4.2.2 离散型随机变量的分布列(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［１２］ 第四章　 概率与统计 ４． ２　 ［４． ２． ２　 离散型随机变量的分布列］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列问题中的随机变量服从两点分布 的是 （　 ） Ａ．抛掷一枚骰子，所得点数为随机变量Ｘ Ｂ．某射手射击一次，击中目标的次数为随机 变量Ｘ Ｃ．从装有５个红球，３个白球的袋中取１个 球，令随机变量Ｘ ＝ １，取出白球 ０，{ 取出红球 Ｄ．某医生做一次手术，手术成功的次数为随 机变量Ｘ ２．随机变量ξ的分布列如下． ξ ０ １ ２ Ｐ ａ ｂ ｃ 其中ａ ＋ ｃ ＝ ２ｂ，则函数ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ξ有且 只有一个零点的概率为 （Ｂ ） Ａ． １６ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ５ ６ ３．设Ｘ是一个离散型随机变量，其分布列为 Ｘ ０ １ Ｐ ９ａ２ － ａ ３ － ８ａ 则常数ａ的值为 （Ａ ） Ａ． １３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． １３或 ２ ３ Ｄ． － １ ３或－ ２ ３ ４．已知随机变量Ｘ的分布列为Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ １ ２ｋ ， ｋ ＝ １，２，…．则Ｐ（２ ＜ Ｘ≤４）等于 （Ａ ） Ａ． ３１６ Ｂ． １ ４ Ｃ． １ １６ Ｄ． １ ５ ５．两名学生参加考试，随机变量Ｘ代表通过的 学生数，其分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ １３ １ ２ ａ 那么这两人通过各自考试的概率的最小值分 别为 （Ｂ ） Ａ． １６； １ ３ Ｂ． １ ３； １ ３ Ｃ． １ ２； １ ３ Ｄ． １ ２； １ ２ 二、填空题 ６．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取 一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，记 下它的颜色，写出这两次取出白球数Ｘ的分 布列为　 　 　 　 　 　 　 ． ７．已知随机变量Ｘ的分布列如下： Ｘ １ ２ ３ ４ ５ Ｐ ０． １ ０． ２ ０． ４ ０． ２ ０． １ 若Ｙ ＝ ２Ｘ － ３，则Ｐ（Ｙ ＝ ５）的值为　 　 　 　 ． ８．设离散型随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ ３ ４ Ｐ ０． ２ ０． １ ０． １ ０． ３ ｍ 若随机变量Ｙ ＝ ｜ Ｘ － ２ ｜，则Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．一袋中装有６个同样大小的黑球，编号分别为 １，２，３，４，５，６，现从中同时取出３个球，以Ｘ表 示取出球的最大号码，求Ｘ的分布列                                                               ． —１０２— １０．设Ｓ是不等式ｘ２ － ｘ － ６≤０的解集，整数ｍ， ｎ∈Ｓ． （１）设“使得ｍ ＋ ｎ ＝ ０成立的有序数组（ｍ， ｎ）”为事件Ａ，试列举事件Ａ包含的基本 事件； （２）设ξ ＝ ｍ２，求ξ的分布列． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．