4.3.1一元线性回归模型(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１７］ 第四章　 概率与统计 ４． ３　 ［４． ３． １　 一元线性回归模型］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列关系中，属于相关关系的是（　 ） Ａ．正方形的边长与面积之间的关系 Ｂ．生活习惯与健康状况的关系 Ｃ．人的身高与年龄之间的关系 Ｄ．降雪量与交通事故的发生率之间的关系 ２．某校地理学兴趣小组在某座山测得海拔高 度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如 图所示，则下列说法错误的是 （Ａ ） Ａ．沸点与海拔高度呈正相关 Ｂ．沸点与气压呈正相关 Ｃ．沸点与海拔高度呈负相关 Ｄ．沸点与海拔高度、沸点与气压的相关性都 很强 ３．（２０２３·天津卷）调查某种群花萼长度和花瓣 长度，所得数据如图所示，其中相关系数ｒ ＝ ０． ８２４ ５，下列说法正确的是 （Ｃ ） 　 Ａ．花瓣长度和花萼长度没有相关性 Ｂ．花瓣长度和花萼长度呈现负相关 Ｃ．花瓣长度和花萼长度呈现正相关 Ｄ．若从样本中抽取一部分，则这部分的相关 系数一定是０． ８２４ ５ ４．已知ｘ与ｙ之间的一组数据． ｘ ０ １ ２ ３ ｙ ｍ ３ ５． ５ ７ 已求得关于ｙ与ｘ的线性回归方程为^ｙ ＝ ２． ２ｘ ＋ ０． ７，则ｍ的值为 （Ｄ ） Ａ． １ Ｂ． ０． ８５ Ｃ． ０． ７ Ｄ． ０． ５ ５．已知ｘ与ｙ之间的几组数据如下表． ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ ｙ ０ ２ １ ３ ３ ４ 假设根据上表数据所得线性回归方程为^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^．若某同学根据上表中的前两组数据 （１，０）和（２，２）求得的直线方程为ｙ ＝ ｂ′ｘ ＋ ａ′，则以下结论正确的是 （Ｃ ） Ａ． ｂ^ ＞ ｂ′，^ａ ＞ ａ′ Ｂ． ｂ^ ＞ ｂ′，^ａ ＜ ａ′ Ｃ． ｂ^ ＜ ｂ′，^ａ ＞ ａ′ Ｄ． ｂ^ ＜ ｂ′，^ａ ＜ ａ′ 二、填空题 ６．如图所示的五组数据（ｘ，ｙ）中，去掉（４，１０）　 后，剩下的四组数据相关性增强． ７．若回归直线方程中的回归系数ｂ^ ＝ ０，则相关 系数ｒ ＝ 　 　 　 　 ． ８．对具有线性相关关系的变量ｘ和Ｙ，测得一组数 据如下表： ｘ ２ ４ ５ ６ ８ Ｙ ３０ ４０ ６０ ５０ ７０ 若已求得它们的回归直线方程的斜率为６． ５， 则这条回归直线的方程为 　                                                               ． —１１７— 三、解答题 ９．某个服装店经营某种服装，在某周内获纯利 ｙ（元）与该周每天销售这种服装件数ｘ之间 的一组数据关系见表： ｘ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ ｙ ６６ ６９ ７３ ８１ ８９ ９０ ９１ 已知７ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ ２８０， ７ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ３ ４８７． （１）求ｘ，ｙ； （２）已知纯利ｙ与每天销售件数ｘ线性相关， 试求出其回归直线方程． １０．某产品的广告支出ｘ（单位：万元）与销售收 入ｙ（单位：万元）之间有如下数据： 广告支出ｘ（单位：万元） １ ２ ３ ４ 销售收入ｙ（单位：万元） １２ ２８ ４２ ５６ 根据以上数据算得：４ ｉ ＝ １ ｙｉ ＝ １３８， ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ４１８． （１）求出ｙ对ｘ的回归直线方程^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^， 并判断变量ｙ与ｘ之间是正相关还是负 相关； （２）若销售收入最少为１４４万元，则广告支 出费用至少需要投入多少万元？ Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）某公司过去五个月的广告费支出ｘ （单位：万元）与销售额ｙ（单位：万元）之间有 下列对应数据： ｘ ２ ４ ５ ６ ８ ｙ ▲ ４０ ６０ ５０ ７０ 工作人员不慎将表格中ｙ的第一个数据丢失， 已知ｙ对ｘ呈线性相关关系，且回归方程为 ｙ^ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５，则下列说法正确的有（　 ） Ａ．销售额ｙ与广告费支出ｘ正相关 Ｂ．丢失的数据（表中▲处）为３０ Ｃ．该公司广告费支出每增加１万元，销售额 一定增加６． ５万元 Ｄ．若该公司下月广告费支出为８万元，则销 售额约为７５万元 ２．（多选）某同学将收集到的六组数据制作成散 点图如图所示，并得到其回归直线的方程为 ｌ１：ｙ ＝ ０． ６８ｘ ＋ ａ^，计算其相关系数为ｒ１ ．经过 分析确定点Ｆ为“离群点”，把它去掉后，再利 用剩下的５组数据计算得到回归直线的方程 为ｌ２：ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ０． ６８，相关系数为ｒ２，以下结论 中，正确的是 （　 ） Ａ． ｒ１ ＞ ０，ｒ２ ＞ ０ Ｂ． ｒ１ ＞ ｒ２ Ｃ． ａ^ ＝ ０． １２ Ｄ． ０ ＜ ｂ^ ＜ ０． ６８ ３．在一组样本数据（ｘ１，ｙ１），（ｘ２，ｙ２），…，（ｘｎ， ｙｎ）（ｎ≥２，ｘ１，ｘ２，…，ｘｎ 不全相等）的散点图 中，若所有样本点（ｘｉ，ｙｉ）（ｉ ＝ １，２，…，ｎ）都在 直线ｙ ＝ １２ ｘ ＋ １上，则这组样本数据的样本相 关系数为 （Ｄ ） Ａ． － １ Ｂ． ０ Ｃ． １２                                                                       Ｄ． １ —１１８— ４．已知变量ｙ关于ｘ的回归方程为^ｙ ＝ ｅｂｘ －０． ５，其 一组数据如下表所示： ｘ １ ２ ３ ４ ｙ ｅ ｅ３ ｅ４ ｅ６ 若ｘ ＝ ５，则预测ｙ的值可能为 （Ｄ ） Ａ． ｅ５ Ｂ． ｅ １１ ２ Ｃ． ｅ７ Ｄ． ｅ １５ ２ 二、填空题 ５．对某台机器购置后的运行年限ｘ（ｘ ＝ １，２， ３，…）与当年利润ｙ的统计分析知ｘ，ｙ具备线 性相关关系，回归方程为^ｙ ＝ １０． ４７ － １． ３ｘ，估 计该台机器最为划算的使用年限为　 　 　 　 年． ６．以模型ｙ ＝ ｃｅｋｘ去拟合一组数据时，为了求出 回归方程，设ｚ ＝ ｌｎ ｙ，其变换后得到线性回归 方程ｚ ＝ ０． ３ｘ ＋ ４，则ｃ ＝ 　 　 　 　 ． ７．（一题两空）某品牌服装专卖店为了解保暖衬 衣的销售量（ｙ件）与平均气温ｘ（℃）之间的 关系，随机统计了连续四旬的销售量与当旬 平均气温，其数据如表． 时间 二月上旬 二月 中旬 二月 下旬 三月 上旬 旬平均气温ｘ（℃） ３ ８ １２ １７ 旬销售量ｙ（件） ５５ ｍ ３３ ２４ 由表中数据算出线性回归方程^ｙ ＝ ｂｘ ＋ ａ中的 ｂ ＝ － ２，样本中心点为（１０，３８）． （１）表中数据ｍ ＝ 　 　 　 　 ； （２）气象部门预测三月中旬的平均气温约为 ２２ ℃，据此估计，该品牌的保暖衬衣在三月中旬 的销售量约为　 　 　 件． 三、解答题 ８．某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定 价，将该产品按事先拟定的价格进行试销，得 到如下数据． 单价ｘ（元） ８ ８． ２ ８． ４ ８． ６ ８． ８ ９ 销量ｙ（件） ９０ ８４ ８３ ８０ ７５ ６８ （１）求回归直线方程^ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ａ^，其中ｂ^ ＝ － ２０； （２）预计在今后的销售中，销量与单价仍然服 从（１）中的关系，且该产品的成本是４元／件， 为使工厂获得最大利润，该产品的单价应定 为多少元？（利润＝销售收入－成本） ９．如图是某企业２０１７年至２０２３年的污水净化 量（单位：吨）的折线图． 