4.2.5 正态分布(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

所以Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １２４ ＋ １ × ５ ２４ ＋ ２ × ３ ８ ＋ ３ × ７ ２４ ＋ ４ × １ １２ ＝ １３ ６ ， 故Ｄ正确．故选ＡＢＤ． ３． Ｄ　 由题意知， １ × ０． ５ ＋ ２ｘ ＋ ３ｙ ＝ １５８ ， ０． ５ ＋ ｘ ＋ ｙ ＝ １{ ， ∴ ｘ ＝ １８ ， ｙ ＝ ３８ { ． ∴ Ｄ（Ｘ）＝ １ － １５( )８ ２ × １２ ＋ ２ － １５( )８ ２ × １８ ＋ ３ － １５( )８ ２ × ３８ ＝ ５５６４ ． ４． Ａ　 因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所 以可看成３次独立重复试验，即Ｘ ～ Ｂ ３，( )１３ ， 则Ｘ的方差Ｄ（Ｘ）＝ ３ × １３ × １ －( )１３ ＝ ２３ ，所以Ｙ的方差 Ｄ（Ｙ）＝ ３２·Ｄ（Ｘ）＝ ９ × ２３ ＝ ６，所以Ｙ的标准差为Ｄ（Ｙ槡 ） 槡＝ ６． ５． １． ６８　 由分布列的性质知ｂ ＝ １ － ０． ５ － ０． １ ＝ ０． ４， ∵ Ｅ（ξ）＝ ４ × ０． ５ ＋ ０． １ × ａ ＋ ９ × ０． ４ ＝ ０． １ × ａ ＋ ５． ６ ＝ ６． ３，∴ ａ ＝ ７， ∵ η ～ Ｂ（ａ，ｂ），即η ～ Ｂ（７，０． ４）， ∴ Ｄ（η）＝ ７ × ０． ４ ×（１ － ０． ４）＝ １． ６８． ６． ３． ３６　 由题意得，随机变量Ｘ的可能取值为６，９，１２． Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ Ｃ ３ ８ Ｃ３１０ ＝ ７１５，Ｐ（Ｘ ＝ ９）＝ Ｃ２８ × Ｃ １ ２ Ｃ３１０ ＝ ７１５， Ｐ（Ｘ ＝ １２）＝ Ｃ １ ８ × Ｃ ２ ２ Ｃ３１０ ＝ １１５，则Ｅ（Ｘ）＝ ６ × ７ １５ ＋ ９ × ７ １５ ＋ １２ × １ １５ ＝ ７． ８，Ｄ（Ｘ）＝ ７１５ ×（６ － ７． ８） ２ ＋ ７１５ ×（９ － ７． ８） ２ ＋ １１５ ×（１２ － ７． ８）２ ＝ ３． ３６． ７． ５９ 　 由条件可知２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ，又ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ ３ｂ ＝ １， ∴ ｂ ＝ １３ ，ａ ＋ ｃ ＝ ２ ３ ． 又Ｅ（ξ）＝ － ａ ＋ ｃ ＝ １３ ，∴ ａ ＝ １ ６ ，ｃ ＝ １ ２ ，故ξ的分布列为 ξ － １ ０ １ Ｐ １６ １ ３ １ ２ ∴ Ｄ（ξ）＝ － １ －( )１３ ２ × １６ ＋ ０ －( )１３ ２ × １３ ＋ １ －( )１３ ２ × １ ２ ＝ ５ ９ ． ８．（１）设Ａ１ 表示事件“日销售量不低于１００个”，Ａ２ 表示事件 “日销售量低于５０个”，Ｂ表示事件“在未来连续３天里有连 续２天的日销售量不低于１００个且另１天的日销售量低于 ５０个．” 因为Ｐ（Ａ１）＝（０． ００６ ＋ ０． ００４ ＋ ０． ００２）× ５０ ＝ ０． ６， Ｐ（Ａ２）＝ ０． ００３ × ５０ ＝ ０． １５，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ６ × ０． ６ × ０． １５ × ２ ＝ ０． １０８． （２）Ｘ可能取的值为０，１，２，３，相应的概率为Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ０３（１ － ０． ６）３ ＝ ０． ０６４，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１３·０． ６（１ － ０． ６）２ ＝ ０． ２８８；Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３·０． ６２（１ － ０． ６）＝ ０． ４３２，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ３３·０． ６３ ＝ ０． ２１６，则Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ０． ０６４ ０． ２８８ ０． ４３２ ０． ２１６ 因为Ｘ ～ Ｂ（３，０． ６），所以期望Ｅ（Ｘ）＝ ３ × ０． ６ ＝ １． ８， 方差Ｄ（Ｘ）＝ ３ × ０． ６ ×（１ － ０． ６）＝ ０． ７２． ９．（１）由题设可知Ｙ１和Ｙ２的分布列分别为 Ｙ１ ５ １０ Ｐ ０． ８ ０． ２ Ｙ２ ２ ８ １２ Ｐ ０． ２ ０． ５ ０． ３ Ｅ（Ｙ１）＝ ５ × ０． ８ ＋ １０ × ０． ２ ＝ ６， Ｄ（Ｙ１）＝（５ － ６）２ × ０． ８ ＋（１０ － ６）２ × ０． ２ ＝ ４； Ｅ（Ｙ２）＝ ２ × ０． ２ ＋ ８ × ０． ５ ＋ １２ × ０． ３ ＝ ８，Ｄ（Ｙ２）＝（２ － ８）２ × ０． ２ ＋（８ － ８）２ × ０． ５ ＋（１２ － ８）２ × ０． ３ ＝ １２． （２）ｆ（ｘ）＝ Ｄ ｘ１００·Ｙ( )１ ＋ Ｄ １００ － ｘ１００ ·Ｙ( )２ ＝ ｘ( )１００ ２ Ｄ（Ｙ１）＋ １００ － ｘ( )１００ ２ Ｄ（Ｙ２）＝ ４１００２［ｘ ２ ＋ ３（１００ － ｘ）２］ ＝ ４ １００２ （４ｘ２ － ６００ｘ ＋ ３ × １００２）． 所以当ｘ ＝ ６００２ × ４ ＝ ７５时，ｆ（ｘ）取最小值３． 练案［１６］ Ａ组·素养自测 １． Ｂ　 ∵零件外直径Ｘ ～ Ｎ（１０，０． ０４），∴根据３σ原则，产品外 直径在（１０ － ３ × ０． ２，１０ ＋ ３ × ０． ２）即（９． ４，１０． ６）之外时为异 常． ∵ ９． ４ ＜ ９． ７５ ＜ １０． ６，９． ３５ ＜ ９． ４，∴可认为上午生产情况 正常，下午生产情况异常，故选Ｂ． ２． Ｃ　 易知标准正态分布密度曲线关于直线ｘ ＝ ０对称，因此ｐ１ ＝ ｐ２ ． ３． Ｂ　 ∵ Ｐ（Ｘ ＞ ｍ － １）＝ Ｐ（Ｘ ＜ ２ｍ ＋ １），∴ ｍ － １ ＋ ２ｍ ＋ １ ＝ ４，解 得ｍ ＝ ４３ ，故选Ｂ． ４． ＡＢＤ　 服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以 Ｐ（｜Ｘ ｜ ＝ ａ）＝ ０，Ａ正确． Ｘ ～ Ｎ（０，１），μ ＝ ０，所以正态曲线关 于直线ｘ ＝ ０对称，Ｐ（｜ Ｘ ｜ ＜ ａ）＋ ２Ｐ（Ｘ ＞ ａ）＝ １．又Ｐ（Ｘ ＞ ａ） ＋ Ｐ（Ｘ ＜ ａ）＝ １，所以Ｐ（｜ Ｘ ｜ ＜ ａ）＋ ２［１ － Ｐ（Ｘ ＜ ａ）］＝ １，即 Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ ａ）＝ ２Ｐ（Ｘ ＜ ａ）－ １（ａ ＞ ０），所以Ｂ正确，Ｃ错误． Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ ａ）＋ Ｐ（｜Ｘ ｜ ＞ ａ）＝ １（ａ ＞ ０），Ｄ正确，故选ＡＢＤ． ５． Ｂ　 由题意易知Ｐ（ξ ＞ １００）＝ ０． ５，Ｐ（１００≤ξ≤１２０）＝ Ｐ（８０ ＜ ξ≤ １００） ＝ ０． ４５． ∴ Ｐ （ξ ＞ １２０） ＝ Ｐ （ξ ＞ １００） － Ｐ（１００ ＜ ξ≤１２０）＝ ０． ０５，故应从１２０分以上的试卷中抽取的 试卷的份数为２００ × ０． ０５ ＝ １０． ６． ０． ２　 由正态曲线关于直线ｘ ＝ μ对称且在ｘ ＝ μ处达到峰值 和其落在区间（０． ２，＋ ∞）内的概率为０． ５，得μ ＝ ０． ２． ７． １　 正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两 个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间 （－ ３，－ １）和区间（３，５）的长度相等，说明正态曲线在这两个 区间上是对称的，我们需要找出对称轴．                                                                      