4.2.3 二项分布与超几何分布(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１３］ 第四章　 概率与统计 ４． ２　 ［４． ２． ３　 二项分布与超几何分布］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列说法正确的是 （　 ） Ａ．某同学投篮的命中率为０． ６，他１０次投篮 中命中的次数Ｘ是一个随机变量，且Ｘ ～ Ｂ（１０，０． ６） Ｂ．某福彩的中奖概率为ｐ，某人一次买了８ 张，中奖张数Ｘ是一个随机变量，且Ｘ ～ Ｂ（８，ｐ） Ｃ．从装有５个红球、５个白球的袋中，有放回 地摸球，直到摸出白球为止，则摸球次数Ｘ 是随机变量，且Ｘ ～ Ｂ ｎ，１( )２ Ｄ．盒中有１０只螺丝钉，其中有３只是坏的， 现从盒中随机地抽取４个，取出好的螺丝 钉的只数Ｘ为随机变量，且Ｘ ～ Ｈ（１０，４，７） ２．某人通过普通话二级测试的概率为１４，若他连 续测试３次（各次测试互不影响），则其中恰 有一次通过的概率为 （Ｃ ） Ａ． １６４ Ｂ． １ １６ Ｃ． ２７ ６４ Ｄ． ３ ４ ３．某电子管正品率为３４，次品率为 １ ４，现对该批 电子管进行测试，设第ξ次首次测到正品，则 Ｐ（ξ ＝ ３）＝ （Ｃ ） Ａ． Ｃ２３ １( )４ ２ × ３４ Ｂ． Ｃ ２ ３ ３( )４ ２ × １４ Ｃ． １( )４ ２ × ３４ Ｄ． ３( )４ ２ × １４ ４．在４次独立重复试验中，随机事件Ａ恰好发生 １次的概率不大于其恰好发生２次的概率，则 事件Ａ在一次试验中发生的概率ｐ的取值范 围是 （Ａ ） Ａ．［０． ４，１） Ｂ．（０，０． ４］ Ｃ．［０． ６，１） Ｄ．（０，０． ６］ ５．甲、乙两人进行乒乓球比赛，比赛规则为“３局 ２胜”，即以先赢２局者为胜，根据经验，每局 比赛中甲获胜的概率为０． ６，则本次比赛甲获 胜的概率是 （Ｄ ） Ａ． ０． ２１６ Ｂ． ０． ３６ Ｃ． ０． ４３２ Ｄ． ０． ６４８ 二、填空题 ６．有ｎ位同学参加某项选拔测试，每位同学能通过 测试的概率都是ｐ（０ ＜ ｐ ＜１），假设每位同学能否 通过测试是相互独立的，则至少有一位同学通过 测试的概率为１ －（１ － ｐ）ｎ　 ． ７．如果Ｘ ～ Ｂ（２０，ｐ），当ｐ ＝ １２且Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）取得 最大值时，ｋ ＝ 　 　 　 　 ． ８．一盒中有１２个乒乓球，其中９个新的，３个旧 的，从盒中任取３个球来用，用完后装回盒中， 此时盒中旧球个数Ｘ是一个随机变量，则 Ｐ（Ｘ ＝ ４）的值为　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．从某小组的５名女生和４名男生中任选３人 去参加一项公益活动． （１）求所选３人中恰有一名男生的概率； （２）求所选３人中男生人数ξ的分布列                                                                ． —１０５— １０．某工厂为了检查一条流水线的生产情况，从 该流水线上随机抽取４０件产品，测量这些产 品的重量（单位：克），整理后得到如下的频 率分布直方图（其中重量的分组区间分别为 ［４９０，４９５］，（４９５，５００］，（５００，５０５］，（５０５， ５１０］，（５１０，５１５］）． （１）若从这４０件产品中任取２件，设Ｘ为重 量超过５０５克的产品数量，求随机变量Ｘ的 分布列； （２）若将该样本分布近似看作总体分布，现 从该流水线上任取５件产品，求恰有２件产 品的重量超过５０５克的概率． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）下列随机变量ξ服从二项分布的有 （　 ） Ａ．