注：年份代码１ ～７分别对应年份２０１７ ～２０２３． （１）由折线图看出，可用线性回归模型拟合ｙ 和ｔ的关系，请用相关系数加以说明； （２）建立ｙ关于ｔ的回归方程，预测２０２４年该 企业的污水净化量                                                                      ． —１１９— （２）需要进一步调试． 理由如下： 如果机器正常工作，则Ｚ服从正态分布Ｎ（１０５，６２），则Ｐ（μ － ３σ ＜ Ｚ ＜ μ ＋ ３σ）＝ Ｐ（８７ ＜ Ｚ ＜ １２３）≈０． ９９７，零件内径在（８７， １２３）之外的概率只有０． ００３， 而８６（８７，１２３），根据３σ原则，机器异常，需要进一步调试． ９．（１）抽取产品的质量指标值的样本平均值ｘ和样本方差ｓ２ 分 别为：ｘ ＝ １７０ × ０． ０２ ＋ １８０ × ０． ０９ ＋ １９０ × ０． ２２ ＋ ２００ × ０． ３３ ＋ ２１０ × ０． ２４ ＋ ２２０ × ０． ０８ ＋ ２３０ × ０． ０２ ＝ ２００． ｓ２ ＝（－ ３０）２ × ０． ０２ ＋（－ ２０）２ × ０． ０９ ＋（－ １０）２ × ０． ２２ ＋ ０ × ０． ３３ ＋ １０２ × ０． ２４ ＋ ２０２ × ０． ０８ ＋ ３０２ × ０． ０２ ＝ １５０． （２）①由（１）知，Ｚ 服从正态分布Ｎ（２００，１５０），从而 Ｐ（１８７． ８ ＜ Ｚ ＜ ２１２． ２）＝ Ｐ（２００ － １２． ２ ＜ Ｚ ＜ ２００ ＋ １２． ２）≈ ０． ６８３．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间（１８７． ８， ２１２． ２）的概率为０． ６８３，依题意知Ｘ ～ Ｂ（１００，０． ６８３），所以 Ｅ（Ｘ）＝ １００ × ０． ６８３ ＝ ６８． ３． 练案［１７］ Ａ组·素养自测 １． ＢＤ　 在Ａ中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； 在Ｂ中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有 相关关系；在Ｃ中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发 生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在Ｄ中，降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系． ２． Ａ　 　 ３． Ｃ　 根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ＡＢＣ 选项，根据相关系数的定义可以判断Ｄ选项； 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，Ａ 选项错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现 正相关性，Ｂ选项错误，Ｃ选项正确； 由于ｒ ＝ ０． ８２４ ５是全部数据的相关系数，取出来一部分数据， 相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定 是０． ８２４ ５，Ｄ选项错误； 故选Ｃ． ４． Ｄ　 ｘ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３４ ＝ １． ５，ｙ ＝ ｍ ＋ ３ ＋ ５． ５ ＋ ７ ４ ，将其代入^ｙ ＝ ２． ２ｘ ＋ ０． ７，可得ｍ ＝ ０． ５，故选Ｄ． ５． Ｃ　 由（１，０），（２，２）求ｂ′，ａ′． ｂ′ ＝ ２ － ０２ － １ ＝ ２，ａ′ ＝ ０ － ２ × １ ＝ － ２． 求^ａ，ｂ^时，６ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ０ ＋ ４ ＋ ３ ＋ １２ ＋ １５ ＋ ２４ ＝ ５８， ｘ ＝ ７２ ，ｙ ＝ １３ ６ ， ６ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ １ ＋ ４ ＋ ９ ＋ １６ ＋ ２５ ＋ ３６ ＝ ９１， ∴ ｂ^ ＝ ５８ － ６ × ７２ × １３ ６ ９１ － ６ × ( )７２ ２ ＝ ５ ７ ， ａ^ ＝ １３６ － ５ ７ × ７ ２ ＝ １３ ６ － ５ ２ ＝ － １ ３ ， ∴ ｂ^ ＜ ｂ′，^ａ ＞ ａ′． ６．