（多选）设Ｘ是一个离散型随机变量，则下列 能作为Ｘ的分布列的一组概率数据是（　 ） Ａ． ０，１２，０，０， １ ２ Ｂ． ０． ２，０． ２，０． ３，０． ４ Ｃ． ｐ，１ － ｐ（０≤ｐ≤１） Ｄ． １１ × ２， １ ２ × ３，…， １ ７ × ８ ２．（多选）如果Ｘ是一个离散型随机变量，那么 下列命题为真命题的是 （　 ） Ａ． Ｘ取一个可能值的概率是非负实数 Ｂ． Ｘ取所有可能值的概率之和为１ Ｃ． Ｘ取某两个可能值的概率等于分别取其中 两个值的概率之和 Ｄ． Ｘ在某一范围内取值的概率大于它取这个 范围内各个值的概率之和 ３．抛掷两颗骰子，所得点数之和Ｘ是一个随机 变量，则Ｐ（Ｘ≤４）等于 （Ａ ） Ａ． １６ Ｂ． １ ３ Ｃ． １ ２ Ｄ． ２ ３ ４．若随机变量Ｘ的分布列如表所示，则ａ２ ＋ ｂ２ 的最小值为 （Ｃ ） Ｘ ０ １ ２ ３ Ｐ １４ ａ １ ４ ｂ Ａ． １２４ Ｂ． １ １６ Ｃ． １８ Ｄ． １ ４ 二、填空题 ５．已知随机变量η的分布列如表： η １ ２ ３ ４ ５ ６ Ｐ ０． ２ ｘ ０． ２５ ０． １ ０． １５ ０． ２ 则ｘ ＝ 　 　 　 　 ；Ｐ（η ＞ ３）＝ 　 　 　 　 ；Ｐ（１ ＜ η≤４）＝ 　 　 　 　 ． ６．由于电脑故障，使得随机变量Ｘ的分布列中 部分数据丢失，以□代替，其表如下： Ｘ １ ２ ３ ４ ５ ６ Ｐ ０． ２０ ０． １０ ０．□５ ０． １０ ０． １□ ０． ２０ 根据该表可知Ｘ取奇数值时的概率是　 　 　 　 ． ７．设随机变量Ｘ只能取５，６，７，…，１６这１２个 值，且取每个值的概率均相同，则Ｐ（Ｘ ＞ ８）＝ 　 　 　 　 ；Ｐ（６ ＜ Ｘ≤１４）＝ 　 　 　 　                                                                      ． —１０３— 三、解答题 ８．一个盒子里装有４张大小形状完全相同的卡 片，分别标有数字２，３，４，５；另一个盒子里也 装有４张大小形状完全相同的卡片，分别标有 数字３，４，５，６．现从一个盒子里任取一张卡 片，其上面的数记为ｘ，再从另一个盒子里任 取一张卡片，其上面的数记为ｙ，记随机变量 η ＝ ｘ ＋ ｙ，求η的分布列． ９．持续性的雾霾天气严重威胁着人们的身体健 康，汽车的尾气排放是造成雾霾天气的重要 因素之一．为此，某城市实施了机动车尾号限 行措施，该市某报社调查组为了解市区公众 对“车辆限行”的态度，随机抽查了５０人，将 调查情况进行整理后制成下表： 年龄（岁）［１５，２５）［２５，３５）［３５，４５）［４５，５５）［５５，６５）［６５，７５］ 频数 ５ １０ １５ １０ ５ ５ 赞成人数 ４ ６ ９ ６ ３ ４ （１）请估计该市公众对“车辆限行”的赞成率 和被调查者的年龄平均值； （２）若从年龄在［１５，２５），［２５，３５）的被调查 者中各随机选取两人进行追踪调查，记被选４ 人中不赞成“车辆限行”的人数为ξ，求随机变 量ξ的分布列                                                                       ． —１０４— ２． ＢＣＤ　 因为白球和黄球的个数和为３，所以取出的４个球中至 少有１个黑球，故Ｘ的可能取值为１，２，３． ３． Ｃ　 因为随机变量ξ的所有等可能取值为１，２，…，ｎ， 所以Ｐ（ξ ＝ ｋ）＝ １ｎ （ｋ ＝ １，２，…，ｎ）由题意，Ｐ（ξ ＜ ４）＝ Ｐ（ξ ＝ １）＋ Ｐ（ξ ＝ ２）＋ Ｐ（ξ ＝ ３）＝ ３ｎ ＝ ０． ３，所以ｎ ＝ １０． ４． Ｃ　 Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ Ｐ（Ｙ ＝ ４），所以ａ ＋ ｂ ＝ ４， ① Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｙ ＝ ７），所以２ａ ＋ ｂ ＝ ７， ② 由①②得，ａ ＝ ３，ｂ ＝ １，所以ａ ＋ ２ｂ ＝ ５． ５．