随机变量ξ表示重复抛掷一枚骰子ｎ次中 出现点数是３的倍数的次数； Ｂ．某射手击中目标的概率为０． ９，从开始射击 到击中目标所需的射击次数ξ； Ｃ．有一批产品共有Ｎ件，其中Ｍ件为次品， 采用有放回抽取方法，ξ表示ｎ次抽取中出 现次品的件数（Ｍ ＜ Ｎ）； Ｄ．有一批产品共有Ｎ件，其中Ｍ件为次品， 采用不放回抽取方法，ξ表示ｎ次抽取中出 现次品的件数． ２．（多选）某企业生产的１２个产品中有１０个一 等品，２个二等品，现从这批产品中任意抽取４ 个，则其中恰好有１个二等品的概率为 （　 ） Ａ． １ － Ｃ４１０ ＋ Ｃ ２ ２Ｃ ２ １０ Ｃ４１２ Ｂ． Ｃ０２Ｃ ４ １０ ＋ Ｃ １ ２Ｃ ３ １０ Ｃ４１００ Ｃ． １ － Ｃ１２ Ｃ４１２ Ｄ． Ｃ１２Ｃ ３ １０ Ｃ４１２ ３．位于坐标原点的一个质点Ｐ按下述规则移 动：质点每次移动一个单位，移动的方向为向 上或向右，并且向上、向右移动的概率都是１２ ． 质点Ｐ移动五次后位于点（２，３）的概率是 （Ｂ ） Ａ． １( )２ ５ Ｂ． Ｃ２５ １( )２ ５ Ｃ． Ｃ３５ １( )２ ３ Ｄ． Ｃ２５Ｃ ３ ５ １( )２ ５ ４．市场上供应的灯泡中，甲厂产品占７０％，乙厂 占３０％，甲厂产品的合格率为９５％，乙厂产品 的合格率是８０％，则从市场上买到一个是甲 厂生产的合格灯泡的概率是 （Ａ ） Ａ． ０． ６６５ Ｂ． ０． ５６ Ｃ． ０． ２４ Ｄ． ０． ２８５ 二、填空题 ５．设某１０件产品中含有ａ件次品，从中任取７ 件产品，其中含有的次品数为Ｘ，若Ｘ                                                                       的可能 —１０６— 取值中的最小值为２，则ａ ＝ 　 　 　 　 ． ６．设随机变量Ｘ ～ Ｂ（２，ｐ），Ｙ ～ Ｂ（４，ｐ），若Ｐ（Ｘ ≥１）＝ ５９，则Ｐ（Ｙ≥２）的值为　 　 　 　 ． ７．某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相 同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 １６ ２５，则该队员每次罚球的命中率为　 　 　 　 ． 三、解答题 ８．“石头、剪刀、布”是一种广泛流传于我国民间 的古老游戏，其规则是：用三种不同的手势分 别表示石头、剪刀、布；两个玩家同时出示各 自手势１次记为１次游戏，“石头”胜“剪刀”， “剪刀”胜“布”，“布”胜“石头”；双方出示的 手势相同时，不分胜负．现假设玩家甲、乙双 方在游戏时出示三种手势是等可能的． （１）求在１次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率； （２）若玩家甲、乙双方共进行了３次游戏，其 中玩家甲胜玩家乙的次数记作随机变量Ｘ，求 Ｘ的分布列． ９．某地区为下岗人员免费提供财会和计算机培 训，以提高下岗人员的再就业能力，每名下岗 人员可以选择参加一项培训、参加两项培训 或不参加培训，已知参加过财会培训的占 ６０％，参加过计算机培训的占７５％，假设每个 人对培训项目的选择是相互独立的，且各人 的选择相互之间没有影响． （１）任选１名下岗人员，求该人参加过培训的 概率； （２）任选３名下岗人员，记ξ为３人中参加过 培训的人数，求ξ的分布列                                                                     ． —１０７— 由于ｍ，ｎ∈Ｚ，ｍ，ｎ∈Ｓ且ｍ ＋ ｎ ＝ ０， 所以事件Ａ包含的基本事件为 （－ ２，２），（２，－ ２），（－ １，１），（１，－ １），（０，０）． （２）由于ｍ的所有不同取值为－ ２，－ １，０，１，２，３， 所以ξ ＝ ｍ２的所有不同取值为０，１，４，９，且有 Ｐ（ξ ＝ ０）＝ １６ ，Ｐ（ξ ＝ １）＝ ２ ６ ＝ １ ３ ， Ｐ（ξ ＝ ４）＝ ２６ ＝ １ ３ ，Ｐ（ξ ＝ ９）＝ １ ６ ． 