4.2.4 第2课时离散型随机变量的方差(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１５］ 第四章　 概率与统计 ４． ２　 ［４． ２． ４　 第２课时　 离散型随机变量的方差］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）已知０ ＜ ａ ＜ １４，随机变量ξ的分布列 如下． ξ － １ ０ １ Ｐ ３４ １ ４ － ａ ａ 当ａ增大时， （　 ） Ａ． Ｅ（ξ）增大 Ｂ． Ｅ（ξ）减小 Ｃ． Ｄ（ξ）减小 Ｄ． Ｄ（ξ）增大 ２ ．小智参加三次投篮比赛，投中得１分，投不 中扣１分，已知小智投篮命中率为０ ． ５，记 小智投篮三次后的得分为随机变量ξ，则 Ｄ（｜ ξ ｜）为 （Ｂ ） Ａ． ３８ Ｂ． ３ ４ Ｃ． ３ ２ Ｄ． ３ ３．设随机变量Ｘ的概率分布列为Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ ｐｋ·（１ － ｐ）１ － ｋ（ｋ ＝ ０，１），则Ｅ（Ｘ）、Ｄ（Ｘ）的值 分别是 （Ｄ ） Ａ． ０和１ Ｂ． ｐ和ｐ２ Ｃ． ｐ和１ － ｐ Ｄ． ｐ和（１ － ｐ）ｐ ４．随机变量Ｘ ～ Ｂ（１００，０． ２），那么Ｄ（４Ｘ ＋３）的值 为 （Ｂ ） Ａ． ６４ Ｂ． ２５６ Ｃ． ２５９ Ｄ． ３２０ ５．已知随机变量ξ满足Ｐ（ξ ＝ ｘ）＝ ａｘ ＋ ｂ（ｘ ＝ － １，０，１），其中ａ，ｂ∈Ｒ．若Ｅ（ξ）＝ １３，则 Ｄ（ξ）＝ （Ｂ ） Ａ． ２９ Ｂ． ５ ９ Ｃ． ８ ９ Ｄ． １１ ９ 二、填空题 ６．一农场有１０头牛，因误食含有病毒的饲料而 被感染，已知该病的发病率为０． ０２，设发病的 牛的头数为ξ，则Ｄ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． ７．随机变量ξ的取值为０，１，２．若Ｐ（ξ ＝ ０）＝ １５， Ｅ（ξ）＝ １，则Ｄ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． ８．抛掷一枚均匀硬币ｎ（３≤ｎ≤８）次，正面向上 的次数ξ服从二项分布Ｂ（ｎ，１２），若Ｐ（ξ ＝ １） ＝ ３３２，则方差Ｄ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．甲、乙两名射手各打了１０发子弹，其中甲击中 环数与次数如下表： 环数 ５ ６ ７ ８ ９ １０ 次数 １ １ １ １ ２ ４ 乙射击的概率分布如下表： 环数 ７ ８ ９ １０ 概率 ０． ２ ０． ３ ｐ ０． １ （１）若甲、乙各打一枪，求击中环数之和为１８ 的概率及ｐ的值； （２）比较甲、乙射击水平的优劣                                                                ． —１１１— １０．设在１２个同类型的零件中有２个次品，抽取 ３次进行检验，每次抽到一个，并且取出后不 再放回，若以Ｘ和Ｙ分别表示取出次品和正 品的个数． （１）求Ｘ的分布列、期望及方差； （２）求Ｙ的分布列、期望及方差． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）已知随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ － １ ０ １ Ｐ １２ １ ３ ａ 则下列式子正确的是 （　 ） Ａ． Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １３ Ｂ． ａ ＝ １ ６ Ｃ． Ｅ（Ｘ）＝ － １３ Ｄ． Ｄ（Ｘ）＝ ２３ ２７ ２．（多选）某市有Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｄ四个景点，一位游客 来该市游览，已知该游客游览Ａ的概率为２３， 游览Ｂ，Ｃ，Ｄ的概率都是１２，且该游客是否游 览这四个景点相互独立．用随机变量Ｘ表示 该游客游览的景点个数，则 （　 ） Ａ．该游客至多游览一个景点的概率为１４ Ｂ． Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ ３８ Ｃ． Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ １２４ Ｄ． Ｅ（Ｘ）＝ １３６ ３．随机变量Ｘ的分布列如下： Ｘ １ ２ ３ Ｐ ０． ５ ｘ ｙ 若Ｅ（Ｘ）＝ １５８ ，则Ｄ（Ｘ）等于 （Ｄ ） Ａ． ７３２ Ｂ． ９ ３２ Ｃ． ３３ ６４ Ｄ． ５５ ６４ ４．