1.1 数列的概念(学案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(北师大版2019)

书 ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 第一章 　 数列 § １　 数列的概念及其函数特性 １． １　 数列的概念 !"#$%&'( 学习目标 １．了解数列、通项公式的概念，能根据通项公式确定数列中的项． ２．能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式． 核心素养 １．通过对数列有关概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助通项公式的确定与应用，提升数学运算素养． )*+,%-.+ 数列的有关概念 　 　 １．数列：按一定次序　 排列的一列数叫作 数列． ２．项：数列中的每一个数　 叫作这个数列 的项． ３．数列的表示：数列的一般形式可以写成 ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…或简记为｛ａｎ｝　 ．数列的第１ 项，也叫数列的首项　 ，ａｎ 是数列的第ｎ项，也 叫数列的通项　 ． ［提醒］　 ｛ａｎ｝和ａｎ是不同的概念，｛ａｎ｝表 示一个数列，而ａｎ表示数列中的第ｎ项． 想一想： 数列１，２，３，４，５和数列５，４，３，２，１是同一 个数列吗？ 练一练： 思考辨析（正确的画“√”，错误的画“×”） （１）数列１，３，５，７可表示为｛１，３，５，７｝． （ × ） （２）数列１，０，－ １，－ ２与数列－ ２，－ １，０，１ 是相同的数列． （ × ） （３）数列中的项可以相等． （√                           ） !!" # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 数列的分类 　 　 １．项数有限　 的数列称为有穷数列． ２．项数无限　 的数列称为无穷数列． 练一练： （多选）下列四个数列中，是无穷数列的是 （Ａ ） Ａ． １，１２， １ ３， １ ４，… Ｂ． １，２，３，４，…，２ｎ Ｃ． － １，－ １２，－ １ ４，－ １ ８，… Ｄ． １，槡２，槡３，…，槡２１ 数列的通项公式 　 　 如果数列｛ａｎ｝的第ｎ项ａｎ 与ｎ之间的函 数关系可以用一个式子　 表示成ａｎ ＝ ｆ（ｎ），那 么这个式子叫作这个数列的通项公式． ［提醒］　 １．并不是所有的数列都有通项 公式． ２．同一数列的通项公式表达形式不是唯一 的．例如，数列－ １，１，－ １，１，－ １，１，…的通项公 式可以写成ａｎ ＝（－ １）ｎ，ａｎ ＝（－ １）ｎ ＋２或ａｎ ＝ ｃｏｓ ｎπ等． ３．数列的通项公式的定义域是正整数集 Ｎ ＋或它的有限子集． 练一练： １．数列２，３，４，５，…的一个通项公式为 （Ｂ ） Ａ． ａｎ ＝ ｎ Ｂ． ａｎ ＝ ｎ ＋ １ Ｃ． ａｎ ＝ ｎ ＋ ２ Ｄ． ａｎ ＝ ２ｎ ２．数列｛ａｎ｝中，若ａｎ ＝ ｎ １６ － ２槡 ｎ ，则ａ４ ＝ 槡２　                              ． /012%345 题型探究 题型一 数列的概念及分类 １．（多选）下列说法正确的是 （Ａ ） Ａ．数列４，７，３，４的首项是４ Ｂ．数列｛ａｎ｝中，若ａ１ ＝ ３，则从第２项起，各 项均不等于３ Ｃ．