故ξ的分布列为 ξ ０ １ ４ ９ Ｐ １６ １ ３ １ ３ １ ６ Ｂ组·素养提升 １． ＡＣ　 根据分布列的性质可知，所有的概率和等于１，故Ｂ选项 不能．而１１ × ２ ＋ １ ２ × ３ ＋…＋ １ ７ × ８ ＝ １ － １ ２ ＋ １ ２ － １ ３ ＋…＋ １ ７ － １８ ＝ １ － １ ８ ＝ ７ ８ ，所以Ｄ选项不能作为随机变量的分布列 的一组概率取值，故选ＡＣ． ２． ＡＢＣ　 Ｘ取一个可能值的概率的范围为（０，１），Ｘ取所有可能 值的概率之和为１，由概率加法得Ｘ取某两个可能值的概率 等于分别取其中两个值的概率之和，Ｘ在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以Ｄ错，故 选ＡＢＣ． ３． Ａ　 根据题意，有Ｐ（Ｘ≤４）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ３）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ４）．抛掷两颗骰子，按所得的点数共３６个基本事件，而Ｘ ＝ ２ 对应（１，１），Ｘ ＝ ３对应（１，２），（２，１），Ｘ ＝ ４对应（１，３），（３， １），（２，２）， 故Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ １３６，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ２ ３６ ＝ １ １８，Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ３ ３６ ＝ １ １２， 所以Ｐ（Ｘ≤４）＝ １３６ ＋ １ １８ ＋ １ １２ ＝ １ ６ ． ４． Ｃ　 由分布列性质可知ａ ＋ ｂ ＝ １２ ，而ａ ２ ＋ ｂ２≥（ａ ＋ ｂ） ２ ２ ＝ １ ８ ， 当且仅当ａ ＝ ｂ ＝ １４时取等号． ５． ０． １　 ０． ４５　 ０． ４５　 由分布列的性质得０． ２ ＋ ｘ ＋ ０． ２５ ＋ ０． １ ＋ ０． １５ ＋ ０． ２ ＝ １，解得ｘ ＝ ０． １；Ｐ（η ＞ ３）＝ Ｐ（η ＝ ４）＋ Ｐ（η ＝ ５） ＋ Ｐ（η ＝ ６）＝ ０． １ ＋ ０． １５ ＋ ０． ２ ＝ ０． ４５；Ｐ（１ ＜ η≤ ４）＝ Ｐ（η ＝ ２）＋ Ｐ（η ＝ ３）＋ Ｐ（η ＝ ４）＝ ０． １ ＋ ０． ２５ ＋ ０． １ ＝ ０． ４５． ６． ０． ６０　 因为Ｘ取偶数值时的概率为Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ ０． １０ ＋ ０． １０ ＋ ０． ２０ ＝ ０． ４０． 故Ｘ取奇数值的概率为１ － ０． ４０ ＝ ０． ６０． ７． ２３ 　 ２ ３ 　 Ｘ有１２个值且每个值的概率相同，则取每个值的概 率为１１２ ．于是Ｐ（Ｘ ＞ ８）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ９）＋ Ｐ（Ｘ ＝ １０）＋…＋ Ｐ（Ｘ ＝ １６）＝ ８ × １１２ ＝ ２ ３ ，Ｐ（６ ＜ Ｘ≤１４）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ７）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ８）＋… ＋ Ｐ（Ｘ ＝ １４）＝ ８ × １１２ ＝ ２ ３ ． ８．