4.1.2 乘法公式与全概率公式(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［９］ 第四章　 概率与统计 ４． １　 ［４． １． ２　 乘法公式与全概率公式］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列说法一定不成立的是 （　 ） Ａ． Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＜ Ｐ（ＡＢ） Ｂ． Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ） Ｃ． Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）·Ｐ（Ｂ） Ｄ． Ｐ（Ａ ｜Ａ）＝ ０ ２．已知Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ １２，Ｐ（ＡＢ）＝ ３ ８，则Ｐ（Ａ）等于 （Ｃ ） Ａ． ３１６ Ｂ． １３ １６ Ｃ． ３４ Ｄ． １ ４ ３．某厂的产品中有４％的废品，在１００件合格品 中有７５件一等品，则在该厂的产品中任取一 件是一等品的概率为 （Ｂ ） Ａ． ０． ２１ Ｂ． ０． ７２ Ｃ． ０． ７５ Ｄ． ０． ９６ ４．设某医院仓库中有１０盒同样规格的Ｘ光片， 已知其中有５盒、３盒、２盒依次是甲厂、乙厂、 丙厂生产的．且甲、乙、丙三厂生产该种Ｘ光 片的次品率依次为１１０， １ １５， １ ２０，现从这１０盒中 任取一盒，再从这盒中任取一张Ｘ光片，则取 得的Ｘ光片是次品的概率为 （Ａ ） Ａ． ０． ０８ Ｂ． ０． １ Ｃ． ０． １５ Ｄ． ０． ２ ５．如果在上题中已知取得的Ｘ光片是次品，则 该次品是由甲厂生产的概率为 （Ｃ ） Ａ． ０． ０８５ Ｂ． ０． ２２６ Ｃ． ０． ６２５ Ｄ． ０． ８１５ 二、填空题 ６． ５张彩票中仅有１张中奖彩票，５个人依次摸 奖，则第二个人摸到中奖彩票的概率为　 　 　 　 　 ，第三个人摸到中奖彩票的概率为 　 　 　 　 ． ７．某保险公司把被保险人分为３类：“谨慎的” “一般的”“冒失的”．统计资料表明，这３类人 在一年内发生事故的概率依次为０． ０５，０． １５ 和０． ３０．如果“谨慎的”被保险人占２０％，“一 般的”被保险人占５０％，“冒失的”被保险人 占３０％，则一个被保险人在一年内出事故的 概率是　 　 　 　 ． ８．甲罐中有５个红球、２个白球和３个黑球，乙罐 中有４个红球、３个白球和３个黑球，先从甲罐 中随机取出一球放入乙罐，分别以Ａ１，Ａ２和Ａ３ 表示由甲罐中取出的球是红球、白球和黑球的 事件，再从乙罐中随机取出一球，以Ｂ表示由 乙罐中取出的球是红球的事件，则Ｐ（Ｂ）＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．三个罐子分别编号为１，２，３，其中１号罐中装 有２个红球和１个黑球，２号罐中装有３个红 球和１个黑球，３号罐中装有２个红球和２个 黑球，若某人从中随机取一罐，再从中任意取 出一球，求取得红球的概率                                                               ． —０９４— １０．设患肺结核病的患者通过胸透被诊断出的 概率为０． ９５，而未患肺结核病的人通过胸透 被误诊为有病的概率为０． ００２，已知某城市 居民患肺结核的概率为０． １％ ．若从该城市 居民中随机地选出一人，通过胸透被诊断为 肺结核，求这个人确实患有肺结核的概率． Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．一道考题有４个答案，要求学生将其中的一 个正确答案选择出来．某考生知道正确答案 的概率为１３，而乱猜正确的概率为 ２ ３ ．在乱猜 时，４个答案都有机会被他选择，如果他答对 了，则他确实知道正确答案的概率是（Ｂ ） Ａ． １３ Ｂ． ２ ３ Ｃ． ３４ Ｄ． １ ４ ２．某卡车为乡村小学运送书籍，共装有１０个纸 箱，其中５箱英语书、２箱数学书、３箱语文 书．到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪 一箱．现从剩下９箱中任意打开两箱，结果都 是英语书，则丢失的一箱也是英语书的概率 为 （Ｂ ） Ａ． ２９ Ｂ． ３ ８ Ｃ． １ １２ Ｄ． ５ ８ ３．盒中有ａ个红球，ｂ个黑球，今随机地从中取 出一个，观察其颜色后放回，并加上同色球ｃ 个，再从盒中抽取一球，则第二次抽出的是黑 球的概率是 （Ｃ ） Ａ． ｂａ ＋ ｂ ＋ ｃ Ｂ． ｂ ａ ＋ ｃ Ｃ． ｂａ ＋ ｂ Ｄ． ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ ４．