3.1.2 第1课时排列与排列数(练案)-【成才之路】2024-2025学年高中新课程数学选择性必修第二册同步学习指导(人教B版2019)

练案［２］ 第三章　 排列、组合与二项式定理 ３． １　 ［３． １． ２　 第１课时　 排列与排列数］ Ａ组·素养自测 一、选择题 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　１．（多选）下列问题属于排列问题的是（ＡＤ ） Ａ．从１０个人中选２人分别去种树和扫地； Ｂ．从１０个人中选２人去扫地； Ｃ．从班上３０名男生中选出５人组成一个篮 球队； Ｄ．从数字５，６，７，８中任取两个不同的数作幂 运算． ２．从２，３，５，７四个数中任选两个分别相除，则得 到的结果有 （Ｃ ） Ａ． ６个 Ｂ． １０个 Ｃ． １２个 Ｄ． １６个 ３．乘积ｍ（ｍ ＋ １）（ｍ ＋ ２）…（ｍ ＋ １９）（ｍ ＋ ２０） （ｍ∈Ｎ）可表示为 （Ａ ） Ａ． Ａ２１ｍ ＋２０ Ｂ． Ａ ２１ ｍ Ｃ． Ａ２０ｍ ＋２０ Ｄ． Ａ ２０ ｍ ４．已知３Ａｎ －１８ ＝ ４Ａｎ －２９ ，则ｎ等于 （Ｂ ） Ａ． ５ Ｂ． ７ Ｃ． １０ Ｄ． １４ ５．设ｘ∈Ｎ，且ｘ ＞ １５，则（ｘ － ２）（ｘ － ３）（ｘ － ４） …（ｘ － １５）可化简为 （Ｂ ） Ａ． Ａ１３ｘ －２ Ｂ． Ａ １４ ｘ －２ Ｃ． Ａ１３ｘ －１５ Ｄ． Ａ １４ ｘ －１５ 二、填空题 ６．某人射击８枪，命中４枪，则４枪命中恰好有 ３枪连在一起的情形的不同种数为　 　 　 　 ． ７．计算：Ａ ５ ８ ＋Ａ ４ ８ Ａ６９ －Ａ ５ ９ ＝ 　 　 　 　 ． ８．一天有６节课，安排６门学科，一天的课程表 有７２０　 种排法． 三、解答题 ９．下列问题中哪些是排列问题？ （１）５名学生中抽２名学生开会； （２）５名学生中选２名做正、副组长； （３）从２，３，５，７，１１中任取两个数相乘； （４）从２，３，５，７，１１中任取两个数相除； （５）６位同学互通一次电话； （６）６位同学互通一封信； （７）以圆上的１０个点为端点作弦； （８）以圆上的１０个点中的某点为起点，作过另一 点的射线． １０．证明：Ａｋｎ ＋ ｋＡｋ －１ｎ ＝ Ａｋｎ ＋１                                                                ． —０７９— Ｂ组·素养提升 一、选择题 １． ２ ０２１ × ２ ０２０ × ２ ０１９ × ２ ０１８ ×…× １ ９８２ × １ ９８１等于 （Ｄ ） Ａ． Ａ４０１ ９８０ Ｂ． Ａ ４１ １ ９８０ Ｃ． Ａ４０２ ０２１ Ｄ． Ａ ４１ ２ ０２１ ２．若Ｓ ＝ Ａ１１ ＋ Ａ２２ ＋ Ａ３３ ＋ Ａ４４ ＋…＋ Ａ１００１００，则Ｓ的个 位数字是 （Ｃ ） Ａ． ８ Ｂ． ５ Ｃ． ３ Ｄ． ０ ３．（多选）下列四个等式中正确的有（ＡＢＤ ） Ａ． ｎ！ ＝（ｎ ＋ １）！ｎ ＋ １ Ｂ． Ａｍｎ ＝ ｎＡ ｍ －１ ｎ －１ Ｃ． Ａｍ －１ｎ －１ ＝ （ｎ － １）！ （ｍ － ｎ）！ Ｄ． Ａｍｎ ＋ ｍＡ ｍ －１ ｎ ＝ Ａ ｍ ｎ ＋１ ４．