依题意，η的可能取值是５，６，７，８，９，１０，１１．则有Ｐ（η ＝ ５）＝ １ ４ × ４ ＝ １ １６，Ｐ（η ＝ ６）＝ ２ １６ ＝ １ ８ ，Ｐ（η ＝ ７）＝ ３ １６，Ｐ（η ＝ ８）＝ ４ １６ ＝ １４ ，Ｐ（η ＝ ９）＝ ３ １６，Ｐ（η ＝ １０）＝ ２ １６ ＝ １ ８ ，Ｐ（η ＝ １１）＝ １ １６ ． 所以η的分布列为 η ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｐ １１６ １ ８ ３ １６ １ ４ ３ １６ １ ８ １ １６ ９．（１）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为３２５０ × １００％ ＝ ６４％， 被调查者年龄的平均值约为： ２０ × ５ ＋ ３０ × １０ ＋ ４０ × １５ ＋ ５０ × １０ ＋ ６０ × ５ ＋ ７０ × ５ ５０ ＝ ４３（岁）． （２）依题意得ξ ＝ ０，１，２，３． Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ ２ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ ６１０ × １５ ４５ ＝ １ ５ ， Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＋ Ｃ２４ Ｃ２５ ·Ｃ １ ４·Ｃ１６ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × １５ ４５ ＋ ６ １０ × ２４ ４５ ＝ １０２ ２２５ ＝ ３４７５， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ １ ４·Ｃ１６ Ｃ２１０ ＋ Ｃ２４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ４ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × ２４ ４５ ＋ ６ １０ × ６ ４５ ＝ ６６ ２２５ ＝ ２２７５， Ｐ（ξ ＝ ３）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ４ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × ６ ４５ ＝ １２ ２２５ ＝ ４ ７５， 所以ξ的分布列是： ξ ０ １ ２ ３ Ｐ １５ ３４ ７５ ２２ ７５ ４ ７５ 练案［１３］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢＤ　 Ａ，Ｂ显然满足独立重复试验的条件，而Ｃ虽然是有放 回地摸球，但随机变量Ｘ的定义是直到摸出白球为止，也就是 说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布 的定义． Ｄ显然满足超几何分布的条件． ２． Ｃ　 其中恰有一次通过的概率为Ｃ１３ × １４ × １ －( )１４ ２ ＝ ２７６４ ． ３． Ｃ　 ξ ＝ ３表示前两次测到的均是次品，第三次测到正品， 所以Ｐ（ξ ＝ ３）＝ ( )１４ ２ × ３４ ． ４． Ａ　 由条件知Ｐ（ξ ＝ １）≤Ｐ（ξ ＝ ２）， ∴ Ｃ１４ｐ（１ － ｐ）３≤Ｃ２４ｐ２（１ － ｐ）２， ∴ ２（１ － ｐ）≤３ｐ，∴ ｐ≥０． ４，又０≤ｐ ＜ １，∴ ０． ４≤ｐ ＜ １． ５． Ｄ　 甲获胜有两种情况，一是甲以２０获胜，此时ｐ１ ＝ ０． ６２ ＝ ０． ３６；二是甲以２１获胜，此时ｐ２ ＝ Ｃ１２·０． ６ × ０． ４ × ０． ６ ＝ ０． ２８８，故甲获胜的概率ｐ ＝ ｐ１ ＋ ｐ２ ＝ ０． ６４８． ６． １ －（１ － ｐ）ｎ 　 所有同学都不通过的概率为（１ － ｐ）ｎ，故至少有 一位同学通过的概率为１ －（１ － ｐ）ｎ ． ７． １０　 当ｐ ＝ １２时，Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ Ｃ ｋ ２０ ( )１２ ｋ ·( )１２ ２０ － ｋ ＝ ( )１２ ２０ ·Ｃｋ２０，显然当ｋ ＝ １０时，Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）取得最大值． ８． ２７２２０　 因为此时盒中旧球个数Ｘ ＝ ４，即旧球增加一个，所以取 出的３个球中必有１个新球，２个旧球，所以Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｃ １ ９Ｃ ２ ３ Ｃ３１                                                                       ２ —１６３— ＝ ２７２２０． ９．（１）从某小组的５名女生和４名男生中任选３人，共有Ｃ３９ ＝ ８４ 种情况，所选３人中恰有一名男生的情况有Ｃ２５Ｃ１４ ＝ ４０种， 故所选３人中恰有一名男生的概率为４０８４ ＝ １０ ２１ ． （２）随机变量ξ的所有可能取值为０，１，２，３， Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ ３ ５ Ｃ３９ ＝ ５４２， Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ ２ ５Ｃ １ ４ Ｃ３９ ＝ １０２１， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ １ ５Ｃ ２ ４ Ｃ３９ ＝ ５１４， Ｐ（ξ ＝ ３）＝ Ｃ ３ ４ Ｃ３９ ＝ １２１ ． 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ ５４２ １０ ２１ ５ １４ １ ２１ １０．（１）根据频率分布直方图可知，重量超过５０５克的产品数量 为［（０． ０１ ＋ ０． ０５）× ５］× ４０ ＝ １２， 由题意得随机变量Ｘ的所有可能取值为０，１，２， Ｐ（Ｘ ＝０）＝ Ｃ ２ ２８ Ｃ２４０ ＝ ６３１３０，Ｐ（Ｘ ＝１）＝ Ｃ１２８Ｃ １ １２ Ｃ２４０ ＝ ２８６５， Ｐ（Ｘ ＝２）＝ Ｃ ２ １２ Ｃ２４０ ＝ １１１３０． ∴随机变量Ｘ的分布列为： Ｘ ０ １ ２ Ｐ ６３１３０ ２８ ６５ １１ １３０ （２）由题意得该流水线上产品的重量超过５０５克的概率为 ０． ３， 设Ｙ为从该流水线上任取５件产品重量超过５０５克的产品 数量，则Ｙ ～ Ｂ（５，０． ３）， 故所求概率为Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｃ２５ × ０． ３２ × ０． ７３ ＝ ０． ３０８ ７． Ｂ组·素养提升 １． ＡＣ　 对于Ａ，设事件Ａ为“抛掷一枚骰子出现的点数是３的倍 数”，Ｐ（Ａ）＝ １３ ．而在ｎ次独立重复试验中事件Ａ恰好发生了 ｋ次（ｋ ＝ ０，１，２，…，ｎ）的概率Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋｎ × ( )１３ ｋ × ( )２３ ｎ － ｋ ，符合二项分布的定义，即有ξ ～ Ｂ（ｎ，１３ ）． 对于Ｂ，ξ的取值是１，２，３，…，Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝０． ９ ×０．