７），（２，－ １２），（３，－ １５），（４，－ １６），（５，－ １５），（６， －１２），（７，－７），（８，０），（９，９），… 图象如图所示． 　 　 （２）数列｛ａｎ｝的图象既不是上升的，也不是下降的，则数列 ｛ａｎ｝既不是单调递增的，也不是单调递减的． 　 　 对点训练１：作出函数ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ ７ｘ（ｘ∈Ｒ）的图象与数 列｛ａｎ｝的图象． 　 　 从图象上看，表示数列｛ａｎ｝的各点都在抛物线ｆ（ｘ）＝ － ｘ２ ＋ ７ｘ（ｘ∈Ｒ）的图象上， 由数列｛ａｎ｝的图象，得ａｎ的最大值为ａ３ ＝ ａ４ ＝１２， 由函数ｆ（ｘ）的图象，得ｆ（ｘ）的最大值为ｆ( )７２ ＝ ４９４ ， 因此，ａｎ的最大值小于ｆ（ｘ）的最大值． 　 　 例２：Ｄ　 因为数列｛ａｎ｝是递增数列，所以由ｎ≤７时，ａｎ ＝ （３ － ａ）ｎ － ３知３ － ａ ＞ ０，即ａ ＜ ３；由ｎ ＞ ７时，ａｎ ＝ ａｎ － ６知ａ ＞ １． 又ａ７ ＜ ａ８，即（３ － ａ）× ７ － ３ ＜ ａ８ － ６，解得ａ ＞ ２或ａ ＜ － ９．综上， 得２ ＜ ａ ＜ ３，故实数ａ的取值范围为（２，３），故选Ｄ． 　 　 对点训练２：Ａ　 ∵ ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４ ＜ ａ５，∴ λ ＋ １ ＜ ４λ ＋ ２ ＜ ９λ ＋ ３ ＜ １６λ ＋ ４ ＜ ２５λ ＋ ５，故λ ＞ － １９ ，而ａｎ ＞ ａｎ ＋ １对任意的ｎ ≥８恒成立，故λ ＜ ０，且－ １２λ ＜ ８ ＋ ９ ２ ，即λ ＜ － １ １７，故选Ａ． 　 　 例３：数列｛ａｎ｝有最大项． 方法一：ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ ３）× ( )７８ ｎ ＋ １ －（ｎ ＋ ２）× ( )７８ ｎ ＝ ( )７８ ｎ × ５ － ｎ８ ． 当ｎ ＜ ５（ｎ∈Ｎ ＋）时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＞ ０，即ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ； 当ｎ ＝ ５时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ０，即ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ； 当ｎ ＞ ５（ｎ∈Ｎ ＋）时，ａｎ ＋ １ － ａｎ ＜ ０，即ａｎ ＋ １ ＜ ａｎ ． 故ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４ ＜ ａ５ ＝ ａ６ ＞ ａ７ ＞ ａ８ ＞…， ∴数列｛ａｎ｝有最大项，且最大项为ａ５或ａ６，且ａ５ ＝ ａ６ ＝ ７ ６ ８５ ． 方法二：ａｎ ＋ １ａｎ ＝ （ｎ ＋ ３）( )７８ ｎ ＋ １ （ｎ ＋ ２）( )７８ ｎ ＝ ７（ｎ ＋ ３） ８（ｎ ＋ ２）， 令ａｎ ＋ １ａｎ ＞ １，即 ７（ｎ ＋ ３） ８（ｎ ＋ ２）＞ １，解得ｎ ＜ ５（ｎ∈Ｎ ＋）； 令ａｎ ＋ １ａｎ ＝ １，即 ７（ｎ ＋ ３） ８（ｎ ＋ ２）＝ １，解得ｎ ＝ ５，∴ ａ６ ＝ ａ５； 令ａｎ ＋ １ａｎ ＜ １，即 ７（ｎ ＋ ３） ８（ｎ ＋ ２）＜ １，解得ｎ ＞ ５（ｎ∈Ｎ ＋）． 故ａ１ ＜ ａ２ ＜ ａ３ ＜ ａ４ ＜ ａ５ ＝ ａ６ ＞ ａ７ ＞…， ∴数列｛ａｎ｝有最大项，且最大项为ａ５ 或ａ６，且ａ５ ＝ ａ６ ＝ ７ ６ ８５ ． 方法三：假设｛ａｎ｝中有最大项，且最大项为第ｎ项（ｎ≥２）， 则ａｎ≥ａｎ － １， ａｎ≥ａｎ ＋ １{ ， 即 （ｎ ＋ ２）× ( )７８ ｎ ≥（ｎ ＋ １）× ( )７８ ｎ － １ ， （ｎ ＋ ２）× ( )７８ ｎ ≥（ｎ ＋ ３）× ( )７８ ｎ ＋ １{ ， 解得５≤ｎ≤６． 故数列｛ａｎ｝有最大项ａ５或ａ６，且ａ５ ＝ ａ６ ＝ ７ ６ ８５ ． 　 　 对点训练３：Ａ　 ａｎ ＝ － ２ｎ２ ＋ ２１ｎ ＝ － ２ ｎ － ２１( )４ ２ ＋ ４４１８ ， 因为ｎ∈Ｎ，５ ＜ ２１４ ＜ ６，且ａ５ ＝ ５５，ａ６ ＝ ５４， 所以数值最大的项为第５项． 　 　 