3.3 第2课时二项式系数的性质、杨辉三角(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［７］ Ａ组·素养自测 １． Ｃ　 令ｘ ＝ １，得出３槡ｘ － １槡( )ｘ ｎ 的展开式中各项系数和为（３ － １）ｎ ＝ ２５６，解得ｎ ＝ ８； ∴ ３槡ｘ － １槡( )ｘ ８ 的展开式通项公式为： Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃ ｒ ８·（３槡ｘ）８ － ｒ·－ １槡( )ｘ ｒ ＝（－ １）ｒ·３８ － ｒ·Ｃｒ８·ｘ４ － ｒ， 令４ － ｒ ＝ ０，解得ｒ ＝ ４． ∴展开式的常数项是Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｔ５，即第５项．故选Ｃ． ２． Ａ　 ９ｎ ＋ Ｃ１ｎ ＋ １·９ｎ － １ ＋…＋ Ｃｎ － １ｎ ＋ １·９ ＋ Ｃｎｎ ＋ １ ＝ １９ （９ ｎ ＋ １ ＋ Ｃ１ｎ ＋ １９ ｎ ＋…＋ Ｃｎ － １ｎ ＋ １９２ ＋ Ｃｎｎ ＋ １９ ＋ Ｃｎ ＋ １ｎ ＋ １）－ １９ ＝ １９ （９ ＋ １） ｎ ＋ １ － １９ ＝ １ ９ （１０ ｎ ＋ １ － １）是１１的倍数， ∴ ｎ ＋ １为偶数，∴ ｎ为奇数． ３． Ｄ　 由条件知，（ａ － １）２ ０２０ ＝ １，∴ ａ － １ ＝ ± １， ∵ ａ为正实数，∴ ａ ＝ ２． ∴展开式的第２ ０２０项为： Ｔ２ ０２０ ＝ Ｃ ２ ０１９ ２ ０２０·（２ｘ）·－ １( )ｘ ２ ０１９ ＝ － ２Ｃ１２ ０２０·ｘ － ２ ０１８ ＝ － ４ ０４０ｘ － ２ ０１８，故选Ｄ． ４． Ｃ　 二项式２ｘ ＋ ａ( )ｘ ７ 的通项公式为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ７（２ｘ）７ － ｒ ａ( )ｘ ｒ ＝ Ｃｒ７２ ７ － ｒａｒｘ７ － ２ｒ，令７ － ２ｒ ＝ － ３，得ｒ ＝ ５．故展 开式中１ ｘ３ 的系数是Ｃ５７２２ａ５ ＝ ８４，解得ａ ＝ １． ５． ＡＣＤ　 对任意实数ｘ， 有（２ｘ － ３）９ ＝ ａ０ ＋ ａ１（ｘ － １）＋ ａ２（ｘ － １）２ ＋ ａ３（ｘ － １）３ ＋…＋ ａ９（ｘ － １）９ ＝［－ １ ＋ ２（ｘ － １）］９， 所以ａ２ ＝ － Ｃ２９ × ２２ ＝ － １４４，故Ａ正确； 故令ｘ ＝ １，可得ａ０ ＝ － １，故Ｂ不正确； 令ｘ ＝ ２，可得ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ９ ＝ １，故Ｃ正确； 令ｘ ＝ ０，可得ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ ＋…－ ａ９ ＝ － ３９，故Ｄ正确． ６． ５　 １０　 令ｘ ＝ １，得２ｎ ＝ ３２，得ｎ ＝ ５，则Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ５·（ｘ２）５ － ｒ· １ ｘ( )３ ｒ ＝ Ｃｒ５·ｘ１０ － ５ｒ，令１０ － ５ｒ ＝ ０，ｒ ＝ ２．