１ｋ －１（ｋ ＝１，２，３， …，ｎ），显然不符合二项分布的定义，因此ξ不服从二项分布． Ｃ和Ｄ的区别是：Ｃ是“有放回”抽取，而Ｄ是“无放回”抽取， 显然Ｄ中ｎ次试验是不独立的，因此ξ不服从二项分布，对于 ③有ξ ～ Ｂ ｎ，Ｍ( )Ｎ ． 故应填ＡＣ． ２． ＡＤ　 任意抽取４个产品有Ｃ４１２种不同的抽取方法，其中恰好 有１个二等品的抽取方法有Ｃ１２Ｃ３１０种，故所求事件的概率为 Ｃ１２Ｃ ３ １０ Ｃ４１２ ．“恰好有１个二等品”的对立事件是“没有二等品”或 “有２个二等品”，故Ａ选项也对． ３． Ｂ　 由于质点每次移动一个单位，移动的方向向上或向右，移 动五次后位于点（２，３），所以质点Ｐ必须向右移动二次，向上 移动三次，故其概率为Ｃ３５ ( )１２ ３ ( )１２ ２ ＝ Ｃ３５ ( )１２ ５ ＝ Ｃ２５ ( )１２ ５ ． ４． Ａ　 设Ａ ＝“从市场上买到一个灯泡是甲厂生产的”，Ｂ ＝“从 市场上买到一个灯泡是合格品”，则Ａ、Ｂ相互独立，则事件ＡＢ ＝“从市场上买到一个是甲厂生产的合格灯泡”． ∵ Ｐ（Ａ）＝０．７，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝０． ９５，∴ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝０． ７ ×０．９５ ＝０．６６５． ５． ５　 取出的７件产品中，要使所含的次品数最少，只需将（１０ － ａ）件正品都取出，然后再取２件次品即可，故（１０ － ａ）＋ ２ ＝ ７， 解得ａ ＝ ５． ６． １１２７ 　 由条件知，Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １ － Ｐ（Ｘ≥１）＝ ４ ９ ＝ Ｃ ０ ２ｐ ０（１ － ｐ）２， ∴ ｐ ＝ １３ ， ∴ Ｐ（Ｙ≥２）＝ １ － Ｐ（Ｙ ＝ ０）－ Ｐ（Ｙ ＝ １） ＝ １ － Ｃ０４ｐ ０（１ － ｐ）４ － Ｃ１４ｐ（１ － Ｐ）３ ＝ １ － １６８１ － ３２ ８１ ＝ １１ ２７ ． ７． ３５ 　 设篮球运动员罚球的命中率为ｐ，则由条件得Ｐ（ξ ＝ ２） ＝ １ － １６２５ ＝ ９ ２５，∴ Ｃ ２ ２·ｐ２ ＝ ９２５，∴ ｐ ＝ ３ ５ ． ８．（１）玩家甲、乙双方在１次游戏中出示手势的所有可能结果是 （石头，石头），（石头，剪刀），（石头，布），（剪刀，石头），（剪 刀，剪刀），（剪刀，布），（布，石头），（布，剪刀），（布，布），共９ 个基本事件．玩家甲胜玩家乙的基本事件分别是（石头，剪 刀），（剪刀，布），（布，石头），共有３个． 所以在１次游戏中玩家甲胜玩家乙的概率ｐ ＝ １３ ． （２）由题意知：Ｘ ＝ ０，１，２，３． ∵ Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ０３·( )２３ ３ ＝ ８２７， Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１３·( )１３ １ ·( )２３ ２ ＝ ４９ ， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３·( )１３ ２ ·( )２３ １ ＝ ２９ ， Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ３３·( )１３ ３ ＝ １２７ ． ∴ Ｘ的分布列如下： Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ ８２７ ４ ９ ２ ９ １ ２７ ９．（１）任选１名下岗人员，记“该人参加过财会培训”为事件Ａ， “该人参加过计算机培训”为事件Ｂ，则事件Ａ与Ｂ相互独立， 且Ｐ（Ａ）＝ ０． ６，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ７５．