要从甲、乙、丙、丁、戊５个人中选出１名组长 和１名副组长，但甲不能当副组长，则不同的 选法种数是 （Ｂ ） Ａ． ２０ Ｂ． １６ Ｃ． １０ Ｄ． ６ 二、填空题 ５．满足不等式Ａ ７ ｎ Ａ５ｎ ＞１２的ｎ的最小值为　 　 　 　 ． ６．已知Ａ ７ ｎ － Ａ ５ ｎ Ａ５ｎ ＝ ８９，则ｎ的值为　 　 　 　 ． ７．由数字２，０，１，９组成的没有重复数字的四位 偶数的个数为　 　 　 　 ． 三、解答题 ８． ８个人排成一排． （１）共有多少种不同的排法？ （２）８个人排成两排，前后两排各４人共有多 少种不同的排法？ （３）８个人排成两排，前排３人，后排５人，共 有多少种不同的排法？ ９．求证：Ａｍｎ ＋ ｍＡｍ －１ｎ －１ ＋ ｍ（ｍ － １）Ａｍ －２ｎ －１ ＝ Ａｍｎ ＋１（ｎ， ｍ∈Ｎ，ｎ≥ｍ ＞ ２）                                                                      ． —０８０— 取两本书中，一本语文、一本英语，有９ × ８ ＝ ７２（种）不同 取法； 取两本书中，一本数学、一本英语，有１０ × ８ ＝ ８０（种）不同 取法． 综合以上三类，利用分类加法计数原理，共有９０ ＋ ７２ ＋ ８０ ＝ ２４２（种）不同取法． ６． ５１２ 　 ｃｏｓ θ ＝ ａ·ｂ ｜ ａ ｜ ｜ ｂ ｜ ＝ ｍ － ｎ 槡２·ｍ２ ＋ ｎ槡 ２ ， ∵ θ∈（０，π２ ），∴ ａ·ｂ ＞ ０， ａ∥＼ ｂ{ ． ∴ ｍ － ｎ ＞ ０， ｍ － ｎ ２ｍ２ ＋ ２ｎ槡 ２ ＜ １{ ． ∴ ｍ ＞ ｎ，则ｍ ＝２时，ｎ ＝ １；ｍ ＝ ３时，ｎ ＝ １，２；ｍ ＝ ４时，ｎ ＝ １，２， ３；ｍ ＝５时，ｎ ＝１，２，３，４；ｍ ＝６时，ｎ ＝１，２，３，４，５． 则这样的向量ａ共有１ ＋ ２ ＋ ３ ＋ ４ ＋ ５ ＝ １５（个）， 而第一次投掷骰子得到的点数ｍ有６种情形，同样ｎ也有６ 种情形，∴不同的向量ａ ＝（ｍ，ｎ），共有６ × ６ ＝ ３６个，因此所 求概率Ｐ ＝ １５３６ ＝ ５ １２ ． ７． １６　 根据题意，６根算筹可以表示的数字组合为１，５；１，９；２， ４；２，８；６，４；６，８；３，３；３，７；７，７． 数字组合１，５；１，９；２，４；２，８；６，４；６，８；３，７中，每组可以表示２ 个两位数，则可以表示２ × ７ ＝ １４个两位数； 数字组合３，３；７，７中，每组可以表示１个两位数，则可以表示 ２ × １ ＝ ２个两位数． 综上，共可以表示１４ ＋ ２ ＝ １６个两位数． ８．将该问题转化为“用１，２，３，４四个数字组成无重复数字的四 位数，要求１不在个位、２不在十位、３不在百位、４不在千位的 四位数有多少个”．因此，可分三步，第一步确定个位数，有３ 种不同的方法；第二步确定把１放到十位、百位、千位中的任 一位上，也有３种不同的方法；第三步，余下的两个数字只有 一种方法，由分类计数原理可得不同的分配方法为３ × ３ ＝ ９种． ９．