故常数项为Ｔ３ ＝ １０． ７． １或３８ 　 Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ８ｘ８ － ｒ － ａ( )ｘ ｒ ＝（－ ａ）ｒ·Ｃｒ８·ｘ８ － ２ｒ，令８ － ２ｒ ＝ ０得ｒ ＝ ４， 由条件知，ａ４Ｃ４８ ＝ １ １２０，∴ ａ ＝ ± ２， 令ｘ ＝ １得展开式各项系数的和为１或３８ ． ８． ５　 １０　 （ｘ － １）３ 展开式的通项Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ３ｘ３ － ｒ·（－ １）ｒ，（ｘ ＋ １）４展开式的通项Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃｋ４ｘ４ － ｋ，则ａ１ ＝ Ｃ０３ ＋ Ｃ１４ ＝ １ ＋ ４ ＝ ５；ａ２ ＝ Ｃ１３（－ １）１ ＋ Ｃ２４ ＝ ３；ａ３ ＝ Ｃ２３（－ １）２ ＋ Ｃ３４ ＝ ７；ａ４ ＝ Ｃ３３（－ １）３ ＋ Ｃ４４ ＝ ０．所以ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ ３ ＋ ７ ＋ ０ ＝ １０． ９．（１）令ｘ ＝ １，得： ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ＝（－ １）２ ０２１ ＝ － １． ① （２）令ｘ ＝ － １，得：ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ －…－ ａ２ ０２１ ＝ ３２ ０２１ ② ① －②得： ２（ａ１ ＋ ａ３ ＋…＋ ａ２ ０１９ ＋ ａ２ ０２１）＝ － １ － ３２ ０２１， ∴ ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ２ ０２１ ＝ － １ ＋ ３ ２ ０２１ ２ ． （３）∵ Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ２ ０２１·１２ ０２１ － ｒ·（－ ２ｘ）ｒ ＝（－ １）ｒ·Ｃｒ２ ０２１·（２ｘ）ｒ， ∴ ａ２ｋ － １ ＜ ０（ｋ∈Ｎ），ａ２ｋ ＞ ０（ｋ∈Ｎ）． ∴ ｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋ ｜ ａ３ ｜ ＋…＋ ｜ ａ２ ０２１ ｜ ＝ ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋…＋ ａ２ ０２０ － ａ２ ０２１ ＝ ３２ ０２１ ． １０．（１）由已知Ｃ１ｍ ＋ ２Ｃ１ｎ ＝ １１，所以ｍ ＋ ２ｎ ＝ １１，ｘ２ 的系数为 Ｃ２ｍ ＋ ２ ２Ｃ２ｎ ＝ ｍ（ｍ － １） ２ ＋ ２ｎ（ｎ － １） ＝ｍ ２ －ｍ ２ ＋（１１ －ｍ）· １１ －ｍ ２( )－１ ＝ ｍ － ２１( )４ ２ ＋３５１１６ ． 因为ｍ∈Ｎ， 所以ｍ ＝ ５时，ｘ２的系数取得最小值２２，此时ｎ ＝ ３． （２）由（１）知，当ｘ２的系数取得最小值时，ｍ ＝ ５，ｎ ＝ ３， 所以ｆ（ｘ）＝（１ ＋ ｘ）５ ＋（１ ＋ ２ｘ）３， 设这时ｆ（ｘ）的展开式为 ｆ（ｘ）＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋ ａ３ｘ３ ＋ ａ４ｘ４ ＋ ａ５ｘ５， 令ｘ ＝ １，ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＋ ａ５ ＝ ２５ ＋ ３３， 令ｘ ＝ － １，ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋ ａ４ － ａ５ ＝ － １， 两式相减得２（ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５）＝ ６０， 故展开式中ｘ的奇次幂项的系数之和为３０． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 第１行和第３行全是１，已经出现了２次，依题意，第６行 原来的数是Ｃｒ６，而Ｃ１６ ＝ ６为偶数，不合题意；第７行原来的数 是Ｃｒ７，即１，７，２１，３５，３５，２１，７，１全为奇数，一共有８个，全部 转化为１，这是第三次出现全为１的情况． ２． Ｃ　 令ｘ ＝ ０，可得ａ０ ＝ １， 令ｘ ＝ １２ ，可得０ ＝ １ ＋ ａ１ ２ ＋ ａ２ ２２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ２２ ０２１ ， ∴ ａ１ ２ ＋ ａ２ ２２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ２２ ０２１ ＝ － １，故选Ｃ． ３． ＡＢＤ　 由二项式系数的性质知Ｃ０１０ ＋ Ｃ１１０ ＋ Ｃ２１０ ＋…＋ Ｃ１０１０ ＝ ２１０ ＝ １ ０２４，故Ａ正确．二项式系数最大的项为Ｃ５１０，是展开式的 第６项，故Ｂ正确．由展开式的通项为Ｔｋ ＋ １ ＝ Ｃｋ１０ ａ１０ － ｋ（－ ｂ）ｋ ＝（－ １）ｋＣｋ１０ａ１０ － ｋｂｋ知，第６项的系数－ Ｃ５１０最小，故Ｄ正确． ４． ＣＤ　 对于Ａ，（１ － ｘ）２ ０２１的展开式中，常数项为１，令ｘ ＝ － １， 得所有项系数的绝对值的和为（１ ＋ １）２ ０２１ ＝ ２２ ０２１，所以展开式 中非常数项系数的绝对值的和为２２ ０２１ － １，所以Ａ中命题是 假命题；对于Ｂ，展开式的通项公式为Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ２ ０２１·（－ ｘ）ｒ ＝ （－ １）ｒＣｒ２ ０２１ｘｒ（ｒ ＝ ０，１，２，…，２ ０２１），所以系数最大的项是第 １ ０１１项，所以Ｂ中命题是假命题；对于Ｃ，令ｘ ＝ １，得（１ － １）２ ０２１ ＝ ０，易知展开式中奇数项系数为正，偶数项系数为负， 故展开式中偶数项的系数和是－ ２２ ０２０，所以Ｃ中命题是真命 题；对于Ｄ，当ｘ ＝ ２ ０２２时，（１ － ２ ０２２）２ ０２１ ＝ １ － Ｃ１２ ０２１ × ２ ０２２ ＋ Ｃ２２ ０２１ × ２ ０２２ －…－ ２ ０２２２ ０２１，展开式中不含２ ０２２的项是１， 所以当ｘ ＝ ２ ０２２时，（１ － ｘ）２ ０２１除以２ ０２２的余数为１，所以Ｄ 中命题是真命题．故选Ｄ． ５． ｎ（ｎ ＋ １）２ 　 观察给出各展开式中ｘ ２的系数：１，３，６，１０，据此可 猜测ａ２ ＝ ｎ（ｎ ＋ １）２ ． ６． １２０　 ｆ（３，０）＝ Ｃ３６ ＝ ２０，ｆ（２，１）＝ Ｃ２６Ｃ１４ ＝ ６０，ｆ（１，２）＝ Ｃ１６Ｃ２４ ＝ ３６，ｆ（０，３）＝ Ｃ３４ ＝ ４，所以ｆ（３，０）＋ ｆ（２，１）＋ ｆ（１，２）＋ ｆ（０，３） ＝ ２０ ＋ ６０ ＋ ３６ ＋ ４ ＝ １２０． ７． ３ ｎ ＋ １ ２ 　 设ｆ（ｘ）＝（１ ＋ ｘ ＋ ｘ ２）ｎ， 则ｆ（１）＝ ３ｎ ＝ ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ２ｎ， ① ｆ（－ １）＝ １ ＝ ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋…＋ ａ２ｎ，                                                                       ② —１５６— 由① ＋②得２（ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ２ｎ）＝ ｆ（１）＋ ｆ（－ １）， 所以ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ ｆ（１）＋ ｆ（－ １）２ ＝ ３ｎ ＋ １ ２ ． ８．