（多选）在某一季节，疾病Ｄ１的发病率为２％， 病人中４０％表现出症状Ｓ，疾病Ｄ２的发病率 为５％，其中１８％表现出症状Ｓ，疾病Ｄ３的发 病率为０． ５％，症状Ｓ在病人中占６０％ ．则 （　 ） Ａ．任意一位病人有症状Ｓ的概率为０． ０２ Ｂ．病人有症状Ｓ时患疾病Ｄ１的概率为０． ４ Ｃ．病人有症状Ｓ时患疾病Ｄ２的概率为０． ４５ Ｄ．病人有症状Ｓ时患疾病Ｄ３的概率为０． ２５ 二、填空题 ５．某工厂有甲、乙、丙３个车间生产同一种产品， 产量依次占全厂的４５％，３５％，２０％，且各车 间的次品率分别为４％，２％，５％，现从一批产 品中检查出１个次品，则该次品由　 　 　 　 车 间生产的可能性最大． ６．某乡镇有甲、乙两家超市，在某一周内老王去 超市购物两次，第一次购物时随机地选择一 家超市购物．若第一次去甲超市，则第二次去 甲超市的概率为０． ４，若第一次去乙超市，则 第二次去甲超市的概率为０． ６，则老王第二次 去甲超市购物的概率为　 　 　 　 ． ７．设盒中有ｍ只红球，ｎ只白球，每次从盒中任 取一只球，看后放回，再放入ｋ只与所取颜色 相同的球．若在盒中连取四次，则第一次，第 二次取到红球，第三次，第四次取到白球的概 率为　 　 　 　 　 　 　 　 　                                                                      ． —０９５— 三、解答题 ８．学生在做一道有４个选项的选择题时，如果他 不知道问题的正确答案，就做随机猜测．现从 卷面上看题是答对了，试在以下情况下求学 生确实知道正确答案的概率． （１）学生知道正确答案和胡乱猜想的概率都 是１２； （２）学生知道正确答案的概率是０． ２． ９．在数字通讯中，信号是由数字０和１的长序列 组成的，由于随机干扰，发送的信号０或１各 有可能错误接收为１或０．现假设发送信号为 ０和１的概率均为１２；又已知发送信号为０ 时，接收为０和１的概率分别为０． ７和０． ３．发 送信号为１时，接收为１和０的概率分别为 ０． ９和０． １．求已知收到信号０时，发出的信号 是０（即没有错误接收）的概率                                                                      ． —０９６— 病，记事件Ｂ：某公司职员一小时内吸烟１０支未诱发脑血管 病，则由已知可得Ｐ（Ａ）＝ １ － ０． ０２ ＝ ０． ９８，Ｐ（Ｂ）＝ １ － ０． １６ ＝ ０． ８４，因此，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ） Ｐ（Ａ）＝ ０． ８４ ０． ９８ ＝ ６ ７ ，故选Ａ． ５． １６ 　 记“甲站在中间”为事件Ａ，“乙站在末尾”为事件Ｂ，则 ｎ（Ａ）＝ Ａ６６，ｎ（ＡＢ）＝ Ａ５５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ａ ５ ５ Ａ６６ ＝ １６ ． ６． ２７４００　 １ ２０ 　 从这批产品中随意地取一件，则这件产品恰好是次 品的概率是８１１ ２００ ＝ ２７ ４００． 方法一：已知取出的产品是甲厂生产的，则这件产品恰好是次 品的概率是２５５００ ＝ １ ２０ ． 方法二：设Ａ：“取出的产品是甲厂生产的”，Ｂ：“取出的产品为 次品”，则Ｐ（Ａ）＝ ５００１ ２００，Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ ２５ １ ２００，所以这件产品恰好 是甲厂生产的次品的概率是Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ａ∩Ｂ）Ｐ（Ａ） ＝ １ ２０ ． ７．设事件Ａ表示“选到第一组学生”， 事件Ｂ表示“选到共青团员”． （１）由题意，Ｐ（Ａ）＝ １０４０ ＝ １ ４ ． （２）解法一：要求的是在事件Ｂ发生的条件下，事件Ａ发生的 条件概率Ｐ（Ａ ｜Ｂ）．不难理解，在事件Ｂ发生的条件下（即以 所选到的学生是共青团员为前提），有１５种不同的选择，其中 属于第一组的有４种选择．因此，Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ４１５ ． 解法二：Ｐ（Ｂ）＝ １５４０ ＝ ３ ８ ，Ｐ（ＡＢ）＝ ４ ４０ ＝ １ １０， ∴ Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ）＝ ４ １５ ． ８．