4.2.4 第1课时离散型随机变量的均值(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

所以的分布列是 故(0=0×名+1×5+2x古=号个). E 0 2 3 法二：由题意可知：X~H(10,3,2), P 0.001 0.027 0.243 0.729 )0.1.2. 练案[14] .X的分布列为 A组·素养自测 2 L.ABDA错误，随机变量的数学期望E(X)是个常量，是随机 1 7 变量X本身固有的一个数字特征.B错误，随机变量的均值反 15 15 映随机变量取值的平均水平，C正确，由均值的性质可知。D 错误，因为E(X)=x1++…+P 00=号个 2B设袋中有M个白球，从中任取2个球，取出白球的个数为10.(1)设“至少有一个系统不发生故降”为事件C, X则-7,2.a0,所以0=2兴-号所以n=3 那么P(G)1-rO1-0p号 3.AE()=0×0.7+1×0.1+2×0.1+3×0.1=0.6,E(n)= 0×0.5+1×0.3+2×0.2+3×0=0.7. 解得P=行 因为E(n)>E(E),故甲比乙质量好. (2)由题意，随机变量X的可能取值为0,1,2,3. 4.C设抽到的次品数为X,·共有N件产品，其中有M件次 品，从中不放回地抽取n件产品，∴抽到的次品数X服从参数 故Px=0)=C(广=aP(X=)=C(× 为N,M、n的超几何分布，.抽到次品数的数学期望值E(X) s (品x=2)=(×-怎， N 5.A由E(a吃+b)=aE(E)+b=2×3-6=0. Px=C--器 60.4x+y=0.6,7x+10y=8.9-0.8-2.7,解得=0.2 所以随机变量X的概率分布列为 1y=0.4 0 2 3 7号由题意知5的取值为012.6=0，表示X=y6=1表示【= 1 27 243 729 1000 1000 1000 1000 1,Y=2,或X=2,Y=3:=2表示X=1,Y=3 =0)=3时=02g3分 故随机变量X的数学期望： 33 00x高+1x品+2×器+3x温-品 1 243 P(5=2).2×3+A.4 33 -9 B组·素养提升 1.BC易知E(X)=1×(a+b)+2×(2a+b)+3×(3a+b)+4 E()=0×号+1×号+2×号=手 4 9=3 ×(4a+b)=3.即30a+10b=3. ① 又(a+b)+(2a+b)+(3a+b)+(4a+b)=1,即10a+4b= 8号由表可得0之-≤以面得pe【0,号1.期塑值 1, 9 (0≤p≤1， 1 ①2，得a=0b=0, B()=0×(分-p)+1xP+2×子=P+1,当且仅当p=子2.BD设甲品牌轿车首次出现故发生在保修期内°为事件 时，E(X)量大道=2 1期P)号2=0 9.(1)令4表示事件“三种棕子各取到1个”，则由古典概型的 依题意得，X的分布列为 概率计算公式有 X P(A)-CCC- 41 25 % 10 (2)法一：X的所有可能取值为0.1,2，且P(X=0)= 9-143 E(X)=1×23+2× +3×101 50 =2.86(万元). 0 CG- 3PX== 7 X,的分布列为 5 X: 1.8 2.9 P(X=2)= 9 P 综上知，X的分布列为 10 10 0 2 B()=18×0+2.9×0=279(万元). 9 7 7 因为E(X)>(X2),所以应生产甲品牌轿车 5 15 5 :3.A,抛物线的对称轴在y轴的左侧， 165 4<0，即>0， 9.(山)由已知得小明中奖的概半为号，小红中奖的概率为号两人 六a与b同号. 中奖与否互不影响，记“这2人的累计得分X≤3”为事件A,则事 ∴专的分布列为： 件A的对拉事件为X=5.