某同学上学路上要经过３个路口，在每个路口 遇到红灯的概率都是１３，且在各路口是否遇到 红灯是相互独立的，记Ｘ为遇到红灯的次数， 若Ｙ ＝ ３Ｘ ＋ ５，则Ｙ的标准差为 （Ａ ） Ａ．槡６ Ｂ． ３ Ｃ．槡３ Ｄ． ２ 二、填空题 ５．已知随机变量ξ的概率分布列如下： ξ ４ ａ ９ Ｐ ０． ５ ０． １ ｂ 已知Ｅ（ξ）＝６．３，随机变量η ～Ｂ（ａ，ｂ），则Ｄ（η） ＝ 　 　 　 　 ． ６．有１０张卡片，其中８张标有数字２，２张标有 数字５，若从中随机抽出３张，设这３张卡片 上的数字和为Ｘ，则Ｄ（Ｘ）＝ 　 　 　 　 ． ７．变量ξ的分布列如下： ξ － １ ０ １ Ｐ ａ ｂ ｃ 其中ａ ＋ ｃ ＝ ２ｂ，若Ｅ（ξ）＝ １３，则Ｄ（ξ）的值是 　 　 　 　                                                                       ． —１１２— 三、解答题 ８．一家面包房根据以往某种面包的销售记录， 绘制了日销售量的频率分布直方图，如图 所示． 将日销售量落入各组的频率视为概率，并假 设每天的销售量相互独立． （１）求在未来连续３天里，有连续２天的日销 售量都不低于１００个且另１天的日销售量低 于５０个的概率； （２）用Ｘ表示在未来３天里日销售量不低于 １００个的天数，求随机变量Ｘ的分布列，期望 Ｅ（Ｘ）及方差Ｄ（Ｘ）． ９． Ａ、Ｂ两个投资项目的利润率分别为随机变量 Ｘ１和Ｘ２，根据市场分析，Ｘ１和Ｘ２的分布列分 别为 Ｘ１ ５％ １０％ Ｐ ０． ８ ０． ２ Ｘ２ ２％ ８％ １２％ Ｐ ０． ２ ０． ５ ０． ３ （１）在Ａ，Ｂ两个项目上各投资１００万元，Ｙ１ （万元）和Ｙ２（万元）分别表示投资项目Ａ和Ｂ 所获得的利润，求方差Ｄ（Ｙ１），Ｄ（Ｙ２）； （２）将ｘ（０≤ ｘ≤ １００）万元投资Ａ项目， （１００ － ｘ）万元投资Ｂ项目，ｆ（ｘ）表示投资Ａ 项目所得利润的方差与投资Ｂ项目所得利润 的方差和，求ｆ（ｘ）的最小值，并指出ｘ为何值 时，ｆ（ｘ）取到最小值                                                                     ． —１１３— 名<0.即片>0， 9.()由已得小明中奖的概率为号，小红中奖的概率为号，两人 a与b同号. 中奖与否互不彩响，记“这2人的累计得分X∈3”为事件A,则事 ·E的分布列为： 件A的对立事件灯X=5,因为PX=5)=号×号=言，所以 P(A)=1-P(X=5)= 5所以这两人的累计得分X≤3的概率 1 39 B()=0x+1x号+2x号= 4 (2)设小明，小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X,都选择 4.BC由题意E()=P+2(1-p)=(p-1)2+1,由于0<p< 方案乙抽奖中奖的次数为X,,则这两人选择方案甲抽奖累计 1.所以E()随着P的增大而减小，A错，B正确.又p-p= 得分的数学期望为E(2X,),选择方案乙抽奖累计得分的数学 p1-p)<1-p,所以C正确p=子时P(专=2)=子，而P(5 期望为E(3X2). ==(2)->D精，故法C 由已知得-2号)X-2,号) 24 2 4 5号0=46-2B(0)=4B(G)-27=4B(E)-2(E 所以BX)=2×行=3，B(X)=2×了=5 =99 号号=1x好+2xm+3xm+4×，又对+m+n+ 所以E(2)=2B0X)=号，B(3U)=3B()=号 因为E(2X,)>E(3X,),所以他们都选择方案甲进行抽奖时 1 =1,联立求解可得=3 累计得分的数学期望较大， 6.2设“？”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以 练案[15] 期望E(E)=1×P(E=1)+2×P(E=2)+3×P(E=3)=4x+2 =2. :A组·素养自测 7266 依题意，知专的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮， 1.AD0<a<,由随机变量6的分布列，得：B()=a-子 则凌轮结时比赛停止的概宰为号)+（兮）广=。若该轮结 .当a增大时，E()增大： =(-1-a+)x+(0-a+x(任-…） 3 束时比赛还将继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮 3 比赛结果对下轮比赛是否停止设有影醇从而有户心专=2)=号。 (1-a+4)xa=-a2+ 5.3 2a* 16 引+子 27 故()=2x号+4x别+6×9 0<a<心当a增大时，D()增大，故选AD 8.