（１）从甲箱中任取２个产品的事件数为 Ｃ２８ ＝ ８ × ７ ２ ＝ ２８， 这２个产品都是次品的事件数为Ｃ２３ ＝ ３． ∴这２个产品都是次品的概率为３２８ ． （２）设事件Ａ为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件Ｂ１为 “从甲箱中取出２个产品都是正品”，事件Ｂ２为“从甲箱中取出１ 个正品１个次品”，事件Ｂ３ 为“从甲箱中取出２个产品都是次 品”，则事件Ｂ１、事件Ｂ２、事件Ｂ３彼此互斥． Ｐ（Ｂ１）＝ Ｃ ２ ５ Ｃ２８ ＝ ５１４，Ｐ（Ｂ２）＝ Ｃ１５Ｃ １ ３ Ｃ２８ ＝ １５２８， Ｐ（Ｂ３）＝ Ｃ ２ ３ Ｃ２８ ＝ ３２８， Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＝ ２３ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＝ ５ ９ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ ４ ９ ， ∴ Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ１）＋ Ｐ（Ｂ２）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ２）＋ Ｐ（Ｂ３） Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ ５１４ × ２ ３ ＋ １５ ２８ × ５ ９ ＋ ３ ２８ × ４ ９ ＝ ７ １２ ． 练案［９］ Ａ组·素养自测 １． ＡＤ　 ∵ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ），而０ ＜ Ｐ（Ａ）≤１，∴ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）≥ Ｐ（ＡＢ），故Ａ不成立；∵ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ），∴当Ｐ（ＡＢ） ＝ Ｐ（Ｂ）时，Ｂ成立；当Ａ、Ｂ相互独立时，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）· Ｐ（Ｂ），故Ｃ可能成立；Ｐ（Ａ ｜Ａ）＝ １，故Ｄ不成立．故选ＡＤ． ２． Ｃ　 由Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）Ｐ（Ａ），可得Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ３ ４ ．故 选Ｃ． ３． Ｂ　 设Ａ：任取的一件是合格品，Ｂ：任取的一件是一等品， 因为Ｐ（Ａ）＝ １ － Ｐ（Ａ）＝ ９６％，Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ７５％， 所以Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（ＡＢ）＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ ９６１００ × ７５ １００ ＝ ０． ７２． ４． Ａ　 以Ａ１，Ａ２，Ａ３分别表示取得的这盒Ｘ光片是由甲厂、乙厂、 丙厂生产的，Ｂ表示取得的Ｘ光片为次品， Ｐ（Ａ１）＝ ５１０，Ｐ（Ａ２）＝ ３ １０，Ｐ（Ａ３）＝ ２ １０， Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＝ １１０，Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＝ １ １５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）＝ １ ２０； 则由全概率公式，所求概率为Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２） Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＋Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ３）＝ ５１０ × １ １０ ＋ ３ １０ × １ １５ ＋ ２ １０ × １ ２０ ＝ ０．０８． ５． Ｃ　 以Ａ１，Ａ２，Ａ３分别表示取得的这盒Ｘ光片是由甲厂、乙厂、 丙厂生产的，Ｂ表示取得的Ｘ光片为次品， Ｐ（Ａ１）＝ ５１０，Ｐ（Ａ２）＝ ３ １０，Ｐ（Ａ３）＝ ２ １０， Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＝ １１０，Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＝ １ １５，Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）＝ １ ２０， 所以Ｐ（Ｂ）＝ ０． ０８，Ｐ（Ａ１ ｜ Ｂ）＝ Ｐ（Ａ１Ｂ）Ｐ（Ｂ） ＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ ｜Ａ１） Ｐ（Ｂ） ＝ ５ １０ × １ １０ ０． ０８ ＝ ０． ６２５． ６． １５ 　 １ ５ 　 记“第ｉ个人抽中中奖彩票”为事件Ａｉ，显然Ｐ（Ａ１） ＝ １５ ，则Ｐ（Ａ２）＝ Ｐ［Ａ２∩（Ａ１∪Ａ１）］＝ Ｐ（Ａ２∩Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２∩ Ａ１） ＝ Ｐ（Ａ２Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２Ａ１） ＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜ Ａ１）＋ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜ Ａ１）＝ １５ × ０ ＋ ４ ５ × １ ４ ＝ １５ ， Ｐ（Ａ３）＝ Ｐ［Ａ３∩（Ａ１Ａ２ ＋ Ａ１Ａ２ ＋ Ａ１Ａ２）＋ Ａ１Ａ２］ ＝ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＋ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＋ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３）＋ Ｐ（Ａ１Ａ２Ａ３） ＝ ０ ＋ ０ ＋ ０ ＋ Ｐ（Ａ３Ａ１Ａ２） ＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）Ｐ（Ａ３ ｜（Ａ１Ａ２）） ＝ ４５ × ３ ４ × １ ３ ＝ １ ５ ． ７． ０． １７５　 设Ｂ１ ＝“他是谨慎的”，Ｂ２ ＝“他是一般的”，Ｂ３ ＝“他 是冒失的”，则Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 构成了Ω的一个划分，设事件Ａ ＝ “出事故”，由全概率公式得， Ｐ（Ａ）＝３ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｂｉ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｉ）（ｉ ＝ １，２，３）＝ ０． ０５ × ２０％ ＋ ０． １５ × ５０％ ＋ ０． ３０ × ３０％ ＝ ０． １７５． ８． ９２２ 　 由题意Ａ１，Ａ２，Ａ３ 是两两互斥的事件，且Ａ１∪Ａ２∪Ａ３ ＝ Ω， 所以Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ［Ｂ∩（Ａ１∪Ａ２∪Ａ３）］ ＝ Ｐ（ＢＡ１）＋ Ｐ（ＢＡ２）＋ Ｐ（ＢＡ３） ＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＋ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ３）＝ ５１０ × ５ １１ ＋ ２ １０ × ４ １１ ＋ ３ １０ × ４ １１ ＝ ９ ２２                                                                       ． —１５８— ９．记Ｂｉ ＝｛球取自ｉ号罐｝（ｉ ＝ １，２，３，），Ａ ＝｛取得红球｝，显然Ａ 的发生总是伴随着Ｂ１，Ｂ２，Ｂ３ 之一同时发生，即Ａ ＝ ＡＢ１ ＋ ＡＢ２ ＋ ＡＢ３，且ＡＢ１，ＡＢ２，ＡＢ３两两互斥， Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）＝ ２３ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ２）＝ ３ ４ ，Ｐ（Ａ ｜Ｂ３）＝ １ ２ ， 所以Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ１）＋ Ｐ（ＡＢ２）＋ Ｐ（ＡＢ３）＝ ３ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｂｉ）Ｐ（Ａ ｜Ｂｉ） ＝ １３ × ２ ３ ＋ １ ３ × ３ ４ ＋ １ ３ × １ ２ ＝ ２３ ３６ ． １０．设Ａ表示“被诊断为肺结核”，Ｃ表示“患有肺结核”． 由题意得，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ００１，Ｐ（Ｃ）＝ ０． ９９９，Ｐ（Ａ ｜ Ｃ）＝ ０． ９５， Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＝ ０． ００２．