｛３００，１００，－ １００，－ ３００｝　 可能回答全对，两对一错，两错一 对，全错四种结果，相应得分为３００ 分，１００ 分，－ １００ 分，－ ３００分． ６．｛１，２，３，４，５，６，７｝　 由于取到白球游戏结束，那么取球次数可 以是１，２，３，…，７． ７． Ｙ ＝ ５０Ｘ　 ０． ７　 由题意可知Ｙ ＝ ５０Ｘ，其中Ｘ∈｛０，１，２，３，…， ３０｝． ∵ Ｘ ＞ ２０，∴ Ｙ ＝ ５０Ｘ ＞ １ ０００． 又Ｐ（Ｘ ＞ ２０）＝ ０． ３，∴ Ｐ（Ｙ ＞ １ ０００）＝ ０． ３， ∴ Ｐ（Ｙ≤１ ０００）＝ １ － Ｐ（Ｙ ＞ １ ０００）＝ １ － ０． ３ ＝ ０． ７． ８．（１）Ｘ的取值范围为｛０，１，２｝． Ｘ ＝ ０表示所取的３个球都是黑球； Ｘ ＝ １表示所取的３个球中有１个白球，２个黑球； Ｘ ＝ ２表示所取的３个球中有２个白球，１个黑球． （２）Ｙ的取值范围为｛０，１，２，３，４，５｝． 用（ａ，ｂ）表示两枚骰子掷出的点数，其中ａ为第一枚骰子掷出 的点数，ｂ为第二枚骰子掷出的点数． Ｙ ＝ ０表示掷出的两枚骰子的点数相同，其包含的所有可能结 果有（１，１），（２，２），（３，３），（４，４），（５，５），（６，６）． Ｙ ＝ １表示掷出的两枚骰子的点数相差１，其包含的所有可能 结果有（１，２），（２，１），（２，３），（３，２），（３，４），（４，３），（４，５）， （５，４），（５，６），（６，５）． Ｙ ＝ ２表示掷出的两枚骰子的点数相差２，其包含的所有可能 结果有（１，３），（３，１），（２，４），（４，２），（３，５），（５，３），（４，６）， （６，４）． Ｙ ＝ ３表示掷出的两枚骰子的点数相差３，其包含的所有可能 结果有（１，４），（４，１），（２，５），（５，２），（３，６），（６，３）． Ｙ ＝ ４表示掷出的两枚骰子的点数相差４，其包含的所有可能 结果有（１，５），（５，１），（２，６），（６，２）． Ｙ ＝ ５表示掷出的两枚骰子的点数相差５，其包含的所有可能 结果有（１，６），（６，１）． ９．因为ｘ，ｙ可能取的值为１，２，３，所以｜ ｘ － ２ ｜ ＝ ０，１，｜ ｘ － ｙ ｜ ＝ ０， １，２，所以Ｘ ＝ ０，１，２，３， 所以Ｘ的取值范围为｛０，１，２，３｝． （２）用（ｘ，ｙ）表示第一次抽到卡片的号码为ｘ，第二次抽到卡 片的号码为ｙ，则随机变量Ｘ取各值的意义为：Ｘ ＝ ０表示两次 抽到卡片编号都是２，即（２，２）； Ｘ ＝ １表示（１，１），（２，１），（２，３）（３，３）； Ｘ ＝ ２表示（１，２）（３，２）； Ｘ ＝ ３表示（１，３）（３，１）． （３）由（２）知，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ２９ ． 练案［１２］ Ａ组·素养自测 １． ＢＣＤ　 Ａ中随机变量Ｘ的取值有６个，不服从两点分布，故 选ＢＣＤ． ２． Ｂ　 由题意知２ｂ ＝ ａ ＋ ｃ， ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ＝ １{ ，解得ｂ ＝ １３ ． ∵ ｆ（ｘ）＝ ｘ２ ＋ ２ｘ ＋ ξ有且只有一个零点， ∴ Δ ＝ ４ － ４ξ ＝ ０，解得ξ ＝ １， ∴ Ｐ（ξ ＝ １）＝ １３ ．