由于正态曲线关于直 —１６８— 线ｘ ＝ μ对称，μ的意义是数学期望，因为区间（－ ３，－ １）和区 间（３，５）关于ｘ ＝ １对称（－ １的对称点是３，－ ３的对称点是 ５），所以数学期望为１． ８． ５０５ 　 ∵平均成绩μ ＝ ４８０，标准差σ ＝ １００，总体服从正态 分布， ∴ Ｘ ～ Ｎ（４８０，１００２）．设重点录取分数线可能划在ｆ分， 则Ｐ（Ｘ≥ｆ）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＜ ｆ）＝ １ －Φ ｆ － ４８０( )１００ ． 又Φ（０． ２５）＝ ０． ６，∴ ｆ － ４８０１００ ＝ ０． ２５， ∴ ｆ ＝ ５０５分． ９． （１）由题设μ ＝ ８０，而Ｐ（７２≤Ｘ≤８８）≈０． ６８２ ７ Ｐ（μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ）≈０．{ ６８２ ７，则 μ － σ ＝ ７２ μ ＋ σ{ ＝ ８８，可得σ ＝ ８． （２）由（１）知：Ｐ（μ － ２σ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ）＝ Ｐ（６４≤Ｘ≤９６）≈ ０． ９５４ ５， 正态曲线关于ｘ ＝ ８０对称，即Ｐ（Ｘ ＜ ６４）＝ Ｐ（Ｘ ＞ ９６）， 所以Ｐ（Ｘ ＜ ６４）≈ １２ ×（１ － ０． ９５４ ５）＝ ０． ０２２ ７５，故Ｐ（Ｘ≥ ６４）≈１ － Ｐ（Ｘ ＜ ６４）≈０． ９７７ ２５， 由Ｐ（７２≤Ｘ≤８８）≈０． ６８２ ７，则Ｐ（Ｘ ＜ ７２）＝ １２ ［１ － Ｐ（７２≤Ｘ ≤８８）］≈ １２ ×（１ － ０． ６８２ ７）＝ ０． １５８ ６５， 所以Ｐ（Ｘ≥７２）＝ １ － Ｐ（Ｘ ＜ ７２）≈０． ８４１ ３５， 综上，Ｐ（６４≤Ｘ≤７２）＝ Ｐ（Ｘ≥６４）－ Ｐ（Ｘ≥７２）≈０． ９７７ ２５ － ０． ８４１ ３５ ＝ ０． １３５ ９． １０．设农民工年均收入Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２），结合题图可知，μ ＝ ８ ０００，σ ＝ ５００． （１）此地农民工年均收入的正态分布的概率密度函数表达式 为φμ，σ（ｘ） ＝ １ ２π槡σ ｅ － （ｘ － μ）２ ２σ２ ＝ １ ５００ ２槡π ｅ － （ｘ －８ ０００）２ ２ ×５００２ ，ｘ∈（－∞，＋∞）． （２）因为Ｐ（７ ５００ ＜ Ｘ ＜ ８ ５００）＝ Ｐ（８ ０００ － ５００ ＜ Ｘ ＜ ８ ０００ ＋ ５００）≈０． ６８３． 所以Ｐ（８ ０００ ＜Ｘ ＜８ ５００）＝ １２ Ｐ（７ ５００ ＜Ｘ ＜８ ５００）≈０． ３４１ ５ ＝ ３４．１５％ ． 即农民工年均收入在８ ０００ ～ ８ ５００元之间的人数所占的百 分比约为３４． １５％ ． Ｂ组·素养提升 １． ＡＣ　 ∵ Φ（－ ａ）＝ Ｐ（Ｘ ＜ － ａ）， ∴图中阴影部分的面积为１２ － Ｐ（Ｘ ＜ － ａ）＝ １ ２ －Φ（－ ａ）， 又根据性质Φ（－ ａ）＋Φ（ａ）＝ １，可得１２ －Φ（－ ａ）＝ １ ２ － ［１ －Φ（ａ）］＝Φ（ａ）－ １２ ，∴ Ａ，Ｃ正确． ２． ＡＣＤ　 ∵其密度函数为ｆ（ｘ）＝ １ １０ ２槡π ｅ － （ｘ － ８０）２ ２００ （ｘ∈Ｒ）， ∴该市这次考试的数学平均成绩为８０分，该市这次考试的数 学标准差为１０． 从图形上看，它关于直线ｘ ＝ ８０对称， 且５０与１１０也关于直线ｘ ＝ ８０对称， 故分数在１１０分以上的人数与分数在５０分以下的人数相同． 故选ＡＣＤ． ３． Ｃ　 若随机变量ξ服从正态分布Ｎ（１０，０． １２），则Ｚ ＝ ξ － １００． １ ～ Ｎ（０，１）． 