因为PX=5=号×号-告，所以 P(A)=1-P(X=5)= 5所以这两人的累计得分X≤3的概率 1 B)=0×+1x号+2x号=8 始 (2)设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖的次数为X,都选择 4BC由题意E()=P+2(1-p)=(P-1)2+1,由于0<p< 方案乙抽奖中奖的次数为X2,则这两人选择方案甲抽奖紫计 1,所以E()随着p的增大而减小，A错，B正确，又P-p= 得分的数学期望为E(2X,),选择方案乙抽奖累计得分的数学 pn1-p)<1-p,所以C正确P=子时P(g=2)=},而P氏专 期望为E(3X2) 已知得X-2,号)~82，号) 所以)=2x号-子，6()=2x号号 24 4 5号7=45-2E(m)=4E(6)-27=4·5(6)-2=E(E0 =号=1x行+2×m+3n+4×7又行+m+a+ 所以E(2,)=2B(X)=号E(3)=3E()=号 因为E(2X,)>E(3X),所以他们都选择方案甲进行抽奖时， =1,联立求解可得m=了 1 累计得分的数学期望较大 62设“？”处为x,“!”处为y,则由分布列的性质得2x+y=1,所以 练案[15] 期望E()=1×P(E=1)+2×P(E=2)+3×P(E=3)=4x+2 =2 :A组·素养自测 7266 81 依题意，知的所有可能值为2,4,6，设每两局比赛为一轮， 1.AD0<a<子，由随机变量5的分布列，得：B(6)=a- 4 则该轮站束时比赛停化的概率为（子）+（兮）=子若该轮站 .当a增大时，E()增大： 3 束时比赛还将继续，则甲，乙在该轮中必是各得一分，此时，该轮 )=(-1-a+x子+0-a+×(片小 (1-a+×a- 5.3 比赛结果对下轮比赛是否停止没有彩响从商有P(=2)=子 2+ 16 .520 16 4 故)=2x号+4×引+6× 0<a<4六当a增大时，D()增大，故选AD 8.(1):[30.40)、[40.50)、[50.60)三个年龄段的上网购物者 2.B由题意可得=-3.3，-1,1，其中P(5=-3)=P(=3) 人数成等差数列， =0.5,P(E=-1)=P(E=1)=C(0.5)3=3×0.5 ∴由频率分布直方图得 故随机变量1的分布列为 f(0.015+a+b+0.015+0.010)×10=1, 1针 1 3 L2b=a+0.015. 6×0.5 2×0.5 解得a=0.035.b=0.025 (2)利用分层抽样从样本中抽取10人， 故E(11)=6×0.5+3×2×0.53=1.5 其中属于高消费人群的有(a+6)×10×10=6人，属于潜在 D(11)=(1.5-1)2×6×0.5+(3-1.5)2×2×0.5=0.75 消费人群的有10-6=4人 放选B. 从中取出3人，并计算3人所获得代金券的总和X, 3.D由X的分布列知，P(X=0)=1-P,P(X=1)=p,故E(X) 则X的所有可能取值为：150.200.250,300 =0×(1-p)+1×P=p,易知X服从两点分布，D(X)=p(I P(X=150)= 4.B由X~B(100,0.2)知随机变量X服从二项分布，且n= P(X=250)= CC C 1 100,p=0.2,由公式得D(X)=p(1-p）=100×0.2×0.8= =0PX=30)= 3 =30 16.因此D(4X+3)=4D(X)=16×16=256,故选B. 二，X的分布列为： 5.B由已知可得：P(E=-1)=-a+b,P(E=0)=b,P(E=1) 150 200 250 300 =a+b,则-a+6+b+a+b=1,即b=宁， 1030 1 6 又E()=-1×(-a+b)+0×b+1×(a+b)=3,所以a E0=150×6+20×7+250×+300×0=210, : —166练案［１４］ 第四章　 概率与统计 ４． ２　 ［４． ２． ４　 第１课时　 离散型随机变量的均值］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列说法不正确的是 （　 ） Ａ．随机变量Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）是个变量，其 随Ｘ的变化而变化 Ｂ．随机变量的均值反映样本的平均水平 Ｃ．若随机变量Ｘ的数学期望Ｅ（Ｘ）＝ ２，则 Ｅ（２Ｘ）＝ ４ Ｄ．随机变量Ｘ的均值Ｅ（Ｘ）＝ ｘ１ ＋ ｘ２ ＋…＋ ｘｎｎ ２．设口袋中有黑球、白球共７个，从中任取２个 球，已知取到白球个数的数学期望值为６７，则 口袋中白球的个数为 （Ｂ ） Ａ． ２ Ｂ． ３ Ｃ． ４ Ｄ． ５ ３．