(1)[30,40),「40.50)、[50.60)三个年龄段的上网购物者 2.B由题意可得=-3,3，-1,1，其中P(=-3)=P(=3) 人数成等差数列. =0.53,P(5=-1)=P(E=1)=C(0.5)3=3×0.5 “,由频率分布直方图得 故随机变量II的分布列为 r(0.015+a+b+0.015+0.010)×10=1, 1 3 L2h=4+0.015 6×0.5 2×0.5 解得a=0.035,6=0.025 (2)利用分层抽样从样本中抽取10人， 故E(11)=-6×0.5'+3×2×0.5=1.5 其中属于高消费人群的有(a+b)×10×10=6人，属于潜在 D(11)=(1.5-1)2×6×0.53+(3-1.5)2×2×0.5=0.75 消费人群的有10-6=4人， 故选B. 从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X, 3.D由X的分布列知，P(X=0)=1-P,P(X=1)=P,故E(X) 则X的所有可能取值为：150,200,250,300. =0×(1-p)+1×p=p,易知N服从两点分布，D(X)=p(I -p). P(X=150)= 。 4.B由X~B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n= 100,p=0.2,由公式得D(X)=p(1-p)=100×0.2×0.8= P(X=250)= C 1 =6P0X=300)= 3 =309 16.因此D(4X+3)=4D(X)=16×16=256.故选B. ·X的分布列为： 5.B由已知可得：P(E=-1)=-a+b.P(E=0)=b,P(E=1) 150 200 250 300 =a+6,则-a+6+b+a+6=l,即6=分 2 1030 又E()=-1×(-a+b)+0×6+1×(a+b)=3,所以a B0=150x6+20×号+250× 2 0+300 30-210 -166 所以￡的分布列如下： ,X的分布列为 01 0 1 6 11 2222 (=0x+1×员+2×分D()=(0-)广 6 9 所以D()=×(-1-)+×(0-+ （-)=号故选B 15 6.0.196因为随机变量E~B(10,0.02),所以D(E)=10×0.02 =44 ×0.98=0.196. (2)Y的可能取值为1,2.3.显然X+Y=3 1号 设P(E=1)=a,P(5-2)=b, 法一：PY=1)=P(X=2)=22 则5+a+6=L, 9 PY=2)=P(X=1)=2 a+2b=1. 6 3 [a=5' PY=3)=P(X=0)= 解得 .y的分布列为 1 b=5 2 3 所以D)=号+号x0+x1=号 P 9 6 222 &子3≤≤8从二项分布叫，》 B门=1×克+2x是+3×片=3，D(0=-× 且=)=最C(”(-）最 品-引×品-引×-提 即n(兮广=名解得n=6, 法三：B(n=E(3-0=3-(0=号，D0=D(3-0= 4方差D)=p(1-p)=6×7×(-）号 (-100=培 9.(1)由0.2+0.3+p+0.1=1得p=0.4. 设甲、乙击中的环数分别为X,X2,则 B组·素养提升 Px=8)=0=01,PX=9)=品=02. 1Ac由分布列可知，P(K=0)=分。1-分专=右 P=10)=0=-04 80=(-1)×3+0×号+1×石=-3：00 P(X2=8)=0.3.P(X2=9)=0.4.P(X2=10)=0.1, (1+x+0+)x3++)x名=8 所以甲，乙各打一枪击中环数之和为18的概率为： P=0.1×0.1+0.3×0.4+0.2×0.4=0.21. 2.ABDX的所有可能取值为0,1,2,3,4.则P(X=0)= (2)甲的均值为E(X)=5×0.1+6×0.1+7×0.1+8×0.1 (-号1---)0 +9×0.2+10×0.4=8.4, 乙的均值为E(X:)=7×0.2+8×0.3+9×0.4+10×0.1= x=)=号×(-扩+(-)xGx×-》 8.4. 甲的方差为D(X)=(5-8.4)2×0.1+(6-8.4)2×0.1+(7 =24 -8.4)2×0.1+(8-8.4)2×0.1+(9-8.4)2×0.2+(10- 所以该游客至多游览一个景点的概率为P(X=0)+P(X=I) 8.4)2×0.4=3.04. 乙的方差为D(X2)=(7-8.4)2×0.2+(8-8.4)2×0.3+ =品+济故A正确 (9-8.4)2×0.4+(10-8.4)2×0.1=0.84. 因为D(X)>D(X),所以乙比甲技术稳定 x=2)=号xGx分×(-+(-)xGx(2)》 10.