数列１，２，３，…是无穷数列 Ｄ． ａ，－ ３，－ １，１，ｂ，５，７，９，１１能构成数列 ［规律方法］　 数列概念的三个注意点 （１）数列｛ａｎ｝表示数列ａ１，ａ２，ａ３，…，ａｎ，…， 不是表示一个集合，与集合表示有本质的区别． （２）从数列的定义可以看出，如果组成数列 的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同 的数列；在定义中，并没有规定数列中的数必须 不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现． （３）数列中各项的次序揭示了数列的规律 性，是理解、把握数列的关键． 对点训练? 下列说法正确的是（Ｃ ） Ａ． １，４，２，１３，槡５不是数列 Ｂ．数列ｎ ＋ １{ }ｎ 的第ｋ项为１ ＋ ２ｋ Ｃ． － １，１，３，５，…是数列 Ｄ．数列０，２，４，６，８，…可记为｛２ｎ｝ 题型二根据数列的前几项写出数列的一个通项公式 ２．写出下面各数列｛ａｎ｝的一个通项公式： （１）９，９９，９９９，９ ９９９，… （２）１，－ ３，５，－ ７，９，… （３）１２，２， ９ ２，８， ２５ ２ ，… （４）３，５，９，１７，３３，… ［分析］　 观察给出的前几项，归纳、猜想出 通项公式． 　 　 ［尝试作答                                            ］ !!# ! " # $ % & ' ( ) * + , - ! " # . # # # # # # # 　 　 ［规律方法］　 由数列的前几项求通项公式 的思路 （１）先统一项的结构，如都化成分数、根式 等，然后通过观察、分析、联想、比较，去发现项 与序号之间的关系； （２）如果关系不明显，可将各项同时加上或 减去一个数，或分解、还原等，将规律呈现，便于 找通项公式； （３）要借助一些基本数列的通项，如正整数 数列、正整数的平方数列、奇数列、偶数列等； （４）符号用（－ １）ｎ或（－ １）ｎ ＋１来调整； （５）分式的分子、分母分别找通项，还要充 分借助分子、分母的关系； （６）对于周期出现的数列，可考虑拆成几个 简单数列和的形式，或者利用周期函数，如三角 函数等求通项． 对点训练? 根据数列的前几项，写出 数列的一个通项公式． （１）２３， ４ １５， ６ ３５， ８ ６３，… （２）１，０，１，０，… （３）－ １，２，－ ３，４，… （４）２，２２，２２２，２２２２，… 题型三 数列中的项的求解与判断 ３．已知数列｛ａｎ｝的通项公式为ａｎ ＝ ３ｎ２ － ２８ｎ． （１）写出数列的第４项和第６项． （２）－ ４９是否为该数列的一项？如果是， 是哪一项？６８是否为该数列的一项呢？ （３）数列｛ａｎ｝中有多少个负数项？ ［分析］　 （１）分别将ｎ ＝ ４，ｎ ＝ ６代入通项 公式，即可求得ａ４，ａ６；（２）令ａｎ ＝ － ４９，ａｎ ＝ ６８， 分别求得ｎ的值，若ｎ∈Ｎ，则是数列的项，否 则不是该数列的项；（３）令ａｎ ＜ ０，求出ｎ的范 围，范围内正整数的个数即数列｛ａｎ｝中负数项 的个数． 　 　 ［尝试作答              ］ 　 　 ［规律方法］　 判断某数值是否为该数列的 项的方法 先假定它是数列中的第ｎ项，然后列出关 于ｎ的方程．若方程解为正整数，则是数列中的 一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数 列中的一项． 对点训练? 已知数列｛ａｎ｝的通项公式 是ａｎ ＝ ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ． 试判断９１０和 １ １０是否是该数列中的项？若 是，求出它是第几项；若不是，说明理由                                                                        ． !!