故选Ｂ． ３． Ａ　 由分布列性质可得：９ａ２ － ａ ＋ ３ － ８ａ ＝ １， ∴ ９ａ２ － ９ａ ＋ ２ ＝ ０， ∴ ａ１ ＝ １ ３ ，ａ２ ＝ ２ ３ 当ａ ＝ ２３时，３ － ８ａ ＜ ０不合题意，∴ ａ ＝ １ ３ ，故选Ａ． ４． Ａ　 Ｐ（２ ＜ ｘ≤４）＝ Ｐ（ｘ ＝ ３）＋ Ｐ（ｘ ＝ ４）＝ １ ２３ ＋ １ ２４ ＝ ３１６ ． ５． Ｂ　 依题意得，这两名同学通过各自考试的事件是相互独立 的．设这两人通过各自考试的事件分别是Ａ，Ｂ，依题意得， ［１ － Ｐ（Ａ）］·［１ － Ｐ（Ｂ）］＝ １３ ，Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ）＝ １ － １ ３ － １ ２ ＝ １ ６ ，解得Ｐ（Ａ）＝ １ ３ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ２或Ｐ（Ａ）＝ １ ２ ，Ｐ（Ｂ）＝ １ ３ ． 所以这两人通过各自考试的概率的最小值均为１３ ．故选Ｂ． ６． Ｘ ０ １ ２ Ｐ １４ １ ２ １ ４ 由题意可得，随机变量Ｘ的所有可能取值为０，１，２． Ｐ（Ｘ ＝ ０）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ，Ｐ（Ｘ ＝ １）＝ ２ × １ ２ × １ ２ ＝ １ ２ ， Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ １２ × １ ２ ＝ １ ４ ． ∴ Ｘ的分布列为 Ｘ ０ １ ２ Ｐ １４ １ ２ １ ４ ７． ０． ２　 当Ｙ ＝ ５时，由２Ｘ － ３ ＝ ５得Ｘ ＝ ４， 所以Ｐ（Ｙ ＝ ５）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ０． ２． ８． ０． ５　 由离散型随机变量分布列的性质可得０． ２ ＋ ０． １ ＋ ０． １ ＋ ０． ３ ＋ ｍ ＝ １，∴ ｍ ＝ ０． ３， 则Ｐ（Ｙ ＝ ２）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ０）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ０． ２ ＋ ０． ３ ＝ ０． ５． ９．随机变量Ｘ的所有可能取值为３，４，５，６． 从袋中随机取３个球，包含的基本事件总数为Ｃ３６ ＝ ２０，事件 “Ｘ ＝ ３”包含的基本事件总数为Ｃ３３ ＝ １，事件“Ｘ ＝ ４”包含的基 本事件总数为Ｃ１１Ｃ２３ ＝ ３，事件“Ｘ ＝ ５”包含的基本事件总数为 Ｃ１１Ｃ ２ ４ ＝ ６，事件“Ｘ ＝ ６”包含的基本事件总数为Ｃ１１Ｃ２５ ＝ １０． 从而有Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ １２０，Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ３ ２０，Ｐ（Ｘ ＝ ５）＝ ６ ２０ ＝ ３ １０， Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ １０２０ ＝ １ ２ ， ∴随机变量Ｘ的分布列为 Ｘ ３ ４ ５ ６ Ｐ １２０ ３ ２０ ３ １０ １ ２ １０．（１）由ｘ２ － ｘ － ６≤０，得－ ２≤ｘ≤３， 即Ｓ ＝｛ｘ ｜ － ２≤ｘ≤３｝                                                                      ． —１６２— 由于ｍ，ｎ∈Ｚ，ｍ，ｎ∈Ｓ且ｍ ＋ ｎ ＝ ０， 所以事件Ａ包含的基本事件为 （－ ２，２），（２，－ ２），（－ １，１），（１，－ １），（０，０）． （２）由于ｍ的所有不同取值为－ ２，－ １，０，１，２，３， 所以ξ ＝ ｍ２的所有不同取值为０，１，４，９，且有 Ｐ（ξ ＝ ０）＝ １６ ，Ｐ（ξ ＝ １）＝ ２ ６ ＝ １ ３ ， Ｐ（ξ ＝ ４）＝ ２６ ＝ １ ３ ，Ｐ（ξ ＝ ９）＝ １ ６ ． 