又Φ（ｘ）表示标准正态总体在区间（－ ∞，ｘ）内取值的概率， 所以Ｐ（｜ ξ － １０ ｜ ＜ ０． １）＝ Ｐ ξ － １００． １( )＜ １ ＝ Ｐ（－ １ ＜ Ｚ ＜ １）＝Φ（１）－Φ（－ １），故选Ｃ． ４． Ｄ　 由频率分布直方图估计日均健步走的步数的平均值μ ＝ １ × ０． ０４ ＋ ３ × ０． ０８ ＋ ５ × ０． １６ ＋ ７ × ０． ４４ ＋ ９ × ０． １６ ＋ １１ × ０． １ ＋ １３ × ０． ０２ ＝ ６． ９６≈７． 设随机变量日均健步走的步数为Ｘ，则Ｘ ～ Ｎ（７，６． ２５），∴ μ ＝ ７，σ ＝ ２． ５，则μ － σ ＝ ４． ５，μ － ２σ ＝ ２，∴ Ｐ（２≤Ｘ≤４． ５）＝ １２ × （０． ９５４ － ０． ６８３）＝ ０． １３５ ５． ∵ ８００ × ０． １３５ ５≈１０８， ∴日均健步走的步数在２千步至４． ５千步的人数约为１０８．故 选Ｄ． ５． １２ 　 － １　 ∵随机变量Ｘ ～ Ｎ（２，２ ２），∴ Ｅ（Ｘ）＝ ２，Ｄ（Ｘ）＝ ２２ ＝ ４． ∴ Ｅ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａＥ（Ｘ）＋ ｂ ＝ ２ａ ＋ ｂ ＝ ０， Ｄ（ａＸ ＋ ｂ）＝ ａ２Ｄ（Ｘ）＝ ４ａ２ ＝ １． ∴ ａ ＝ １２ ，ｂ ＝ － １． ６． １１２１６　 ∵每个电子元件的使用寿命Ｚ均服从正态分布Ｎ（１ ０００， １００２），且Ｐ（μ －σ≤Ｚ≤μ ＋σ）≈ ２３ ， ∴每个电子元件的使用寿命超过１ １００小时的概率 Ｐ（Ｚ ＞ １ １００）≈ １６ ， 故该部件的使用寿命超过１ １００ 小时的概率约为 １ － ５６ ×( )５６ × １６ ＝ １１２１６． ７． ２７１９５４　 由题意得，Ｐ（Ａ）≈４７． ７％，Ｐ（ＡＢ）≈ １ ２ × （９５． ４％ － ６８． ３％）＝１３． ５５％，∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）≈１３． ５５％４７． ７％ ＝ ２７１ ９５４． ８．（１）μ ＝ １１０ ×（９７ ＋ ９７ ＋ ９８ ＋ １０２ ＋ １０５ ＋ １０７ ＋ １０８ ＋ １０９ ＋ １１３ ＋ １１４）＝ １０５，σ２ ＝ １１０ ×［（－ ８） ２ ＋（－ ８）２ ＋（－ ７）２ ＋（－ ３）２ ＋ ０２ ＋ ２２ ＋ ３２ ＋ ４２ ＋ ８２ ＋ ９２］＝ ３６，所以σ ＝ ６                                                                       ． —１６９— （２）需要进一步调试． 理由如下： 如果机器正常工作，则Ｚ服从正态分布Ｎ（１０５，６２），则Ｐ（μ － ３σ ＜ Ｚ ＜ μ ＋ ３σ）＝ Ｐ（８７ ＜ Ｚ ＜ １２３）≈０． ９９７，零件内径在（８７， １２３）之外的概率只有０． ００３， 而８６（８７，１２３），根据３σ原则，机器异常，需要进一步调试． ９．（１）抽取产品的质量指标值的样本平均值ｘ和样本方差ｓ２ 分 别为：ｘ ＝ １７０ × ０． ０２ ＋ １８０ × ０． ０９ ＋ １９０ × ０． ２２ ＋ ２００ × ０． ３３ ＋ ２１０ × ０． ２４ ＋ ２２０ × ０． ０８ ＋ ２３０ × ０． ０２ ＝ ２００． ｓ２ ＝（－ ３０）２ × ０． ０２ ＋（－ ２０）２ × ０． ０９ ＋（－ １０）２ × ０． ２２ ＋ ０ × ０． ３３ ＋ １０２ × ０． ２４ ＋ ２０２ × ０． ０８ ＋ ３０２ × ０． ０２ ＝ １５０． （２）①由（１）知，Ｚ 服从正态分布Ｎ（２００，１５０），从而 Ｐ（１８７． ８ ＜ Ｚ ＜ ２１２． ２）＝ Ｐ（２００ － １２． ２ ＜ Ｚ ＜ ２００ ＋ １２． ２）≈ ０． ６８３．②由①可知，一件产品的质量指标值位于区间（１８７． ８， ２１２． ２）的概率为０． ６８３，依题意知Ｘ ～ Ｂ（１００，０． ６８３），所以 Ｅ（Ｘ）＝ １００ × ０． ６８３ ＝ ６８． ３． 