$ # # # # # # / 0 1 2 # 3 4 5 6 7 " 8 9 : # 易错警示 　 　 忽略数列有序性致误 ４．写出由集合｛ｘ ｜ ｘ∈Ｎ ＋且ｘ≤４｝中的所有 元素构成的所有数列（要求首项为１，且集合的 元素只出现一次）． ［误区警示］　 数列的记法｛ａｎ｝只是“借 用”集合的符号｛　 ｝表示数列，它们之间有本质 上的区别：（１）集合中的元素是互异的，而数列 中的项可以是相同的．（２）集合中的元素是无序 的，而数列中的项必须按一定顺序排列． 　 　 ［尝试作答                          ］ 6789%:;< １．数列１，３，６，１０，ｘ，２１，２８，…中，由给出的数之 间的关系可知ｘ的值是 （Ｂ ） Ａ． １２ Ｂ． １５ Ｃ． １７ Ｄ． １８ ２．有下列命题： ①数列２３， ３ ４， ４ ５， ５ ６，…的一个通项公式是ａｎ ＝ ｎｎ ＋ １； ②数列的图象是一群孤立的点； ③数列１，－１，１，－１，…与数列－１，１，－１，１，… 是同一数列． 其中正确命题的个数为 （Ａ ） Ａ． １ Ｂ． ２ Ｃ． ３ Ｄ． ０ ３．把１，３，６，１０，１５，２１这些数叫作三角形数，这 是因为这些数目的点可以排成正三角形（如 图所示），则第七个三角形数是 （Ｂ ） Ａ． ２７ Ｂ． ２８ Ｃ． ２９ Ｄ． ３０ ４． ３２３是数列｛ｎ（ｎ ＋２）｝（ｎ∈Ｎ ＋）的第１７　 项． 请同学们认真完成练案［１                       ］ １． ２　 数列的函数特性 !"#$%&'( 学习目标 １．了解数列的几种简单表示方法． ２．了解递增数列、递减数列、常数列的概念． ３．掌握判断数列的增减性的方法． 核心素养 １．通过对递增数列、递减数列、常数列等概念的学习，培养数学抽象素养． ２．借助数列的增减性的判断，提升逻辑推理素养． !!% 书 学案及练案部分 　 参考答案 ［学案部分］ 第一章　 数列 § １　 数列的概念及其函数特性 １． １　 数列的概念 必备知识·探新知 　 　 知识点１ １．次序　 ２．每一个数　 ３．｛ａｎ｝　 首项　 通项 想一想： 数列１，２，３，４，５和数列５，４，３，２，１不是同一个数列，因为 二者的项的排列次序不同． 练一练： （１）× 　 ｛１，３，５，７｝不表示数列． （２）× 　 数列具有有序性，顺序不同一定不是相同数列． （３）√　 数列中的各项数可能相等． 知识点２ １．有限　 ２．无限 练一练： ＡＣ　 Ｂ、Ｄ是有穷数列，Ａ、Ｃ是无穷数列． 知识点３ 一个式子 练一练： １． Ｂ　 这个数列的前４项都比序号大１，所以它的一个通项 公式为ａｎ ＝ ｎ ＋ １． ２．槡２　 因为ａｎ ＝ ｎ１６ － ２槡 ｎ ， 所以ａ４ ＝ ４槡１６ － ８ 槡 ＝ ２． 关键能力·攻重难 　 　 例１：ＡＣ　 根据数列的相关概念，可知数列４，７，３，４的第１ 项就是首项，即４，故Ａ正确；同一个数在一个数列中可以重复 出现，故Ｂ错误；由无穷数列的概念可知Ｃ正确；当ａ，ｂ都代表 数时，能构成数列，当ａ，ｂ中至少有一个不代表数时，不能构成 数列，因为数列是按确定的顺序排列的一列数，故Ｄ错误． 　 　 对点训练１：Ｃ　 Ａ中，１，４，２，１３ ，槡５是数列；Ｂ中，数列的第 ｋ项为１ ＋ １ｋ ；Ｄ中，数列应记为｛２ｎ － ２｝，所以Ｄ不正确；很明 显Ｃ正确． 　 　 