所以，该下岗人员没有参加过培 训的概率是 Ｐ（Ａ　Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ）＝（１ － ０． ６）×（１ － ０． ７５）＝ ０． １． 所以该人参加过培训的概率为１ － ０． １ ＝ ０． ９． （２）因为每个人的选择是相互独立的，所以３人中参加过培训 的人数ξ服从二项分布ξ ～ Ｂ（３，０． ９），Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ Ｃｋ３０． ９ｋ × ０． １３ － ｋ，ｋ ＝ ０，１，２，３                                                                       ， —１６４— 所以ξ的分布列是 ξ ０ １ ２ ３ Ｐ ０． ００１ ０． ０２７ ０． ２４３ ０． ７２９ 练案［１４］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢＤ　 Ａ错误，随机变量的数学期望Ｅ（Ｘ）是个常量，是随机 变量Ｘ本身固有的一个数字特征． Ｂ错误，随机变量的均值反 映随机变量取值的平均水平． Ｃ正确，由均值的性质可知． Ｄ 错误，因为Ｅ（Ｘ）＝ ｘ１ｐ１ ＋ ｘ２ｐ２ ＋…＋ ｘｎｐｎ ． ２． Ｂ　 设袋中有Ｍ个白球，从中任取２个球，取出白球的个数为 Ｘ，则Ｘ ～ Ｈ（７，２，Ｍ），所以Ｅ（Ｘ）＝ ２Ｍ７ ＝ ６ ７ ，所以Ｍ ＝ ３． ３． Ａ　 Ｅ（ξ）＝ ０ × ０． ７ ＋ １ × ０． １ ＋ ２ × ０． １ ＋ ３ × ０． １ ＝ ０． ６，Ｅ（η）＝ ０ × ０． ５ ＋ １ × ０． ３ ＋ ２ × ０． ２ ＋ ３ × ０ ＝ ０． ７． 因为Ｅ（η）＞ Ｅ（ξ），故甲比乙质量好． ４． Ｃ　 设抽到的次品数为Ｘ，∵共有Ｎ件产品，其中有Ｍ件次 品，从中不放回地抽取ｎ件产品，∴抽到的次品数Ｘ服从参数 为Ｎ、Ｍ、ｎ的超几何分布，∴抽到次品数的数学期望值Ｅ（Ｘ） ＝ ｎＭＮ ． ５． Ａ　 由Ｅ（ａξ ＋ ｂ）＝ ａＥ（ξ）＋ ｂ ＝ ２ × ３ － ６ ＝ ０． ６． ０． ４　 ∵ ｘ ＋ ｙ ＝ ０． ６，７ｘ ＋ １０ｙ ＝ ８． ９ － ０． ８ － ２． ７，解得ｘ ＝ ０． ２ ｙ ＝ ０．{ ４． ７． ４３ 　 由题意知ξ的取值为０、１、２，ξ ＝０，表示Ｘ ＝Ｙ；ξ ＝１表示Ｘ ＝ １，Ｙ ＝２，或Ｘ ＝２，Ｙ ＝３；ξ ＝２表示Ｘ ＝１，Ｙ ＝３． ∴ Ｐ（ξ ＝ ０）＝ ３ ３３ ＝ １９ ，Ｐ（ξ ＝ １）＝ ２ × ２ × ３ ３３ ＝ ４９ ， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ ２ × ３ ＋ Ａ ３ ３ ３３ ＝ ４９ ， ∴ Ｅ（ξ）＝ ０ × １９ ＋ １ × ４ ９ ＋ ２ × ４ ９ ＝ ４ ３ ． ８． ３２ 　 由表可得 ０≤ １２ － ｐ≤１， ０≤ｐ≤１{ ， 从而得ｐ∈［０，１２ ］，期望值 Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １２ －( )ｐ ＋ １ × ｐ ＋ ２ × １２ ＝ ｐ ＋ １，当且仅当ｐ ＝ １２ 时，Ｅ（Ｘ）最大值＝ ３２ ． ９．