由贝叶斯公式知， Ｐ（Ｃ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ） Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＋ Ｐ（Ｃ）Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＝ ４７５ １ ４７４． Ｂ组·素养提升 １． Ｂ　 设Ａ ＝“考生答对”，Ｂ ＝“考生知道正确答案”， 由全概率公式： Ｐ（Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂ）＝ １３ × １ ＋ ２ ３ × １ ４ ＝ １２ ． 又由贝叶斯公式： Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）Ｐ（Ａ） ＝ １ ３ １ ２ ＝ ２３ ． 故选Ｂ． ２． Ｂ　 用Ａ表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用Ｂｋ 表示丢失 的一箱为ｋ，ｋ ＝ １，２，３分别表示英语书、数学书、语文书． 由全概率公式得Ｐ（Ａ）＝３ ｋ ＝ １ Ｐ（Ｂｋ）Ｐ（Ａ ｜ Ｂｋ）＝ １２· Ｃ２４ Ｃ２９ ＋ １５· Ｃ２５ Ｃ２９ ＋ ３１０· Ｃ２５ Ｃ２９ ＝ ８３６ ． Ｐ（Ｂ１ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ ｜Ｂ１）Ｐ（Ａ） ＝ １ ２· Ｃ２４ Ｃ２９ Ｐ（Ａ） ＝ ３ ３６ ÷ ８ ３６ ＝ ３ ８ ．故 选Ｂ． ３． Ｃ　 设事件Ａ ＝｛第一次抽出的是黑球｝，事件Ｂ ＝｛第二次抽 出的是黑球｝，则Ｂ ＝ ＡＢ ＋ ＡＢ，由全概率公式Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ） Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）．由题意Ｐ（Ａ）＝ ｂａ ＋ ｂ，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ ｂ ＋ ｃ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ，Ｐ（Ａ）＝ ａ ａ ＋ ｂ，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ ｂ ａ ＋ ｂ ＋ ｃ，所以Ｐ（Ｂ）＝ ｂ（ｂ ＋ ｃ） （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）＋ ａｂ （ａ ＋ ｂ）（ａ ＋ ｂ ＋ ｃ）＝ ｂ ａ ＋ ｂ． ４． ＡＢＣ　 Ｐ（Ｄ１）＝ ０． ０２，Ｐ（Ｄ２）＝ ０． ０５，Ｐ（Ｄ３）＝ ０． ００５，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ１） ＝ ０． ４，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ２）＝ ０． １８，Ｐ（Ｓ ｜Ｄ３）＝ ０． ６， 由全概率公式得Ｐ（Ｓ）＝３ ｉ ＝ １ Ｐ（Ｄｉ）Ｐ（Ｓ ｜Ｄｉ） ＝ ０． ０２ × ０． ４ ＋ ０． ０５ × ０． １８ ＋ ０． ００５ × ０． ６ ＝ ０． ０２． 由贝叶斯公式得： Ｐ（Ｄ１ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ１）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ１）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ０２ × ０． ４ ０． ０２ ＝ ０． ４， Ｐ（Ｄ２ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ２）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ２）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ０５ × ０． １８ ０． ０２ ＝ ０． ４５， Ｐ（Ｄ３ ｜ Ｓ）＝ Ｐ（Ｄ３）Ｐ（Ｓ ｜Ｄ３）Ｐ（Ｓ） ＝ ０． ００５ × ０． ６ ０． ０２ ＝ ０． １５． ５．甲　 设Ａ１，Ａ２，Ａ３表示产品来自甲、乙、丙车间，Ｂ表示产品为 次品的事件，易知Ａ１，Ａ２，Ａ３ 是样本空间Ω中的事件，且有 Ｐ（Ａ１）＝ ０． ４５，Ｐ（Ａ２）＝ ０． ３５，Ｐ（Ａ３）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ ｜ Ａ１）＝ ０． ０４， Ｐ（Ｂ ｜Ａ２）＝ ０． ０２，Ｐ（Ｂ ｜Ａ３）＝ ０． ０５． 