先对Ａ部分种植，有４种不同的种植方法；再对Ｂ部分种植， 有３种不同的种植方法；对Ｃ部分种植进行分类： ①若与Ｂ相同，Ｄ有２种不同的种植方法，Ｅ有２种不同的种 植方法，共有４ × ３ × １ × ２ × ２ ＝ ４８（种）； ②若与Ｂ不同，Ｃ有２种不同的种植方法，Ｄ有１种不同的种 植方法，Ｅ有２种不同的种植方法，共有４ × ３ × ２ × １ × ２ ＝ ４８ （种）；综上所述，共有９６种种植方法． 练案［２］ Ａ组·素养自测 １． ＡＤ　 根据排列的定义进行判断． ２． Ｃ　 符合题意的商有Ａ２４ ＝ ４ × ３ ＝ １２． ３． Ａ　 因为最大数为ｍ ＋ ２０，所以共有２１个自然数连续相乘，根 据排列公式可得ｍ（ｍ ＋ １）（ｍ ＋ ２）…（ｍ ＋ １９）（ｍ ＋ ２０） ＝ Ａ２１ｍ ＋ ２０ ． ４． Ｂ　 由 ８！（９ － ｎ）！× ３ ＝ ９！ （１１ － ｎ）！× ４， 得（１１ － ｎ）（１０ － ｎ）＝ １２，解得ｎ ＝ ７，ｎ ＝ １４（舍）． ５． Ｂ　 先确定最大数，即ｎ，再确定因式的个数，即ｍ，易知ｎ ＝ ｘ － ２，ｍ ＝（ｘ － ２）－（ｘ － １５）＋ １ ＝ １４，所以原式＝ Ａ１４ｘ － ２ ． ６． ２０　 先把连在一起命中的三枪“捆绑”在一起，然后从４枪不 命中之间的三个空位及两端两个空位共５个空位中选出２个 进行排列，有Ａ２５ ＝ ２０种． ７． ５２７ 　 Ａ５８ ＋ Ａ ４ ８ Ａ６９ － Ａ ５ ９ ＝ ８ × ７ × ６ × ５ × ４ ＋ ８ × ７ × ６ × ５９ × ８ × ７ × ６ × ５ × ４ － ９ × ８ × ７ × ６ × ５ ＝ ５ ２７ ． ８． ７２０　 这是６个元素的全排列问题，故一天的课程表排法有Ａ６６ ＝ ６ × ５ × ４ × ３ × ２ × １ ＝ ７２０（种）． ９．（２）（４）（６）（８）都与顺序有关，属于排列；其他问题则不是 排列． １０．证明：左边＝ ｎ！（ｎ － ｋ）！＋ ｋ ｎ！ （ｎ － ｋ ＋ １）！ ＝ ｎ！［（ｎ － ｋ ＋ １）＋ ｋ］（ｎ － ｋ ＋ １）！ ＝ （ｎ ＋ １）ｎ！（ｎ － ｋ ＋ １）！＝ （ｎ ＋ １）！ （ｎ － ｋ ＋ １）！， 右边＝ Ａｋｎ ＋ １ ＝ （ｎ ＋ １）！（ｎ － ｋ ＋ １）！，所以Ａ ｋ ｎ ＋ ｋＡ ｋ － １ ｎ ＝ Ａ ｋ ｎ ＋ １ ． Ｂ组·素养提升 １． Ｄ　 根据题意，２ ０２１ × ２ ０２０ × ２ ０１９ × ２ ０１８ × ２ ０１７ ×…× １ ９８１ × １ ９８１ ＝ Ａ４１２ ０２１ ． ２． Ｃ　 由排列数公式知，Ａ５５，Ａ６６，…，Ａ１００１００中均含有２和５的因子， 故个位数均为０，所以Ｓ的个位数字应是Ａ１１ ＋ Ａ２２ ＋ Ａ３３ ＋ Ａ４４ 的 个位数字，而Ａ１１ ＋ Ａ２２ ＋ Ａ３３ ＋ Ａ４４ ＝ １ ＋ ２ × １ ＋ ３ × ２ × １ ＋ ４ × ３ × ２ × １ ＝ ３３，故个位数字为３． ３． ＡＢＤ　 （ｎ ＋ １）！ｎ ＋ １ ＝ （ｎ ＋ １）× ｎ！ ｎ ＋ １ ＝ ｎ！，所以Ａ正确； ｎＡｍ － １ｎ － １ ＝ ｎ ×（ｎ － １）！ ［（ｎ － １）－（ｍ － １）］！＝ ｎ！ （ｎ － ｍ）！＝ Ａ ｍ ｎ，所以Ｂ正确； Ａｍ － １ｎ － １ ＝ （ｎ － １）！ ［（ｎ － １）－（ｍ － １）］！＝ （ｎ － １）！ （ｎ － ｍ）！，所以Ｃ不正确； 由排列数公式可知Ａｍｎ ＋ ｍＡｍ － １ｎ ＝ ｎ！（ｎ － ｍ）！＋ ｍ ｎ！［ｎ －（ｍ － １）］！＝ ｎ！ （ｎ － ｍ）！× １ ＋ ｍ ｎ －（ｍ － １[ ]） ＝ ｎ！（ｎ － ｍ）！× ｎ ＋ １ ｎ －（ｍ － １）＝ （ｎ ＋ １）！ ［（ｎ ＋ １）－ ｍ］！＝ Ａ ｍ ｎ ＋ １，所以Ｄ 正确． ４． Ｂ　 不考虑限制条件有Ａ２５ 种选法，若甲当副组长，有Ａ１４ 种选 法，故甲不当副组长的选法有Ａ２５ － Ａ１４ ＝ １６（种）． ５． １０　 由排列数公式得ｎ！（ｎ － ５）！（ｎ － ７）！ｎ！＞ １２， 即（ｎ － ５）（ｎ － ６）＞ １２， 解得ｎ ＞ ９或ｎ ＜ ２． 又ｎ≥７，所以ｎ ＞ ９， 又ｎ∈Ｎ，所以ｎ的最小值为１０． ６． １５　 根据题意，Ａ ７ ｎ － Ａ ５ ｎ Ａ５ｎ ＝ ８９，则Ａ ７ ｎ Ａ５ｎ ＝ ９０，变形可得Ａ７ｎ ＝ ９０Ａ５ｎ， 则有 ｎ！（ｎ － ７）！＝ ９０ × ｎ！ （ｎ － ５）！， 变形可得：（ｎ － ５）（ｎ － ６）＝ ９０， 解可得：ｎ ＝ １５或ｎ ＝ － ４（舍）； 故ｎ ＝ １５． ７． １０　 个位数字为０时，符合要求的四位偶数有Ａ３３ ＝ ６（个）；个 位数字为２时，符合要求的四位偶数有Ａ１２Ａ２２ ＝ ４（个）． 故由数字２，０，１，９组成的没有重复数字的四位偶数的个数为 ６ ＋ ４ ＝ １０． ８．（１）由排列的定义知共有Ａ８８种不同的排法． （２）８人排成前后两排，相当于排成一排，从中间分成两部分， 其排列数等于８人排成一排的排列数Ａ８８ ．也可以分步进行， 第一步：从８人中任选４人放在前排共有Ａ４８ 种排法，第二步： 剩下的４人放在后排共有Ａ４４种排法，由分步乘法计数原理知 共有Ａ４８ × Ａ４４ ＝ Ａ８８种排法． （３）同（２）的分析可知，共有Ａ３８ × Ａ５５ ＝ Ａ８８（种）                                                                      ． —１５０— ９．因为左边＝ ｎ！（ｎ － ｍ）！＋ ｍ （ｎ － １）！ （ｎ － ｍ）！＋ ｍ（ｍ － １） （ｎ － １）！ （ｎ － ｍ ＋ １）！ ＝ ｎ！（ｎ －ｍ ＋１）＋ｍ（ｎ －１）！（ｎ －ｍ ＋１）＋ｍ（ｍ －１）（ｎ －１）！（ｎ －ｍ ＋１）！ ＝（ｎ －１）！［ｎ（ｎ －ｍ ＋１）＋ｍ（ｎ －ｍ ＋１）＋ｍ（ｍ －１）］（ｎ －ｍ ＋１）！ ＝（ｎ － １）！ｎ（ｎ ＋ １）（ｎ － ｍ ＋ １）！ ＝ （ｎ ＋ １）！ （ｎ － ｍ ＋ １）！＝ Ａ ｍ ｎ ＋ １ ． 练案［３］ Ａ组·素养自测 １． Ｄ　 由题意，可知个位可以从１，３，５中任选一个，有Ａ１３ 种方 法，其他数位上的数可以从剩下的４个数字中任选，进行全排 列，有Ａ４４种方法，所以奇数的个数为Ａ１３Ａ４４ ＝ ３ × ４ × ３ × ２ × １ ＝ ７２． ２． Ｄ　 在８个数中任取２个不同的数可以组成Ａ２８ ＝ ５６（个）对数 值．