(1)X的可能取值为0,1,2. ×-)=冬放B正确 若X=0,表示没有取出次品，其概率为P(X=0)= P(X=4)=子×（侵广=故C错误 司理，有P(X=1)= 又(x=3)=号xG×(分x-)+(-)xG× P(X=2)= ()= -167 所以B(0=0×4+1×+2x 5 7 113 8+3×2+4×=6 -2)=C·0.6(1-0.6)=0.432,P(X-3)=C}·0.6= 0.216,则X的分布列为 故D正确.故选ABD 3.D由题意知 2 3 P 0.0640.2880.4320.216 1 [1×0.5+2x+3y= 「x= 8. 因为X-B(3,0.6),所以期望E(X)=3×0.6=1.8. 0.5+x+y=1 y=8 方差D(X)=3×0.6×(1-0.6)=0.72. (0=--)x+(2-xg+(3-× 9.(1)由题设可知Y,和Y2的分布列分别为 5 10 64 P 0.8 0.2 4.A因为该同学经过每个路口时，是否遇到红灯互不影响，所 Y: 3 以可看成3次独立重复试验，即X-(3,） P 0.20.5 0.3 则X的方差D()=3×行×-司)-号.所以y的方差 2 E(Y)=5×0.8+10×0.2=6, D(Y)=(5-6)2×0.8+(10-6)2×0.2=4: n0=3产，D(0=9×号 =6,所以Y的标准差为√D(万 E(Y2)=2×0.2+8×0.5+12×0.3=8,D(2)=(2-8)2× =6 0.2+(8-8)2×0.5+(12-8)2×0.3=12. 5.1.68由分布列的性质知b=1-0.5-0.1=0.4, (2n=p高·y）小+n(0o.) ,E(E)=4×0.5+0.1×a+9×0.4=0.1×a+5.6=63,∴a =7, =(高)+00)=高2+3(10-为 n~B(a,b),即n-B(7,0.4), D(n)=7×0.4×(1-0.4)=1.68. 004x2-600x+3×1002)为 6.3.36由题意得，随机变量X的可能取值为6,9,12 600 Pr-6是-名=-名 所以当x=2X4=75时代)取最小值3 C151 P(X=12)-Cx 、1 练案[16] 古则0=6×子+9×子+12×古A组·素养自测 =78,00=3×6-718)2+3×9-71.82+5×(2 7 7 1.B零件外直径X-N(10,0.04),.根据3o原则，产品外 直径在(10-3×0.2,10+3×0.2)即(9.4,10.6)之外时为异 -7.8)2-3.36. 常.9.4<9.75<10.6,9.35<9.4，∴.可认为上午生产情况 7号由条件可知2b=a+6,又a+6+c=36=山， 正常，下午生产情况异常，故选B 2.C易知标准正态分布密度曲线关于直线x=0对称，因此 6=于，a+e=32 =P1 3.BP(X>m-1)=P(X<2m+1),∴，m-1+2m+1=4,解 又B)=-a+e=3a= 6,c=2,放5的分布列为 得m=子放选B -1 4.ABD服从正态分布的随机变量是连续型随机变量，所以 P(IX1=a)=0,A正确.X-N(0,1),4=0,所以正态曲线关 于直线x=0对称，P(IX1<a)+2P(>a)=1.又P(X>) )=(-1-x+(0-)x号+(-3x +P(X<a)=1,所以P(IXI<a)+2[1-P(X<a)]=1,即 P(IXI<a)=2P(X<a）-1(a>0),所以B正确，C错误. P(IX1<a)+P(IX1>a)=I(a>0),D正确，故选ABD. 5.B由题意易知P(ξ>100)=0.5.P(100≤E≤120)=P(80< 8.(1)设A,表示事件“日销售量不低于100个”，A,表示事件 E≤100)=045..P(￡>120)=P(E>100)- “日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里有连 P(100<≤120)=0.05，故应从120分以上的试卷中抽取的 续2天的日销售量不低于100个且另1天的日销售量低于 试卷的份数为200×0.05=10. 50个，" 60.2由正态曲线关于直线x=u对称且在x=4处达到峰值 因为P(A,)=(0.006+0.004+0.002)×50=0.6 和其落在区间(0.2，+)内的概率为0.5，得4=0.2 P(A）=0.003×50=0.15,P(B)=0.6×0.6×0.15×2= :7.1正态总体的数据落在这两个区间的概率相等说明在这两 0.108. 个区间上位于正态曲线下方的面积相等，另外，因为区间 (2)X可能取的值为0,1,2,3，相应的概率为P(X=0)=C(1 (一3，-1)和区间(3,5)的长度相等，说明正态曲线在这两个 -0.6)=0.064,P(X=1)=C·0.6(1-0.6)2=0.288:P(X 区间上是对称的，我们需要找出对称轴.由于正态曲线关于直 -168