（１）令Ａ表示事件“三种粽子各取到１个”，则由古典概型的 概率计算公式有 Ｐ（Ａ）＝ Ｃ １ ２Ｃ １ ３Ｃ １ ５ Ｃ３１０ ＝ １４ ． （２）法一：Ｘ的所有可能取值为０，１，２，且Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ ３ ８ Ｃ３１０ ＝ ７ １５，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ１２Ｃ ２ ８ Ｃ３１０ ＝ ７１５， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ ２ ２Ｃ １ ８ Ｃ３１０ ＝ １１５ ． 综上知，Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ７１５ ７ １５ １ １５ 故Ｅ（Ｘ）＝ ０ × ７１５ ＋ １ × ７ １５ ＋ ２ × １ １５ ＝ ３ ５ （个）． 法二：由题意可知：Ｘ ～ Ｈ（１０，３，２）， ∴ Ｐ（ｘ ＝ ｋ）＝ Ｃ ｋ ２Ｃ ３ － ｋ ８ Ｃ３１０ ，ｋ ＝ ０，１，２． ∴ Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ ７１５ ７ １５ １ １５ ∴ Ｅ（Ｘ）＝ ２ × ３１０ ＝ ３ ５ （个）． １０．（１）设“至少有一个系统不发生故障”为事件Ｃ， 那么Ｐ（Ｃ）＝ １ － Ｐ（Ｃ）＝ １ － １１０·ｐ ＝ ４９ ５０ ． 解得ｐ ＝ １５ ． （２）由题意，随机变量Ｘ的可能取值为０，１，２，３． 故Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ Ｃ０３ １( )１０ ３ ＝ １１ ０００，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｃ １ ３ １( )１０ ２ × １ － １( )１０ ＝ ２７１ ０００，Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｃ２３ １( )１０ × １ － １( )１０ ２ ＝ ２４３１ ０００， Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ Ｃ３３ １ － １( )１０ ３ ＝ ７２９１ ０００． 所以随机变量Ｘ的概率分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １１ ０００ ２７ １ ０００ ２４３ １ ０００ ７２９ １ ０００ 故随机变量Ｘ的数学期望： Ｅ（Ｘ）＝ ０ × １１ ０００ ＋ １ × ２７ １ ０００ ＋ ２ × ２４３ １ ０００ ＋ ３ × ７２９ １ ０００ ＝ ２７ １０ ． Ｂ组·素养提升 １． ＢＣ　 易知Ｅ（Ｘ）＝ １ ×（ａ ＋ ｂ）＋ ２ ×（２ａ ＋ ｂ）＋ ３ ×（３ａ ＋ ｂ）＋ ４ ×（４ａ ＋ ｂ）＝ ３，即３０ａ ＋ １０ｂ ＝ ３． ① 又（ａ ＋ ｂ）＋（２ａ ＋ ｂ）＋（３ａ ＋ ｂ）＋（４ａ ＋ ｂ）＝ １，即１０ａ ＋ ４ｂ ＝ １， ② 由①②，得ａ ＝ １１０，ｂ ＝ ０． ２． ＢＤ　 设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 Ａ，则Ｐ（Ａ）＝ ２ ＋ ３５０ ＝ １ １０ ． 依题意得，Ｘ１的分布列为 Ｘ１ １ ２ ３ Ｐ １２５ ３ ５０ ９ １０ Ｅ（Ｘ１）＝ １ × １２５ ＋ ２ × ３ ５０ ＋ ３ × ９ １０ ＝ １４３ ５０ ＝ ２． ８６（万元）， Ｘ２的分布列为 Ｘ２ １． ８ ２． ９ Ｐ １１０ ９ １０ Ｅ（Ｘ２）＝ １． ８ × １１０ ＋ ２． ９ × ９ １０ ＝ ２． ７９（万元）． 因为Ｅ（Ｘ１）＞ Ｅ（Ｘ２），所以应生产甲品牌轿车． ３． Ａ　 ∵抛物线的对称轴在ｙ轴的左侧                                                                      ， —１６５—