练案［１７］ Ａ组·素养自测 １． ＢＤ　 在Ａ中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系； 在Ｂ中，生活习惯与健康状况不具有严格的函数关系，但具有 相关关系；在Ｃ中，人的身高与年龄之间的关系既不是函数关 系，也不是相关关系，因为人的年龄达到一定时期身高就不发 生明显变化了，因而它们不具有相关关系；在Ｄ中，降雪量与 交通事故的发生率之间具有相关关系． ２． Ａ　 　 ３． Ｃ　 根据散点图的特点可分析出相关性的问题，从而判断ＡＢＣ 选项，根据相关系数的定义可以判断Ｄ选项； 根据散点的集中程度可知，花瓣长度和花萼长度有相关性，Ａ 选项错误； 散点的分布是从左下到右上，从而花瓣长度和花萼长度呈现 正相关性，Ｂ选项错误，Ｃ选项正确； 由于ｒ ＝ ０． ８２４ ５是全部数据的相关系数，取出来一部分数据， 相关性可能变强，可能变弱，即取出的数据的相关系数不一定 是０． ８２４ ５，Ｄ选项错误； 故选Ｃ． ４． Ｄ　 ｘ ＝ ０ ＋ １ ＋ ２ ＋ ３４ ＝ １． ５，ｙ ＝ ｍ ＋ ３ ＋ ５． ５ ＋ ７ ４ ，将其代入^ｙ ＝ ２． ２ｘ ＋ ０． ７，可得ｍ ＝ ０． ５，故选Ｄ． ５． Ｃ　 由（１，０），（２，２）求ｂ′，ａ′． ｂ′ ＝ ２ － ０２ － １ ＝ ２，ａ′ ＝ ０ － ２ × １ ＝ － ２． 求^ａ，ｂ^时，６ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ ＝ ０ ＋ ４ ＋ ３ ＋ １２ ＋ １５ ＋ ２４ ＝ ５８， ｘ ＝ ７２ ，ｙ ＝ １３ ６ ， ６ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ ＝ １ ＋ ４ ＋ ９ ＋ １６ ＋ ２５ ＋ ３６ ＝ ９１， ∴ ｂ^ ＝ ５８ － ６ × ７２ × １３ ６ ９１ － ６ × ( )７２ ２ ＝ ５ ７ ， ａ^ ＝ １３６ － ５ ７ × ７ ２ ＝ １３ ６ － ５ ２ ＝ － １ ３ ， ∴ ｂ^ ＜ ｂ′，^ａ ＞ ａ′． ６．（４，１０）　 去掉点（４，１０）后，其余四点大致在一条直线附近， 相关性增强． ７． ０　 相关系数 ｒ ＝  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ ｎ ｉ ＝ １ （ｙｉ － ｙ）槡 ２ 与ｂ^ ＝  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）（ｙｉ － ｙ）  ｎ ｉ ＝ １ （ｘｉ － ｘ）２ 的分子相同，故ｒ ＝ ０． ８． ｙ^ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５　 设回归直线为^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ ａ，点（ｘ，ｙ）在此直 线上，故ａ ＝ １７． ５． ９．（１）ｘ ＝ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＋ ６ ＋ ７ ＋ ８ ＋ ９７ ＝ ６， ｙ ＝ ６６ ＋ ６９ ＋ ７３ ＋ ８１ ＋ ８９ ＋ ９０ ＋ ９１７ ＝ ５５９ ７ ． （２）因为ｙ与ｘ有线性相关关系， 所以ｂ^ ＝  ７ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ７ ｘ　ｙ  ７ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ７ ｘ ２ ＝ ３ ４８７ － ７ × ６ × ５５９７ ２８０ － ７ × ３６ ＝ ４． ７５，^ａ ＝ ５５９ ７ － ６ × ４． ７５ ＝ ７１９１４ ≈５１． ３６． 故回归直线方程为^ｙ ＝ ４． ７５ｘ ＋ ５１． ３６． １０．