设（２ｘ － ３ｙ）１０ ＝ ａ０ｘ１０ ＋ ａ１ｘ９ｙ ＋ ａ２ｘ８ｙ２ ＋…＋ ａ１０ｙ１０，（） 由于（）是恒等式，故可用“赋值法”求出相关的系数和． （１）二项式系数和为 Ｃ０１０ ＋ Ｃ １ １０ ＋…＋ Ｃ１０１０ ＝ ２１０ ． （２）令ｘ ＝ ｙ ＝ １，各项系数和为（２ － ３）１０ ＝（－ １）１０ ＝ １． （３）ｘ的奇次项系数和为ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ９ ＝ １ － ５ １０ ２ ； ｘ的偶次项系数和为ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ１０ ＝ １ ＋ ５ １０ ２ ． ９．（１）由题意知：Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒｎ２ ｒ ｘ２ｎ － ５ ２ ｒ，则第４项的系数为Ｃ３ｎ２３，倒 数第４项的系数为Ｃｎ － ３ｎ ２ｎ － ３，则有Ｃ ３ ｎ２ ３ Ｃｎ － ３ｎ ２ ｎ － ３ ＝ １ ２ ，即 １ ２ｎ － ６ ＝ １２ ， 所以ｎ ＝ ７． （２）由（１）可得Ｔｒ ＋ １ ＝ Ｃｒ７２ ｒ ｘ１４ － ５ ２ ｒ（ｒ ＝ ０，１，…，７）， 当ｒ ＝ ０，２，４，６时，所有的有理项为Ｔ１，Ｔ３，Ｔ５，Ｔ７， 即Ｔ１ ＝ Ｃ０７２０ｘ１４ ＝ ｘ１４，Ｔ３ ＝ Ｃ２７２２ｘ９ ＝ ８４ｘ９， Ｔ５ ＝ Ｃ ４ ７２ ４ｘ４ ＝ ５６０ｘ４，Ｔ７ ＝ Ｃ６７２６ｘ － １ ＝ ４４８ｘ － １ ． （３）设展开式中第ｒ ＋ １项的系数最大，则 Ｃｒ７２ ｒ≥Ｃｒ ＋ １７ ２ ｒ ＋ １ Ｃｒ７２ ｒ≥Ｃｒ － １７ ２ ｒ{ － １， ｒ ＋ １≥２（７ － ｒ）２（８ － ｒ）≥{ ｒ ，１３３ ≤ｒ≤１６３ ，所以ｒ ＝ ５，故系数最大项为Ｔ６ ＝ Ｃ５７２５ｘ ３ ２ ＝ ６７２ｘ ３ ２ ． 练案［８］ Ａ组·素养自测 １． ＡＣＤ　 由条件概率公式Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ａ∩Ｂ）Ｐ（Ａ）及０≤Ｐ（Ａ）≤１ 知Ｐ（Ｂ ｜Ａ）≥Ｐ（Ａ∩Ｂ），故Ａ选项错误；当事件Ａ包含事件Ｂ 时，有Ｐ（Ａ∩Ｂ）＝ Ｐ（Ｂ），此时Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ａ），故Ｂ选项正 确；由于０≤Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）≤１，Ｐ（Ａ ｜ Ａ）＝ １，故Ｃ，Ｄ选项错误．故 选ＡＣＤ． ２． Ｂ　 Ｐ（Ａ）＝ Ｃ ２ ３ ＋ Ｃ ２ ２ Ｃ２５ ＝ ２５ ，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ２２ Ｃ２５ ＝ １１０ ． 由条件概率公式得Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ １ ４ ．故选Ｂ． ３． Ｂ　 有一个是女孩记为事件Ａ，另一个是女孩记为事件Ｂ，则所 求概率为 Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ １ ３ ． ４． Ｃ　 设第一次抽到数学题为事件Ａ，第二次抽到数学题为事 件Ｂ， 由已知Ｐ（ＡＢ）＝ ３１０，Ｐ（Ａ）＝ ３ ５ ， 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ １ ２ ． ５． Ａ　 先算出同时爱好两项的概率，利用条件概率的知识求解． 