例４：（－ ３，＋ ∞）　 正解一：由数列｛ａｎ｝为递增数列，知 ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋ ｔ（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｔｎ）＝ ２ｎ ＋ １ ＋ ｔ ＞ ０恒成 立，即ｔ ＞ －（２ｎ ＋ １）恒成立． 而ｎ∈Ｎ，所以ｔ ＞ － ３，故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 正解二：ａｎ ＝ ｎ２ ＋ ｔｎ ＝ ｎ ＋ ｔ( )２ ２ － ｔ ２ ４ ， 由于ｎ∈Ｎ，且数列｛ａｎ｝为递增数列，结合二次函数的图 象可得－ ｔ２ ＜ ３ ２ ，解得ｔ ＞ － ３， 故ｔ的取值范围是（－ ３，＋ ∞）． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３ ＞ ０，∴ ａｎ ＋ １ ＞ ａｎ                                                                       ． —１２６— ２． Ａ　 由题意，得ａ２ ＝ ａ１ａ１ ＝ １４ ，ａ３ ＝ ａ１·ａ２ ＝ １ ８ ，则ａ５ ＝ ａ３·ａ２ ＝ １３２ ． ３． ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）　 数列｛ａｎ｝对应的点列为（ｎ，ａｎ），即有ａｎ ＝ １ ｎ （ｎ∈Ｎ ＋）． ４．（－ ２，１）　 ∵数列：２ａ － １，ａ － ３，３ａ － ５为递减数列， ∴ ２ａ － １ ＞ ａ － ３， ａ － ３ ＞ ３ａ － ５{ ，解得－ ２ ＜ ａ ＜ １． ∴ ａ的取值范围为（－ ２，１）． § ２　 等差数列 ２． １　 等差数列的概念及其通项公式 第１课时　 等差数列 必备知识·探新知 　 　 知识点１ ２　 差　 同一个常数　 ａｎ － ａｎ － １ ＝ ｄ（ｎ≥２） 想一想： 一个数列从第２项起，每一项与它前一项的差都等于常数， 若这些常数相等，则这个数列是等差数列；若这些常数不相等， 则这个数列不是等差数列． 练一练： ＡＣ　 根据等差数列的定义可知Ａ，Ｃ中的数列是等差数列， 而Ｂ，Ｄ中，从第２项起，后一项与前一项的差不是同一个常数． 知识点２ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ 练一练： １． Ｂ　 由已知等差数列｛ａｎ｝，ａ１ ＝ ２，ａ３ ＝ ５可得等差数列 ｛ａｎ｝的公差ｄ ＝ ａ３ － ａ１３ － １ ＝ ５ － ２ ２ ＝ ３ ２ ． ２． Ｄ　 由ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ得２ ０２３ ＝ ３ ＋ ４（ｎ － １），解得ｎ ＝ ５０６． 关键能力·攻重难 　 　 例１：（１）设等差数列｛ａｎ｝的公差为ｄ，则２ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １０，即２ ＋ ４ｄ ＝ １０，解得ｄ ＝ ２，所以ａｎ ＝ ２ｎ － １． （２）设数列｛ａｎ｝的公差为ｄ， 由ａ５ ＝ １１，ａ８ ＝ ５，得ａ１ ＋（５ － １）ｄ ＝ １１，ａ１ ＋（８ － １）ｄ ＝ ５{ ， 即ａ１ ＋ ４ｄ ＝ １１， ａ１ ＋ ７ｄ ＝ ５{ ，解得ａ１ ＝ １９，ｄ ＝ － ２， 所以数列｛ａｎ｝的通项公式ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２）＝ ２１ － ２ｎ． 　 　 对点训练１：（１）Ｃ　 设公差为ｄ，首项为ａ１， 则ａ１ ＋ ｄ ＝ ２， ａ１ ＋ ４ｄ ＝ ８{ ，解得 ａ１ ＝ ０， ｄ ＝ ２{ ． ∴ ａ９ ＝ ａ１ ＋ ８ｄ ＝ １６． （２）①由ａ３ ＝ ａ１ ＋（３ － １）ｄ，得ａ１ ＝ ａ３ － ２ｄ ＝ － ８， ａｎ ＝ － ８ ＋（ｎ － １）× ３ ＝ ３ｎ － １１． ②ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ， 所以ａ５ ＝ ａ１ ＋ ４ｄ， 所以１１ ＝ ａ１ － ４ × ２，所以ａ１ ＝ １９， 所以ａｎ ＝ １９ ＋（ｎ － １）×（－ ２） ＝ － ２ｎ ＋ ２１， 令－ ２ｎ ＋ ２１ ＝ １，得ｎ ＝ １０． 　 　 