（１）由表中数据得：ｘ ＝ １ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４４ ＝ ２． ５， ｙ ＝ １２ ＋ ２８ ＋ ４２ ＋ ５６４ ＝ ３４． ５， 所以ｂ^ ＝  ４ ｉ ＝ １ ｘｉｙｉ － ４ ｘ　ｙ  ４ ｉ ＝ １ ｘ２ｉ － ４ ｘ ２ ＝ ４１８ － ４ × ２． ５ × ３４． ５（１２ ＋ ２２ ＋ ３３ ＋ ４２）－ ４ × ２． ５２ ＝ １４． ６， ａ^ ＝ ｙ － ｂ^ ｘ ＝ ３４． ５ － １４． ６ × ２． ５ ＝ － ２， 所以回归直线方程为^ｙ ＝ １４． ６ｘ － ２，且变量ｙ与ｘ之间是正 相关． （２）依题意有：^ｙ ＝ １４． ６ｘ － ２≥１４４，解得ｘ≥１０， 所以广告支出费用至少需要投入１０万元． Ｂ组·素养提升 １． ＡＢ　 由回归方程^ｙ ＝ ６． ５ｘ ＋ １７． ５，可知ｂ^ ＝ ６． ５，则销售额ｙ与 广告费支出ｘ正相关，所以Ａ正确；设丢失的数据为ｍ，由表 中的数据可得ｘ ＝ ５，ｙ ＝ ２２０ ＋ ｍ５ ，把点５， ２２０ ＋ ｍ( )５ 代入回归方 程，可得２２０ ＋ ｍ５ ＝ ６． ５ × ５ ＋ １７． ５，解得ｍ ＝ ３０，所以Ｂ正确；该 公司广告费支出每增加１万元，销售额不一定增加６． ５万元， 所以Ｃ不正确；若该公司下月广告费支出为８万元，则销售额 约为ｙ ＝ ６． ５ × ８ ＋ １７． ５ ＝ ６９． ５（万元），所以Ｄ不正确，故 选ＡＢ． ２． ＡＣＤ　 由图可知两变量呈现正相关，故ｒ１ ＞ ０，ｒ２ ＞ ０，且ｒ１ ＜ ｒ２，故Ａ正确，Ｂ错误；又回归直线ｌ１：ｙ ＝ ０． ６８ｘ ＋ ａ^必经过样 本中心点（３． ５，２． ５），所以^ａ ＝ ２． ５ － ０． ６８ × ３． ５ ＝ ０． １２，Ｃ正 确；回归直线ｌ２：ｙ ＝ ｂ^ｘ ＋ ０． ６８必经过样本中心点（３，２），所以 ２ ＝ ｂ^ × ３ ＋ ０． ６８，所以ｂ^ ＝ ０． ４４，也可直接根据图像判断０ ＜ ｂ^ ＜ ０． ６８（比较两直线的倾斜程度），故ＡＣＤ正确． ３． Ｄ　 因为所有的点都在直线上，所以它就是确定的函数关系， 所以相关系数为１． ４． Ｄ　 将式子两边取对数，得到ｌｎｙ^ ＝ ｂｘ － ０． ５，令ｚ ＝ ｌｎｙ^，得到ｚ ＝ ｂｘ － ０． ５，列出ｘ，ｚ的取值对应的表格                                                                       ， —１７０— 练案［１６］ 第四章　 概率与统计 ４． ２　 ［４． ２． ５　 正态分布］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．某工厂生产的零件外直径（单位：ｃｍ）服从正态 分布Ｎ（１０，０． ０４），今从该厂上、下午生产的零 件中各随机取出一个，测得其外直径分别为 ９． ７５ ｃｍ和９． ３５ ｃｍ，则可认为 （Ｂ ） Ａ．上午生产情况异常，下午生产情况正常 Ｂ．上午生产情况正常，下午生产情况异常 Ｃ．上、下午生产情况均正常 Ｄ．上、下午生产情况均异常 ２．已知随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，１），若Ｘ 落在区间（－ ２，－ １）和（１，２）的概率分别为 ｐ１，ｐ２，则 （Ｃ ） Ａ． ｐ１ ＞ ｐ２ Ｂ． ｐ１ ＜ ｐ２ Ｃ． ｐ１ ＝ ｐ２ Ｄ．不确定 ３．设随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（２，９），若Ｐ（Ｘ ＞ｍ －１）＝Ｐ（Ｘ ＜２ｍ ＋１），则ｍ ＝ （Ｂ ） Ａ． ２３ Ｂ． ４ ３ Ｃ． ５ ３ Ｄ． ２ ４．（多选）设随机变量Ｘ服从正态分布Ｎ（０，１）， 则下列结论正确的是 （　 ） Ａ． Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ａ）＝Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ａ）＋Ｐ（｜Ｘ ｜ ＝ａ）（ａ ＞０） Ｂ． Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ ａ）＝ ２Ｐ（Ｘ ＜ ａ）－ １（ａ ＞ ０） Ｃ． Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ ａ）＝ １ － ２Ｐ（Ｘ ＜ ａ）（ａ ＞ ０） Ｄ． Ｐ（｜Ｘ ｜ ＜ ａ）＝ １ － Ｐ（｜Ｘ ｜ ＞ ａ）（ａ ＞ ０） ５．某市高三学生有３０ ０００名，在一次调研测试 中，数学成绩ξ（单位：分）服从正态分布 Ｎ（１００，σ２），已知Ｐ（８０ ＜ ξ≤１００）＝ ０． ４５，若 用分层抽样的方法取２００份试卷对成绩进行 分析，则应从１２０分以上的试卷中抽取 （Ｂ ） Ａ． ５份 Ｂ． １０份 Ｃ． １５份 Ｄ． ２０份 二、填空题 ６．已知正态分布落在区间（０． ２，＋ ∞）内的概率 为０． ５，那么相应的正态曲线ｆ（ｘ）在ｘ ＝ 　 　 　 　 时达到最高点． ７．已知正态总体的数据落在区间（－ ３，－ １）内 的概率和落在区间（３，５）内的概率相等，那么 这个正态总体的数学期望为　 　 　 　 ． ８．某市统考成绩大体上反映了全市学生的成绩 状况，因此可以把统考成绩作为总体，设平均 成绩μ ＝ ４８０，标准差σ ＝ １００，总体服从正态 分布，若全市重点校录取率为４０％，那么重点 录取分数线可能划在　 　 　 　 分（已知 Φ（０． ２５）＝ ０． ６）． 三、解答题 ９．已知随机变量Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２），且其正态曲线在 （－ ∞，８０）上是增函数，在（８０，＋ ∞）上是减 函数，且Ｐ（７２≤Ｘ≤８８）≈０． ６８２ ７． （１）求参数μ，σ的值． （２）求Ｐ（６４≤Ｘ≤７２）． 附：若Ｘ ～ Ｎ（μ，σ２），则Ｐ（μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ） ≈０． ６８２ ７，Ｐ（μ － ２σ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ）≈０． ９５４ ５                                                                ． —１１４— １０．已知某地农民工年均收入Ｘ服从正态分布， 其概率密度函数图像如图所示． （１）写出此地农民工 年均收入的概率密度 函数的表达式； （２）求此地农民工年 均收入在８ ０００ ～ ８ ５００元之间的人数所占的百分比． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）如图是正态分布Ｎ（０，１）的正态曲线 图，下列式子中，表示图中阴影部分面积的为 （注：Φ（ａ）＝ Ｐ（Ｘ ＜ ａ）） （　 ） Ａ． １２ －Φ（－ ａ） Ｂ． Φ（１ － ａ） Ｃ． Φ（ａ）－ １２ Ｄ． Φ（０） ２．（多选）某市组织一次高三调研考试，考试后统计 的数学成绩服从正态分布，其密度函数为ｆ（ｘ）＝ １ １０ ２槡π ｅ － （ｘ －８０）２ ２００ （ｘ∈Ｒ），则下列正确的是（　 ） Ａ．该市这次考试的数学平均成绩为８０分 Ｂ．分数在１２０分以上的人数与分数在６０分以 下的人数相同 Ｃ．分数在１１０分以上的人数与分数在５０分以 下的人数相同 Ｄ．该市这次考试的数学标准差为１０ ３．用Φ（ｘ）表示标准正态总体在区间（－ ∞，ｘ） 内取值的概率，若随机变量ξ服从正态分布 Ｎ（１０，０． １２），则概率Ｐ（｜ ξ － １０ ｜ ＜ ０． １）等于 （Ｃ ） Ａ． Φ（－ ９． ９） Ｂ． Φ（１０． １）－Φ（９． ９） Ｃ． Φ（１）－Φ（－ １） Ｄ． ２Φ（１０． １） ４．某单位有８００名员工，工作之余，工会积极组 织员工参与“日行万步”健身活动．经调查统 计，得到全体员工近段时间日均健步走的步 数（单位：千步）的频率分布直方图如图所示． 该单位员工日均健步走的步数近似服从正态 分布，计算得其方差为６． ２５．