同时爱好两项的概率为０． ５ ＋ ０． ６ － ０． ７ ＝ ０． ４， 记“该同学爱好滑雪”为事件Ａ，记“该同学爱好滑冰”为事 件Ｂ， 则Ｐ（Ａ）＝ ０． ５，Ｐ（ＡＢ）＝ ０． ４， 所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ０． ４ ０． ５ ＝ ０． ８．故选Ａ． ６． ９５９９ 　 设“第一次抽到次品”为事件Ａ，“第二次抽到正品”为事 件Ｂ，则Ｐ（Ａ）＝ ５１００ ＝ １ ２０，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ１５Ｃ １ ９５ Ａ２１００ ＝ １９３９６，所以Ｐ（Ｂ ｜ Ａ） ＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ９５ ９９ ． ７． ２５ 　 解法一：投掷两颗骰子，其点数不同的所有可能结果共 ３０种，其中点数之和ξ≤６的有（１，２），（１，３），（１，４），（１，５）， （２，１），（２，３），（２，４），（３，１），（３，２），（４，１），（４，２），（５，１），共 １２种， ∴所求概率Ｐ ＝ ２５ ． 解法二：设Ａ ＝“投掷两颗骰子，其点数不同”，Ｂ ＝“ξ≤６”，则 Ｐ（Ａ）＝ ３０３６ ＝ ５ ６ ，Ｐ（ＡＢ）＝ １２ ３６ ＝ １ ３ ， ∴ Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ２ ５ ． ８． １３ 　 ∵ Ｐ（Ａ）＝ ３ ３６ ＝ １ １２，Ｐ（Ａ∩ Ｂ）＝ １ ３６，∴ Ｐ（Ｂ ｜ Ａ）＝ Ｐ（Ａ∩Ｂ） Ｐ（Ａ） ＝ １ ３６ １ １２ ＝ １３ ． ９．（１）由题意得Ｃ ２ ｎ Ｃ２ｎ ＋ ３ ＝ ｎ（ｎ － １）（ｎ ＋ ３）（ｎ ＋ ２）＝ １ １０， 解得ｎ ＝ ２ ｎ ＝ － １３( )舍去． （２）记“其中一个小球的标号是１”为事件Ａ，“另一个小球的 标号是１”为事件Ｂ，所以Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ Ｃ２２ Ｃ２５ － Ｃ ２ ３ ＝ １７ ． １０．设“任选一人是男人”为事件Ａ，“任选一人是女人”为事件 Ｂ，“任选一人是色盲”为事件Ｃ． （１）此人患色盲的概率Ｐ（Ｃ）＝ Ｐ（ＡＣ）＋ Ｐ（ＢＣ） ＝ Ｐ（Ａ）Ｐ（Ｃ ｜Ａ）＋ Ｐ（Ｂ）Ｐ（Ｃ ｜Ｂ） ＝ １００２００ × ５ １００ ＋ １００ ２００ × ０． ２５ １００ ＝ ２１ ８００． （２）由题可得所求概率为Ｐ（Ａ ｜Ｃ）＝ Ｐ（ＡＣ）Ｐ（Ｃ）＝ ５ ２００ ２１ ８００ ＝ ２０２１ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｃ　 设某天的空气质量为优良的概率是Ｐ（Ａ），则 Ｐ（Ａ）＝ ４５ ，设连续两天的空气质量为优良的概率是 Ｐ（ＡＢ），则Ｐ（ＡＢ）＝ ３５ ， 所以所求的概率为Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ ３ ５ ４ ５ ＝ ３４ ，故选Ｃ． ２． Ａ　 由题可得Ｐ（Ａ）＝ Ｃ １ ２ Ｃ１５ ＝ ２５ ，Ｐ（ＡＢ）＝ Ｃ１２Ｃ １ １ Ｃ１５Ｃ １ ４ ＝ １１０， 则Ｐ（Ｂ ｜Ａ）＝ Ｐ（ＡＢ）Ｐ（Ａ）＝ １ １０ ２ ５ ＝ １４ ，故选Ａ． ３． Ａ　 由已知得，事件Ｂ的基本事件个数为４４，事件ＡＢ的基本 事件个数为Ａ４４， 所以Ｐ（Ａ ｜Ｂ）＝ Ａ ４ ４ ４４ ＝ ３３２ ．