例２：（１）①ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝ ３（ｎ ＋ １）＋ ２ －（３ｎ ＋ ２）＝ ３（常数），ｎ 为任意正整数，所以此数列为等差数列． ②因为ａｎ ＋ １ － ａｎ ＝（ｎ ＋ １）２ ＋（ｎ ＋ １）－（ｎ２ ＋ ｎ）＝ ２ｎ ＋ ２ （不是常数），所以此数列不是等差数列． （２）证明：方法一：因为１ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ， 所以１ａｎ ＋ １ ＝ １ ａｎ ＋ ３，所以１ａｎ ＋ １ － １ ａｎ ＝ ３， 又因为ｂｎ ＝ １ａｎ（ｎ∈Ｎ ），所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），且ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １２ ．所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为 １ ２ ，公差为３． 方法二：因为ｂｎ ＝ １ａｎ，且ａｎ ＋ １ ＝ ａｎ １ ＋ ３ａｎ ， 所以ｂｎ ＋ １ ＝ １ａｎ ＋ １ ＝ １ ＋ ３ａｎ ａｎ ＝ １ａｎ ＋ ３ ＝ ｂｎ ＋ ３， 所以ｂｎ ＋ １ － ｂｎ ＝ ３（ｎ∈Ｎ），ｂ１ ＝ １ａ１ ＝ １ ２ ． 所以数列｛ｂｎ｝是等差数列，首项为１２ ，公差为３． 　 　 对点训练２：（１）证明：当ｎ≥２时，１ｘｎ ＝ ｘｎ － １ ＋ ３ ３ｘｎ － １ ＝ １３ ＋ １ ｘｎ － １ ， ∴ １ｘｎ － １ｘｎ － １ ＝ １３ ， ∴ １ｘ{ }ｎ 是等差数列，公差为１３ ． （２）由（１）知，１ｘｎ ＝ ２ ＋ １ ３ （ｎ － １）， ∴ １ｘ１００ ＝ ２ ＋ １３ ×（１００ － １）＝ ３５， ∴ ｘ１００ ＝ １ ３５ ． 　 　 例３：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于４ ｋｍ时， 每增加１ ｋｍ，乘客需要支付１． ２元． 所以，可以建立一个等差数列｛ａｎ｝来计算车费． 令ａ１ ＝ １１． ２，表示４ ｋｍ处的车费，公差ｄ ＝ １． ２， 那么当出租车行至１４ ｋｍ处时，ｎ ＝ １１， 此时需要支付车费ａ１１ ＝ １１． ２ ＋（１１ － １）× １． ２ ＝ ２３． ２（元）． 即需要支付车费２３． ２元． 　 　 对点训练３：１１　 设经过ｎ次考试后该学生的成绩为ａｎ， 则ａｎ ＝ ５ｎ ＋ ６９，由５ｎ ＋ ６９≥１２０，得ｎ≥５１５ ＝ １０ １ ５ ，所以至 少要经过１１次考试． 　 　 例４：Ｄ　 由题意知－ ２４ ＋ ９ｄ ＞ ０， － ２４ ＋ ８ｄ≤０{ ，解得８３ ＜ ｄ≤３，故选Ｄ． 课堂检测·固双基 １． Ａ　 ∵ ａｎ ＝ ２ｎ ＋ ５，∴ ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ３（ｎ≥２）， ∴ ａｎ － ａｎ － １ ＝ ２ｎ ＋ ５ － ２ｎ － ３ ＝ ２（ｎ≥２）， ∴数列｛ａｎ｝是公差为２的等差数列． ２． Ｂ　 设这个等差数列为｛ａｎ｝， 其中ａ１ ＝ － ３，ｄ ＝ ４，∴ ａ１５ ＝ ａ１ ＋ １４ｄ ＝ － ３ ＋ ４ × １４ ＝ ５３． ３． Ｃ　 ａ１ ＝ １，ｄ ＝ － １ － １ ＝ － ２，∴ ａｎ ＝ １ ＋（ｎ － １）·（－ ２）＝ － ２ｎ ＋ ３， 由－ ８９ ＝ － ２ｎ ＋ ３，得ｎ ＝ ４６． ４． １３　 设公差为ｄ，由题意得２ａ１ ＋ ｄ ＝ ａ１ ＋３ｄ， ａ１ ＋９ｄ ＝１１{ ， 解得ａ１ ＝ ２， ｄ ＝ １{ ． ∴ ａｎ ＝ ａ１ ＋（ｎ － １）ｄ，∴ ａ１２ ＝ ２ ＋ １１ ＝ １３． 第２课时　 等差数列的性质及应用 必备知识·探新知 　 　 知识点１ （１）等间隔的点　 公差ｄ　 （２）等间隔的点　 斜率　 递增数 列　 递减数列　                                                                       常数列 —１２７—