由此估计，在这 段时间内，该单位员工中日均健步走的步数 在２千步至４． ５ 千步的人数约为 （附：Ｐ（μ － σ ＜ Ｘ ＜ μ ＋ σ） ＝ ０． ６８３，Ｐ（μ － ２σ ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ）＝ ０． ９５４．） （Ｄ ） Ａ． １０３ Ｂ． １０５ Ｃ． １０７ Ｄ． １０８ 二、填空题 ５．（一题两空）已知随机变量Ｘ ～ Ｎ（２，２２），且 ａＸ ＋ ｂ（ａ ＞ ０）服从标准正态分布Ｎ（０，１），则 ａ ＝ 　 　 　 　 ，ｂ ＝ 　 　 　 　 ． ６．某一部件由三个电子元件按下图方式连接而 成，元件１或元件２正常工作，且元件３正常 工作，则部件正常工作．设每个电子元件的使 用寿命Ｚ（单位：小时）均服从正态分布 Ｎ（１ ０００，１００２），且各个元件能否正常工作相 互独立，那么该部件的使用寿命超过１ １００小 时的概率约为　 　 　 　  ． 元件   １ 元件 ２ 元件 ３ 附：若随机变量Ｚ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），则 Ｐ（μ － σ≤Ｚ≤μ ＋ σ）≈ ２３                                                                      ． —１１５— ７．某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩 （单位：分）Ｘ服从正态分布Ｎ（１１０，１０２），记Ｘ ∈（９０，１１０］为事件Ａ，Ｘ∈ （８０，１００］为事件 Ｂ，则Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ 　 　 　 　 ．（结果用分数表示） 附：Ｐ（μ － σ≤Ｘ≤μ ＋ σ）≈６８． ３％，Ｐ（μ － ２σ ≤Ｘ≤μ ＋ ２σ）≈９５． ４％，Ｐ（μ － ３σ≤Ｘ≤μ ＋ ３σ）≈９９． ７％ ． 三、解答题 ８． ３Ｄ打印通常是采用数字技术材料打印机来实 现的，常在模具制造、工业设计等领域被用于 制造模型，后逐渐用于一些产品的直接制造， 已经有使用这种技术打印而成的零部件．该 技术应用十分广泛，可以预计在未来会有广 阔的发展空间．某制造企业向Ａ高校３Ｄ打印 实验团队租用一台３Ｄ打印设备，用于打印一 批对内径有较高精度要求的零件．该团队在 实验室打印出了一批这样的零件，从中随机 抽取１０件零件，度量其内径如表所示（单位： μｍ）． 序号１ ２ ３ ４ ５ ６ ７ ８ ９ １０ 内径９７ ９７ ９８ １０２ １０５ １０７ １０８ １０９ １１３ １１４ （１）计算平均值μ与标准差σ； （２）假设这台３Ｄ打印设备打印出的零件内径 Ｚ服从正态分布Ｎ（μ，σ２）．该团队到工厂安 装调试后，试打了５个零件，度量其内径分别 为（单位：μｍ）：８６，９５，１０３，１０９，１１８，试问此打 印设备是否需要进一步调试，为什么？ ９．从某企业生产的某种产品中抽取５００件，测量 这些产品的一项质量指标值，由测量结果得 如图所示的频率分布直方图： （１）求这５００件产品质量指标值的样本平均 值ｘ和样本方差ｓ２（同一组的数据用该组区间 的中点值作代表）； （２）由直方图可以认为，这种产品的质量指标 Ｚ服从正态分布Ｎ（μ，σ２），其中μ近似为样 本平均数ｘ，σ２近似为样本方差ｓ２ ． ①利用该正态分布，求Ｐ（１８７．８ ＜Ｚ ＜２１２．２）； ②某用户从该企业购买了１００件这种产品，记 Ｘ表示这１００件产品中质量指标值位于区间 （１８７． ８，２１２． ２）的产品件数．利用①的结果，求 Ｅ（Ｘ）．附：槡１５０≈１２． ２．若Ｚ ～ Ｎ（μ，σ２），则 Ｐ（μ － σ ＜ Ｚ ＜ μ ＋ σ）≈０． ６８３，Ｐ（μ － ２σ ＜ Ｚ ＜ μ ＋ ２σ）≈０． ９５４．                                                                      —１１６—