例２：（１）各项加１后，变为１０，１００，１ ０００，１０ ０００，…，新数 列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ １０ｎ，可得原数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ １０ｎ － １． （２）数列各项的绝对值为１，３，５，７，９，…，是连续的正奇数， 新数列｛ｂｎ｝的通项公式为ｂｎ ＝ ２ｎ － １，考虑到（－ １）ｎ ＋ １具有转换 正负号的作用，所以原数列｛ａｎ｝的一个通项公式为ａｎ ＝ （－ １）ｎ ＋ １（２ｎ － １）． （３）数列的项有的是分数，有的是整数，可将各项统一成分 数再观察，各项变为１２ ， ４ ２ ， ９ ２ ， １６ ２ ， ２５ ２ ，…，所以数列｛ａｎ｝的一 个通项公式为ａｎ ＝ ｎ ２ ２ ． （４）３可看作２１ ＋ １，５可看作２２ ＋ １，９可看作２３ ＋ １，１７可 看作２４ ＋ １，３３可看作２５ ＋ １，…，所以数列｛ａｎ｝的一个通项公式 为ａｎ ＝ ２ｎ ＋ １． 　 　 对点训练２：（１）分子均为偶数，分母分别为１ × ３，３ × ５，５ × ７，７ × ９，…是两个相邻奇数的乘积． 故ａｎ ＝ ２ｎ（２ｎ － １）（２ｎ ＋ １）． （２）奇数项为１，偶数项为０， 故ａｎ ＝ １，ｎ为奇数０，ｎ{ 为偶数． （３）该数列的前４项的绝对值与序号相同，且奇数项为负， 偶数项为正，故ａｎ ＝（－ １）ｎ·ｎ． （４）数列各项可化为２９ × ９， ２ ９ × ９９， ２ ９ × ９９９，…，所以通项 公式为ａｎ ＝ ２９ （１０ ｎ － １）． 　 　 例３：（１）ａ４ ＝３ ×１６ －２８ ×４ ＝ －６４，ａ６ ＝３ ×３６ －２８ ×６ ＝ －６０． （２）令３ｎ２ －２８ｎ ＝ －４９， 解得ｎ ＝７或ｎ ＝ ７３ （舍去）， 所以ｎ ＝ ７，即－ ４９是该数列的第７项． 令３ｎ２ － ２８ｎ ＝ ６８，解得ｎ ＝ ３４３或ｎ ＝ － ２． 因为３４３ Ｎ ，－ ２Ｎ，所以６８不是该数列的项． （３）ａｎ ＝ ｎ（３ｎ － ２８），令ａｎ ＜ ０， 又ｎ∈Ｎ，解得ｎ ＝ １，２，３，４，５，６，７，８，９， 即数列｛ａｎ｝中有９个负数项． 　 　 对点训练３：令ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ ９１０，得ｎ ２ ＝ ９， 所以ｎ ＝ ３（ｎ ＝ － ３舍去）， 故９１０是该数列中的项，并且是第３项； 令ｎ ２ ｎ２ ＋ １ ＝ １１０，得ｎ ２ ＝ １９ ，所以ｎ ＝ ± １ ３ ， 由于１３与－ １ ３都不是正整数， 因此１１０不是数列中的项． 　 　 例４：集合可表示为｛１，２，３，４｝，由集合中的元素组成的数 列要求首项为１，且集合中的元素只出现一次，故所求数列有６ 个：１，２，３，４；１，２，４，３；１，３，２，４；１，３，４，２；１，４，２，３；１，４，３，２． 课堂检测·固双基 １． Ｂ　 各项乘２，变为１ × ２，２ × ３，３ × ４，…，可得原数列的通项公 式为ａｎ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）２ ， 故ｘ ＝ ａ５ ＝ ５ ×（５ ＋ １）２ ＝ １５． ２． Ａ　 ②正确，其余均不对． ３． Ｂ　 观察三角形数的增长规律，可以发现每一项比它的前一项 多的点数正好是本身的序号，所以根据这个规律计算即可，根 据三角形数的增长规律可知第七个三角形数是１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＝ ２８． ４． １７　 令ｎ（ｎ ＋ ２）＝ ３２３，∴ ｎ２ ＋ ２ｎ － ３２３ ＝ ０， ∴ （ｎ ＋ １９）（ｎ － １７）＝ ０，∵ ｎ∈Ｎ ＋，∴ ｎ ＝ １７． １． ２　 数列的函数特性 必备知识·探新知 　 　 知识点１ 正整数集Ｎ ＋ 　                                                                从小到大 —１２５—