但在这５６个对数值中，ｌｏｇ２４ ＝ ｌｏｇ３９，ｌｏｇ４２ ＝ ｌｏｇ９３，ｌｏｇ２３ ＝ ｌｏｇ４９，ｌｏｇ３２ ＝ ｌｏｇ９４，即满足条件的对数值共有５６ － ４ ＝ ５２ （个）． ３． Ｃ　 若甲、乙都不参加排队，则不同的排法有Ａ３６ ＝ １２０（种）；若 甲、乙都参加排队，则不同的排法有Ａ１６Ａ２２Ａ２２ ＝ ２４（种），所以不 同的排法共有１２０ ＋ ２４ ＝ １４４（种）．故造Ｃ． ４． ＡＤ　 将４个空车位视为一个元素，与８辆车共９个元素进行 全排列，共有Ａ９９ ＝ ９Ａ８８种． ５． Ｃ　 五门课程随意安排有Ａ５５ 种排法，数学课在历史课前和历 史课在数学课前各占总排法数的一半，所以数学课排在历史 课前的排法有１２ Ａ ５ ５ ＝ ６０（种）． ６． ４０　 可分为三步来完成这件事： 第一步：先将３，５进行排列，共有Ａ２２种排法； 第二步：再将４，６插空排列，共有２Ａ２２种排法； 第三步：将１，２放入３，５，４，６形成的空中，共有Ａ１５种排法； 由分步乘法计数原理得，共有２Ａ２２Ａ２２Ａ１５ ＝ ４０种不同的排法． ７． ９６　 先分组后用分配法求解，５张参观券分为４组，其中２个 连号的有４种分法，每一种分法中的排列方法有Ａ４４ 种，因此 共有不同的分法４Ａ４４ ＝ ４ × ２４ ＝ ９６（种）． ８． ２４　 将２件书法作品排列，方法数为２种，然后将其作为１件 作品与标志性建筑设计作品共同排列有２种排法，对于其每 一种排法，在其形成的３个空位中选２个插入２件绘画作品， 故共有不同展出方案：２ × ２ × Ａ２３ ＝ ２４种． ９．（１）先从５个演唱节目中选两个排在首尾两个位置有Ａ２５种排 法，再将剩余的３个演唱节目，３个舞蹈节目排在中间６个位 置上有Ａ６６种排法，故共有不同排法Ａ２５Ａ６６ ＝ １４ ４００种． （２）先不考虑排列要求，有Ａ８８种排列，其中前四个节目没有舞 蹈节目的情况，可先从５个演唱节目中选４个节目排在前四 个位置，然后将剩余四个节目排列在后四个位置，有Ａ４５Ａ４４ 种 排法，所以前四个节目要有舞蹈节目的排法有（Ａ８８ － Ａ４５Ａ４４）＝ ３７ ４４０种． １０．先考虑组成一元二次方程的问题． 首先确定ａ，只能从１，３，５，７中选一个，有Ａ１４种，然后从余下 的四个数中任选两个作ｂ，ｃ，有Ａ２４ 种，又０，１，３，５，７并无公 因数，故由分步乘法计数原理知，组成的一元二次方程共 Ａ１４Ａ ２ ４ ＝ ４８（个）． 方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ≠０）要有实根，必须满足Δ ＝ ｂ２ － ４ａｃ ≥０．分类讨论如下： 当ｃ ＝０时，ａ，ｂ可以从１，３，５，７中任取两个，一元二次方程有 Ａ２４个； 当ｃ≠０时，分析判别式知ｂ只能取５，７中的一个． 当ｂ取５时，ａ，ｃ只能取１，３这两个数，一元二次方程有 Ａ２２个； 当ｂ取７时，ａ，ｃ可取１，３或１，５这两组数，一元二次方程有 ２Ａ２２个． 此时共有（Ａ２２ ＋ ２Ａ２２）个一元二次方程． 由分类加法计数原理知，有实根的一元二次方程共有Ａ２４ ＋ Ａ２２ ＋ ２Ａ ２ ２ ＝ １８（个）． Ｂ组·素养提升 １． ＡＢ　 解法一：确定最高位有Ａ１５ 种不同方法．