故选Ａ． ４． Ａ　 记事件Ａ：某公司职员一小时内吸烟５                                                                      支未诱发脑血管 —１５７— 练案［７］ 第三章　 排列、组合与二项式定理 ３． ３　 ［第２课时　 二项式系数的性质、杨辉三角］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 １．若３槡ｘ － １槡( )ｘ ｎ 的展开式中各项系数之和为 ２５６，则展开式的常数项是 （Ｃ ） Ａ．第３项 Ｂ．第４项 Ｃ．第５项 Ｄ．第６项 ２．若９ｎ ＋ Ｃ１ｎ ＋１·９ｎ －１ ＋…＋ Ｃｎ －１ｎ ＋１·９ ＋ Ｃｎｎ ＋１是１１ 的倍数，则自然数ｎ为 （Ａ ） Ａ．奇数 Ｂ．偶数 Ｃ． ３的倍数 Ｄ．被３除余１的数 ３．若ａ为正实数，且ａｘ － １( )ｘ ２ ０２０ 的展开式中各项 系数的和为１，则该展开式第２ ０２０项为（Ｄ ） Ａ． １ ｘ２ ０２０ Ｂ． － １ ｘ２ ０２０ Ｃ． ４ ０４０ ｘ２ ０１８ Ｄ． － ４ ０４０ ｘ２ ０１８ ４．若二项式２ｘ ＋ ａ( )ｘ ７ 的展开式中１ ｘ３ 的系数是 ８４，则实数ａ ＝ （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ５槡４ Ｃ． １ Ｄ．槡２４ ５．（多选）对任意实数ｘ，有（２ｘ －３）９ ＝ ａ０ ＋ ａ１（ｘ － １）＋ ａ２（ｘ －１）２ ＋ ａ３（ｘ －１）３ ＋…＋ ａ９（ｘ －１）９，则 下列结论成立的是 （　 ） Ａ． ａ２ ＝ － １４４ Ｂ． ａ０ ＝ １ Ｃ． ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ９ ＝ １ Ｄ． ａ０ － ａ１ ＋ ａ２ － ａ３ ＋…－ ａ９ ＝ － ３９ 二、填空题 ６．若ｘ２ ＋ １ｘ( )３ ｎ 展开式的各项系数之和为３２，则ｎ ＝ 　 　 　 ，其展开式中的常数项为　 　 　 　 （用 数字作答）． ７．已知ｘ － ａ( )ｘ ８ 展开式中常数项为１ １２０，其中 实数ａ是常数，则展开式中各项系数的和是 １或３８　 ． ８．已知多项式（ｘ －１）３ ＋（ｘ ＋１）４ ＝ ｘ４ ＋ ａ１ｘ３ ＋ ａ２ｘ２ ＋ ａ３ｘ ＋ ａ４，则ａ１ ＝ 　 　 　 　 ；ａ２ ＋ ａ３ ＋ ａ４ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ９．设（１ － ２ｘ）２ ０２１ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ｘ２ ０２１（ｘ∈Ｒ）． （１）求ａ０ ＋ ａ１ ＋ ａ２ ＋…＋ ａ２ ０２１的值； （２）求ａ１ ＋ ａ３ ＋ ａ５ ＋…＋ ａ２ ０２１的值； （３）求｜ ａ０ ｜ ＋ ｜ ａ１ ｜ ＋ ｜ ａ２ ｜ ＋…＋ ｜ ａ２ ０２１ ｜的值． １０．已知ｆ（ｘ）＝ （１ ＋ ｘ）ｍ ＋ （１ ＋ ２ｘ）ｎ（ｍ，ｎ∈ Ｎ）的展开式中ｘ的系数为１１． （１）求ｘ２的系数取最小值时ｎ的值； （２）当ｘ２的系数取得最小值时，求ｆ（ｘ）展开 式中ｘ的奇次幂项的系数之和                                                               ． —０９０— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １．将杨辉三角中的奇数换成１，偶数换成０，便可 以得到如图“０ － １三角”．在“０ － １三角”中， 从第１行起，设第ｎ（ｎ∈Ｎ ＋）次出现全行为１ 时，１的个数为ａｎ，则ａ３等于 （Ｄ ） 第０行 １ 第１行 １　 １ 第２行 １　 ０　 １ 第３行 １　 １　 １　 １ 第４行 １　 ０　 ０　 ０　 １ 第５行 １　 １　 ０　 ０　 １　 １ … …　 　 　 …　 　 　 … Ａ． ２６ Ｂ． ２７ Ｃ． ７ Ｄ． ８ ２．设（１ － ２ｘ）２ ０２１ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ｘ２ ０２１，则ａ１２ ＋ ａ２ ２２ ＋…＋ ａ２ ０２１ ２２ ０２１ 的值为 （Ｃ ） Ａ． ２ Ｂ． ０ Ｃ． － １ Ｄ． １ ３．（多选）关于下列（ａ － ｂ）１０的说法，正确的是 （　 ） Ａ．展开式中的二项式系数之和是１ ０２４ Ｂ．展开式的第６项的二项式系数最大 Ｃ．展开式的第５项或第７项的二项式系数最大 Ｄ．展开式中第６项的系数最小 ４．（多选）在（１ － ｘ）２０２１的展开式中，有下列四个 命题，其中为真命题的是 （　 ） Ａ．非常数项系数的绝对值的和是１ Ｂ．系数最大的项是第１ ０１０项 Ｃ．偶数项的系数和是－ ２２ ０２０ Ｄ．当ｘ ＝ ２ ０２２时，（１ － ｘ）２ ０２１除以２ ０２２的余 数为１ 二、填空题 ５．观察下列等式： （１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）１ ＝ １ ＋ ｘ ＋ ｘ２， （１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）２ ＝ １ ＋ ２ｘ ＋ ３ｘ２ ＋ ２ｘ３ ＋ ｘ４， （１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）３ ＝ １ ＋ ３ｘ ＋ ６ｘ２ ＋ ７ｘ３ ＋ ６ｘ４ ＋ ３ｘ５ ＋ ｘ６， （１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）４ ＝ １ ＋ ４ｘ ＋ １０ｘ２ ＋ １６ｘ３ ＋ １９ｘ４ ＋ １６ｘ５ ＋ １０ｘ６ ＋ ４ｘ７ ＋ ｘ８， …… 由以上等式推测：对于ｎ∈Ｎ，若（１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）ｎ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ ２ ＋…＋ ａ２ｎｘ２ｎ，则ａ２ ＝ 　 　 　 　 ． ６．记ｆ（ｍ，ｎ）为（１ ＋ ｘ）６（１ ＋ ｙ）４ 展开式中ｘｍ· ｙｎ项的系数，则ｆ（３，０）＋ ｆ（２，１）＋ ｆ（１，２）＋ ｆ（０，３）＝ 　 　 　 　 ． ７．若（１ ＋ ｘ ＋ ｘ２）ｎ ＝ ａ０ ＋ ａ１ｘ ＋ ａ２ｘ２ ＋…＋ ａ２ｎ ｘ２ｎ， 则ａ０ ＋ ａ２ ＋ ａ４ ＋…＋ ａ２ｎ ＝ 　 　 　 　 ． 三、解答题 ８．在（２ｘ － ３ｙ）１０的展开式中，求： （１）二项式系数的和； （２）各项系数的和； （３）ｘ的奇次项系数和与ｘ的偶次项系数和． ９．在ｘ２ ＋ ２槡( )ｘ ｎ 的展开式中，第４项的系数与倒 数第４项的系数之比为１２ ． （１）求ｎ的值； （２）求展开式中所有的有理项； （３）求展开式中系数最大的项                                                                       ． —０９１—