由全概率公式得Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ａ２）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ２）＋ Ｐ（Ａ３）Ｐ（Ｂ ｜ Ａ３）＝ ０． ４５ × ０． ０４ ＋ ０． ３５ × ０． ０２ ＋ ０． ２ × ０． ０５ ＝ ０． ０３５． 由贝叶斯公式得Ｐ（Ａ１ ｜Ｂ）＝ ０． ４５ × ０． ０４０． ０３５ ≈０． ５１４， Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ）＝ ０． ３５ × ０． ０２０． ０３５ ≈０． ２００， Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ）＝ ０． ２０ × ０． ０５０． ０３５ ≈０． ２８６， 所以，该次品由甲车间生产的可能性最大． ６． ０． ５　 设Ａ１为“第一次去甲超市购物”，Ｂ１ 为“第一次去乙超 市购物”，Ａ２为“第二次去甲超市购物”，则Ω ＝ Ａ１∪Ｂ１ 且Ａ１ 与Ｂ１互斥，得Ｐ（Ａ１）＝ Ｐ（Ｂ１）＝ ０． ５，Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＝ ０，４，Ｐ（Ａ２ ｜ Ｂ１）＝ ０． ６． 由全概率公式得 Ｐ（Ａ２）＝ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ａ１）＋ Ｐ（Ｂ１）Ｐ（Ａ２ ｜Ｂ１） ＝ ０． ５ × ０． ４ ＋ ０． ５ × ０． ６ ＝ ０． ５． ∴老王第二次去甲超市购物的概率为０． ５． ７． ｍｍ ＋ ｎ· ｍ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ｋ· ｎ ｍ ＋ ｎ ＋ ２ｋ· ｎ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ３ｋ 　 设Ｒｉ（ｉ ＝ １，２，３， ４）表示第ｉ次取到红球的事件，Ｒｉ（ｉ ＝ １，２，３，４）表示第ｉ次取 到白球的事件．则有 Ｐ（Ｒ１Ｒ２Ｒ３Ｒ４）＝Ｐ（Ｒ１）Ｐ（Ｒ２ ｜Ｒ１）Ｐ（Ｒ３ ｜（Ｒ１Ｒ２））Ｐ（Ｒ４ ｜（Ｒ１Ｒ２Ｒ３）） ＝ ｍｍ ＋ ｎ· ｍ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ｋ· ｎ ｍ ＋ ｎ ＋ ２ｋ· ｎ ＋ ｋ ｍ ＋ ｎ ＋ ３ｋ． ８．记事件Ａ为“题答对了”，事件Ｂ为“知道正确答案”，则按题 意有Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ １，Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ ０． ２５． （１）此时有Ｐ（Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ）＝ ０． ５，所以由贝叶斯公式得 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） ＝ ０． ５ × １０． ５ × １ ＋ ０． ５ × ０． ２５ ＝ ０． ８． （２）此时有Ｐ（Ｂ）＝ ０． ２，Ｐ（Ｂ）＝ ０． ８，所以由贝叶斯公式得 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ ｜Ｂ） ＝ ０． ２ × １０． ２ × １ ＋ ０． ８ × ０． ２５ ＝ ０． ５． ９．设事件Ａ０ ＝｛发送信号为０｝，事件Ａ１ ＝｛发送信号为１｝，事件 Ｂ０ ＝｛收到信号为０｝，事件Ｂ１ ＝｛收到信号为１｝．因为收到信 号为０时，除来自发送信号为０外，还由于干扰原因，发送信 号为１时，接收的信号也可能为０，因此导致事件Ｂ０发生的原 因有事件Ａ０ 与Ａ１，且它们互不相容，故Ａ０ 与Ａ１ 构成一完备 事件组．由题意有Ｐ（Ａ０）＝ Ｐ（Ａ１）＝ １２ ，Ｐ（Ｂ０ ｜Ａ０）＝０． ７，Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ１）＝０． １， 故Ｐ（Ｂ０）＝ Ｐ（Ａ０）Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ０）＋ Ｐ（Ａ１）Ｐ（Ｂ０ ｜ Ａ１）＝ １２ × ０． ７ ＋ １ ２ × ０． １ ＝ ０． ４． 由贝叶斯公式得收到信号０时，发出的信号是０的概率为 Ｐ（Ａ０ ｜Ｂ０）＝ Ｐ（Ａ０）Ｐ（Ｂ０ ｜Ａ０）Ｐ（Ｂ０） ＝ ０． ８７５． 练案［１０］ Ａ组·素养自测 １． ＡＣ　 把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结 果不受先后次序的影响，故Ａ中Ａ，Ｂ事件是相互独立事件；                                                                       Ｂ —１５９—