故ξ的分布列为 ξ ０ １ ４ ９ Ｐ １６ １ ３ １ ３ １ ６ Ｂ组·素养提升 １． ＡＣ　 根据分布列的性质可知，所有的概率和等于１，故Ｂ选项 不能．而１１ × ２ ＋ １ ２ × ３ ＋…＋ １ ７ × ８ ＝ １ － １ ２ ＋ １ ２ － １ ３ ＋…＋ １ ７ － １８ ＝ １ － １ ８ ＝ ７ ８ ，所以Ｄ选项不能作为随机变量的分布列 的一组概率取值，故选ＡＣ． ２． ＡＢＣ　 Ｘ取一个可能值的概率的范围为（０，１），Ｘ取所有可能 值的概率之和为１，由概率加法得Ｘ取某两个可能值的概率 等于分别取其中两个值的概率之和，Ｘ在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各个值的概率之和，所以Ｄ错，故 选ＡＢＣ． ３． Ａ　 根据题意，有Ｐ（Ｘ≤４）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ３）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ４）．抛掷两颗骰子，按所得的点数共３６个基本事件，而Ｘ ＝ ２ 对应（１，１），Ｘ ＝ ３对应（１，２），（２，１），Ｘ ＝ ４对应（１，３），（３， １），（２，２）， 故Ｐ（Ｘ ＝ ２）＝ １３６，Ｐ（Ｘ ＝ ３）＝ ２ ３６ ＝ １ １８，Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ ３ ３６ ＝ １ １２， 所以Ｐ（Ｘ≤４）＝ １３６ ＋ １ １８ ＋ １ １２ ＝ １ ６ ． ４． Ｃ　 由分布列性质可知ａ ＋ ｂ ＝ １２ ，而ａ ２ ＋ ｂ２≥（ａ ＋ ｂ） ２ ２ ＝ １ ８ ， 当且仅当ａ ＝ ｂ ＝ １４时取等号． ５． ０． １　 ０． ４５　 ０． ４５　 由分布列的性质得０． ２ ＋ ｘ ＋ ０． ２５ ＋ ０． １ ＋ ０． １５ ＋ ０． ２ ＝ １，解得ｘ ＝ ０． １；Ｐ（η ＞ ３）＝ Ｐ（η ＝ ４）＋ Ｐ（η ＝ ５） ＋ Ｐ（η ＝ ６）＝ ０． １ ＋ ０． １５ ＋ ０． ２ ＝ ０． ４５；Ｐ（１ ＜ η≤ ４）＝ Ｐ（η ＝ ２）＋ Ｐ（η ＝ ３）＋ Ｐ（η ＝ ４）＝ ０． １ ＋ ０． ２５ ＋ ０． １ ＝ ０． ４５． ６． ０． ６０　 因为Ｘ取偶数值时的概率为Ｐ（Ｘ ＝ ２）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ４）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ６）＝ ０． １０ ＋ ０． １０ ＋ ０． ２０ ＝ ０． ４０． 故Ｘ取奇数值的概率为１ － ０． ４０ ＝ ０． ６０． ７． ２３ 　 ２ ３ 　 Ｘ有１２个值且每个值的概率相同，则取每个值的概 率为１１２ ．于是Ｐ（Ｘ ＞ ８）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ９）＋ Ｐ（Ｘ ＝ １０）＋…＋ Ｐ（Ｘ ＝ １６）＝ ８ × １１２ ＝ ２ ３ ，Ｐ（６ ＜ Ｘ≤１４）＝ Ｐ（Ｘ ＝ ７）＋ Ｐ（Ｘ ＝ ８）＋… ＋ Ｐ（Ｘ ＝ １４）＝ ８ × １１２ ＝ ２ ３ ． ８．依题意，η的可能取值是５，６，７，８，９，１０，１１．则有Ｐ（η ＝ ５）＝ １ ４ × ４ ＝ １ １６，Ｐ（η ＝ ６）＝ ２ １６ ＝ １ ８ ，Ｐ（η ＝ ７）＝ ３ １６，Ｐ（η ＝ ８）＝ ４ １６ ＝ １４ ，Ｐ（η ＝ ９）＝ ３ １６，Ｐ（η ＝ １０）＝ ２ １６ ＝ １ ８ ，Ｐ（η ＝ １１）＝ １ １６ ． 