甲、乙两台自动车床生产同种标准件，ξ表示 甲车床生产１ ０００件产品中的次品数，η表示 乙车床生产１ ０００件产品中的次品数，经一段 时间考察，ξ，η的分布列分别是： ξ ０ １ ２ ３ Ｐ ０． ７ ０． １ ０． １ ０． １ η ０ １ ２ ３ Ｐ ０． ５ ０． ３ ０． ２ ０ 据此判定 （Ａ ） Ａ．甲比乙质量好 Ｂ．乙比甲质量好 Ｃ．甲与乙质量相同 Ｄ．无法判定 ４．有Ｎ件产品，其中有Ｍ件次品，从中不放回地抽 ｎ件产品，抽到次品数的数学期望值是（Ｃ ） Ａ． ｎ Ｂ．（ｎ － １）ＭＮ Ｃ． ｎＭＮ Ｄ．（ｎ ＋ １） Ｍ Ｎ ５．如果ａ１，ａ２，ａ３，ａ４，ａ５，ａ６ 的期望为３，那么 ２（ａ１ － ３），２（ａ２ － ３），２（ａ３ － ３），２（ａ４ － ３）， ２（ａ５ － ３），２（ａ６ － ３）的期望是 （Ａ ） Ａ． ０ Ｂ． ３ Ｃ． ６ Ｄ． １２ 二、填空题 ６．某射手射击所得环数Ｘ的分布列如下： Ｘ ７ ８ ９ １０ Ｐ ｘ ０． １ ０． ３ ｙ 已知Ｘ的期望Ｅ（Ｘ）＝８．９，则ｘ的值为　 　 　 　 ． ７．一袋中装有分别标记着１，２，３数字的３个小 球，每次从袋中取出一个球（每只小球被取到 的可能性相同），现连续取３次球，若每次取 出一个球后放回袋中，记３次取出的球中标号 最小的数字与最大的数字分别为Ｘ，Ｙ，设ξ ＝ Ｙ － Ｘ，则Ｅ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． ８．设ｐ为非负实数，随机变量Ｘ的概率分布为： Ｘ ０ １ ２ Ｐ １２ － ｐ ｐ １ ２ 则Ｅ（Ｘ）的最大值为　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中 装有１０个粽子，其中豆沙粽２个，肉粽３个， 白粽５个，这三种粽子的外观完全相同．从中 任意选取３个． （１）求三种粽子各取到１个的概率； （２）设Ｘ表示取到的豆沙粽个数，求Ｘ的分布 列与数学期望                                                                ． —１０８— １０．某居民小区有两个相互独立的安全防范系 统（简称系统）Ａ和Ｂ，系统Ａ和系统Ｂ在任 意时刻发生故障的概率分别为１１０和ｐ． （１）若在任意时刻至少有一个系统不发生故 障的概率为４９５０，求ｐ的值； （２）设系统Ａ在３次相互独立的检测中不发 生故障的次数为随机变量Ｘ，求Ｘ的概率分 布列及数学期望Ｅ（Ｘ）． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）离散型随机变量Ｘ的可能取值为１，２， ３，４，Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ ａｋ ＋ ｂ（ｋ ＝ １，２，３，４），Ｅ（Ｘ）＝ ３，则 （　 ） Ａ． ａ ＝ １０ Ｂ． ａ ＝ １１０ Ｃ． ｂ ＝ ０ Ｄ． ｂ ＝ １ ２．（多选）受轿车在保修期内维修费等因素的影 响，企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次 出现故障的时间有关．某轿车制造厂生产甲、 乙两种品牌轿车，保修期均为２年，现从该厂 已售出的两种品牌轿车中各随机抽取５０辆， 统计数据如表： 品牌 甲 乙 首次出现故 障的时间 ｘ（年） ０ ＜ ｘ ≤１ １ ＜ ｘ ≤２ ｘ ＞ ２ ０ ＜ ｘ ≤２ ｘ ＞ ２ 轿车数量（辆） ２ ３ ４５ ５ ４５ 每辆利润 （万元） １ ２ ３ １． ８ ２． ９ 将频率视为概率，则 （　 ） Ａ．从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一 辆，其首次出现故障发生在保修期内的概 率为１５ Ｂ．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆 甲品牌轿车的利润为Ｘ１，则Ｅ（Ｘ１）＝ ２． ８６ （万元） Ｃ．