（４，１０）　 去掉点（４，１０）后，其余四点大致在一条直线附近， 相关性增强． ７． ０　 相关系数 ｒ ＝  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）槡 ２ 与ｂ^ ＝  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ 的分子相同，故ｒ ＝ ０． ８． ｙ^ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５　 设回归直线为^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ ａ，点（ｘ，ｙ）在此直 线上，故ａ ＝ １７． ５． ９．（１）ｘ ＝ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＋ ９７ ＝ ６， ｙ ＝ ６６ ＋ ６９ ＋ ７３ ＋ ８１ ＋ ８９ ＋ ９０ ＋ ９１７ ＝ ５５９ ７ ． （２）因为ｙ与ｘ有线性相关关系， 所以ｂ^ ＝  ７ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ７ ｘ　ｙ  ７ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ７ ｘ ２ ＝ ３ ４８７ － ７ × ６ × ５５９７ ２８０ － ７ × ３６ ＝ ４． ７５，^ａ ＝ ５５９ ７ － ６ × ４． ７５ ＝ ７１９１４ ≈５１． ３６． 故回归直线方程为^ｙ ＝ ４． ７５ｘ ＋ ５１． ３６． １０．（１）由表中数据得：ｘ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４４ ＝ ２． ５， ｙ ＝ １２ ＋ ２８ ＋ ４２ ＋ ５６４ ＝ ３４． ５， 所以ｂ^ ＝  ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ４ ｘ　ｙ  ４ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ４ ｘ ２ ＝ ４１８ － ４ × ２． ５ × ３４． ５（１２ ＋ ２２ ＋ ３３ ＋ ４２）－ ４ × ２． ５２ ＝ １４． ６， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ３４． ５ － １４． ６ × ２． ５ ＝ － ２， 所以回归直线方程为^ｙ ＝ １４． ６ｘ － ２，且变量ｙ与ｘ之间是正 相关． （２）依题意有：^ｙ ＝ １４． ６ｘ － ２≥１４４，解得ｘ≥１０， 所以广告支出费用至少需要投入１０万元． Ｂ组·素养提升 １． ＡＢ　 由回归方程^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５，可知ｂ^ ＝ ６． ５，则销售额ｙ与 广告费支出ｘ正相关，所以Ａ正确；设丢失的数据为ｍ，由表 中的数据可得ｘ ＝ ５，ｙ ＝ ２２０ ＋ ｍ５ ，把点５， ２２０ ＋ ｍ( )５ 代入回归方 程，可得２２０ ＋ ｍ５ ＝ ６． ５ × ５ ＋ １７． ５，解得ｍ ＝ ３０，所以Ｂ正确；该 公司广告费支出每增加１万元，销售额不一定增加６． ５万元， 所以Ｃ不正确；若该公司下月广告费支出为８万元，则销售额 约为ｙ ＝ ６． ５ × ８ ＋ １７． ５ ＝ ６９． ５（万元），所以Ｄ不正确，故 选ＡＢ． ２． ＡＣＤ　 由图可知两变量呈现正相关，故ｒ１ ＞ ０，ｒ２ ＞ ０，且ｒ１ ＜ ｒ２，故Ａ正确，Ｂ错误；又回归直线ｌ１：ｙ ＝ ０． ６８ｘ ＋ ａ^必经过样 本中心点（３． ５，２． ５），所以^ａ ＝ ２． ５ － ０． ６８ × ３． ５ ＝ ０． １２，Ｃ正 确；回归直线ｌ２：ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ０． ６８必经过样本中心点（３，２），所以 ２ ＝ ｂ^ × ３ ＋ ０． ６８，所以ｂ^ ＝ ０． ４４，也可直接根据图像判断０ ＜ ｂ^ ＜ ０． ６８（比较两直线的倾斜程度），故ＡＣＤ正确． ３． Ｄ　 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系， 所以相关系数为１． ４． Ｄ　 将式子两边取对数，得到ｌｎｙ^ ＝ ｂｘ － ０． ５，令ｚ ＝ ｌｎｙ^，得到ｚ ＝ ｂｘ － ０． ５，列出ｘ，ｚ的取值对应的表格                                                                       ， —１７０— ｘ １ ２ ３ ４ ｚ １ ３ ４ ６ 则ｘ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４４ ＝ ２． ５，ｚ ＝ １ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ６ ４ ＝ ３． ５， ∵ （ｘ，ｚ）满足ｚ ＝ ｂｘ － ０． ５，∴ ３． ５ ＝ ｂ × ２． ５ － ０． ５， 解得ｂ ＝ １． ６，∴ ｚ ＝ １． ６ｘ － ０． ５，∴ ｙ ＝ ｅ１． ６ｘ － ０． ５，当ｘ ＝ ５时，^ｙ ＝ ｅ１． ６ × ５ － ０． ５ ＝ ｅ １５ ２，故选Ｄ． ５． ８　 当年利润小于或等于零时应该报废该机器，当ｙ ＝ ０时，令 １０． ４７ － １． ３ｘ ＝ ０，解得ｘ≈８，故估计该台机器最为划算的使用 年限为８年． ６． ｅ４ 　 由题意，得ｌｎ（ｃｅｋｘ）＝ ０． ３ｘ ＋ ４，所以ｌｎｃ ＋ ｋｘ ＝ ０． ３ｘ ＋ ４， 所以ｌｎｃ ＝ ４，所以ｃ ＝ ｅ４ ． ７．（１）４０　 由ｙ ＝ ３８，得ｍ ＝ ４０． （２）１４　 由^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ得^ａ ＝ ５８，故^ｙ ＝ － ２ｘ ＋ ５８， 当ｘ ＝ ２２时，^ｙ ＝ １４， 故三月中旬的销售量约为１４件． ８．（１）由于ｘ ＝ ８ ＋ ８． ２ ＋ ８． ４ ＋ ８． ６ ＋ ８． ８ ＋ ９６ ＝ ８． ５， ｙ ＝ ９０ ＋ ８４ ＋ ８３ ＋ ８０ ＋ ７５ ＋ ６８６ ＝ ８０． 所以^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ８０ ＋ ２０ × ８． ５ ＝ ２５０，从而回归直线方程为 ｙ^ ＝ － ２０ｘ ＋ ２５０． （２）设工厂获得的利润为Ｌ元，依题意得Ｌ ＝ ｘ（－２０ｘ ＋２５０）－ ４（－ ２０ｘ ＋ ２５０）＝ － ２０ｘ２ ＋ ３３０ｘ － １ ０００ ＝ － ２０（ｘ － ８． ２５）２ ＋ ３６１．２５． 当且仅当ｘ ＝８． ２５时，Ｌ取得最大值，故当单价定为８．２５元时，工 厂可获得最大利润． ９．（１）由折线图中的数据得， ｔ ＝ ４，７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）２ ＝ ２８， ７ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）２ ＝ １８， ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）（ｙｉ － ｙ）所以 ｒ ＝ ２１ 槡２８ × １８ ≈０． ９４． 因为ｙ与ｔ的相关系数近似为０． ９４，说明ｙ与ｔ的线性相关程 度相当大，所以可以用线性回归模型拟合ｙ与ｔ的关系． （２）因为ｙ ＝ ５４，ｂ^ ＝  ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）（ｙｉ － ｙ）  ７ ｉ ＝ １ （ｔｉ － ｔ）２ ＝ ２１２８ ＝ ３ ４ ， 所以^ａ ＝ ｙ － ｂ^ ｔ ＝ ５４ － ３４ × ４ ＝ ５１， 所以ｙ关于ｔ的线性回归方程为^ｙ ＝ ｂ^ｔ ＋ ａ^ ＝ ３４ ｔ ＋ ５１，将２０２４ 年对应的ｔ ＝ ８代入上式，得^ｙ ＝ ３４ × ８ ＋ ５１ ＝ ５７， 所以预测２０２４年该企业污水净化量约为５７吨． 