确定万位、千位、 百位，从剩下的５个数字中取３个排列，共有Ａ３５ 种不同的方 法，剩下两个数字，把大的排在十位上即可，由分步乘法计数 原理知，共有Ａ１５·Ａ３５ ＝ ３００（个）． 解法二：由于个位数字大于十位数字与个位数字小于十位数 字的应各占一半，故有１２ Ａ １ ５·Ａ５５ ＝ ３００（个）． ２． Ｃ　 由题意每次闪烁共５秒，所有不同的闪烁为Ａ５５个，相邻两 个闪烁的时间间隔为５秒，因此需要的时间至少是５Ａ５５ ＋（Ａ５５ － １）× ５ ＝ １ １９５秒． ３． Ｃ　 ４本不同的书分给三个同学，共有６Ａ３３ ＝ ３６，书Ａ、Ｂ分给同 一人有Ａ３３ ＝ ６，所以共有３６ － ６ ＝ ３０种，故选Ｃ． ４． Ｂ　 将Ａ，Ｂ捆绑在一起，有Ａ２２种摆法，再将它们与其他３件产 品全排列，有Ａ４４种摆法，共有Ａ２２Ａ４４ 种摆法，而Ａ，Ｂ，Ｃ ３件产 品在一起，且Ａ，Ｂ相邻，Ａ，Ｃ相邻时有２种情况，将这３件产 品与剩下２件产品全排列，有２Ａ３３ 种摆法．故Ａ，Ｂ相邻，Ａ，Ｃ 不相邻的摆法有Ａ２２Ａ４４ － ２Ａ３３ ＝ ３６（种）． ５． ５７６　 “不能都站在一起”与“都站在一起”是对立事件，由间 接法可得Ａ６６ － Ａ３３Ａ４４ ＝ ５７６． ６． １１５ 　 ６个数任意填入６个小正方形中有Ａ ６ ６ ＝ ７２０种方法；将６ 个数分三组（１，６），（２，５），（３，４），每组中的两个数填入一对 面中，共有不同填法Ａ３３ × ２ × ２ × ２ ＝ ４８种，故所求概率Ｐ ＝ ４８ ７２０ ＝ １ １５ ． ７．（１）各个数位上的数字允许重复，故由分步乘法计数原理知， 共有４ × ５ × ５ × ５ × ５ ＝ ２ ５００（个）． （２）解法一：先排万位，从１，２，３，４中任取一个有Ａ１４ 种填法， 其余四个位置四个数字共有Ａ４４种， 故共有Ａ１４·Ａ４４ ＝ ９６（个）． 解法二：先排０，从个、十、百、千位中任选一个位置将０填入有 Ａ１４种方法，其余四个数字全排有Ａ４４种方法， 故共有Ａ１４·Ａ４４ ＝ ９６（个）． （３）构成３的倍数的三位数，各个位上数字之和是３的倍数， 按取０和不取０分类： ①取０，从１和４中取一个数，再取２进行排，先填百位Ａ１２，其 余任排有Ａ２２，故有２Ａ１２·Ａ２２种． ②不取０，则只能取３，从１或４中再任取一个，再取２然后进 行全排为２Ａ３３，所以共有２Ａ１２Ａ２２ ＋ ２Ａ３３ ＝ ８ ＋ １２ ＝ ２０（个）． （４）考虑特殊位置个位和万位，先填个位，从１、３中选一个填入 个位有Ａ１２种填法，然后从剩余３个非０数中选一个填入万位， 有Ａ１３种填法，包含０在内还有３个数在中间三位置上全排列， 排列数为Ａ３３，故共有Ａ１２·Ａ１３·Ａ３３ ＝３６（个）． ８．（１）７名同学的所有排法有Ａ７７ 种，其中甲、乙、丙的排序有Ａ３３ 种，所以甲、乙、丙排序一定的排法有Ａ ７ ７ Ａ３３ ＝ ８４０（种）． （２）方法一：甲不在最左端，按甲的排法分类                                                                      ： —１５１—