若该厂生产的轿车均能售出，记生产一辆 乙品牌轿车的利润为Ｘ２，则Ｅ（Ｘ２）＝ ２． ９９ （万元） Ｄ．该厂预计今后这两种品牌轿车的销量相 当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌 的轿车．若从经济效益的角度考虑，应生产 甲品牌的轿车 ３．已知抛物线ｙ ＝ ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ（ａ≠０）的对称轴 在ｙ轴的左侧，其中ａ、ｂ、ｃ∈｛－ ３，－ ２，－ １， ０，１，２，３｝，在这些抛物线中，记随机变量ξ ＝ ｜ａ － ｂ ｜的取值，则ξ的数学期望Ｅ（ξ）为（Ａ ） Ａ． ８９ Ｂ． ３ ５ Ｃ． ２ ５ Ｄ． １ ３ ４．（多选）设０ ＜ ｐ ＜ １，随机变量ξ的分布列如 下，则下列结论正确的有 （　 ） ξ ０ １ ２ ｐ ｐ － ｐ２ ｐ２ １ － ｐ Ａ． Ｅ（ξ）随着ｐ的增大而增大 Ｂ． Ｅ（ξ）随着ｐ的增大而减小 Ｃ． Ｐ（ξ ＝ ０）＜ Ｐ（ξ ＝ ２） Ｄ． Ｐ（ξ ＝ ２）                                                                       的值最大 —１０９— 二、填空题 ５．已知随机变量ξ和η，其中η ＝４ξ －２，且Ｅ（η）＝ ７，若ξ的分布列如下表，则ｎ的值为　 　 　 　 ． ξ １ ２ ３ ４ Ｐ １４ ｍ ｎ １ １２ ６．马老师从课本上抄录一个随机变量ξ的概率 分布列如表： ｔ １ ２ ３ Ｐ（ξ ＝ ｔ） ？ ！ ？ 请小牛同学计算ξ的数学期望，尽管“！”处完 全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能肯 定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出 了正确答案Ｅ（ξ）＝ 　 　 　 　 ． ７．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得 １分，负者得０分，比赛进行到有一人比对方 多２分或打满６局时停止．设甲在每局中获胜 的概率为２３，乙在每局中获胜的概率为 １ ３，且 各局胜负相互独立，则比赛停止时已打局数ξ 的期望Ｅ（ξ）为　 　 　 　 ． 三、解答题 ８．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与 调查的１ ０００位上网购物者的年龄情况如图 所示． （１）已知［３０，４０）、［４０，５０）、［５０，６０）三个年 龄段的上网购物者人数成等差数列，求ａ，ｂ的 值； （２）该电子商务平台将年龄在［３０，５０）之间的 人群定义为高消费人群，其他的年龄段定义 为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的 消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每 人发放５０元的代金券，潜在消费人群每人发 放１００元的代金券，现采用分层抽样的方式从 参与调查的１ ０００位上网购者中抽取１０人， 并在这１０人中随机抽取３人进行回访，求此 三人获得代金券总和Ｘ的分布列与数学 期望． ９．某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、 乙两种抽奖方案，方案甲的中奖率为２３，中奖 可以获得２分；方案乙的中奖率为２５，中奖可 以获得３分；未中奖则不得分．每人有且只有 一次抽奖机会，每次抽奖中奖与否互不影响， 晚会结束后凭分数兑换奖品． （１）若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙 抽奖，记他们的累计得分为Ｘ，求Ｘ≤３的 概率； （２）若小明、小红两人都选择方案甲或都选择 方案乙进行抽奖，则他们选择何种方案抽奖， 累计得分的数学期望较大                                                                      ？ —１１０—