练案［１８］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢ　 由事件的独立性知，Ａ选项正确；由独立性检验的意义 知，Ｂ选项正确；χ２的大小是判定事件Ａ与Ｂ是否相关的一种 方法，不是唯一依据，Ｃ选项不正确；若事件Ａ与Ｂ相关，则Ａ 发生Ｂ可能发生，也可能不发生，Ｄ选项不正确． ２． Ｄ　 事件Ａ与Ｂ相互独立，则Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ，Ａ与Ｂ也相互 独立． ３． Ａ　 χ２ ＝ ７２ ×（８ × １８ － １４ × ３２） ２ ２２ × ５０ × ４０ × ３２ ≈４． ７２６ ＞ ３． ８４１． ４． Ａ　 χ２≈４． ７６２ ＞ ３． ８４１，参照题中附表，可得在犯错误的概率 不超过５％的前提下，认为“是否爱好踢毽子与性别有关”．故 选Ａ． ５． Ｂ　 任取１名参赛人员，抽到对主办方表示满意的男性运动员 的概率为２００５００ ＝ ２ ５ ，故①错误； χ２ ＝ ５００ ×（２００ × ３０ － ５０ × ２２０） ２ ４２０ × ８０ × ２５０ × ２５０ ≈５． ９５２ ＜ ６． ６３５，故②错误， ③正确．故选Ｂ． ６． ９９％ 　 有关　 ∵ χ２ ＝ ７． ６３，∴ χ２ ＞ ６． ６３５，因此，有９９％的把握 说，打鼾与患心脏病是有关的． ７． ０． ９９９　 χ２ ＝（５ ＋ １５ ＋ ４０ ＋ １０）（５ × １０ － ４０ × １５） ２ （５ ＋ １５）（４０ ＋ １０）（５ ＋ ４０）（１５ ＋ １０）≈１８． ８２２． ∵ １８． ８２２ ＞ １０． ８２８， ∴ ｘ与ｙ之间有关系的概率约为１ － ０． ００１ ＝ ０． ９９９． ８． ５％ 　 ∵ Ｐ（χ２≥３． ８４１）＝ ０． ０５，故判断出错的可能性为５％ ． ９．（１）根据题表中数据知，甲机床生产的产品中一级品的频率是 １５０ ２００ ＝ ０． ７５，乙机床生产的产品中一级品的频率是 １２０ ２００ ＝ ０． ６． （２）根据题表中的数据可得 Ｋ２ ＝ ４００ ×（１５０ × ８０ － １２０ × ５０） ２ ２００ × ２００ × ２７０ × １３０ ＝ ４００ ３９ ≈１０． ２５６． 因为１０． ２５６ ＞ ６． ６３５，所以有９９％的把握认为甲机床的产品 质量与乙机床的产品质量有差异． １０．（１）设样本中乙企业用户中满意的有ｘ户，结合列联表知， Ｐ ＝ ７５ ＋ ｘ１６５ ＝ ９ １１，解得ｘ ＝ ６０； 所以，填写２ × ２列联表是： 满意 不满意 合计 甲企业用户 ７５ １０ ８５ 乙企业用户 ６０ ２０ ８０ 合计 １３５ ３０ １６５ 计算Ｋ２ ＝ ｎ（ａｄ － ｂｃ） ２ （ａ ＋ ｂ）（ｃ ＋ ｄ）（ａ ＋ ｃ）（ｂ ＋ ｄ） ＝ １６５（７５ × ２０ － １０ × ６０） ２ １３５ × ３０ × ８５ × ８０ ＝ １６５ ３４ ≈４． ８５３ ＞ ３． ８４１ 所以能判断有９５％的把握认为“满意度与电信企业服务措 施有关系”． （２）设“抽到５号或１０号”为事件Ａ，先后两次抛掷一枚骰 子，出现的点数为（ｍ，ｎ），则所有的基本事件的个数有６ × ６ ＝ ３６， 事件Ａ包含的基本事件个数（ｍ ＋ ｎ ＝ ５或ｍ ＋ ｎ ＝ １０）有： （１，４），（２，３），（３，２），（４，１），（４，６），（５，５），（６，４）共有７ 个．所以所求事件的概率为Ｐ（Ａ）＝ ７３６ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 ∵在这１０５人中随机抽取１人，成绩优秀的概率为２７ ， ∴成绩优秀的人数为１０５ × ２７ ＝ ３０，非优秀的人数为１０５ － ３０ ＝７５， ∴ ｃ ＝ ３０ － １０ ＝ ２０，ｂ ＝ ７５ － ３０ ＝ ４５， ∴ χ２ ＝ １０５ ×（１０ × ３０ － ２０ × ４５） ２ ３０ × ７５ × ５０ × ５５ ≈６． １０９ ＞ ３． ８４１． ∴若按９５％的可靠性要求，能认为成绩与班级有关系．故 选Ｃ                                                                      ． —１７１—