所以η的分布列为 η ５ ６ ７ ８ ９ １０ １１ Ｐ １１６ １ ８ ３ １６ １ ４ ３ １６ １ ８ １ １６ ９．（１）该市公众对“车辆限行”的赞成率约为３２５０ × １００％ ＝ ６４％， 被调查者年龄的平均值约为： ２０ × ５ ＋ ３０ × １０ ＋ ４０ × １５ ＋ ５０ × １０ ＋ ６０ × ５ ＋ ７０ × ５ ５０ ＝ ４３（岁）． （２）依题意得ξ ＝ ０，１，２，３． Ｐ（ξ ＝ ０）＝ Ｃ ２ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＝ ６１０ × １５ ４５ ＝ １ ５ ， Ｐ（ξ ＝ １）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ６ Ｃ２１０ ＋ Ｃ２４ Ｃ２５ ·Ｃ １ ４·Ｃ１６ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × １５ ４５ ＋ ６ １０ × ２４ ４５ ＝ １０２ ２２５ ＝ ３４７５， Ｐ（ξ ＝ ２）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ １ ４·Ｃ１６ Ｃ２１０ ＋ Ｃ２４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ４ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × ２４ ４５ ＋ ６ １０ × ６ ４５ ＝ ６６ ２２５ ＝ ２２７５， Ｐ（ξ ＝ ３）＝ Ｃ １ ４ Ｃ２５ ·Ｃ ２ ４ Ｃ２１０ ＝ ４１０ × ６ ４５ ＝ １２ ２２５ ＝ ４ ７５， 所以ξ的分布列是： ξ ０ １ ２ ３ Ｐ １５ ３４ ７５ ２２ ７５ ４ ７５ 练案［１３］ Ａ组·素养自测 １． ＡＢＤ　 Ａ，Ｂ显然满足独立重复试验的条件，而Ｃ虽然是有放 回地摸球，但随机变量Ｘ的定义是直到摸出白球为止，也就是 说前面摸出的一定是红球，最后一次是白球，不符合二项分布 的定义． Ｄ显然满足超几何分布的条件． ２． Ｃ　 其中恰有一次通过的概率为Ｃ１３ × １４ × １ －( )１４ ２ ＝ ２７６４ ． ３． Ｃ　 ξ ＝ ３表示前两次测到的均是次品，第三次测到正品， 所以Ｐ（ξ ＝ ３）＝ ( )１４ ２ × ３４ ． ４． Ａ　 由条件知Ｐ（ξ ＝ １）≤Ｐ（ξ ＝ ２）， ∴ Ｃ１４ｐ（１ － ｐ）３≤Ｃ２４ｐ２（１ － ｐ）２， ∴ ２（１ － ｐ）≤３ｐ，∴ ｐ≥０． ４，又０≤ｐ ＜ １，∴ ０． ４≤ｐ ＜ １． ５． Ｄ　 甲获胜有两种情况，一是甲以２０获胜，此时ｐ１ ＝ ０． ６２ ＝ ０． ３６；二是甲以２１获胜，此时ｐ２ ＝ Ｃ１２·０． ６ × ０． ４ × ０． ６ ＝ ０． ２８８，故甲获胜的概率ｐ ＝ ｐ１ ＋ ｐ２ ＝ ０． ６４８． ６． １ －（１ － ｐ）ｎ 　 所有同学都不通过的概率为（１ － ｐ）ｎ，故至少有 一位同学通过的概率为１ －（１ － ｐ）ｎ ． ７． １０　 当ｐ ＝ １２时，Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）＝ Ｃ ｋ ２０ ( )１２ ｋ ·( )１２ ２０ － ｋ ＝ ( )１２ ２０ ·Ｃｋ２０，显然当ｋ ＝ １０时，Ｐ（Ｘ ＝ ｋ）取得最大值． ８． ２７２２０　 因为此时盒中旧球个数Ｘ ＝ ４，即旧球增加一个，所以取 出的３个球中必有１个新球，２个旧球，所以Ｐ（Ｘ ＝ ４）＝ Ｃ １ ９Ｃ ２ ３ Ｃ３１                                                                       ２ —１６３—